giúp học sinh phát hiện và tránh sai lầmtrong khi giải toán về căn bậc hai

Trêng THCS §ång Khª Tæ Khoa häc tù nhiªn
Tên sáng kiến kinh nghiệm :
DẠY HỌC
GIÚP HỌC SINH PHÁT HIỆN VÀ TRÁNH SAI LẦMTRONG
KHI GIẢI TOÁN VỀ CĂN BẬC HAI
PHẦN I : MỞ ĐẦU
A - LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI :
Muốn công nghiệp hoá và hiện đại hoá đất nước thì phải nhanh chóng tiếp thu
khoa học và kỹ thuật hiện đại của thế giới. Do sự phát triển như vũ bão của khoa học
và kỹ thuật, kho tàng kiến thức của nhân loại tăng lên nhanh chóng. Cái mà hôm nay
còn là mới ngày mai đã trở thành lạc hậu. Nhà trường không thể nào luôn luôn cung
cấp cho học sinh những hiểu biết cập nhật được. Điều quan trọng là phải trang bị cho
các em năng lực tự học để có thể tự mình tìm kiếm những kiến thức khi cần thiết
trong tương lai.
Sự phát triển của nền kinh tế thị trường, sự xuất hiện nề kinh tế tri thức trong
tương lai đòi hỏi người lao động phải thực sự năng động, sáng tạo và có những phẩm
chất thích hợp để bươn chải vươn lên trong cuộc cạnh tranh khốc liệt này. Việc thu
thập thông tin, dữ liệu cần thiết ngày càng trở lên dễ dàng nhờ các phương tiện truyền
thông tuyên truyền, máy tính, mạng internet .v.v. Do đó, vấn đề quan trọng đói với
con người hay một cộng đồng không chỉ là tiếp thu thông tin, mà còn là sử lý thông
tin để tìm ra giải pháp tốt nhất cho những vấn đề đặt ra trong cuộc sống của bản thân
cũng như của xã hội.
Như vậy yêu cầu của xã hội đối với việc dạy học trước đây nặng về việc truyền
Vò V¨n H¹nh S¸ng kiÕn kinh nghiÖm To¸n 9
1
Trêng THCS §ång Khª Tæ Khoa häc tù nhiªn
thụ kiến thức thì nay đã thiên về việc hình thành những năng lực hoạt động cho HS.
Để đáp ứng yêu cầu mới này cần phải thay đổi đồng bộ các thành tố của quá trình
dạy học về mục tiêu, nội dung, phương pháp, hìn thức tổ chức, phương tiện, cách
kiểm tra đánh giá
- Hiện nay mục tiêu giáo dục cấp THCS đã được mở rộng, các kiến thức và kỹ

năng được hình thành và củng cố để tạo ra 4 năng lực chủ yếu :
+ Năng lực hành động
+ Năng lực thích ứng
+ Năng lực cùng chung sống và làm việc
+ Năng lực tự khẳng định mình.
Trong đề tài này tôi quan tâm để đi khai thác đến 2 nhóm năng lực chính là
"Năng lực cùng chung sống và làm việc" và "Năng lực tự khẳng định mình" vì kiến
thức và kỹ năng là một trong những thành tố của năng lực HS.
Trong quá trình giảng dạy thực tế trên lớp một số năm học, tôi đã phát hiện ra
rằng còn rất nhiều học sinh thực hành kỹ năng giải toán còn kém trong đó có rất
nhiều học sinh(45%) chưa thực sự hiểu kỹ về căn bậc hai và trong khi thực hiện các
phép toán về căn bậc hai rất hay có sự nhầm lẫn hiểu sai đầu bài, thực hiện sai mục
đích… Việc giúp học sinh nhận ra sự nhầm lẫn và giúp các em tránh được sự nhầm
lẫn đó là một công việc vô cùng cần thiết và cấp bách nó mang tính đột phá và mang
tính thời cuộc rất cao, giúp các em có mồn sự am hiểu vững trắc về lượng kiến thức
căn bậc hai tạo nền móng để tiếp tục nghiên cứu các dạng toán cao hơn sau này.
B- THỜI GIAN NGHIÊN CỨU :
Được chia làm 3 giai đoạn chính :
1. Giai đoạn 1 :
Vò V¨n H¹nh S¸ng kiÕn kinh nghiÖm To¸n 9
2
Trêng THCS §ång Khª Tæ Khoa häc tù nhiªn
Bắt đầu từ ngày 05 tháng 9 năm 2006 đến ngày 26 tháng 10 năm 2006.
2. Giai đoạn 2 :
Bắt đầu từ ngày 05 tháng 9 năm 2007 đến ngày 29 tháng 10 năm 2007.
3 Giai đoạn 3 : Hoàn thành và đánh giá sáng kiến kinh nghiệm 15 tháng 11 năm
2007.
C - MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU :
- Do thời gian có hạn nên tôi nghiên cứu sáng kiến kinh nghiệm này với mục
đích như sau :

+ Giúp giáo viên toán THCS quan tâm hơn đến một phương pháp dạy học tích
cực rất rễ thực hiện.
+ Giúp giáo viên toán THCS nói chung và GV dạy toán 9 THCS nói riêng có
thêm thông tin về PPDH tích cực này nhằm giúp họ rễ ràng phân tích để đưa ra biện
pháp tối ưu khi áp dụng phương pháp vào dạy học và trong sáng kiến này cũng tạo cơ
sở để các GV khác xây dựng sáng kiến khác có phạm vi và quy mô xuyên suốt hơn.
+ Qua sáng kiến này tôi muốn đưa ra một số lỗi mà học sinh hay mắc phải trong
quá trình lĩnh hội kiến thức ở chương căn bậc hai để từ đó có thể giúp học sinh khắc
phục các lỗi mà các em hay mắc phải trong quá trình giải bài tập hoặc trong thi cử,
kiểm tra
…
Cũng qua sáng kiến này tôi muốn giúp GV toán 9 có thêm cái nhìn mới
sâu sắc hơn, chú ý đến việc rèn luyện kỹ năng thực hành giải toán về căn bậc hai cho
học sinh để từ đó khai thác hiệu quả và đào sâu suy nghĩ tư duy lôgic của học sinh
giúp học sinh phát triển khả năng tiềm tàng trong con người học sinh.
+ Qua sáng kiến này tôi cũng tự đúc rút cho bản thân mình những kinh nghiệm
để làm luận cứ cho phương pháp dạy học mới của tôi những năm tiếp theo.
D - PHẠM VI NGHIÊN CỨU :
Vò V¨n H¹nh S¸ng kiÕn kinh nghiÖm To¸n 9
3
Trêng THCS §ång Khª Tæ Khoa häc tù nhiªn
Trong sáng kiến này tôi chỉ nêu ra một số “Nhóm sai lầm” mà học sinh thường
mắc phải trong quá trình làm bài tập về căn bậc hai trong chương I - Đại số 9.
Phân tích sai lầm trong một số bài toán cụ thể để học sinh thấy được những lập
luận sai hoặc thiếu chặt chẽ dẫn tới bài giải không chính xác.
Từ đó định hướng cho học sinh phương pháp giải bài toán về căn bậc hai.
E - ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU :
Như đã trình bày ở trên nên trong sáng kiến này tôi chỉ nghiên cứu trên hai
nhóm đối tượng cụ thể sau :
1. Giáo viên dạy toán 9 THCS

2. Học sinh lớp 9 THCS : bao gồm 4 lớp 9 với tổng số 151 học sinh
F - PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU :
- Đọc sách, tham khảo tài liệu.
- Thực tế chuyên đề, thảo luận cùng đồng nghiệp.
- Dạy học thực tiễn trên lớp để rút ra kinh nghiệm.
- Thông qua học tập BDTX các chu kỳ.
Dựa vào kinh nghiệm giảng dạy bộ môn toán của các giáo viên có kinh nghiệm
của trường trong những năm học trước và vốn kinh nghiệm của bản thân đã rút ra
được một số vấn đề có liên quan đến nội dung của sáng kiến.
Trong những năm học vừa qua chúng tôi đã quan tâm đến những vấn đề mà học
sinh mắc phải. Qua những giờ học sinh làm bài tập tại lớp, qua các bài kiểm tra dưới
các hình thức khác nhau, bước đầu tôi đã nắm được các sai lầm mà học sinh thường
mắc phải khi giải bài tập. Sau đó tôi tổng hợp lại, phân loại thành hai nhóm cơ bản.
Trong quá trình thực hiện sáng kiến kinh nghiệm này tôi đã sử dụng những
Vò V¨n H¹nh S¸ng kiÕn kinh nghiÖm To¸n 9
4
Trêng THCS §ång Khª Tæ Khoa häc tù nhiªn
phương pháp sau :
- Quan sát trực tiếp các đối tượng học sinh để phát hiện ra những vấn đề mà học
sinh thấy lúng túng, khó khăn khi giáo viên yêu cầu giải quyết vấn đề đó.
- Điều tra toàn diện các đối tượng học sinh trong 4 lớp 9 của khối 9 với tổng số
151 học sinh để thống kê học lực của học sinh. Tìm hiểu tâm lý của các em khi học
môn toán, quan điểm của các em khi tìm hiểu những vấn đề về giải toán có liên quan
đến căn bậc hai (bằng hệ thống các phiếu câu hỏi trắc nghiệm ).
- Nghiên cứu sản phẩm hoạt động của GV và HS để phát hiện trình độ nhận
thức, phương pháp và chất lượng hoạt động nhằm tìm giải pháp nâng cao chất lượng
giáo dục.
- Thực nghiệm giáo dục trong khi giải bài mới, trong các tiết luyện tập, tiết trả
bài kiểm tra. . . tôi đã đưa vấn đề này ra hướng dẫn học sinh cùng trao đổi, thảo luận
bằng nhiều hình thức khác nhau như hoạt động nhóm, giảng giải, vấn đáp gợi mở để

học sinh khắc sâu kiến thức, tránh được những sai lầm trong khi giải bài tập. Yêu cầu
học sinh giải một số bài tập theo nội dung trong sách giáo khoa rồi đưa thêm vào đó
những yếu tố mới, những điều kiện khác để xem xét mức độ nhận thức và suy luận
của học sinh.
- Phân tích và tổng kết kinh nghiệm giáo dục khi áp dụng nội dung đang nghiên
cứu vào thực tiễn giảng dạy nhằm tìm ra nguyên nhân những sai lầm mà học sinh
thường mắc phải khi giải toán. Từ đó tổ chức có hiệu quả hơn trong các giờ dạy tiếp
theo.
G - TÀI LIỆU THAM KHẢO :
1. Sách " Một số vấn đề về đổi mới PPDH ở trường THCS môn toán" của Bộ
giáo dục và Đào tạo
2. Tài liệu bồi dưỡng thường xuyên cho GV THCS chu kỳ III ( 2004-2007)
Vò V¨n H¹nh S¸ng kiÕn kinh nghiÖm To¸n 9
5
Trêng THCS §ång Khª Tæ Khoa häc tù nhiªn
môn toán của Bộ giáo dục và Đào tạo.
3. Những vấn đề chung về đổi mới giáo dục trung học cơ sở môn toán của Bộ
giáo dục và Đào tạo.
4. Giáo trình " Phương pháp dạy học toán" tác giả Hoàng Chúng - BGD&ĐT
5. SGK và SGV toán 6,7,8,9.(BGD&ĐT)
PHẦN II : NỘI DUNG ĐỀ TÀI
A. CHƯƠNG I : CƠ SỞ LÝ LUẬN
I - QUAN ĐIỂM VỀ ĐỔI MỚI PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC VÀ PHƯƠNG
PHÁP DẠY HỌC TÍCH CỰC :
1. Quan điểm đổi mới phương pháp dạy học :
Luật Giáo dục 2005 (Điều 5) quy định : "Phương pháp giáo dục phải phát huy
tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của người học; bồi dưỡng cho người
học năng lực tự học, khả năng thực hành, lòng say mê học tập và ý chí vươn lên".
Với mục tiêu giáo dục phổ thông là "giúp học sinh phát triển toàn diện về đạo
đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mĩ và các kỹ năng cơ bản, phát triển năng lực cá nhân, tính

năng động và sáng tạo, hình thành nhân cách con người Việt Nam xã hội chủ nghĩa,
xây dựng tư cách và trách nhiệm công dân; chuẩn bị cho học sinh tiếp tục học lên
hoặc đi vào cuộc sống lao động, tham gia xây dựng và bảo vệ Tổ quốc"; Chương
trình giáo dục phổ thông ban hành kèm theo Quyết định số 16/2006/QĐ-BGD ĐT
ngày 5/5/2006 của Bộ trưởng Bộ giáo dục và Đào tạo cũng đã nêu : "Phải phát huy
tính tích cực, tự giác chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc trưng môn
học, đặc điểm đối tượng học sinh, điều kiện của từng đối tượng học sinh, điều kiện
của từng lớp học; bồi dưỡng cho học sinh phương pháp tự học, khả năng hợp tác; rèn
Vò V¨n H¹nh S¸ng kiÕn kinh nghiÖm To¸n 9
6
Trêng THCS §ång Khª Tæ Khoa häc tù nhiªn
luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm
vui, hứng thú và trách nhiệm học tập cho HS".
- Quan điểm dạy học : là những định hướng tổng thể cho các hành động phương
pháp, trong đó có sự kết hợp giữa các nguyên tắc dạy học làm nền tảng, những cơ sở
lý thuyết của lý luận dạy học, những điều kiện dạy học và tổ chức cũng như những
định hướng về vai trò của GV và HS trong quá trình dạy học. Quan điểm dạy học là
những định hướng mang tính chiến lược, cương lĩnh, là mô hình lý thuyết của PPDH.
Những quan điểm dạy học cơ bản : DH giải thích minh hoạ, DH gắn với kinh
nghiệm, DH kế thừa, DH định hướng HS, DH định hướng hành động, giao tiếp; DH
nghiên cứu, DH khám phá, DH mở.
2. Phương pháp dạy học tích cực :
Việc thực hiện đổi mới chương trình giáo dục phổ thông đòi hỏi phải đổi mới
đồng bộ từ mục tiêu, nội dung, phương pháp, PTDH đến cách thức đánh giá kết quả
dạy học, trong đó khâu đột phá là đổi mới PPDH.
Mục đích của việc đổi mới PPDH ở trường phổ thông là thay đổi lối dạy học
truyền thụ một chiều sang dạy học theo phương pháp dạy học tích cực(PPDHTC)
nhằm giúp học sinh phát huy tính tích cực, tự giác chủ động, sáng tạo, rèn luyện thói
quen và khả năng tự học, tinh thần hợp tác, kỹ năng vận dụng kiến thức vào những
tình huống khác nhau trong học tập và trong thực tiễn; tạo niềm tin, niềm vui, hứng

thú trong học tập. Làm cho "Học" là quá trình kiến tạo; HS tìm tòi, khám phá, phát
hiện luện tập khai thác và sử lý thông tin… HS tự hình thành hiểu biết, năng lực và
phẩm chất. Tổ hoạt động nhận thức cho HS, dạy HS cách tìm ra chân lý. Chú trọng
hình thành các năng lực(tự học, sáng tạo, hợp tác,…) dạy phương pháp và kỹ thuật
lao động khoa học, dạy cách học. Học để đáp ứng những yêu cầu của cuộc sống hiện
tại và tương lai. Những điều đã học cần thiết, bổ ích cho bản thân HS và cho sự phát
Vò V¨n H¹nh S¸ng kiÕn kinh nghiÖm To¸n 9
7
Trêng THCS §ång Khª Tæ Khoa häc tù nhiªn
triển xã hội.
PPDH tích cực được dùng với nghĩa là hoạt động, chủ động, trái với không hoạt
động, thụ động. PPDHTC hướng tới việc tích cực hoá hoạt động nhận thức của HS,
nghĩa là hướng vào phát huy tính tích cực, chủ động của người học chứ không chỉ
hướng vào phát huy tính tích cực của người dạy.
Muốn đổi mới cách học phải đổi mới cách dạy. Cách dạy quyết định cách học,
tuy nhiên, thói quen học tập thụ động của HS cũng ảnh hưởng đến cách dạy của thầy.
Mặt khác, cũng có trường hợp HS mong muốn được học theo PPDHTC nhưng GV
chưa đáp ứng được. Do vậy, GV cần phải được bồi dưỡng, phải kiên trì cách dạy theo
PPDHTC, tổ chức các hoạt động nhận thức từ đơn giản đến phức tạp, từ thấp đến
cao, hình thành thói quen cho HS. Trong đổi mới phương pháp phải có sự hợp tác của
thầy và trò, sự phối hợp hoạt động dạy với hoạt động học thì mới có kết quả.
PPDHTC hàm chứa cả phương pháp dạy và phương pháp học.
* Đặc trưng của phương pháp dạy học tích cực :
a) dạy học tăng cường phát huy tính tự tin, tính tích cực, chủ động, sáng tạo
thông qua tổ chức thực hiện các hoạt động học tập của học sinh.
b) Dạy học trú trọng rèn luyện phương pháp và phát huy năng lực tự học của
HS.
c) Dạy học phân hóa kết hợp với học tập hợp tác.
d) Kết hợp đánh giá của thầy với đánh giá của bạn, với tự đánh giá.
e) Tăng cường khả năng, kỹ năng vận dụng vào thực tế, phù hợp với điều kiện

thực tế về cơ sở vật chất, về đội ngũ GV
3. Căn cứ vào mục tiêu của ngành giáo dục “Đào tạo con người phát triển toàn
diện” căn cứ vào nhiệm vụ năm học 2006 - 2007 và nhiệm vụ đầu năm học 2007
-2008 là tiếp tục đổi mới chương trình SGK, nội dung phương pháp giáo dục ở tất cả
Vò V¨n H¹nh S¸ng kiÕn kinh nghiÖm To¸n 9
8
Trêng THCS §ång Khª Tæ Khoa häc tù nhiªn
các bậc học, cấp học, ngành học Xây dựng đội ngũ giáo viên, cán bộ quản lý giáo
dục có đủ phẩm chất giáo dục chính trị, đạo đức, đủ về số lượng, đồng bộ về cơ cấu,
chuẩn hoá về trình độ đào tạo…Nhằm nâng cao chất lượng giáo dục.
II – CƠ SỞ THỰC TIỄN CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM :
1. Qua nhiều năm giảng dạy bộ môn toán và tham khảo ý kiến của các đồng
nghiệp nhiều năm kinh nghiệm, tôi nhận thấy : trong quá trình hướng dẫn học sinh
giải toán Đại số về căn bậc hai thì học sinh rất lúng túng khi vận dụng các khái niệm,
định lý, bất đẳng thức, các công thức toán học.
Sự vận dụng lí thuyết vào việc giải các bài tập cụ thể của học sinh chưa linh
hoạt. Khi gặp một bài toán đòi hỏi phải vận dụng và có sự tư duy thì học sinh không
xác định được phương hướng để giải bài toán dẫn đến lời giải sai hoặc không làm
được bài.
Một vấn đề cần chú ý nữa là kỹ năng giải toán và tính toán cơ bản của một số
học sinh còn rất yếu.
Để giúp học sinh có thể làm tốt các bài tập về căn bậc hai trong phần chương I
đại số 9 thì người thầy phải nắm được các khuyết điểm mà học sinh thường mắc phải,
từ đó có phương án “ Giúp học sinh phát hiện và tránh sai lầm khi giải toán về căn
bậc hai”
2 . Chương “Căn bậc hai, căn bậc ba” có hai nội dung chủ yếu là phép khai
phương(phép tìm căn bậc hai số học của số không âm) và một số phép biến đổi biểu
thức lấy căn bậc hai. Giới thiệu một số hiểu biết về căn bậc ba, căn thức bậc hai và
bảng căn bậc hai.
3 . Cách trình bày và đưa ra định nghĩa, ký hiệu căn bậc hai ở chương trình

SGK cũ năm học 2004-2005 :
a) Nhắc lại một số tính chất của luỹ thừa bậc hai :
Vò V¨n H¹nh S¸ng kiÕn kinh nghiÖm To¸n 9
9
Trêng THCS §ång Khª Tæ Khoa häc tù nhiªn
- Bình phương hay luỹ thừa bậc hai của mọi số đều không âm.
- Hai số bằng nhau hoặc đối nhau có bình phương bằng nhau và ngược lại nếu
hai số có bình phương bằng nhau thì chúng bằng nhau hoặc đối nhau.
- Với hai số a,b : Nếu a>b thì a
2
> b
2
và ngược lại nếu a
2
> b
2
thì a >b.
- Bình phương của một tích(hoặc một thương) bằng tích(hoặc thương) các bình
phương các thừa số(hoặc số bị chia với bình phương số chia).
b) Căn bậc hai của một số :
* Xét bài toán : Cho số thực a. Hãy tìm số thực x sao cho x
2
= a. Ta thấy :
- Nếu a< 0 thì không tồn tại số thực x nào thoả mãn x
2
=a
- Nếu a > 0 có hai số thực x mà x
2
=a, một số thực dương x
1

>0 mà x
1
2
=a và một
số thực âm x
2
<0 mà x
2
2
=a, hơn nữa đó là hai số đối nhau.
* Công nhận : Người ta chứng minh được rằng với mọi số thực a ≥ 0 luôn luôn
tồn tại số thực duy nhất x≥ 0 mà x
2
=a. Ta ký hiệu x =
a
và gọi là căn bậc hai số học
của a.
* Từ đó đưa ra định nghĩa : căn bậc hai số học (CBHSH) của một số a ≥ 0 là số
không âm x =
a
≥ 0 có bình phương bằng a :



==
≥
⇔=
aax
x
ax

22
)(
0
* Đưa ra chú ý : a) Số
a−
<0, số đối của CBHSH
a
của a (a>0) được gọi là
căn bậc hai âm của a. Như vậy mỗi số thực a> 0 có 2 căn bậc hai là hai số đối nhau :
0>a
gọi là CBHSH hay còn gọi là căn bậc hai dương của a.
0<− a
gọi là căn bậc hai âm của a.
b) Căn bậc hai số học có thể coi là kết quả của phép toán sau :
Vò V¨n H¹nh S¸ng kiÕn kinh nghiÖm To¸n 9
10
Trêng THCS §ång Khª Tæ Khoa häc tù nhiªn
:)(
R
+
→ R
+
a →
a
sao cho
aa =
2
)(
phép toán đó gọi là phép khai phương hay
phép khai căn bậc hai trên R

+
, đó là phép toán ngược của phép bình phương trên R
+
.
4. Cách trình bày căn bậc hai ở lớp 9 (SGK mới) :
a) Đưa ra kiến thức đã biết ở lớp 7 :
- Căn bậc hai của một số a không âm là số x sao cho x
2
=a.
- Số dương a có đúng hai căn bậc hai là hai số đối nhau : sốdương kí hiệu là
a
và số âm kí hiệu là -
a
- Số 0 có đúng một căn bậc hai là chính số 0, ta viết
0
= 0
.
b) Đưa ra định nghĩa : Với số dương a, số
a
được gọi là căn bậc hai số học của
a. Số 0 cũng được gọi là căn bậc hai số học của 0.
c) Đưa ra chú ý : Với a≥ 0, ta có :
Nếu x=
a
thì x ≥ 0 và x
2
=a;
Nếu x ≥ 0 và x
2
=a thì x=

a
. Ta viết :





=
≥
⇔=
.
,0
2
ax
x
ax
d) Đưa ra nội dung về phép khai phương : Phép toán tìm căn bậc hai số học của
số không âm gọi là phép khai phương.
e) Khi biết căn bậc hai số học của một số, ta dễ dàng xác định được các căn bậc
hai bậc hai của nó.
III - TỔNG HỢP NHỮNG NỘI DUNG CƠ BẢN VỀ CĂN BẬC HAI :
1. KIẾN THỨC :
Nội dung chủ yếu về căn bậc hai đó là phép khai phương(phép tìm căn bậc hai
Vò V¨n H¹nh S¸ng kiÕn kinh nghiÖm To¸n 9
11
Trêng THCS §ång Khª Tæ Khoa häc tù nhiªn
số học của số không âm) và một số phép biến đổi biểu thức lấy căn bậc hai.
* Nội dung của phép khai phương gồm :
- Giới thiệu phép khai phương(thông qua định nghĩa, thuật ngữ về căn bậc hai
số học của số không âm)

- Liên hệ của phép khai phương với phép bình phương(với a≥0, có
( )
aa =
2
;
với a bất kỳ có
||
2
aa =
)
- Liên hệ phép khai phương với quan hệ thứ tự(SGK thể hiện bởi Định lý về so
sánh các căn bậc hai số học : “Với a ≥ 0, b ≥ 0, ta có : a < b
ba <⇔
”)
- Liên hệ phép khai phương với phép nhân và phép chia(thể hiện bởi : định lý “
Với a ≥ 0, b ≥ 0, ta có :
baab =
” và định lý “ Với a ≥ 0, b > 0, ta có :
b
a
b
a
=
”)
* Các phép biến đổi biểu thức chứa căn bậc hai mà SGK giới thiệu cho bởi các
công thức sau :
2
A
= | A| (với A là biểu thức đại số hay nói gọn là biểu thức )
BAAB =

( với A, B là hai biểu thức mà A ≥ 0, B ≥ 0)
B
A
B
A
=
( với A, B là hai biểu thức mà A ≥ 0, B > 0)
BABA ||
2
=
( với A, B là hai biểu thức mà B ≥ 0 )
AB
BB
A 1
=
( với A, B là hai biểu thức mà AB ≥ 0, B ≠ 0 )
B
BA
B
A
=
( với A, B là biểu thức và B > 0)
2
)(
BA
BAC
BA
C
−
=

±

(với A, B, C là biểu thức mà A≥ 0 và A ≠ B
2
)
Vò V¨n H¹nh S¸ng kiÕn kinh nghiÖm To¸n 9
12
Trêng THCS §ång Khª Tæ Khoa häc tù nhiªn
BA
BAC
BA
C
−
=
±
)( 
( với A, B, C là biểu thức mà A ≥ 0, B ≥ 0 và A ≠ B )
* Tuy nhiên mức độ yêu cầu đối với các phép biến đổi này là khác nhau và chủ
yếu việc giới thiệu các phép này là nhằm hình thành kỹ năng biến đổi biểu thức( một
số phép chỉ giới thiệu qua ví dụ có kèm thuật ngữ. Một số phép gắn với trình bày tính
chất phép tính khai phương).
2. KỸ NĂNG :
Hai kỹ năng chủ yếu là kỹ năng tính toán và kỹ năng biến đổi biểu thức.
* Có thể kể các kỹ năng về tính toán như :
- Tìm khai phương của một số ( số đó có thể là số chính phương trong khoảng
từ 1 đến 400 hoặc là tích hay thương của chúng, đặc biệt là tích hoặc thương của số
đó với số 100)
- Phối hợp kỹ năng khai phương với kỹ năng cộng trừ nhân chia các số ( tính
theo thứ tự thực hiện phép tính và tính hợp lý có sử dụng tính chất của phép khai
phương)

* Có thể kể các kỹ năng về biến đổi biểu thức như :
- Các kỹ năng biến đổi riêng lẻ tương ứng với các công thức nêu ở phần
trên( với công thức dạng A = B , có thể có phép biến đổi A thành B và phép biến đổi
B thành A). Chẳng hạn kỹ năng nhân hai căn(thức) bậc hai có thể coi là vận dụng
công thức
BAAB =
theo chiều từ phải qua trái.
- Phối hợp các kỹ năng đó( và cả những kỹ năng có trong những lớp trước) để
có kỹ năng mới về biến đổi biểu thức chứa căn thức bậc hai. Chẳng hạn kỹ năng trục
căn thức ở mẫu.
Điều quan trọng nhất khi rèn luyện các kỹ năng biến đổi biểu thức là tính mục
đích của các phép biến đổi. Điều này, SGK chú ý thông qua các ứng dụng sau khi
hình thành ban đầu kỹ năng về biến đổi biểu thức. Các ứng dụng này còn nhằm
Vò V¨n H¹nh S¸ng kiÕn kinh nghiÖm To¸n 9
13
Trêng THCS §ång Khª Tæ Khoa häc tù nhiªn
phong phú thêm cách thức rèn kỹ năng( để so sánh số, giải toán tìm x thoả mãn điều
kiện nào đó.)
Ngoài hai kỹ năng nêu ở trên ta còn thấy có những kỹ năng được hình thành và
củng cố trong phần này như :
- Giải toán so sánh số
- Giải toán tìm x
- Lập luận để chứng tỏ số nào đó là căn bậc hai số học của một số đã cho
- Một số lập luận trong giải toán so sánh số(củng cố tính chất bất đẳng thức nêu
ở toán 8)
- Một số kỹ năng giải toán tìm x ( kể cả việc giải phương trình tích)
- Kỹ năng tra bảng số và sử dụng máy tính.
Có thể nói rằng, hình thành và rèn luyện kỹ năng chiếm thời gian chủ yếu của
phần kiến thức này( ngay cả việc hình thành kiến thức cũng chú ý đến các kỹ năng
tương ứng và nhiều khi, chẳng hạn như giới thiệu phép biến đổi, chỉ thông qua hình

thành kỹ năng).
B. CHƯƠNG II : NỘI DUNG THỰC HIỆN
I - CÁC BƯỚC TIẾN HÀNH :
1. Lập kế hoạch nghiên cứu nội dung viết sáng kiến kinh nghiệm.
2. Trao đổi thảo luận cùng đồng nghiệp.
3. Đăng ký sáng kiến, làm đề cương.
4. Thu thập, tập hợp số liệu và nội dung phục vụ cho việc viết sáng kiến. Qua
khảo sát, các bài kiểm tra, các giờ luyện tập, ôn tập.
5. Phân loại các sai lầm của học sinh trong khi giải các bài toán về căn bậc hai
Vò V¨n H¹nh S¸ng kiÕn kinh nghiÖm To¸n 9
14
Trêng THCS §ång Khª Tæ Khoa häc tù nhiªn
thành từng nhóm.
6. Đưa ra định hướng, các phương pháp tránh các sai lầm đó. Vận dụng vào các
ví dụ cụ thể.
7. Tổng kết, rút ra bài học kinh nghiệm.
II - KHẢO SÁT ĐÁNH GIÁ :
Những giờ giảng dạy trên lớp, qua bài kiểm tra đầu giờ, qua luyện tập, ôn tập.
GV cần lưu ý đến các bài toán về căn bậc hai, xem xét kĩ phần bài giải của học sinh,
gợi ý để học sinh tự tìm ra những sai sót(nếu có) trong bài giải, từ đó giáo viên đặt ra
các câu hỏi để học sinh trả lời và tự sửa chữa phần bài giải cho chính xác.
Qua bài kiểm tra 15 phút thì tỉ lệ học sinh mắc sai lầm trong khi giải toán tìm
căn bậc hai của 139 học sinh lớp 9 năm học 2006-2007 là : 38/139 em chiếm 27,33%.
Trong bài kiểm tra chương I - Đại số 9 năm học 2006-2007 của 139 học sinh thì
số học sinh mắc sai lầm về giải toán có chứa căn bậc hai là 56/139 em chiếm 40,3%
(nghiên cứu tổng hợp qua giáo viên dạy toán 9 năm học 2006-2007)
Như vậy số lượng học sinh mắc sai lầm trong khi giải bài toán về căn bậc hai là
tương đối cao, việc chỉ ra các sai lầm của học sinh để các em tránh được khi làm bài
tập trong năm học 2007-2008 này là một công việc vô cùng quan trọng và cấp thiết
trong quá trình giảng dạy ở trường THCS Đồng Khê.

III - PHÂN TÍCH NHỮNG ĐIỂM KHÓ VÀ MỚI TRONG KIẾN THỨC VỀ CĂN BẬC
HAI :
So với chương trình cũ thì chương I - Đại số 9 trong chương trình mới này có
những điểm mới và khó chủ yếu sau :
1. Điểm mới :
- Khái niệm số thực và căn bậc hai đã được giới thiệu ở lớp 7 và tiếp tục sử
dụng qua một số bài tập ở lớp 8. Do đó, SGK này chỉ tập trung vào giới thiệu căn bậc
Vò V¨n H¹nh S¸ng kiÕn kinh nghiÖm To¸n 9
15
Trêng THCS §ång Khª Tæ Khoa häc tù nhiªn
hai số học và phép khai phương.
- Phép tính khai phương và căn bậc hai số học được giới thiệu gọn, liên hệ giữa
thứ tự và phép khai phương được mô tả rõ hơn sách cũ ( nhưng vẫn chỉ là bổ sung
phần đã nêu ở lớp 7)
- Các phép biến đổi biểu thức chứa căn thức bậc hai trình bày nhẹ hơn ( nhẹ căn
cứ lý thuyết, nhẹ mức độ phức tạp của các bài tập)
- Cách trình bày phép tính khai phương và phép biến đổi biểu thức chứa căn
thức bậc hai được phân biệt rạch ròi hơn ( Tên gọi các mục §3 và §4 và các chuyển ý
khi giới thiệu các phép biến đổi sau khi nêu tính chất phép khai phương thể hiện điều
đó)
- Cách thức trình bày kiến thức, rèn luyện kỹ năng được SGK chú ý để HS có
thể tham gia chủ động nhiều hơn thông qua hệ thống câu hỏi ?n có ngay trong phần
bài học mỗi bài.
2. Điểm khó về kiến thức so với khả năng tiếp thu của học sinh :
- Nội dung kiến thức phong phú, xuất hiện dày đặc trong một chương với số tiết
không nhiều nên một số kiến thức chỉ giới thiệu để làm cơ sở để hình thành kỹ năng
tính toán, biến đổi. Thậm chí một số kiến thức chỉ nêu ở dạng tên gọi mà không giải
thích (như biểu thức chứa căn bậc hai, điều kiện xác định căn thức bậc hai, phương
pháp rút gọn và yêu cầu rút gọn )
- Tên gọi ( thuật ngữ toán học ) nhiều và rễ nhầm lẫn, tạo nguy cơ khó hiểu khái

niệm (chẳng hạn như căn bậc hai, căn bậc hai số học, khai phương, biểu thức lấy căn,
nhân các căn bậc hai, khử mẫu, trục căn thức).
IV - NHỮNG SAI LẦM THƯỜNG GẶP KHI GIẢI TOÁN VỀ CĂN BẬC HAI :
Như đã trình bày ở trên thì học sinh sẽ mắc vào hai hướng sai lầm chủ yếu sau :
1. SAI LẦM VỀ TÊN GỌI HAY THUẬT NGỮ TOÁN HỌC :
Vò V¨n H¹nh S¸ng kiÕn kinh nghiÖm To¸n 9
16
Trêng THCS §ång Khª Tæ Khoa häc tù nhiªn
a) Định nghĩa về căn bậc hai :
* ở lớp 7 : - Đưa ra nhận xét 3
2
=9; (-3)
2
=9. Ta nói 3 và -3 là các căn bậc hai của
9.
- Định nghĩa : Căn bậc hai của một số a không âm là số x sao cho x
2
=a.
- Số dương a có đúng hai căn bậc hai, một số dương ký hiệu là
a
và một số
âm ký hiệu là-
a
.
* ở lớp 9 chỉ nhắc lại ở lớp 7 rồi đưa ra định nghĩa căn bậc hai số học.
b) Định nghĩa căn bậc hai số học :
Với số dương a, số
a
được gọi là căn bậc hai số học của a.
Sau đó đưa ra chú ý : với a ≥ 0, ta có :

Nếu x =
a
thì x ≥ 0 và x
2
=a;
Nếu x ≥ 0 và x
2
=a thì x =
a
. Ta viết
x=
a




=
≥
⇔
ax
x
2
Phép toán tìm căn bậc hai số học của số không âm gọi là phép khai phương (gọi
tắt là khai phương).
⋆ Nguy cơ dẫn đến học sinh có thể mắc sai lầm chính là thuật ngữ “ căn bậc
hai” và"căn bậc hai số học”.
Ví dụ 1 : Tìm các căn bậc hai của 16.
Rõ ràng học sinh rất dễ dàng tìm ra được số 16 có hai căn bậc hai là hai số đối
nhau là 4 và - 4.
Ví dụ 2 : Tính

16

Học sinh đến đây sẽ giải sai như sau :
Vò V¨n H¹nh S¸ng kiÕn kinh nghiÖm To¸n 9
17
Trêng THCS §ång Khª Tæ Khoa häc tù nhiªn

16
= 4 và - 4 có nghĩa là
16
=
±
4
Như vậy học sinh đã tính ra được số
16
có hai căn bậc hai là hai số đối nhau là :

16
=4 và
16
= -4
Do đó việc tìm căn bậc hai và căn bậc hai số học đã nhầm lẫn với nhau.
Lời giải đúng :
16
= 4 ( có thể giải thích thêm vì 4 > 0 và 4
2
= 16)
Trong các bài toán về sau không cần yêu cầu học sinh phải giải thích.
c) So sánh các căn bậc hai số học :
Với hai số a và b không âm, ta có a < b

⇔
ba <
Ví dụ 3 : so sánh 4 và
15
Học sinh sẽ loay hoay không biết nên so sánh chúng theo hình thức nào vì theo
định nghĩa số
15
chính là căn bậc hai số học của 15 do đó nếu đem so sánh với số 4
thì số 4 có hai căn bậc hai số học là 2 và -2 cho nên với suy nghĩ đó học sinh sẽ đưa
ra lời giải sai như sau : 4 <
15
(vì trong cả hai căn bậc hai của 4 đều nhỏ hơn
15
).
Tất nhiên trong cái sai này của học sinh không phải các em hiểu nhầm ngay sau
khi học song bài này mà sau khi học thêm một loạt khái niệm và hệ thức mới thì học
sinh sẽ không chú ý đến vấn đề quan trọng này nữa.
Lời giải đúng : 16 > 15 nên
16
>
15
. Vậy 4 =
16
>
15
ở đây giáo viên cần nhấn mạnh luôn là ta đi so sánh hai căn bậc hai số học!
d) Sai trong thuật ngữ chú ý của định nghĩa căn bậc hai số học :
với a ≥ 0, ta có :
Nếu x =
a

thì x ≥ 0 và x
2
=a;
Nếu x ≥ 0 và x
2
=a thì x =
a
.
Ví dụ 4 : Tìm số x, không âm biết :
Vò V¨n H¹nh S¸ng kiÕn kinh nghiÖm To¸n 9
18
Trêng THCS §ång Khª Tæ Khoa häc tù nhiªn

x
= 15
Học sinh sẽ áp dụng chú ý thứ nhất và sẽ giải sai như sau :
Nếu x =
a
thì x ≥ 0 và x
2
=a; vì phương trình x
2
= a có 2 nghiệm là x =
a
và
x =-
a
học sinh đã được giải ở lớp 7 nên các em sẽ giải bài toán trên như sau :
Do x ≥ 0 nên
2

x
= 15
2
hay x = 225 và x = -225.
Vậy tìm được hai nghiệm là x
1
=225 và x
2
=-225
Lời giải đúng : cũng từ chú ý về căn bậc hai số học, ta có x = 15
2
. Vậy x =225.
e) Sai trong thuật ngữ khai phương :
Ví dụ 5 : Tính -
25
- Học sinh hiểu ngay được rằng phép toán khai phương chính là phép toán tìm
căn bậc hai số học của số không âm nên học sinh sẽ nghĩ -
25
là một căn bậc hai âm
của số dương 25, cho nên sẽ dẫn tới lời giải sai như sau :
-
25
= 5 và - 5
Lời giải đúng là : -
25
= -5
g) Sai trong khi sử dụng căn thức bậc hai và hằng đẳng thức
2
A
= | A|

∙ Căn thức bậc hai :
Với A là một biểu thức đại số, người ta gọi
A
là căn thức bậc hai của A, còn
A được gọi là biểu thức lấy căn hay biểu thức dưới dấu căn.
A
xác định (hay có nghĩa ) khi A lấy giá trị không âm.
∙ Hằng đẳng thức :
2
A
= | A|
Cho biết mối liên hệ giữa phép khai phương và phép bình phương.
Ví dụ 6 : Hãy bình phương số -8 rồi khai phương kết quả vừa tìm được.
Vò V¨n H¹nh S¸ng kiÕn kinh nghiÖm To¸n 9
19
Trêng THCS §ång Khª Tæ Khoa häc tù nhiªn
Học sinh với vốn hiểu biết của mình sẽ có lời giải sau ( lời giải sai) :
(-8)
2
= 64 , nên khai phương số 64 lại bằng -8
Lời giải đúng : (-8)
2
= 64 và
64
= 8.
Mối liên hệ
2
a
= | a| cho thấy “ Bình phương một số, rồi khai phương kết quả
đó, chưa chắc sẽ được số ban đầu”

Ví dụ 7 : Với a
2
= A thì
A
chưa chắc đã bằng a
Cụ thể ta có (-5)
2
= 25 nhưng
25
= 5; rất nhiều ví dụ tương tự đã khảng định
được kết quả như ở trên.
2. SAI LẦM TRONG CÁC KỸ NĂNG TÍNH TOÁN :
a) Sai lầm trong việc xác định điều kiện tồn tại của căn bậc hai :
Ví dụ 8 : Tìm giá trị nhỏ nhất của :
A = x +
x
* Lời giải sai : A= x +
x
= (x+
x
+
4
1
) -
4
1
= (
x
+
2

1
)
2
≥ -
4
1

Vậy min A = -
4
1
.
* Phân tích sai lầm :
Sau khi chứng minh f(x) ≥ -
4
1
, chưa chỉ ra trường hợp xảy ra f(x) = -
4
1
. Xảy ra
khi và chỉ khi
x
= -
2
1
(vô lý).
* Lời giải đúng :
Để tồn tại
x
thì x ≥0. Do đó A = x +
x

≥ 0 hay min A = 0 khi và chỉ khi x=0
Ví dụ 9 : Tìm x, biết :
2
)1(4 x−
- 6 = 0
Vò V¨n H¹nh S¸ng kiÕn kinh nghiÖm To¸n 9
20
Trêng THCS §ång Khª Tæ Khoa häc tù nhiªn
* Lời giải sai :
2
)1(4 x−
- 6 = 0
6)1(2
2
=−⇔ x
⇔
2(1-x) = 6
⇔
1- x = 3
⇔
x = - 2.
* Phân tích sai lầm : Học sinh có thể chưa nắm vững được chú ý sau : Một
cách tổng quát, với A là một biểu thức ta có
2
A
= | A|, có nghĩa là :
2
A
= A nếu A ≥ 0 ( tức là A lấy giá trị không âm );
2

A
= -A nếu A < 0 ( tức là A lấy giá trị âm ).
Như thế theo lời giải trên sẽ bị mất nghiệm.
* Lời giải đúng :
2
)1(4 x−
- 6 = 0
6)1(2
2
=−⇔ x

⇔
| 1- x | = 3. Ta phải đi giải hai phương trình
sau : 1) 1- x = 3
⇔
x = -2
2) 1- x = -3
⇔
x = 4. Vậy ta tìm được hai giá trị của x là x
1
= -2 và x
2
= 4.
Ví dụ 10 : Tìm x sao cho B có giá trị là 16.
B =
1616 +x
-
99 +x
+
44 +x

+
1+x
với x ≥ -1
* Lời giải sai :
B = 4
1+x
-3
1+x
+ 2
1−x
+
1−x
B = 4
1+x
16 = 4
1+x

⇔
4 =
1+x

⇔
4
2
= (
1+x
)
2
hay 16 =
2

)1( +x
⇔
16 = | x+ 1|
Nên ta phải đi giải hai phương trình sau : 1) 16 = x + 1
⇔
x = 15
2) 16 = -(x+1)
⇔
x = - 17.
* Phân tích sai lầm : Với cách giải trên ta được hai giá trị của x là x
1
= 15 và
x
2
=-17 nhưng chỉ có giá trị x
1
= 15 là thoả mãn, còn giá trị x
2
= -17 không đúng. Đâu
Vò V¨n H¹nh S¸ng kiÕn kinh nghiÖm To¸n 9
21
Trêng THCS §ång Khª Tæ Khoa häc tù nhiªn
là nguyên nhân của sự sai lầm đó ? Chính là sự áp dụng quá dập khuôn vào công thức
mà không để ý đến điều kiện đã cho của bài toán, với x ≥ -1 thì các biểu thức trong
căn luôn tồn tại nên không cần đưa ra biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối nữa.!
* Lời giải đúng :
B = 4
1+x
-3
1+x

+ 2
1−x
+
1−x
B = 4
1+x
16 = 4
1+x

⇔
4 =
1+x
(do x ≥ -1)
⇔
16 = x + 1. Suy ra x = 15.
b) Sai lầm trong kỹ năng biến đổi :
Trong khi học sinh thực hiện phép tính các em có đôi khi bỏ qua các dấu của số
hoặc chiều của bất đẳng thức dẫn đến giải bài toán bị sai.
Ví dụ 11 : Tìm x, biết :
(4-
)174(32).17 −<x
.
* Lời giải sai :
(4-
)174(32).17 −<x

⇔
2x <
3
( chia cả hai vế cho 4-

17
)
⇔
x <
2
3
.
* Phân tích sai lầm : Nhìn qua thì thấy học sinh giải đúng và không có vấn đề
gì. Học sinh khi nhìn thấy bài toán này thấy bài toán không khó nên đã chủ quan
không để ý đến dấu của bất đẳng thức : “Khi nhân hoặc chia cả hai vế của bất đẳng
thức với cùng một số âm thì bất đẳng thức đổi chiều”.
Do đó rõ ràng sai ở chỗ học sinh đã bỏ qua việc so sánh 4 và
17
cho nên mới
bỏ qua biểu thức 4 -
17
là số âm, dẫn tới lời giải sai.
* Lời giải đúng : Vì 4 =
16
<
17
nên 4 -
17
< 0, do đó ta có
Vò V¨n H¹nh S¸ng kiÕn kinh nghiÖm To¸n 9
22
Trêng THCS §ång Khª Tæ Khoa häc tù nhiªn
(4-
)174(32).17 −<x

⇔
2x >
3

⇔
x >
2
3
.
Ví dụ 12 : Rút gọn biểu thức :

3
3
2
+
−
x
x
* Lời giải sai :
3
3
2
+
−
x
x
=
3
)3)(3(
+

+−
x
xx
= x -
3
.
* Phân tích sai lầm : Rõ ràng nếu x = -
3
thì x +
3
= 0, khi đó biểu thức
3
3
2
+
−
x
x
sẽ không tồn tại. Mặc dù kết quả giải được của học sinh đó không sai, nhưng
sai trong lúc giải vì không có căn cứ lập luận, vì vậy biểu thức trên có thể không tồn
tại thì làm sao có thể có kết quả được.
* Lời giải đúng : Biểu thức đó là một phân thức, để phân thức tồn tại thì cần
phải có x +
3
≠ 0 hay x ≠ -
3
. Khi đó ta có
3
3
2

+
−
x
x
=
3
)3)(3(
+
+−
x
xx
= x -
3
(với x ≠ -
3
).
Ví dụ 13 : Rút gọn M, rồi tìm giá trị nhỏ nhất của M.
M =
12
1
:
1
11
+−
+









−
+
− aa
a
aaa
với a > 0.
* Lời giải sai :
M =
12
1
:
1
11
+−
+








−
+
− aa
a

aaa
=
:
)1(
1








−
+
aa
a
2
)1(
1
−
+
a
a
M =









−
+
)1(
1
aa
a
.
1
)1(
2
+
−
a
a
M =
a
a 1−
Vò V¨n H¹nh S¸ng kiÕn kinh nghiÖm To¸n 9
23
Trêng THCS §ång Khª Tæ Khoa häc tù nhiªn
Ta có M =
a
a 1−
=
a
a
-

a
1
= 1-
a
1
, khi đó ta nhận thấy M < 1 vì a >0
Do đó min M = 0 khi và chỉ khi a = 1.
* Phân tích sai lầm : Nhìn vào kết quả của bài toán rút gọn thì không sai, nhưng
sai ở chỗ học sinh lập luận và đưa ra kết quả về giá trị nhỏ nhất của M thì lại sai.
Rõ ràng học sinh không để ý đến chi tiết khi a = 1 thì
a
= 1 do đó
a
- 1= 0,
điều này sẽ mâu thuẫn trong điều kiện tồn tại của phân thức.
* Lời giải đúng :
M =
12
1
:
1
11
+−
+









−
+
− aa
a
aaa
có a > 0 và
a
- 1 ≠ 0 hay a >0 và a ≠ 1.
Với điều kiện trên, ta có :
M =








−
+
)1(
1
aa
a
.
1
)1(
2

+
−
a
a
M =
a
a 1−
khi đó ta nhận thấy M < 1 vì a >0. Nếu min M = 0, khi và chỉ khi a = 1(mâu
thuẫn với điều kiện).
Vậy 0 < min M < 1, khi và chỉ khi 0< a <1.
Ví dụ 14 : Cho biểu thức :
Q =
1
3
11
−
−
+








+
+
−
x

x
x
x
x
x
với x ≠ 1, x > 0
a) Rút gọn Q
b) Tìm x để Q > -1.
Giải : a) Q =
1
3
11
−
−
+








+
+
−
x
x
x
x

x
x
Vò V¨n H¹nh S¸ng kiÕn kinh nghiÖm To¸n 9
24
Trêng THCS §ång Khª Tæ Khoa häc tù nhiªn
Q =






+−
−++
)1)(1(
)1()1(
xx
xxxx
-
x
x
−
−
1
3
Q =
−









−
−++
x
xxxx
1
x
x
−
−
1
3
Q =
−
− x
x
1
2
x
x
−
−
1
3
=
x

xx
−
−−
1
)3(2
Q =
x
x
−
−
1
33
=
x+
−
1
3
Q = -
x+1
3
b) * Lời giải sai : Q > -1 nên ta có
-
x+1
3
> -1
⇔
3 > 1+
x

⇔

2 >
x

⇔
4 > x hay x < 4.
Vậy với x < 4 thì Q < -1.
* Phân tích sai lầm : Học sinh đã nghiễm nhiên bỏ dấu âm ở cả hai vế
của bất đẳng thức vì thế có luôn được bất đẳng thức mới với hai vế đều dương nên
kết quả của bài toán dẫn đến sai.
* Lời giải đúng :
Q > -1 nên ta có
-
x+1
3
> -1
⇔

x+1
3
< 1
⇔
1+
x
> 3
⇔

x
> 2
⇔
x > 4.

Vậy với x > 4 thì Q > - 1.
V - NHỮNG PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN VỀ CĂN BẬC HAI :
1. Xét thuật ngữ toán học : Vấn đề này không khó dễ dàng ta có thể khắc phục
được nhược điểm này của học sinh.
Vò V¨n H¹nh S¸ng kiÕn kinh nghiÖm To¸n 9
25