SKKN HƯỚNG DẪN HỌC SINH VẼ ĐƯỜNG PHỤ TRONG GIẢI TOÁN HÌNH HỌC

===================================================================
I. NHỮNG VẤN ĐỀ CHUNG
1. LÝ DO VIẾT SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.
1.1- Cơ sở lý luận:
Các bài toán hình học có lời giải phải kẻ thêm đường phụ là các bài toán khó
đối với với học sinh THCS. Bởi vì để giải các bài toán dạng này không chỉ yêu cầu
học sinh nắm vững kiến thức mà nó còn đòi hỏi học sinh cần có một kỹ năng giải toán
nhất định, có sự sáng tạo nhất định. Để tạo ra được một đường phụ liên kết tường
minh các mối quan hệ toán học giữa các điều kiện đã cho (giả thiết) với điều kiện cần
phải tìm (kết luận) đòi hỏi phải thực hiện các thao tác tư duy: Phân tích, tổng hợp, so
sánh, tương tự hoá, đặc biệt hoá, Hay nói cách khác giải một bài toán phải kẻ thêm
đường phụ là một sáng tạo nhỏ. Kẻ thêm đường phụ để giải một bài toán hình về mặt
phương pháp là một biểu hiện ở mức độ cao của kỹ năng, thể hiện các tình huống hình
học phù hợp với một định nghĩa, định lý nào đó hay còn gọi là quy lạ về quen. Ở đó
khoảng cách từ lạ đến quen càng xa thì mức độ sáng tạo càng lớn. Do đó việc học tốt
các bài toán hình có lời giải phải kẻ thêm đường phụ có tác dụng rất lớn trong việc
phát triển năng lực trí tuệ và tư duy khoa học của học sinh.
1.2- Cơ sở thực tiễn:
Giải bài toán hình có kẻ thêm đường phụ đòi hỏi phải thực hiện nhiều các thao
tác tư duy. Vì vậy đòi hỏi ở học sinh phải rèn luyện về mặt tư duy hình học thuật phát
triển. Do đó trong các định lý ở sách giáo khoa, để chứng minh định lý phải sử dụng
việc vẽ đường phụ thì sách giáo khoa (SGK) rất ít đề cập đến, việc làm các ví dụ về
bài toán ở trên lớp cũng rất hiếm khi có loại toán dạng này. Tuy nhiên trong các bài
tập thì SGK cũng đưa ra khá nhiều dạng toán này và nhất là ở các bài tập nâng cao thì
các bài toán khó và hay lại là những bài toán khi giải cần phải kẻ thêm đường phụ.
Trên thực tế, đối với học sinh khi giải các bài toán dạng này cần phải có rất
nhiều thời gian nghiên cứu. Do đó việc đi sâu vào nghiên cứu và tìm tòi các cách giải
bài toán có vẽ thêm đường phụ đối với học sinh còn rất ít. Còn đối với đa số học sinh
việc nắm vững về mục đích, yêu cầu khi vẽ các đường kẻ phụ cũng như kiến thức về
===================================================================
1

===================================================================
một số loại đường phụ là còn rất hạn chế. Các tài liệu viết riêng về loại toán này cũng
rất hiếm cho nên việc tham khảo đối với học sinh còn gặp nhiều khó khăn.
Vì vậy với trình bày của đề tài này sẽ là một nội dung tham khảo cho giáo viên
để góp phần tạo nên cơ sở cho giáo viên có thể dạy tốt hơn loại toán hình có kẻ thêm
đường phụ.
2. MỤC ĐÍCH VIẾT SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM:
Việc gợi mở lại cho học sinh các nội dung kiến thức về giải bài toán có kẻ
thêm đường phụ là rất cần thiết, trên cơ sở đó giáo viên sẽ cung cấp đầy đủ các kiến
thức này cho học sinh. Với việc phân dạng được các bài toán hình mà lời giải có sử
dụng đường phụ, đồng thời đi sâu vào hướng dẫn một số bài toán cụ thể là tạo điều
kiện để học sinh bổ sung cho mình về trình độ kiến thức, là góp phần gợi về phương
pháp giải các bài toán này một cách cụ thể dựa vào mức độ phức tạp của việc kẻ thêm
đường phụ.
II. NỘI DUNG
A. CÁC BƯỚC TIẾN HÀNH.
1. ĐIỀU TRA:
Trước khi đưa vào thực hiện sáng kiến này đã tiến hành điều tra về hiểu và có
kỹ năng giải bài toán hình có lời giải vẽ thêm đường phụ đối với học sinh như sau:
- Đối tượng điều tra: Học sinh lớp 7A, 8A trường THCS Liên Mạc A, năm học
2010-2011.
- Thời gian điều tra: Bắt đầu tư ngày 15/09/2010.
- Tổng số học sinh được điều tra: 78 em.
===================================================================
2
===================================================================
- Thống kê điều tra như sau:
01. Số học sinh nắm được sơ lược các loại đường phụ thường sử dụng trong giải
Toán THCS có: 39 em chiếm 50 %
02. Số học sinh nắm được các phép dựng hình cơ bản thường sử dụng trong

giải toán THCS có: 29 em chiếm 37,2%.
03. - Số học sinh dựng được các đường kẻ phụ hợp lý và giải được một số bài
toán trong chương trình toán lớp 7, 8 gồm có: 20 em chiếm 25,6%.
04. Số học sinh lúng túng, chưa giải quyết được các bài toán hình học có vẽ
thêm đường phụ trong giải Toán THCS có: 39 em chiếm 50 %
05. Số học sinh thành thạo các dạng toán, có kỹ năng tốt và giải được các bài
toán tương đối khó : 0 em chiếm 0%
2. QUÁ TRÌNH THỰC HIỆN:
Trước hết giáo viên cần giúp học sinh thấy được và nắm vững các yêu cầu khi
vẽ (dựng) các đường phụ.
2.1. Các yêu cầu khi vẽ các đường phụ.
01- Vẽ đường phụ phải có mục đích:
Đường kẻ phụ, phải giúp cho được việc chứng minh bài toán. Muốn vậy nó
phải là kết quả của sự phân tích tổng hợp, tương tự hoá, mày mò dự đoán theo một
mục đích xác định là gắn kết được mối quan hệ của kiến thức đã có với điều kiện đã
cho của bài toán và kết luận phải tìm. Do đó không được vẽ đường phụ một cách tuỳ
tiện (cho dù là mày mò, dự đoán) vì nếu đường phụ không giúp ích gì cho việc chứng
minh thì nó sẽ làm cho mình vẽ rối ren, làm khó thêm cho việc tìm ra lời giải đúng. Vì
vậy khi vẽ đường phụ phải luôn tự trả lời câu hỏi "Vẽ đường phụ này có đạt được mục
đích mình muốn không?". Nếu "không" nên loại bỏ ngay.
===================================================================
3
===================================================================
02- Đường phụ phải là những đường có trong phép dựng hình và phải xác
định được.
03. Lựa chọn cách dựng thích hợp đường phụ:
Đường phụ thường thỏa mãn các tính chất nào đó, việc lựa chọn đường phụ là
rất quan trọng. Tuy cùng là một đường phụ vẽ thêm nhưng do các cách dựng khác
nhau nên dẫn đến cách chứng minh cũng khác nhau.
04. Một số loại đường phụ thường được sử dụng trong giải toán hình ở

chương trình THCS.
a) Đường phụ là điểm:
Vẽ điểm chia trong hay chia ngoài một đoạn thẳng cho trước theo một tỷ số
thích hợp.
Xác định giao điểm của các đường thẳng hoặc đường thẳng với đường tròn.
b) Đường phụ là đường thẳng, đoạn thẳng:
- Kéo dài một đường thẳng cho trước với độ dài tuỳ ý.
- Nối hai điểm cho trước hoặc hai điểm đã xác định.
- Từ một điểm cho trước dựng đường song song với một đường thẳng đã xác
định.
- Từ một điểm cho trước dựng đường vuông góc với một đường thẳng xác
định.
- Dựng đường phân giác của một góc cho trước.
Dựng đường thẳng đi qua một điểm cho trước hợp thành với đường thẳng khác
một góc bằng góc cho trước.
- Từ một điểm cho trước dựng tiếp tuyến với đường tròn cho trước.
- Hai đường tròn giao nhau thì dựng được dây cung chung.
===================================================================
4
===================================================================
- Hai đường tròn tiếp xúc nhau thì ta có thể kẻ được tiếp tuyến chung hoặc
đường nối tâm.
Vẽ tia đối của một tia
Dựng các đường đặc biệt trong tam giác (Trung tuyến, trung bình, phân giác,
đường cao)
c) Đường phụ là đường tròn:
- Vẽ thêm các đường tròn hoặc cung chứa góc dựa trên các điểm đã có
- Vẽ đường tròn tiếp xúc với một đường tròn hoặc đường thẳng đã có
- Vẽ đường tròn nội hoặc ngoại tiếp đa giác
Trên cơ sở, các yêu cầu về vẽ (dựng) các đường phụ, giáo viên cần phân dạng

được các bài toán hình mà lời giải có sử dụng đường phụ.
2.2 Các cơ sở để xác định đường phụ:
Ta có thể đưa dựa trên các cơ sở sau để xác định đường phụ sẽ vễ là đường gì?
và vẽ từ đâu?
01- Kẻ thêm đường phụ tạo nên các hình rồi sử dụng định nghĩa hoặc tính
chất các hình để giải quyết bài toán.
02- Kẻ thêm đường phụ để tạo nên các tình huống phù hợp với một định lý để
giải quyết bài toán.
03- Kẻ thêm đường phụ để tạo ra khâu trung gian nhằm liên kết các mối quan
hệ để giải quyết bài toán.
04- Kẻ thêm đường phụ để sử dụng phương pháp chứng minh phản chứng.
05. Kẻ thêm các đường phụ để biến đổi kết luận tạo thành các mệnh đề tương
đương để giải quyết bài toán.
2.3 Các biện pháp phân tích tìm ra cách vẽ đường phụ:
===================================================================
5
===================================================================
01. Dựa vào các bài toán đã biết:
Dựa vào các bài toán quen thuộc, các định lý và tính chất đã học, học sinh
nghiên cứu giả thiết và kết luận của bài toán, tìm ra các điểm tương đồng rồi từ đó vẽ
đường phụ thích hợp để đưa bài toán cần giải quyết về bài toán quen thuộc.
Ví dụ 1:

Cho tam giác cân ABC đáy BC. Lấy trên AB kéo dài một đoạn
BD = AB. Gọi CE là trung tuyến của tam giác ABC. CMR: CE = CD.
Ta chỉ phân tích phần nội dung: Kẻ đường phụ.
Phân tích:
Từ kết luận của bài toán gợi ý cho ta xét đến trung điểm của CD.
Muốn chứng tỏ một đoạn thẳng bằng nửa đoạn thẳng khác thì một trong các
cách làm cơ bản là chia đôi đoan thẳng kia và chuyển về bài toán chứng minh hai đoạn

thẳng bằng nhau.
Gọi M là trung điểm của CD ta có CM = MD, vậy ta phải chứng minh CE
=CM hoặc CE = DM. Chọn CE = CM.
Từ sự phân tích tổng hợp ta nối B với M ta suy ra nếu chứng minh được:
∆ EBC = ∆ MBC thì ta có được CE = CM là điều phải chứng minh.
Đến đây điều cần chứng minh đã rõ ràng phải chứng minh ∆ EBC = ∆ MBC,
hai tam giác này bằng nhau theo trường hợp c.g.c
Việc hướng dẫn học sinh kẻ đường phụ ta dựa vào sự phân tích trên, ta có thể
đưa ra cho học sinh những câu hỏi gợi mở, chẳng hạn:
===================================================================
6
A
C
M
D
B
E
===================================================================
- Với M là trung điểm của CD, em nào cho biết CE và CM là các cạnh của tam
giác nào?
- Vậy để chứng minh CE = CM ta phải kẻ thêm đường phụ nào và chứng minh
điều gì?
- Hoặc với học sinh khá, giỏi ta có thể hỏi: Vậy để chứng minh CE = CM ta phải
chứng minh điều gì?
Ví dụ 2: Bài tập 38 SGK lớp 7 tập 2 trang 73
Cho hình vẽ.
a. Tính góc KOL
b. Kẻ IO, hãy tính góc KIO
c. Điểm O có cách đều ba cạnh của tam giác IKL không? Tại sao?
Đứng trước bài toán này tôi hướng dẫn học sinh như sau:

Đọc kĩ đề bài và quan sát hình vẽ thì với câu c, nhận định điểm O là giao điểm
của 2 đường phân giác góc B và góc C
Nên có 2 cách giải câu a) khác nhau sau:
Cách 1: Tính góc KOL dựa vào tam giác KOL
Góc
0
180 ( )KOL OKL OLK∠ = − +
nhưng KO, LO lần lượt là tia phân giác góc B,
góc C nên

0 0
1
180 ( ) 180 ( )
2
KOL OKL OLK B C∠ = − + = − ∠ + ∠

0 0 0 0 0 0
1 1 1
180 (180 ) 90 90 62 121
2 2 2
A A= − − ∠ = + ∠ = + =
Cách 2: Căn cứ vào nhận định O là giao điểm của 2 tia phân giác góc B và góc C nên
ta kẻ tia IO cắt KL tại D Khi đó dựa vào góc ngoài của 2 tam giác KOI và tam giác
LOI
===================================================================
7
62
0
L
I

K
O
D
===================================================================
1
2
KOD OKI KIO IKL KOI∠ = ∠ + ∠ = ∠ + ∠
1
2
LOD OLI LIO ILK LOI∠ = ∠ + ∠ = ∠ + ∠
( )KOL DOK DOL OKI OLI OIK OIL∠ = ∠ + ∠ = ∠ + ∠ + ∠ + ∠
0 0
1 1 1
( ) (180 ) 90
2 2 2
KOL K L I I I I∠ = ∠ + + ∠ = − ∠ + ∠ = + ∠
0 0 0
90 31 121KOL∠ = + =
Nội dung ở đây tôi đề cập đến vấn đề kẻ đường phụ IO
Khai thác thêm
a, Nếu quay OI thành qua O kẻ đường thẳng song song với KL cắt IK tại E cắt
IL tại F
Chứng minh rằng EF = KE + LF
b, Hoặc gợi mở điểm O nằm trong tam giác thì
0
1
90
2
KOL I∠ = + ∠
còn đúng

nữa không?
Việc còn lại học sinh đi giải tiếp câu b, câu c

Ví dụ 2: Định lí
Trong tam giác đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai
đoạn
thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn thẳng ấy.
(Sách giáo khoa – Toán 8 tập 2)
ở SGK người ta chứng minh bằng cách từ B kẻ đường thẳng song song với AC
cắt AD tại E.
===================================================================
8
===================================================================
Lúc đó áp dụng dịnh lí Talet thì
BE BD
= (1)
AC DC
và chứng minh tam giác ABE cân
tại B để có AB = AE(2)
Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh.
Mổ xẻ
Câu hỏi đặt ra ở đây cho học sinh là tại sao lại “đột ngột” kẻ như vậy?
Nếu không kẻ thì có chứng minh được không?
- Mấu chốt cách chứng minh định lí là gì?
Câu trả lời mong đợi:
- Sử dụng định lí Talet (để có tỉ số bằng nhau) và tạo được hai
đoạn thẳng bằng nhau (dựa vào tam giác cân)
Tôi tự hỏi và cùng đưa ra cho học sinh cùng tháo gỡ
Liệu có cách kẻ khác mà vẫn chứng minh được định lí không?
Có rất nhiều ý kiến

Thế là bài học của tôi rất hấp dẫn học sinh vô cùng háo hức sôi nổi hơn cả sự mong
đợi của tôi.
Kết quả là chỉ sau một thời gian thầy trò tôi có được 9 đến 10 cách giải khác nhau ứng
với các cách kẻ của hình vẽ.
Cách 2: Từ B kẻ BE sao cho góc ABE = góc ACB
Để
~AEB ADC∆ ∆
suy ra tỉ số và
BED∆
cân tại B
Cách 3: Từ B kẻ đường thẳng song song với AD cắt AC tại E
===================================================================
9
B
D
C
E

D
B
A
C
E
Hình 1
===================================================================
- Khi đó phải chứng minh được
Tam giác ABE cân tại A
- Khi BE//AD vận dụng định lí Te lét
Cách 4: Từ B và C kẻ BE và CF cùng vuông góc với AD.
- Dựa vào tam giác đồng dạng: DBE và DCF

- Dựa vào tam giác đồng dạng: AEB và AFC
Cách 5: Dựa vào diện tích
Từ D kẻ
DH AB vµ DK AC⊥ ⊥
khi đó
ABD
ACD
S
BD AB
S DC AC
= =
Cách 6: Từ D kẻ DE, DF lần lượt song song với AC và AB

Cách 7: Từ A và D lần lượt kẻ Ax//BC và Dy//AB chúng cắt nhau tại E
Cách 8: Từ B, và C kẻ
,BF AC CE AB
⊥ ⊥
, từ C kẻ Cx//AD cắt CF tại I
===================================================================
10
D
B C
A
E
B
D
C
A
E
F

B
D
C
A
E
F
B
D
C
A
E
F
y
B
D
C
A
E
x
y
I
B
D
C
A
E
F
x
===================================================================

Cách 9: Tại B và C kẻ
,Bx BA Cy CA⊥ ⊥
chúng cắt nhau tại K
Từ kẻ Bz//AD cắt Cy tại G, AD cắt Cy tại F.
Với các cách giải trên tôi tìm hướng khai thác định lí này:
Cho tam giác ABC có góc A bằng 120
0
, phân giác góc A căt BC tại D.
Chứng minh rằng:
1 1 1
AD AB AC
= +
Hướng dẫn làm như cách 6
Khi đó tam giác AED, AFD là các tam giác đều

(1)
AD DF CD
AB AB BC
= =
(2)
AD DF BD
AC AC BC
= =
Từ (1) và (2) ta có:
1 1 1
1
AD AD CD BD
AB AC BC AB AC AD
+
+ = = → +

02. Kẻ thêm đường phụ để tạo ra khâu trung gian nhằm liên kết các mối quan
hệ để giải quyết bài toán:
Đối với trường hợp này (dạng này) thường là các bài toán chứng minh các
đường thẳng đồng quy, hai đường thẳng vuông góc, đường trung tuyến của một tam
giác, tam giác cân vì có đường cao đồng thời là đường trung tuyến
===================================================================
11
B
D
C
A
E
F
===================================================================
Ví dụ 3: Bài toán: Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi M là trung điểm cạnh CD
và N là một điểm trên đường chéo AC sao cho
·
0
BNM 90=
. Gọi F là điểm đối xứng của
A qua N, chứng minh:FB ⊥ AC
Ta phân tích nội dung kẻ đường phụ và gợi ý chứng minh.
Phân tích:
Ta thấy
·
BFC
là một góc của ∆BFC, đối chiếu với định lý: "Tổng 3 góc của một
tam giác bằng 180
O
thì có

· · ·
0
FBC BCF BFC 180+ + =
, nhưng ta chưa thể tính được
· ·
FBC BCF+
bằng bao nhiêu độ nên không thể suy ra được số đo góc
·
BFC
. Vậy không
thể vận dụng định lý trên để chứng minh.
- Nhưng bài toán cho ta các giả thiết liên quan đến góc vuông và trung điểm
của đoạn thẳng, ta có thể liên kết các giả thiết đó lại với nhau để chứng minh bài toán
này bằng cách nào?
Đó là câu hỏi lớn mà giáo viên nên đặt ra cho học sinh và hướng dẫn các em
có thể tự đặt ra các câu hỏi như vậy.
Liệu BF có là đường cao của ∆ BNC được không?
Để chứng minh BF là đường cao của tam giác BNC ta phải chứng minh BF đi
qua điểm nào đặc biệt trong tam giác?
Dựa vào đó ta hiểu rằng phải chứng minh BF đi qua trực tâm của ∆BNC.
Do sự phân tích - tổng hợp ta đi đến việc dựng NE ⊥ BC tại E.
===================================================================
12
F
N
C
M
DA
B
E

I
K
===================================================================
Gọi giao điểm của NE với BF là I. Ta suy ra rằng nếu chứng minh được CI //
MN thì suy ra CI cũng sẽ vuông góc với BN (Vì MN⊥BN) tức CI là một đường cao
của ∆ BNC.
Vậy I là trực tâm của ∆ BNC (Vì I ≡ NE ∩ CK). Do đó suy ra điều phải chứng
minh là: BF ⊥ AC
Tóm lại việc kể thêm NE⊥ BC tại E là nhằm tạo ra điểm I ≡ NE ∩ BF để
chứng minh I là trực tâm của ∆ BNC.
Từ sự phân tích trên ta có thể dựa vào đó đề ra một hệ thống câu hỏi gợi mở
cho học sinh tực giác, tích cực tìm lấy lời giải. Chẳng hạn có thể sử dụng những câu
hỏi như:
- Để chứng minh BF vuông góc với AC ta có thể chứng minh BF là đường gì
của ∆ BNC?
- Để chứng minh BF đi qua trực tâm của ∆BCN thì ta phải có điểm
nào?
- Ta phải kẻ thêm đường phụ nào để có một điểm là giao của BF với một
đường
cao của ∆ BNC?
- Với NE là đường cao của ∆ BNC và NE ∩ BF tại I, ta phải chứng minh I là
điểm có tính chất gì?
Ví dụ 4: Cho
∆
ABC. M là 1 điểm bất kỳ trong
∆
. Nối M với các đỉnh A, B, C
cắt các cạnh đối diện lần lượt tại A’, B’, C’ qua M kẻ đường thẳng song song với BC
cắt A’B’; A’C’ tại K và H. Chứng minh rằng: MK = MH
Đây là một bài toán tương đối khó với học sinh .

===================================================================
13
===================================================================
? Sau khi đã tìm nhiều cách chứng minh không có kết quả. Ta chú ý đến giả thiết của
bài toán chỉ cho ta các yếu tố đồng quy và song song. Giả thiết của định lý nào gần với
nó nhất?
Câu trả lời mong đợi ở đây là định lý Talet
- Ở đây KH // BC. Đoạn thẳng BC được chia thành mấy đoạn nhỏ?
- Thiết lập quan hệ giữa MH, MK với các đoạn BA’ và CA’, BC
- Cần phải xác định thêm các điểm nào?
- Điểm P và Q là giao của KH với AB và AC
Ta có lời giải như sau
Giả sử HK cắt AB, AC tại P, Q
Ta có: Theo định lý Talét
MKMH
MK
MH
CA
BA
BA
CB
CB
CA
MQ
MP
MK
MQ
MP
MH
CA

BA
MQ
MP
BA
BC
MK
MQ
CB
CA
MP
MH
==>==>
==>
=
=
=
1
'
'
.
'
.
'

'
'
'
'
03. Dựa vào biến đổi đại số để xác định đường phụ
Ví dụ 5: Cho tam giác ABC và điểm O nằm trong tam giác đó. Chứng minh

rằng OA + OC < AB + BC
Hướng dẫn:
- Các định lý hoặc tính chất nào giúp ta các công thức liên quan đến công thức
cần chứng minh ?
- Bài này áp dụng bất dẳng thức của tam giác hay không?
- Nếu được ta phải bắt đầu từ đâu?
===================================================================
14
K
H
M
A
B
C
A'
B'
C'
P
Q
===================================================================
Gv: Vẽ hình phân tích cùng học sinh
Tìm hướng chứng minh
áp dụng ngay bất đẳng thức tam giác ta có:

∆ + > < +ABC cã AB BC A C mµ AC OA OC
Vậy làm trực tiếp ngay thì không thể có hướng giải.
Khiến chúng ta nghĩ tới việc phải kẻ thêm hình phụ. Kẻ thế nào đây?
Kẻ BO hay kéo dài CO
Những câu hỏi đó gợi cho học sinh suy nghĩ tích cực hơn.
Từ đó ta dùng phương pháp loại trừ đi đến kẻ CO cắt AB tại M

Giải
Xét tam giác AOM có OA < OM + MA
Muốn có vế bên trái ta chỉ việc cộng vào hai vế của bất đẳng thức trên,
ta có: OA + OC < OM + MA + OC
hay OA + OC < CM + MA (1)
Xét tam giác MBC có: MC < MB + BC muốn tìm vế bên trái của (1) ta cộng hai vế
của MC < MB + BC với MA,
ta có: MA + MC < BM + MA + BC
hay MA + MC < AB + BC (2)
Từ (1) và (2) ta được: OA + OC < AB +BC
Khai thác thêm
Do điểm O bất kì nằm trong tam giác ta luôn chứng minh được:
OA + OC < AB +BC (a)
Vậy có thể dùng phương pháp tương tự hóa ta cũng có:
OA + OB < AC +BC (b)
OB + OC < AB +AC (c)
Vì thế cộng vế với vế của (a), (b) và (c) ta được:
OA + OB + OC < AB + BC + AC
Và một điều hiển nhiên ta có bài toán sau:
Gọi điểm O là một điểm nằm trong tam giác ABC.
Chứng minh rằng
2
AB BC CA
OA OB OC AB BC CA
+ +
< + + < + +
===================================================================
15
A
M

B
C
O
===================================================================
Ví dụ 6: Cho
∆
ABC có
µ µ
2A B=
Chứng minh rằng: BC
2
= AC
2
+ AC.AB
Hướng dẫn:
- Các định lý hoặc tính chất nào giúp ta các công thức liên quan đến công thức
cần chứng minh ?
Câu trả lời đầu tiên sẽ là định lý Pitago vì công thức của nó rất gần với công thức này,
ở đây GV cần hướng dẫn học sih loại bỏ ý định sử dụng định lý Pitago vì không tạo ra
được các góc vuông có liên quan đến độ dài của cả ba cạnh ngay được
- Ngoài định lý Pitago còn cách nào khác không?
Câu trả lời mong đội ở đây là định lý ta lét và tam giác đồng dạng
- Hãy biến đổi đại số hệ thức cần chứng minh để đưa về dạng tỷ số để gắn vào
tam giác đồng dạng
( )
2 2 2
.BC AC AC AB BC AC AC AB= + ⇐ = +
Đến đây GV có thể yêu cầu học sinh đưa về bài toán quen thuộc của việc chứng minh
hệ thức ab = cd dự vào tam giác đồng dạng bằng cách tạo ra một đoạn thẳng bằng
AB+AC

- Từ đó học sinh đưa ra hai cách vẽ đường phụ là đặt liên tiếp cạnh AB một
doạn bằng AC hoặc đặt cạnh AC một đoạn bằng AB
? Nên đặt dựa trên điểm nào? Chọn đặt kề cạnh nào đẻ vận dụng được giả thiết
µ µ
2A B=
?
Câu trả lời mong đợi là lấy trên tia đối của tia AC một đoạn bằng AB
Từ đó ta có lời giải
Giải:
Trên tia đối của tia AC lấy D sao cho AD = AB
Khi đó
∆
ABC cân tại A nên:
·
· ·
2 2BAC ABD ADB= =
Xét
∆
ABC và
∆
BDC có:
·
·
·
1
2
BDC ABC BAC= =
µ
C
chung nên

∆
ABC đồng dạng với
∆
BDC (g.g)
ABACACABACACADACACCDACBC
BC
AC
CD
BC
.)()(.
22
+=+=+===>=⇒
===================================================================
16
O
===================================================================
Như vậy là việc dạy cho học sinh biết cách giải bài toán mà lời giải có kẻ
thêm đường phụ không chỉ đơn thuần là đưa ra một số bài giải mẫu cho học sinh mà
phải giúp học sinh nắm vững các yêu cầu khi vẽ đường phụ, sau đó phân dạng bài toán
rồi mới đưa vào gợi mở để cho học sinh tìm được lời giải cho từng bài toán cụ thể.
Trong quá trình đó dần dần hình thành cho học sinh kỹ năng vẽ đường phụ trong giải
các bài toán hình học.
2.4 Một số bài tập đã hướng dẫn học sinh giải
Bài 1: Tính cạnh của hình thoi ABCD biết bán kính đường tròn ngại tiếp cac tam giác
ABC và ABD lần lượt là 3 và 4.
Bài 2 : Cho tam giác nhọn ABC cân tại A . Đường cao BH.
Chứng minh rằng :
2
2
AB AC

CH BC
 
=
 ÷
 

Bài 3: Cho tam giác ABCcân tại A có
µ
0
20A =
Chứng minh rằng :
2
2
3
AB BC
BC
AB
+ =
Bài 4 : Cho tam giác ABC vuông tại A
Chứng minh rằng :
·
1
2 2
ABC AC
tg
p AC
+ =
−
với p là nửa chu vi của tam giác ABC.
Bài 5 :Cho góc nhọn xOy . Trên hai cạnh Ox và Oy lần lượt lấy hai điểm M và N

sao cho OM +ON = 2a không đổi.
a ) Chứng minh rằng : Khi M ,N chạy trên Ox, Oy thì trung điểm của MN luôn
nằm trên một đoạn thẳng cố định
b ) Xác định vị trí của M và N để tam giác OMN có diện tích lớn nhất
Bài 6: Cho ∆ABC nội tiếp đường tròn (O). gọi D;E;F thứ tự là trọng điểm của
BC;AC
và AB. Kẻ các đường thẳng DP' // OA; EE'//OB; EF//OC. Chứng minh các
đường thẳng DD'; EE'; FE' đồng quy.
===================================================================
17
===================================================================
Bài 7: Cho đường tròn (O) và một điểm A bên trong đường tròn đó kẻ cát tuyến BAC
bất kỳ. Gọi (P) là đường tròn đi qua A và tiếp xúc với (O) tại B.
(Q) là đường tròn đi qua A và tiếp xúc với (O) tại C.
a) Tứ giác APOQ là hình gì ?
b) Gọi giao điểm thứ hai của (P) và (Q) là E; (E
≠
A)
Tìm tập hợp điểm E khi cát tuyến BAC quay quanh A.
Bài 8: Cho góc vuông xOy. Các điểm P, Q thứ tự di chuyển trên tia Ox và Oy sao cho
OP + OQ = 2011 . Vẽ đường tròn (P; OQ) và (Q; OP)
a) Chứng minh hai đường tròn (P) và (Q) ở trên luôn cắt nhau
b) Gọi M, N là giao điểm của hai đường tròn (P) và (Q) chứng minh đường
thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định khi P và Q thay đổi .
Bài 9: Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH. Đường trung trức AB cắt BC
tại M và cắt đường vuông góc BC ở B tại P. Gọi PC cắt AH tại E.
a)
Chứng minh rằng: E là trung điểm của AH
b)
Chứng minh AH.PM

2
= 2PB.MB
2
(Đề thi HSG lớp 9 Phòng GD Mê Linh năm 2008-2009)
Bài 10: Cho tam giác ABC (AB < AC). Từ trung điểm D của cạnh BC kẻ một đường
thẳng vuông góc với tia phân giác của BAC, đường thẳng đó cắt các tia AB và AC
theo thứ tự ở M và N.
a) Chứng minh tam giác AMN cân.
b) Chứng minh BM = CN
c) Cho AB = c, AC = b. Tính AM và BM theo c và b.

===================================================================
18
===================================================================
B. KẾT QUẢ CỦA ĐỀ TÀI
Qua thời gian áp dụng các kiến thức và phương pháp dạy vừa trình bày ở trên
(Từ 15/10/2008 đến nay) đối với 40 em học sinh lớp 8A và 38 em học sinh lớp 7A
trường THCS Liên Mạc A – Mê Linh đã thu được kết quả như sau:
01. Số học sinh nắm được các loại đường phụ thường sử dụng trong giải toán
THCS có: 78 em chiếm 100%.
02. Số học sinh nắm được các phép dựng hình cơ bản thường được sử dụng
trong giải toán THCS có: 70 em chiếm 89.7%.
03. Số học sinh vẽ (dựng) được các đường phụ hợp lý và giải được một số bài toán
hình trong chương trình Toán lớp 7 và 8 có: 55 em chiếm 70,5%.
04. Số học sinh thành thạo các dạng toán, có kỹ năng tốt và giải được các bài
toán tương đối khó : 2 em chiếm 26,9%
Trong quá trình dạy học sinh theo phương pháp này, tôi đã thu được nhiều
kết quả tốt.
Bảng kết quả thi khảo sát sau cho thấy rõ điều đó:
Với lớp 8A

Với lớp 7A
===================================================================
Tổng số Học sinh Giỏi Khá TB Yếu - Kém
Đầu năm 40 6 10 22 2
KH I 40 11 14 14 1
Giữa KH II 40 14 18 8 0
Cuối KH II 40 15 23 2 0
Tổng số Học sinh Giỏi Khá TB Yếu - Kém
Đầu năm 38 7 8 19 4
KH I 38 10 12 14 2
Giữa KH II 38 13 17 8 0
Cuối KH II 38 14 20 4 0
19
===================================================================
III. KẾT LUẬN
KINH NGHIỆM RÚT RA
Các bài toán hình học có lời giải cần phải kẻ thêm đường phụ tuy là những bài
toán khó nhưng lại là những bài toán hay, nó giúp cho tư duy logic của học sinh phát
triển, giúp rèn luyện cùng một lúc nhiều thao tác tư duy cho học sinh.
Đây là một đề tài nghiên cứu có thể nghiên cứu ở phạm vi rộng, hẹp tuỳ ý và
đề tài này mang tính ứng dụng rộng rãi trong các trường THCS.
Khi áp dụng đề tài này giáo viên cần phải lưu ý là trước hết phải giúp học sinh
nắm vững được các yêu cầu về vẽ (dựng) các đường phụ sau đó mới phân dạng bài
toán và đưa ra hướng dẫn một số bài toán cụ thể theo từng dạng đã chia. Việc củng cố
kỹ cho học sinh về phép dựng hình cơ bản là rất cần thiết trong nội dung thực hiện.
Do điều kiện chưa cho phép nên đề tài chưa nghiên cứu được ở phạm vi rộng
và cũng chưa thể trình bày được hết các phương pháp dạy đối với các dạng bài toán đã
nêu do gới hạn của đề tài.
Để hoàn thành đề tài này ngoài việc tự nghiên cứu tài liệu, qua thực tế giảng dạy
tôi còn nhận được sự giúp đỡ của các đồng nghiệp, các thầy cô giáo trong tổ toán

trường THCS Liên Mạc A – Mê Linh – Hà Nội, các thầy cô giáo khác trong trường đã
tham gia góp ý kiến để tôi hoàn thành đề tài này.
Tôi xin chân thành cảm ơn !

ý kiến hội đồng khoa học nhà trường Người thực hiện
===================================================================
20
===================================================================

Phạm Phúc Đinh
IV. TÀI LIỆU THAM KHẢO
- SGK Toán 7 - Nhà xuất bản GD
- SGK Toán 8 – Nhà xuất bản GD tập 2
- Một số vấn đề phát triển Hinh 9 - Nhà xuất bản GD 2001
- Toán bồi dưỡng 9 - Nhà xuất bản GD 2002
- Toán nâng cao và các chuyên đề Đại số 8- Nhà xuất bản GD 1995
- Toán nâng cao và phát triển Toán 7
- 36 bộ đề thi HSG cấp 2 – Nhà xuất bản trẻ
- Để học tốt 8 - Nhà xuất bản GD 1999
- 23 chuyên đề bài toán sơ cấp - Nhà xuất bản trẻ 2000
- 23 chuyên đề toán học tuổi trẻ
- Các số báo của toán tuổi thơ năm 2007 đến tháng 04/2011
- Những đề thi và những tài liệu khác có liên quan.
Mục lục
I. Những vấn đề chung Trang 2
1. Lí do viết sáng kiến kinh nghiệm Trang 2
2. Mục đích viết sáng kiến kinh nghiệm Trang 3
II. Nội dung Trang 3
===================================================================
21

===================================================================
A. Các bước tiến hành Trang 3
1. Điều tra Trang 3
2. Quá trình thực hiện Trang 4
B. Kết quả đề tài Trang 18
III. Kết luận Trang 19
IV. Tài liệu tham khảo Trang 20
===================================================================
22
O
===================================================================

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO MÊ LINH
TRƯỜNG THCS LIÊN MẠC A
 
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Đề tài:
HƯỚNG DẪN HỌC SINH VẼ ĐƯỜNG PHỤ TRONG
GIẢI TOÁN HÌNH HỌC
********
Họ và tên giáo viên: Phạm Phúc Đinh
Tổ chuyên môn: Khoa học tự nhiên
===================================================================
23
===================================================================
Năm học: 2010 - 2011
*********
===================================================================
24