SKKN Phát huy tích cực tính ứng dụng của phép dời hình trong giải toán hình học 11

Phát huy tích cực tính ứng dụng của phép dời hình trong giải toán hình học
A - MỞ ĐẦU
I. Lý do chọn đề tài:
Môn Toán trong trường trung học phổ thông giữ một vai trò, vị trí hết sức
quan trọng, nếu học tốt môn Toán thì những tri thức trong Toán cùng với phương
pháp làm việc sẽ trở thành công cụ để học tốt những môn học khác. Môn Toán góp
phần phát triển nhân cách, ngoài việc cung cấp cho học sinh hệ thống kiến thức, kĩ
năng toán học cần thiết còn rèn luyện cho học sinh đức tính cẩn thận, chính xác, có
tính kỉ luật, tính phê phán, bồi dưỡng tính sáng tạo và thẩm mĩ.
Thực tế ở trường THPT Thanh Khê chúng tôi hiện nay, chất lượng vào đầu
cấp còn khá thấp so với mặt bằng chung của thành phố, đặc biệt đa số các em xuất
thân từ các gia đình kinh tế khó khăn, ít có điều kiện học tập, bị hổng kiến thức từ
lớp dưới rất lớn, thêm vào đó, lượng kiến thức đưa ra là nặng đối với phần lớn học
sinh ở đây nên việc truyền tải và phát triển khả năng nhận thức, tư duy cho phù hợp
với từng đối tượng học sinh gặp nhiều trở ngại. Đặc biệt, học sinh khối 11 khi học
về phép biến hình trong mặt phẳng rất vất vả để tiếp thu và áp dụng. Vì vậy để ít
nhiều giúp học sinh học tốt một phần của chương trình này, tôi đã chọn đề tài “Phát
huy tích cực tính ứng dụng của phép dời hình trong giải toán hình học”.
II. Mục đích nghiên cứu:
Tạo hứng thú học tập, tìm ra phương pháp dạy học phù hợp với học sinh
trường THPT Thanh Khê. Làm cho học sinh hiểu, phân biệt rõ các phép dời hình và
ứng dụng của nó trong việc giải toán. Từ đó nâng cao chất lượng học tập của học
sinh cũng như chất lượng giảng dạy trong các tiết học.
III. Cấu trúc của đề tài:
A – MỞ ĐẦU
Lý do chọn đề tài
Mục đích nghiên cứu
Cấu trúc của đề tài
B - NỘI DUNG
Cơ sở lí luận
Thực trạng của đề tài

Giải quyết vấn đề
Định nghĩa và biểu thức toạ độ phép dời hình
Một số tính chất của phép dời hình
Các dạng bài tập cơ bản
Một số bài tập tham khảo
C - KẾT LUẬN
Tài liệu tham khảo
B - NỘI DUNG
I. Cơ sở lí luận:
Trong quá trình giảng dạy, giáo viên cần chú trọng phát huy động cơ học tập
giúp học sinh thấy được sự mâu thuẫn giữa những điều chưa biết với khả năng nhận
Trần Thị Phước Vinh Trường THPT Thanh Khê
3
Phát huy tích cực tính ứng dụng của phép dời hình trong giải toán hình học
thức của mình, phát huy tính chủ động sáng tạo của học sinh trong việc lĩnh hội kiến
thức. Một số học sinh có khả năng và ham thích Toán học, các môn khoa học tự
nhiên; số khác lại thích văn chương và các môn khoa học xã hội, nhân văn; hay có
thể có những em thể hiện năng khiếu trong những lĩnh vực đặc biệt… Dù là khả
năng nào đi chăng nữa, học sinh cần thấy được nhu cầu nhận thức là quan trọng, con
người muốn phát triển thì phải có tri thức, phải luôn học hỏi.
Riêng về môn Hình học 11, qua thực tế cho thấy nhiều học sinh khi học về
các phép dời hình, các em thường có tâm lí không biết ứng dụng của phép dời hình
để làm gì, nói cách khác các em không gắn được lý thuyết vào thực hành, do đó các
em không muốn học chương này. Thế nên giáo viên cần chỉ rõ, đưa ra những ví dụ
cụ thể và hướng dẫn cho học sinh ứng dụng các phép dời hình vào giải toán. Ngoài
việc dạy tốt giờ lên lớp, giáo viên nên có biện pháp cụ thể, trực tiếp vào đúng đối
tượng học sinh để các em yếu kém theo kịp với yêu cầu chung của tiết học, còn số ít
các em khá không thấy chán nản, vẫn có thể vừa rèn luyện, tiếp nhận kiến thức, vừa
giúp đỡ bạn.
II. Thực trạng của đề tài:

- Học sinh còn lúng túng khi tìm ảnh của một hình qua một phép dời hình.
- Kiến thức cơ bản nắm chưa chắc.
- Khả năng tưởng tượng, tư duy lôgíc còn hạn chế.
- Ý thức học tập của học sinh chưa thực sự tốt.
- Đa số học sinh có tâm lí sợ học môn hình học.
Đây là môn học đòi hỏi sự tư duy, phân tích. Thực sự là khó không chỉ đối
với học sinh mà còn khó đối với cả giáo viên trong việc truyền tải kiến thức. Người
dạy cần nắm rõ đặc điểm, tình hình từng đối tượng học sinh để có biện pháp giúp
đỡ, việc này cần thực hiện ngay trong từng tiết học bằng biện pháp rèn luyện tích
cực, như
• Trang bị cho học sinh kiến thức cơ bản về các phép dời hình.
• Hướng dẫn học sinh ghi nhớ bằng cách phân biệt sự giống nhau và
khác nhau về định nghĩa, biểu thức tọa độ, các tính chất giữa các phép
dời hình.
• Phân dạng bài tập, phương pháp và các bước thực hiện chung.
• Khai thác triệt để bài tập trong sách giáo khoa, sách bài tập cho đối
tượng trung bình, yếu và một số bài tập đòi hỏi tư duy cao dành cho đối
tượng khá giỏi.
III. Giải quyết vấn đề:
1. Định nghĩa, biểu thức tọa độ của phép dời hình:
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho véctơ
( , )v a b
r
, các điểm:
( ) ( )
; , ; ,M x y M x y
′ ′ ′
( )
;M x y
′′ ′′ ′′

,
( )
0 0
;I x y
và đường thẳng
: 0ax by c∆ + + =
.
Tên Định nghĩa Biểu thức tọa độ
Phép tịnh
tiến
( )
0
v
T v ≠
r
r r
( )
v
T M M MM v
′ ′
= ⇔ =
r
uuuuur r
v
x x a
M T M
y y b
′
= +


′
= ⇔

′
= +

r
( )
Trần Thị Phước Vinh Trường THPT Thanh Khê
4
Phát huy tích cực tính ứng dụng của phép dời hình trong giải toán hình học
Phép đối
xứng trục
d
§
Phép đối
xứng trục
d
§
( )
0 0
0


§ ( )
′
=
′
⇔ = −
′

= ∩
uuuuuur uuuuur
d
M M
M M M M
M d MM
§ ( ) ( )
.
∆
− −

′
=


′
= ⇔

− −

′
=


by c
x
a
M M I
ax c
y

b
§ ( )
;
§ ( )
.
′
=

′
= ⇔

′
= −

′′
= −

′′
= ⇔

′′
=

Ox
Oy
x x
M M
y y
x x
M M

y y
Phép đối
xứng tâm
I
§
I
M M IM IM
′ ′
= ⇔ = −
uuur uuur
§ ( )
0
0
2
2
O
I
x x
M M
y y
x x x
M M
y y y
′
= −

′
= ⇔

′

= −

′′
= −

′′
= ⇔

′′
= −

§ ( )
§ ( )
Phép quay
( )
,I
Q
α
Phép quay
( )
,I
Q
α
( )
( )
,α
′
=
I
Q M M

( )
,
′
=

⇔

′
= α

OM OM
OM OM
( )
( )
( )
0
0 0
90
0 0
;
( )
.
±
′

= − +

′
= ⇔


′
= ± − +


m
I
x y y x
M Q M
y x x y
( )
( )
( )
( )

2
0
2
;
( )
tan /
;
tan /
α
α
α
α
±
−

′

=

′
= ⇔
′


′ ′
= −

 
′
> =
 ÷
 ÷
 
m
m
O
y
x
M Q M II
k
y k x
y x
k
x y
Phép đồng
nhất I
( )

I M M=
Phép dời
hình F
( )
( )
F M M
M N MN
F N N
′
= 

′ ′
⇔ =

′
=


- Nếu có phép dời hình biến một hình H thành hình H’ thì H và H’ là hai hình bằng
nhau.
- Thực hiện liên tiếp hai ( hay nhiều ) phép dời hình ta được một phép dời hình.
Bổ đề 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng
: 0ax by c∆ + + =
, điểm
( )
,M x y
. Gọi
( )
, § ( )M x y M
∆

′ ′ ′
=
. Khi đó, biểu thức tọa độ của phép đối xứng trục:
§ ( ) ( )
.
∆
− −

′
=


′
= ⇔

− −

′
=


by c
x
a
M M I
ax c
y
b
Chứng minh:
Gọi

( )
0 0 0
sao cho ,
′ ′
= ∆ ∩ ⊥ ∆M x y MM MM
.
Trần Thị Phước Vinh Trường THPT Thanh Khê
5
Phát huy tích cực tính ứng dụng của phép dời hình trong giải toán hình học
( ) ( )
0
0 0
0 0
0
0
2
0
2
ax by c
x
ax by c
a
a x x b y y
by ax c
y
b
− −

=


+ + =

 
⇒ ⇒
 
− − − =
− −

 
=


Mà
M
′
là điểm trên đoạn
MM
′
sao cho
0
M
là trung điểm.
0
0
2
2
.
by c
x
x x x

a
y y y ax c
y
b
− −

′
=

′
= −


⇒ ⇔
 
′
= − − −


′
=


Vậy (I ) được chứng minh.
Bổ đề 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm
( )
,M x y
và số thực
0
0 90

α
< <
.
Gọi
( )
( )
( )
;
,
O
M x y Q M
α
±
′ ′ ′
=
. Khi đó, biểu thức tọa độ của phép quay
( )
;O
Q
α
±
:
( )
( )
2
trong đó
2
;
tan
( )

tan
,
α
α
α
±
−

′
=

′ ′
= ⇔ =
′


′ ′
= −

m
m
O
y
y x
x
M Q M k II
k
x y
y k x
Chứng minh:

Gọi
∆
là đường thẳng đi qua gốc tọa độ và qua điểm
( )
,M x y
.
+ Khi
0
M
x ≠ ⇒ ∆
có hệ số góc
( )
tan ;
M
M
y y
k Ox
x x
= ∆ = =
và
: 0
M M
y x x y∆ − =
Gọi
: 0ax by
′
∆ + =
là đường thẳng thỏa
( ) ( )
{ }

0 0
, , , 0 ;90
2
Ox
α
′ ′
∆ ∆ = ± ∆ ≠
,
′
∆
có hệ
số góc
( )
( )
( )
tan , tan tan tan
2 2 2
tan ,
2
1 tan , .tan 1 tan tan
2 2 2
y
Ox y x
a
x
k Ox
y
b
Ox x y

x
α α α
α
α α α
∆ ± ±
−
 
′
= = ∆ ± = = =
 
 
∆
m
m m m
0
α
>
:
0
α
<
:
+ Khi
( )
0 : 0 tan , tan
2
M
x Ox y k Ox
α
′ ′

= ⇒ ∆ ≡ = ⇒ = ∆ = ±
.
Gọi
( )
( )
( ) ( )
Đ
;
,
O
M x y Q M M M
α
′
∆
±
′ ′ ′ ′
= ⇒ =
. Áp dụng bổ đề 1, ta có
by c b
y
x x y
x
a a
k
ax c a
y k x
y y x
b b
− − −
 

′ ′
= =

 
′
=
  
⇔ ⇔
′
  
− − −
  
′ ′
′ ′
=
= =

 
 
Trần Thị Phước Vinh Trường THPT Thanh Khê
6
M
O
x
y
∆
′
∆
M
′

/ 2
α
x
O
y
′
∆
∆
M
′
/ 2
α
−
M
Phát huy tích cực tính ứng dụng của phép dời hình trong giải toán hình học
*) Trường hợp suy biến: - Nếu
( ) ( )
Đ
0
, 0 : 0
Ox
Ox Ox y M M
′ ′ ′
∆ = ⇒ ∆ ≡ = ⇒ =
.
- Nếu
( ) ( )
Đ
0
, 90 : 0

Oy
Ox Oy x M M
′ ′ ′
∆ = ⇒ ∆ ≡ = ⇒ =
.
Vậy (II ) được chứng minh.
2. Một số tính chất của phép dời hình:
- Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay thay đổi
thứ tự giữa ba điểm đó.
- Biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành
đoạn thẳng bằng nó.
- Biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến góc thành góc bằng nó.
- Biến đường tròn bán kính thành đường tròn có cùng bán kính.
3. Các dạng bài tập cơ bản:
<*> Một số dạng bài tập cơ bản:
Dạng 1: Xác định trên hình vẽ ảnh của một hình qua phép dời hình
Phương pháp chung:
- Dùng định nghĩa.
- Dùng các tính chất của phép biến hình.
Dạng 2: Xác định trong mặt phẳng tọa độ Oxy ảnh của một hình qua phép dời hình
Phương pháp chung:
- Dùng định nghĩa.
- Dùng biểu thức toạ độ của phép biến hình.
- Dùng các tính chất của phép biến hình.
Dạng 3: Dùng phép dời hình để giải một số bài toán chứng minh, dựng hình
Phương pháp chung:
- Dùng định nghĩa, tính chất các phép dời hình để chứng minh.
- Để dựng điểm M ta làm như sau:
Cách 1: Xác định M như ảnh của một điểm đã biết qua một phép dời hình.
Cách 2: Xem M như là giao điểm của một đường cố định với ảnh của một đường đã

biết qua một phép dời hình.
Dạng 4: Dùng phép dời hình để giải một số bài toán quỹ tích
Phương pháp: Chứng minh tập hợp điểm cần tìm là ảnh của một hình đã biết qua
một phép dời hình.
<*> Yêu cầu chung:
Để thực hiện giải một bài toán, tôi yêu cầu học sinh cố gắng phân tích kỹ đề
và thực hiện theo các bước:
Bước 1: Đọc và tìm hiểu kỹ đề.
Bước 2: Xác định dạng bài tập.
Bước 3: Tìm kiến thức sử dụng và cách giải quyết các vướng mắc để giải bài tập đó.
Bước 4: Hoàn thành bài giải.
* Tìm cách giải khác (nếu có).
BÀI TẬP
Bài 1: Cho hình thoi ABCD có tâm O. Xác định ảnh của các đỉnh
, , ,A B C D
qua
1) Phép tịnh tiến
AB
T
uuur
; 2) Phép đối xứng trục
§
AB
;
Trần Thị Phước Vinh Trường THPT Thanh Khê
7
Phát huy tích cực tính ứng dụng của phép dời hình trong giải toán hình học
3) Phép đối xứng tâm
§
O

; 4) Phép quay
( )
0
;90O
Q
.
Hướng dẫn giải
1)
( ) ( )
;
AB AB
T A B T B B BB AB
′ ′
= = ⇔ =
uuur uuur
uuur uuur
( )
( )
;
.
AB
AB
T C C CC AB
T B B BB AB
′ ′
= ⇔ =
′ ′
= ⇔ =
uuur
uuur

uuur uuur
uuur uuur

2)
( )
=§ ;
AB
AB AB
( )
( )
= ⇔ = −
= ⇔ = −
uuur uuur
uuuur uuur
1 1
1 1
§ ;
§ .
AB
AB
C C BC BC
D D AD AD

3)
( ) ( )
§ ;§
O O
A C B D= =
.
4)

( )
( )
( )
0
2
2
0
;90
2
; 90
=


= ⇔

=


O
OA OA
Q A A
OA OA
( )
( )
( )
0
2
2
0
;90

2
; 90
=


= ⇔

=


O
OB OB
Q B B
OB OB
( )
( )
( )
0
2
2
0
;90
2
; 90
=


= ⇔

=



O
OC OC
Q C C
OC OC
( )
( )
( )
0
2
2
0
;90
2
; 90
=


= ⇔

=


O
OD OD
Q D D
OD OD
Bài 2: Cho hai hình vuông
và

′ ′ ′ ′
ABCD A B C D
( như hình vẽ ) có
′ ′
=AB A B
. Tìm
một phép dời hình biến hình vuông
thành
′ ′ ′ ′
ABCD A B C D
.
Hướng dẫn giải
- Thực hiện phép tịnh tiến cho hình vuông
ABCD
theo
′
=
r uuur
v AA
( như hình vẽ ) ta
được ảnh của nó là hình vuông
1 1 1
′
A B C D
.
- Thực hiện quay hình vuông
1 1 1
′
A B C D
tâm

′
A
, góc quay
( )
1
;
′ ′ ′
α = A D A D
ta được
hình vuông
′ ′ ′ ′
A B C D
.
Vậy thực hiện liên tiếp 2 phép dời hình nói trên ta được một phép dời hình
biến hình vuông
thành
′ ′ ′ ′
ABCD A B C D
.
Trần Thị Phước Vinh Trường THPT Thanh Khê
8
A
B
D
C
′
B
′
A
′

C
D
′
D
A
B
C
A’
B’
C’
D’
1
B
1
C
1
D
α
A
O
C
D
1
C
B
1
D
2
A
A

B
C
D
O
2
D
2
B
2
C
A
B
O
C
D
C’
B’
Phát huy tích cực tính ứng dụng của phép dời hình trong giải toán hình học
Bài 3: Cho hai đường tròn bằng nhau
( ) ( )
và
1 2
O O
. Tìm tất cả các phép dời hình
biến đường tròn này thành đường tròn kia.
Hướng dẫn giải
Các phép dời hình biến đường tròn này thành đường tròn kia:
- phép tịnh tiến
1 2
O O

T
±
uuuuur
,
- phép đối xứng tâm
O
Đ

(O là trung điểm của
1 2
O O
),
- phép quay I, với
∈∆I
,
- phép đối xứng trục
∆
Đ
.
Bài 1: 1/ Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho điểm
( )
1
;4 , 3;5
2
 
= −
 ÷
 
r
M v

. Tìm tọa độ
điểm ảnh của M qua các phép dời hình
a)
r
v
T
; b)
§
Ox
; c)
§
Oy
; d)
§
O
.
2/ Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho A(3;4). Hãy tìm toạ độ điểm A’ là
ảnh của A qua phép quay tâm O góc quay 90
0
.
Hướng dẫn giải
1/ a) Gọi
( ) ( ) ( )
1 1 1
, , ,
v
M x y M x y T M=
r
.
Theo biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến

( )
1
1
1
= +

= ⇔

= +

r
v
x x a
T M M
y y b
, ta có:
( )
1
1
1 5
3
2 2
4 5 9

= + − = −



= + =


x
y
Vậy điểm ảnh của M qua
r
v
T
là
1
5
;9
2
 
−
 ÷
 
M
.
b) Gọi
( ) ( )
2 2 2
, §
Ox
M x y M=
. Theo biểu thức tọa độ của phép đối xứng trục
Ox
Đ
:
( )
2
2

2
2
2
1
§
2
4
Ox
x x
x
M M
y y
y

=
=

= ⇔ ⇔
 
= −


= −

Vậy điểm ảnh của M qua
§
Ox
là
2
1

; 4
2
 
−
 ÷
 
M
.
c) Gọi
( ) ( )
3 3 3
, §
Oy
M x y M=
. Theo biểu thức tọa độ của phép đối xứng trục
Oy
Đ
:
( )
3
3
3
3
3
1
§
2
4
Oy
x x

x
M M
y y
y

= −
= −

= ⇔ ⇔
 
=


=

Trần Thị Phước Vinh Trường THPT Thanh Khê
9
∆
O
Phát huy tích cực tính ứng dụng của phép dời hình trong giải toán hình học
Vậy điểm ảnh của M qua
§
Oy
là
3
1
; 4
2
 
−

 ÷
 
M
.
d) Gọi
( ) ( )
4 4 4
, §
O
M x y M=
. Theo biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm
O
Đ
:
( )
4
4
4
4
4
1
§
2
4
O
x x
x
M M
y y
y


= −
= −

= ⇔ ⇔
 
= −


= −

Vậy điểm ảnh của M qua
§
O
là
4
1
; 4
2
 
− −
 ÷
 
M
.
2/ Cách 1: Gọi
( )
( )
0
;90

′
=
O
A Q A
. Gọi
( ) ( )
3;0 , 0;4B C
lần lượt là hình chiếu vuông
góc của A lên các trục Ox, Oy.
Phép
( )
0
;90O
Q
biến hình chữ nhật OBAC thành hình chữ nhật
OB A C
′ ′ ′
.
Ta thấy
( ) ( )
0;3 , 4;0B C
′ ′
−
. Vậy điểm ảnh của A qua
( )
0
;90O
Q
là
( )

4;3
′
−A
.
Cách 2: Theo biểu thức tọa độ phép quay
( )
( )
( )
0
0 0
90
0 0
;
( )
.
′

= − − +

′
= ⇔

′
= − +


I
x y y x
M Q M
y x x y

Suy ra
( )
( ) ( )
0
;90
4;3 .
O
Q A A
′
= −
Bài 2: 1/ Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho véctơ
( 2;3)−
r
v
, đường thẳng d có phương
trình:
3 5 3 0x y− + =
. Viết phương trình đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép
r
v
T
.
2/ Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho
( )
1;5M
, đường tròn (C) có phương
trình
2 2
2 4 4 0x y x y+ − + − =

, đường thẳng d có phương trình
2 4 0.x y− + =
a) Tìm ảnh của M, (C), d qua phép đối xứng trục Ox.
b) Tìm ảnh của M, (C), d qua phép đối xứng trục
: 1 0x y∆ − + =
.
Hướng dẫn giải
1/ Gọi
( ) ( ) ( )
, ;
v v
M x y T M d T d
′ ′ ′ ′
= =
r r
.
Cách 1:
Chọn
( ) ( ) ( )
1;0 3;3
′ ′
− ∈ ⇒ = − ∈
r
v
M d T M M d
.
Vì d’//d nên
:3 5 0
′
− + =d x y C

,
M d
′ ′
∈ ⇒
C = 24.
Trần Thị Phước Vinh Trường THPT Thanh Khê
10
Phát huy tích cực tính ứng dụng của phép dời hình trong giải toán hình học
Vậy phương trình đường thẳng ảnh d’ là:
3 5 24 0.x y− + =
Cách 2:
Từ biểu thức toạ độ của phép tịnh tiến
r
v
T
:
' 2
' 3
= −


= +

x x
y y
' 2
' 3
= +

⇔


= −

x x
y y
Thay vào phương trình của d ta được:
3 5 24 0.x y
′ ′
− + =
Vậy phương trình đường thẳng ảnh d’ là:
3 5 24 0.x y− + =
Cách 3 :
Lấy
,M N
bất kì thuộc d, tìm ảnh M’,N’ tương ứng của M và N qua phép tịnh tiến
theo vectơ
v
r
. Khi đó đường thẳng d’ là đường thẳng M’N’.
2/ a) Gọi
( )
1 1 1
, ,M C d
lần lượt là ảnh của
( )
, , M C d
qua phép đối xứng trục
Đ
Ox
.

+ Ta có
( )
1
1; 5 .M −
+ Đường tròn (C) có tâm
( )
1; 2 ,I −
bán kính
3R =
. Đường tròn ảnh (
1
C
) của (C) có
tâm là
( ) ( )
’ 1;2
Ox
IĐ I= =
và bán kính
3R =
.
Vậy phương trình (
1
C
) là:
( ) ( )
2 2
1 2 9.x y− + − =
+ Từ biểu thức tọa độ của phép đối xứng trục
Đ

Ox
:
' '
' '
x x x x
y y y y
= =
 
⇔
 
= − = −
 
Thay vào phương trình của d ta được:
’ 2 ’ 4 0.x y+ + =
Vậy phương trình của
1
d
là
2 4 0.x y+ + =
b) Biểu thức tọa độ của phép đối xứng trục:
§ ( )
.
∆
− −

′
=


′

= ⇔

− −

′
=


by c
x
a
M M
ax c
y
b
Thay tọa độ điểm
M
và hệ số của đường thẳng
∆
vào ta có
−

′
= =



− −

′

= =

 −
1.5 1
4
1
1.1 1
2
1
x
y
Vậy
( ) ( )
2
Đ 4;2M M
∆
=
.
Từ biểu thức tọa độ
, ta có
by c c by
x x
a a
M M
ax c c ax
y y
b b
∆
′
− − −

 
′
= =
 
 
′
= ⇔
 
′
− − −
 
′
= =
 
 
§ ( )
+ Pt đường thẳng
2
d
ảnh của d qua
Đ
∆
là
2 4 0 2 7 0
′ ′
− −
′ ′
− + = ⇔ + + =
c by c ax
x y

a b
Vậy
+ + =
2
: 2 7 0.d x y
+ Pt đường tròn
( )
2
C
ảnh của (C) qua
Đ
∆
là
Trần Thị Phước Vinh Trường THPT Thanh Khê
11
Phát huy tích cực tính ứng dụng của phép dời hình trong giải toán hình học
( )
2 2
2
2
1 2 9 1 9
′ ′
− −
   
′ ′
− + + = ⇔ + + =
 ÷  ÷
   
c by c ax
x y

a b
Vậy
( ) ( )
+ + =
2
2
2
: 1 9C x y
.
Bài 3: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho
( ) ( ) ( )
1; 1 , 3;1 , 2;3 .A B C− −
Tìm toạ
độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành.
Hướng dẫn giải
Giả sử điểm
( )
; .D x y

Để ABCD là hình bình hành thì
BA CD=
uuur uuur
. Nên
( ) =
uuur
BA
T D C
.
Với
( ) ( )

4; 2 , 2; 3BA CD x y= − − = − −
uuur uuur
.
Do đó:
2 4 2
3 2 1
x x
y y
= − = −
 
⇔
 
= − =
 
.
Vậy
( )
2;1 .D −
Bài 1: 1) Hai thôn nằm ở vị trí A, B cách nhau một con sông (Xem hai bờ sông là
hai đường thẳng song song). Người ta dự định xây một chiếc cầu MN bắc qua sông
(cầu vuông góc với bờ sông) và làm hai đoạn đường AM, NB (như hình vẽ). Hãy xác
định vị trí chiếc cầu MN sao cho AM+NB ngắn nhất.
2) Có ba thành phố
, ,A B C
tạo thành một tam giác nhọn trên một vùng đồng
bằng. Tìm vị trí I trong
ABC∆
sao cho có thể xây dựng một sân bay chung mà tổng
khoảng cách từ I tới các trung tâm thành phố đó là ngắn nhất.
Hướng dẫn giải

1) + Giả sử coi con sông rất hẹp:
a b≡

Bài toán trở thành: Cho hai điểm A, B nằm ở hai phía khác nhau so với đường thẳng
a. Tìm vị trí M trên A để AM+AN nhỏ nhất. Khi đó M là giao điểm của AB với a.
+ Thực tế: a song song với b
Các đường thẳng a, b cố định
MN⇒
uuuur
cố định.
Nên
( )
’ ’
MN
T A A A N AM= ⇒ =
uuuur
.
Ta có
’ ’AM BN A N NB A B+ = + =
Trần Thị Phước Vinh Trường THPT Thanh Khê
12
Phát huy tích cực tính ứng dụng của phép dời hình trong giải toán hình học
Cách dựng:
- Dựng
( )
MN
A T A
′
=
uuuur

. Nối A’, B có
A B b N
′
∩ =
.
- Từ N hạ đường thẳng d
⊥
a tại M. Khi đó MN là vị trí xây cầu.
2) Thực hiện phép
( )
0
;60
: ;
B
Q I J A A
′
a a
. Ta có
( ) ( )

′
= = −
0 0
; 60 ; ; 60 .BI BJ BA BA
( ) ( ) ( )
′ ′
= − =
0
; ; 60 ;BI BA BI BA BJ BA
BIA BJA AI A J

′ ′
⇒ ∆ = ∆ ⇒ =
IA IB IC JA IJ IC
′
⇒ + + = + +
ngắn nhất khi
, , ,A I J C
′
thẳng hàng và J ở giữa A’ và
I, I ở giữa J và C. Thì
·
0
120 ;BIC =

·
·
0
120AIB BJA
′
= =
.
Vậy I nhìn AB, BC, CA dưới góc
0
120
.
Cách dựng:
- Dựng ảnh A’ của A qua
( )
0
;60B

Q
.
- Trên A’C dựng các điểm I, J sao cho BIJ là tam giác đều.
Nên I chính là điểm cần dựng.
Thật vậy, ABC là tam giác nhọn nên A’, A cùng phía so với BC; A’, B cùng phía
so với AC. Lúc đó A’C cắt AB tại điểm nằm trong đoạn thẳng AB.
Mặt khác
·
0
60CBA
′
>
và
·
0
60ABA
′
=
nên I phải nằm trong
ABC∆
.
Nên
, , ,A I J C
′
thẳng hàng và J ở giữa A’ và I, I ở giữa J và C và
IA IB IC JA IJ IC
′
+ + = + +
ngắn nhất.
Bài 2: Cho hai dây cung không cắt nhau AC, BD của một đường tròn (O) và điểm P

trên dây CD. Hãy xác định điểm S trên (O) sao cho
·
ASB
chắn trên dây CD một
đoạn MN nhận P làm trung điểm.
Hướng dẫn giải
Thực hiện phép đối xứng tâm
( )
=
P
Đ M N
,
( ) ( ) ( )
; ; .
′ ′ ′
= = =
P P P
Đ S S Đ A A Đ B B
′
⇒ S
là đỉnh thứ tư của các hình bình hành
,MSNS
′

′ ′ ′ ′
,ASA S BSB S
có cùng tâm đối
xứng P.
, ,
′ ′

⇒ A N S
thẳng hàng và
, ,
′ ′
B M S
thẳng hàng.
Trần Thị Phước Vinh Trường THPT Thanh Khê
13
A
′
J
A
C
B
I
P
A
B
C
D
O
N
S
M
P
S’
B’
A’
Phát huy tích cực tính ứng dụng của phép dời hình trong giải toán hình học
Mặt khác, góc nội tiếp

·
ASB
γ
=
(không đổi)
·
·
π γ
′ ′
⇒ = = −AMB A NB
: hoàn toàn xác định M, N.
Chẳng hạn
»
¼
( )M CD
π γ
= ∩ −
dựng trên đoạn B’A.
Suy ra
( )
S AM O= ∩
.
Bài 3: Cho hai đường tròn (O) và (O’) không cắt nhau và đường thẳng d. Hãy dựng
một đường thẳng cùng phương với d cắt (O) và (O’) sao cho tổng độ dài các dây
cung của chúng định bởi đoạn thẳng có một độ dài l cho trước.
Hướng dẫn giải
Giả sử đã dựng được cát tuyến
/ /d∆
cắt (O) và (O’) theo 2 dây cung tương
ứng là MN và M’N’ sao cho

MN M N l
′ ′
+ =
cho trước.
Kéo dài MN về phía N lấy điểm
1
M
sao cho
1
MM l=
đặt
1
MM l=
uuuuur r
.
Thực hiện
( ) ( )
1
:
l
T O O
r
a
với
1
OO l=
uuuur r
.
Thực hiện
( ) ( )

2
:
v
T O O
′
r
a
với
1
v M N N M
′ ′
= =
r uuuur uuuuur
.
( )
2
⇒ ∆ ∩ O
,
1 1
MM l M N MN M N MN
′ ′
= = + = +
Gọi
1
N
là giao điểm thứ 2 của
( )
và
1
O∆

2
O O d
′
⇒ ⊥
( d là trung trực của đoạn
1
OO
).
Vậy cát tuyến
∆
phải tìm là đường thẳng đi qua giao điểm của 2 đường tròn
( ) ( )
và
1 2
O O
, song song với d. Bài toán có một hoặc hai nghiệm hình (tùy thuộc
2
l
R R R R
′ ′
− ≤ ≤ +
).
Bài 4: Cho hai đường thẳng song song a và b. Với một điểm C không nằm trên hai
đường thẳng đó, hãy tìm các điểm
,A a B b∈ ∈
sao cho
ABC∆
là tam giác đều.
Hướng dẫn giải
Trần Thị Phước Vinh Trường THPT Thanh Khê

14
2
O
1
O
N
M
N
′
M
′
1
N
O
′
O
l
r
v
r
C
B
A
H
a
b
a’
H’
A’
B’

Phát huy tích cực tính ứng dụng của phép dời hình trong giải toán hình học
Giả sử đã dựng được
ABC∆
đều thỏa mãn các điều kiện của bài toán.
Với phép quay
( )
0
; 60C
Q
−
điểm A có ảnh là B, đường thẳng a có ảnh là a’ cũng đi qua
B nên suy ra cách dựng như sau:
Cách dựng:
- Dựng đường thẳng
( )
( )
0
; 60C
a Q a
−
′
=
bằng cách kẻ
CH a⊥
tại H, tìm ảnh
H
′
của H qua phép quay này. Vẽ được đường thẳng
a
′

qua
H
′
và
a CH
′ ′
⊥
.
- Gọi
B a b
′
= ∩
, lấy điểm A là tạo ảnh của B qua phép quay nói trên, ta có
A a∈
.
Rõ ràng
ABC∆
là tam giác đều. Với phép quay này bài toán có thêm nghiệm
A B C
′ ′
∆
cần dựng. Hai tam giác này đối xứng nhau qua trục CH.
Bài 5: Cho ∆ABC, trên AB, AC dựng ra phía ngoài các hình vuông ABMN và
ACPQ.
a) Chứng minh : NC ⊥ BQ ; BQ = NC
b) Gọi H là trung điểm của BC . Chứng minh: AH ⊥ QN.
Hướng dẫn giải
a) Ta có:
( )
( )

( )
( )
0 0
;90 ;90
; = =
A A
Q N B Q C Q

( )
( )
0
;90A
Q NC BQ⇒ =
.
Vậy :
; ⊥ =NC BQ NC BQ
.
H
N
M
P
Q
C
B
A
b)
( ) ( )
( )
{ } { }
0

1 1
;90
; ; ; = =
A
A
Đ B B Q C B Q N
. Do đó :
1
.⊥CB QN
Mà AH là đường trung bình của
∆
CBB
1

Nên AH // CB . Vậy

: AM ⊥ QN.
Bài 6: Qua tâm G của ∆ABC đều kẻ đường thẳng a cắt BC tại M, cắt AB tại N , kẻ
đường thẳng b cắt AC tại P và cắt AB tại Q, đồng thời tạo với a một góc 60
0
.
Chứng minh tứ giác MPNQ là hình thang cân.
Hướng dẫn giải
Ta có : a ∩ CB = {M} ; b ∩ BA = {Q}
Mà :
( )
( )
0
; 120G
Q a b

−
=
(1)
Trần Thị Phước Vinh Trường THPT Thanh Khê
15
H
N
M
P
Q
C
B
A
Phát huy tích cực tính ứng dụng của phép dời hình trong giải toán hình học
( )
( )
( )
( )
0 0
; 120 ; 120
;
G G
Q C B Q B A
− −
= =
⇒
( )
( )
0
; 120G

Q CB BA
−
=
(2)
Từ (1), (2) ⇒
( )
( )
0
; 120G
Q M Q
−
=
⇒ GM = GQ ⇒
GMQ∆
cân
Tương tự:
∆GNP cân ⇒ MQ // NP và NQ = MP.
Vậy MPNQ là hình thang cân.
Bài 1: Cho đường tròn (O) và tam giác ABC. Một điểm M thay đổi trên đường
tròn(O). Gọi M
1
là điểm đối xứng của M qua A, M
2
là điểm đối xứng của M
1
qua B,
M
3
là điểm đối xứng của M
2

qua C. Tìm quỹ tích của điểm M
3
.
Hướng dẫn giải
D
M3
M2
M1
M
O
C
B
A
Gọi D là trung điểm của MM
3
thì ABCD là hình bình hành. Do đó điểm D cố
định;
( )
3D
Đ M M=
.
Do đó quỹ tích điểm M
3
là ảnh của đường tròn (O) qua phép đối xứng tâm D.
Bài 2: Cho hai điểm phân biệt B,C cố định (BC không phải là đường kính) trên
đường tròn (O), điểm A di động trên (O). Chứng minh rằng khi A di động trên (O)
thì trực tâm tam giác ABC di động trên một đường tròn.
Hướng dẫn giải
Cách 1: Áp dụng phép tịnh tiến
Gọi H là trực tâm tam giác ABC, M là trung điểm của BC.

Tia BO cắt đường tròn (O) tại D.
Trần Thị Phước Vinh Trường THPT Thanh Khê
16
P
M
N
Q
G
A
B
C
Phát huy tích cực tính ứng dụng của phép dời hình trong giải toán hình học
H
M
O
B
C
A
D
Ta có
·
BCD
=90
0
nên DC//AH, AD//CH
⇒
ADCH là hình bình hành
⇒
2AH DC OM= =
uuur uuur uuuur

.
Vì
OM
uuuur
không đổi
⇒
T
2
OM
uuuur
(A) =H.
Vậy khi A di chuyển trên đường tròn (O) thì H di chuyển trên đtròn (O’) là
ảnh của (O) qua phép
2OM
T
uuuur
.
Cách 2: Áp dụng phép đối xứng trục
H'
I
H
O
B
C
A
D
Gọi H là trực tâm tam giác ABC. Gọi I, H’ lần lượt là giao điểm của tia AH
với đoạn thẳng BC và đtròn (O).
Ta có:
·

·
BAH HCB=
;
·
·
'BAH BCH=
. Do đó
’HCH∆
cân tại C
⇒
H và H’ đxứng qua BC.
Khi A chạy trên đường trong (O) thì H’ cũng chạy trên đtròn (O, suy ra khi A di
động trên (O) thì trực tâm
ABC
∆
di động trên một đtròn là ảnh của (O) qua phép
BC
Đ
.
Cách 3: Áp dụng phép đối xứng tâm
Trần Thị Phước Vinh Trường THPT Thanh Khê
17
Phát huy tích cực tính ứng dụng của phép dời hình trong giải toán hình học
M
I
H
O
B
C
A

D
Gọi H là trực tâm tam giác ABC, I là trung điểm của BC. Tia AO và BO cắt
(O) lần lượt tại M và D.
Theo chứng minh ở cách 1, ta có
2AH DC OI= =
uuur uuur uur
.
Trong
AHM∆
có OI//AH và OI =
1
2
AH
⇒
OI là đường trung bình của tam giác AHM
⇒
I là trung điểm của HM
⇒
H và M đối xứng nhau qua I. Vì BC cố định nên I cố
định.
Vậy khi A di động trên (O) thì M di chuyển trên (O). Do đó khi A di động trên
(O) thì trực tâm
ABC∆
di động trên một đường tròn (O’) là ảnh của (O) qua phép
I
Đ
.
Bài 3: Cho tam giác ABC có hai đỉnh B, C di động trên đường thẳng cố định
∆
. Biết

rằng trực tâm H của tam giác là một điểm cố định và đường tròn ngoại tiếp của tam
giác luôn đi qua điểm cố định
P H
≠
. Gọi O là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam
giác ABC. Tìm quỹ tích O.
Hướng dẫn giải
Gọi
( )
HĐ H
∆
′
=
, và theo giả thiết thì
( )
H O
′
∈
- đường tròn ngoại tiếp tam
giác ABC.
Vì
( )
Đ H H
∆
′
=
, mà
, H ∆
cố định
H

′
⇒
cố định.
Rõ ràng do
, P H
′
cùng nằm trên đường tròn
( )
O
, suy ra tâm O nằm trên đường
trung trực của
PH
′
.
Vậy quỹ tích O là đường trung trực của đoạn
PH
′
, với
( )
HĐ H
∆
′
=
.
Trần Thị Phước Vinh Trường THPT Thanh Khê
18
H
∆
A
H

′
B C
O
P
Phát huy tích cực tính ứng dụng của phép dời hình trong giải toán hình học
Bài 4: Trên đoạn AD cố định dựng hình bình hành ABCD sao cho
AC BD
AD AB
=
. Tìm
quỹ tích đỉnh C của hình bình hành.
Hướng dẫn giải
Chọn hệ tọa độ Oxy sao cho
A O≡
, tia Ox trùng với tia AD và chọn
( )
1;0D
.
Giả sử
( )
,B x y
, thì C
( )
1;x y+
.

Từ giả thiết:
=. .AC AB AD BD
( ) ( )
( ) ( ) ( )

( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
⇔ + + + = − +
⇔ + + + + + = + +
⇔ + + + + = + +
⇔ + + + + = − + +
⇔ + + + = −
⇔ + + + + − − = −
⇔ + + + + − =
2 2
2 2 2 2
2 2 2
2 2 2 2 4 2
2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
1 . 1
1 1 1
1 1
2 1 2 1
2 1 2
1 2 1 2

1 2 1 0
x y x y x y
x x x y x y y x y
x x y y x y x y
x y x y x x x y
x y x y x x
x y x y x x y x
x y x y x
và
2 2
1 0x y+ + >
( )

2
2 2 2
2 1 0 1 2 (1)x y x x y⇒ + + − = ⇔ + + =

Từ (1) suy ra quỹ tích của B là đường tròn tâm tại điểm
( )
1;0I −
bán kính
2
, với
( )
Đ
A
I D=
.
Rõ ràng
( )

AD
T B C=
uuur
.
Vậy quỹ tích điểm C là đường tròn
( )
; 2C AD
.
Bài 5: Trên đường tròn
( )
;O R
cho hai điểm cố định A, B. Đường tròn
( )
;O R
′ ′
tiếp
xúc ngoài với
( )
;O R
tại A. Một điểm M di động trên
( )
;O R
sao cho MA cắt
( )
;O R
′ ′
tại điểm thức hai
1
A
. Qua

1
A
kẻ đường thẳng song song với AB cắt MB tại
1
B
. Tìm
quỹ tích
1
B
.
Hướng dẫn giải
Giả sử
( )
1 1 2
;B A O R A
′ ′
∩ =
.
Trần Thị Phước Vinh Trường THPT Thanh Khê
19
I
A
O
( )
;B x y
( )
1;C x y+
D
x
y

Phát huy tích cực tính ứng dụng của phép dời hình trong giải toán hình học
Vẽ tiếp tuyến chung
xx
′
của hai đường tròn
( ) ( )
và ; ;O R O R
′ ′
tại A.

Theo tính chất tiếp tuyến, ta có
·
·
·
·

2 1 1
;ABM xAM AA A x AA
′
= =
Do
·
·
1
x AA xAM
′
=
(đối đỉnh)
·
·

·
·

2 1 2 1 2 1
ABM AA A AA B A B B⇒ = ⇒ =
2 1
AA B B⇒
là hình thang cân.
Gọi
∆
là đường trung trực của AB. Nên
( )
Đ
2 1
A B
∆
=
.
Rõ ràng khi M chạy trên
( )
;O R
thì
2
A
chạy khắp trên
( )
;O R
′ ′
.
Vậy quỹ tích điểm

1
B
là đường tròn
( )
;O R
′′ ′
ảnh của
( )
;O R
′ ′
qua
Đ
∆
,
( )
;O R
′′ ′
tiếp xúc ngoài với
( )
;O R
tại B.
*/. Một số bài tập tham khảo:
Bài 1: 1) Cho các đường thẳng
: 2 3 3 0d x y− + =

, :2 3 5 0x y∆ − − =
. Tìm vectơ
v
r
sao cho ảnh của d qua phép tịnh

v
T
r
là
∆
.
2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, viết phương trình của parabol
( )
'P
là ảnh của
( )
2
: 2P y x x= − −
qua:
a/ phép đối xứng trục
Đ
∆
với đường thẳng
: 3 0x y∆ − + =
;
b/ phép đối xứng tâm
I
Đ
với
( )
1;3I −
;
c/ phép quay
( )
0

; 30O
Q
−
.
Bài 2: Cho góc nhọn
·
xOy
, điểm A thuộc miền trong của góc đó. Hãy tìm một đường
thẳng đi qua A, cắt Ox, Oy lần lượt tại M và N sao cho A là trung điểm của MN.
Bài 3: Cho ABCD là một tứ giác nội tiếp một đường tròn cho trước. Từ M, N, P, Q
lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA vẽ các đường thẳng vuông góc
với cạnh đối diện tương ứng. Chứng minh các đường thẳng này đồng quy.
Bài 4: Cho hai đường tròn (Q), (Q') và một đường thẳng d . Xác định hình vuông
ABCD có A, C lần lượt nằm trên (Q), (Q'), còn B, D nằm trên d?
Bài 5: Cho ∆ABC và một điểm P nằm trong tam giác. Dựng ∆ cân đỉnh P có đáy
song song với BC và có 2 đỉnh làn lượt thuộc AB,AC của ∆ABC.
Bài 6: Cho 2 đường thẳng cắt nhau x, y và 2 điểm A, B không nằm trên x, y. Xác
định 2 điểm C, D lần lượt nằm trên 2 đường thẳng x,y sao cho tứ giác ABCD là hình
thang cân có AB là cạnh đáy.
Trần Thị Phước Vinh Trường THPT Thanh Khê
20
O
′
2
A
1
A
M
O
′′

A
B
O
1
B
x
x’
Phát huy tích cực tính ứng dụng của phép dời hình trong giải toán hình học
Bài 7: Cho hai đường tròn đồng tâm O, có bán kính lần lượt là R, r (R > r ). Hãy xác
định đường thẳng qua điểm A nằm trên (O; r), cắt đường tròn (O; r) tại B, cắt (O;R)
tại C, D sao cho : CD = 3AB
Bài 8: Cho 2 đường thẳng a, b và (O;R). Xác định hình vuông ABCD sao cho
A∈(O); C ∈ b ; B, D ∈ a.
Bài 9 : Cho ∆ABC. Tìm điểm M bên cạnh AB và N bên cạnh AC sao cho MN // BC
và AM = CN.
Bài 10: Cho 2 đường thẳng a // b , với một điểm C không nằm trên 2 đường thẳng
đó . Tìm trên a,b lần lượt 2 điểm A,B sao cho ∆ABC đều.
C - KẾT LUẬN:
Do điều kiện có hạn, nên đề tài này chỉ nhằm mục đích hệ thống hoá một số
phép dời hình cơ bản.Đồng thời đưa ra một số dạng toán giải bằng cách sử dụng các
phép dời hình nhằm củng cố kỹ năng vận dụng thực hành. Qua mỗi phần một số ít
bài toán giúp học sinh hệ thống kiến thức, hình thành phương pháp giải, rèn luyện
việc sử dụng phép biến hình rong giải toán hình học cho đối tượng học sinh trường
THPT Thanh Khê.
Về nguyên tắc, bất kì bài toán nào cũng có thể giải được bằng phương pháp tọa
độ. Tuy nhiên nhiều bài giải tổng hợp thông thường lại đi đến kết quả nhanh hơn.
Cũng vậy nhiều bài toán hình học có thể giải nhanh và gọn nếu biết sử dụng phương
pháp véctơ. Để giải bài toán bằng phép biến hình trước hết phải nhận ra dấu hiệu
của lớp các bài toán có khả năng giải được bằng phương pháp này. Thường thì trong
dữ kiện bài toán hoặc trong tính chất của hình đòi hỏi thiết lập (chứng minh) hay

đòi hỏi ở hình cần dựng đã xuất hiện những yếu tố có mối liên hệ đáng chú ý đến
một phép biến hình cụ thể nào đó. Chẳng hạn có dữ kiện
Trần Thị Phước Vinh Trường THPT Thanh Khê
21
Phát huy tích cực tính ứng dụng của phép dời hình trong giải toán hình học
- đoạn thẳng có độ dài và phương chiều cố định, hình bình hành nghĩ đến
phép tịnh tiến;
- trung điểm của một đoạn nghĩ đến phép đối xứng tâm;
- đường trung trực của một đoạn nghĩ đến phép đối xứng trục;
- các góc có số đo không đổi nghĩ đến phép quay.
Cuối cùng hy vọng đề tài có tính ứng dụng, giúp học sinh và giáo viên nhẹ
nhàng tiếp thu và truyền đạt kiến thức chương phép biến hình và dời hình trong mặt
phẳng của chương trình hình học 11. Rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến xây
dựng của đồng nghiệp.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
- Sách giáo khoa hình học lớp 11.
- Sách giáo viên hình học lớp 11.
- Để học tốt hình học lớp 11 .
- Phương pháp dạy học môn toán.
- Một số vấn đề phát triển hình học 11.
- Toán nâng cao hình học cho học sinh THPT – Tập 1 – Phan Huy Khải.
- Tuyển tập 200 bài thi vô đich toán – Tập 4 – Đào Tam, Nguyễn Quý Dy, Nguyễn
Văn Nho, Lưu Xuân Tình.
- Các bài toán về hình học phẳng – Tập 1 – V.V Praxolop, Bản dịch tiếng Việt của
Hoàng Đức Chính và Nguyễn Đễ.
- Tạp chí toán học tuổi trẻ.
- Thư viện trực tuyến Violet.
Trần Thị Phước Vinh Trường THPT Thanh Khê
22