SKKN các phương pháp giải phương trình bậc bốn

A. PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn chuyên đề:
Toán học là một môn khoa học tự nhiên, toán học có vai
trò rất quan trọng trong các lĩnh vực khoa học, toán học nghiên
cứu rất nhiều, đa dạng và phong phú, trong các bài toán về
phương trình là các bài toán khó, để giải được các bài toán về
phương trình, bên cạnh việc nắm vững định nghĩa, các bước
giải bài toán, còn cần nắm được các phương pháp giải cụ thể áp
dụng cho tong bài.
Có nhiều phương pháp giải phương trình và ta phải căn cứ
vào đặc thù của mỗi bài toán mà sử dụng phương pháp cho phù
hợp. Mỗi bài toán giải phương trình có thể áp dụng nhiều cách
giải, phương pháp giải khác nhau, cũng có bài phải phối hợp
nhiều phương pháp một cách hợp lí.
1
Bài toán giải phương trình được vận dụng nhiều vào các
dạng bài toán giải và biện luận phương trình, bất phương trình,
áp dụng trong quá trình khảo sát hàm số… Và được sử dụng
nhiều trong quá trình ôn tập, đặc biệt là trong quá trình học
THPT… Vì vậy học sinh cần phải nắm được những kiến thức cơ
bản về giải phương trình bậc bốn.
Ai đã từng học bộ môn toán đều biết đến bài toán giải
phương trình nói chung và phương trình bậc bốn nói riêng nó
có vai trò quan trọng trong chương trình toán ở trường THCS
cũng như khi học sinh tiếp tục học lên các cấp học cao hơn.
Khi giải các bài toán giải phương trình bậc bốn đòi hỏi
học sinh phải biết vân dụng các kiến thức cơ bản trong toàn bộ
chương trình, các kỹ năng biến đổi từ dạng phức tạp và dạng
đơn giản một cách linh hoạt.
2
Trong quá trình giải phương trình bậc bốn học sinh cần có

tư duy lôgíc, khả năng tổng hợp vận dụng thành thạo các kiến
thức về phân tích đa thức thành nhân tử, biến đổi đồng nhất
cũng như các kiến thức về bất đẳng thức.
Thông qua đó giúp học sinh rèn luyện tư duy lôgíc, khả
năng tưởng tượng, phát huy được cao độ tính tích cực, chủ
động và vận dụng kiến thức vào thực tiễn.
2. Mục đích nghiên cứu:
Thông qua chuyên đề này giúp học sinh hiểu sâu và nắm
chắc hơn các phương pháp giải phương trình bậc bốn. Từ đó
nghiên cứu tìm tòi sáng tạo nhằm nâng cao chất lượng dạy và
học bộ môn toán trong trường THCS cũng như khi học tập ở
những cấp học cao hơn và trong các cuộc thi học sinh giỏi.
3. Đối tượng , phạm vi nghiên cứu:
Học sinh lớp 9 bậc trung học cơ sở.
3
4. Nhiệm vụ nghiên cứu:
Nghiên cứu các phương pháp cơ bản về giải phương trình
bậc bốn, đưa ra các ví dụ minh hoạ cụ thể, các dạng bài tập
củng cố và rèn luyện kỹ năng cho học sinh.
Tìm hiểu các đề thi mà trong đó có dạng bài tập giải
phương trình bậc bốn nhàm đưa ra phương pháp giải và dạng
tổng quát cho các dạng bài tập thường gặp làm tài liệu bổ ích
cho học sinh và giáo viên tham khảo và học tập.
Trong nội dung của đề tài này xin được tập trung giới
thiệu một số phương pháp và cách giải phương trình bậc bốn
như: Phương pháp phân tích thành nhân tử, phương pháp đặt ẩn
phụ ( phương trình trùng phương, phương trình hồi quy….).
5. Phương pháp nghiên cứu:
Thông qua quá trình giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi
bản thân tôi đã tìm hiểu và tích luỹ được.

4
Thông qua các bài kiểm tra, các kì thi chọn học sinh giỏi
hàng năm để rút ra kinh nghiệm bồi dưỡng cho học sinh.
Thông qua các tài liệu bồi dưỡng, các bài tập nâng cao.
B. NỘI DUNG
CHƯƠNG I - CƠ SỞ LÝ LUẬN
Bài toán giải phương trình bậc bốn rất được chú trọng
trong các đề kiểm tra, các kỳ thi học sinh giỏi các cấp cũng như
trong tất cả các tài liệu nâng cao và nó cũng xuất hiện rất nhiều
trong các đề tài nghiên cứu khoa học cũng như các tập trí toán
học hiện nay.
Các tài liệu viết về dạng toán giải phương trình bậc bốn
còn tản mạn, tuỳ thuộc nhiều vào người viết cũng như cách
5
hướng dẫn học sinh. Do đó chưa có những phương pháp cụ thể,
rõ ràng và chưa khắc sâu được kiến thức cho học sinh.
Đối với học sinh kỹ năng giải phương trình bậc bốn còn
nhiều hạn chế, chưa được rèn luyện thường xuyên.
Với những nguyên nhân trên việc chọn chuyên đề “Rèn kĩ
năng Giải phương trình bậc bốn đối với học sinh THCS” là
cần thiết để góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy và học tập
của giáo viên cũng như của học sinh.
CHƯƠNG II - KẾT QUẢ ĐIỀU TRA
KHẢO SÁT THỰC TIỄN
6
CHƯƠNG III - GIẢI PHÁP
A - Kiến thức cơ bản.
1. Định nghĩa phương trình bậc bốn một ẩn:
Phương trình bậc bốn một ẩn là phương trình có dạng:
ax

4
+ bx
3
+ cx
2
+ dx + e = 0
Trong đó: x được gọi là ẩn; a, b, c, d, e là những số cho
trước gọi là các hệ số và a
≠
0.
2. Cách giải phương trình bậc hai một ẩn:
Phương trình: ax
2
+ bx + c = 0 (a
≠
0)
∆
= b
2
- 4ac
7
∆
> 0 phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.
x
1
=
a
b
2
∆+−

; x
2
=
a
b
2
∆−−
.
∆
= 0 phương trình đã cho có nghiệm kép.
x
1
= x
2
= -
a
b
2
.
∆
< 0 phương trình đã cho vô nghiệm.
3. Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử:
B - Các phương pháp giải phương trình bậc bốn:
1. Phương pháp phân tích thành nhân tử:
Để giải phương trình bậc bốn dạng:
0
234
=++++ edxcxbxax
(1). Ta có thể đưa phương trình về dạng phương trình tích mà
các nhân tử ở vế trái của phương trình là các đa thức bậc nhất

và bậc hai. Ta có thể dự đoán nghiệm của phương trình (1)
bằng cách như sau:
+ Nếu a + b +c +d +e = 0 thì (1) có nghiệm x = 1.
8
+ Nếu a - b +c - d +e = 0 thì (1) có nghiệm x = -1.
+ Nếu a,b,c,d,e nguyên và (1) có nghiệm hữu tỉ p/q thì p,
q theo thứ tự là ước của e và a.
+ Nếu các phương pháp nhẩm nghiệm không có tác dụng
ta có thể vận dụng kiến thức phân tích đa thức thành nhân tử.
Ý tưởng thường được sử dụng là chuyển đa thức bậc bốn
về dạng:
( )( )
00
22
=+−⇔=− BABABA
khi đó ta được tích của hai
tam thức bậc hai. Do đó việc giải phương trình bậc bốn quy về
việc giải phương trình bậc hai. Đây cũng chính là cách để giải
mọi phương trình bậc bốn.
Ví dụ:

Giải các phương trình sau:
a)
012164
234
=−+−− xxxx
(1)
b)
0343
24

=−−− xxx
(2)
Giải:
9
a) Ta thấy a + b + c + d + e = 1 - 4 - 1 + 16 - 12 = 0 Do
đó phương trình (1) có nghiệm
1=x
. Khi đó phương trình (1)
viết được dưới dạng:
( )
( )
012431
23
=+−−− xxxx
(*)
Ta thấy
2
=
x
là nghiệm của phương trình
01243
23
=+−− xxx
.
Do đó (*)


( )( )
( )
0621

2
=−−−− xxxx







=−−
=−
=−
06
02
01
2
xx
x
x















−=
=
=
=
2
3
2
1
2
1
x
x
x
x
Vậy tập nghiệm của phương trình (1) là: S = {1; 2; -2; 3}.
b) Ta thấy phương trình (2)không áp dụng phương pháp
nhẩm nghiệm, nên ta vận dụng phương pháp phân tích đa
thức thành nhân tử:
(2)


( ) ( )
04412
224
=++−+− xxxx


( )( )
023
2
22
=+−− xxx
10


( )( )
013
22
=++−− xxxx






=++
=−−
(**)01
(*)03
2
2
xx
xx

Giải phương trình (*) ta được








−
=
+
=
2
131
2
131
2
1
x
x
Giải phương trình (*) vô nghiệm.
Vậy tập nghiệm của phương trình (2) là S =






+−
2
131
;
2

131
2. Phương pháp đặt ẩn phụ:
2.1 - Dạng 1: Phương trình trùng phương:
Giải phương trình: ax
4
+ bx
2
+ c = 0 (1)
Phương pháp:
Bước 1:
Đặt t = x
2
với t
≥
0.
Khi đó (1)
⇔
at
2
+ bt + c = 0 (2)
Đó là phương trình bậc hai theo ẩn t.
11
Bước 2:
Kết luận về nghiệm của phương trình (1)
Nếu (2) có nghiệm t
0

≥
0 thì (1) có nghiệm x =
0

t±
Ví dụ 1: Giải phương trình: x
4
- 4x
2
- 5 = 0 (*)
Giải: Đặt x
2
= t với t
≥
0
(*)
⇔
t
2
- 4t - 5 = 0 giải phương trình bậc hai ta được: t
1
= 1; t
2
= 5;
Kết hợp với điều kiện t
≥
0 ta có: t
1
= 1 không thoả mãn
(loại).
Với t
2
= 5 ta có: x
2

= 5
⇔
x
1
= -5 và x
2
= 5
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm: x
1
= -5 và x
2
= 5.
2.2 Dạng 2: Phương trình hồi quy có dạng:
ax
4
+ bx
3
+cx
2
+ dx + e = 0 (a
≠
0) (1)
Với
2







=
b
d
a
e
; e
≠
0.
12
Cách giải:
Bước 1:
Nhận xét x = 0 không phải là nghiệm của phương trình đã
cho. Chia cả hai vế của phương trình cho x
2

≠
0 ta được:
(1)
⇔

a






+
2
2

1
.
x
a
e
x
b
+
0
1
. =+






+ c
xb
d
x
(2)
Bước 2:
Đặt t =







+
xb
d
x
1
.
suy ra
b
d
t
x
a
e
x 2
1
.
2
2
2
−=+
Khi đó: (2)
⇔

0.2
2
=−++
b
d
acbtat
(3)

Đây là phương trình bậc hai quen thuộc.
Bước 3: Kết luận nghiệm của phương trình (1).
*Chú ý:
- Trong trường hợp đặc biệt
1=
a
e
tức là đối với những
phương trình có dạng:ax
4
+ bx
3
+ cx
2
+ bx + a = 0 ta cũng có
cách giải tương tự.
13
- Nhiều phương trình ở dạng ban đầu không phải là
phương trình hồi quy, tuy nhiên với phép đặt ẩn phụ thích hợp
ta có thể đưa chúng về dạng phương trình hồi quy. Từ đó áp
dụng phương pháp đã biết để giải.
2.3 Dạng 3: Phương trình có dạng:
(x + a) (x + b) (x + c) (x + d) = m với a + b = c + d
Phương pháp:
Bước 1: Viết lại phương trình dưới dạng:
mcdxdcxabxbax =++++++ ])(][)([
22
(2)
Bước 2: Đặt t = x
2

+ (a + b)x + ab

x
2
+ (c +d)x + cd = t - ab + cd
Khi đó: (2)

t(t - ab + cd) = m

t
2
- (ab - cd)t - m =0
Đây là phương trình bậc hai quen thuộc.
Bước 3: Kết luận về nghiệm của phương trình (2).
14
* Chú ý: Dạng phương trình trên được mở rộng tự nhiên cho
dạng phương trình: (a
1
x+a
2
)(b
1
x+b
2
)(c
1
x+c
2
)(d
1

x+d
2
) = m
Với điều kiện:



+=+
=
12211221
1111

cdcdbaba
dcba
Khi đó ta đặt t = (a
1
x+a
2
)(b
1
x+b
2
)
2.4 Dạng 4: Phương trình có dạng (x + a)
4
+ (x + b)
4
= c
Phương pháp:
Bước 1: Đặt








−
−=+
−
+=+
⇒
+
+=
2
2
2
ba
tbx
ba
tax
ba
xt
Khi đó phương trình đã cho có dạng:
c
ba
t
ba
t =







−
+






−
+
4
2
2
4
2
2.
2
122
Đó là phương trình trùng phương đã biết cách giải.
Bước 2: Kết luận về nghiệm của phương trình đã cho.
2.5 Dạng 5: Phương trình bậc bốn không ở các dạng
trên:
Giải phương trình:
0
234

=++++ edxcxbxax

( )
0≠a
15
Phương pháp:
Bước 1: Biến đổi phương trình về dạng:
( ) ( )
0
11
2
2
11
2
=+++++ ccxbxBcxbxA
Bước 2: Đặt
11
2
cbxt ++=
Khi đó phương trình đã cho có dạng:
0
2
=++ CBtAt
Đó là phương trình bậc hai theo ẩn t đã biết cách giải.
Bước 3: Kết luận về nghiệm của phương trình đã cho.
* Ta thấy cách đặt ẩn phụ cho phương trình bậc bốn rất
phong phú và đa dạng tuỳ thuộc vào đặc thù mỗi bài toán,
phương pháp được trình bày ở trên chỉ minh hoạ được một vài
dạng thường gặp trong chương trình toán bậc trung học cơ sở.
C – Bài tập áp dụng:

Giải các phương trình sau:
Bài 1:
16
a) 2x
4
- 6x
3
- x
2
+ 12x - 10 = 0.
b) 2x
4
- 6x
2
- 8x - 6 = 0.
c) x
3
– 2x
2
+ 6x – 12 = 6.
Bài 2:
a) 2x
4
– 8x
2
– 10 = 0.
b) –x
4
– 2x
2

– 26 = 13.
c) 2,6x
4
+ 1,8x
2
= 0.
Bài 3:
a) (x + 2)(x + 1)(x + 1)(x + 2) = 6.
b) (y – 6)(y + 5)(y – 2)(y + 1) = -2.
c) (12 + y)(y – 9)(y – 6)(y + 9) = 7.
Bài 4:
a) (x + 2)
4
+ (x + 6)
4
= 3.
b) (x – 2)
4
+ (x – 3)
4
= 10.
c) (2 – x)
4
+ (3 – 6)
4
= 100.
17
Bài 5: Cho phương trình x
4
– 2x

3
+ 6x – 5 = m.
a) Giải phương trình với m = -1.
b) Biện luận số nghiệm của phương trình với giá trị m.
c) Tìm m để phương trình đã cho có 1 nghiệm x = 1.
C. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
I. NHỮNG KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC:
Thông qua quá trình nghiên cứu và trực tiếp giảng dạy,
phần chuyên đề “Rèn kĩ năng Giải phương trình bậc bốn đối
với học sinh THCS” đã phát huy được tính tích cực, sáng tạo
của học sinh. Học sinh đã biết vận dụng các kiến thức cơ bản
vào việc giải bài toán để đạt kết quả cao.
18
Nhờ quá trình thường xuyên học hỏi đồng nghiệp, nghiên
cứu tích luỹ kinh nghiệm, tôi đã thường xuyên nâng cao chất
lượng của chuyên đề nghiên cứu thành một chuyên đề có hiệu
quả và chất lượng.
THỐNG KÊ KẾT QUẢ LỚP BỒI DƯỠNG
II. BÀI HỌC KINH NGHIỆM:
Qua việc hướng dẫn học sinh làm bài tập cho thấy kiến
thức về đề tài là kiến thức mở do giáo viên đưa vào cuối các
giờ luyện tập, hoặc giờ tự chọn nên nội dung đối với học sinh
19
còn phức tạp, khó hình dung, vì vậy cần đưa ra các dạng đi từ
dễ đến khó, kết hợp ôn tập, giao bài tập về nhà, kiểm tra học
sinh…
Sau khi hướng dẫn xong nội dung chuyên đề cần chỉ cho
học sinh những kiến thức cần thiết, đồng thời rèn luyện cho học
sinh những kĩ năng làm bài tập cho học sinh.
Cần đưa nội dung vào giờ dạy cho phù hợp, tránh dồn ép

học sinh tiếp nhận kiến thức một cách thụ động mà kết quả đạt
được không cao.
III. NHỮNG KIẾN NGHỊ VÀ ĐỀ XUẤT:
Đối với học sinh cần có đủ sách giáo khoa, sách tham
khảo và các bài toán nâng cao trên các tạp chí của bộ môn toán.
20
Đối với giáo viên cần có đủ tài liệu nghiên cứu, có tinh
thần học hỏi, tự nghiên cứu trau rồi kiến thức, tích luỹ kinh
nghiệm cho bản thân. Thường xuyên quan tâm đến việc giải các
bài tập theo các dạng ở trên.
Trong quá trình giảng dạy, cần tổ chức cho học sinh sáng
tạo tìm hiểu những cách giải mới, các lời giải hay. Biết khắc
sâu kiến thức cơ bản, các bài tập thường gặp nhằm đưa về dạng
tổng quát hoá.
Đối với các cấp quản lý, cần tạo điều kiện cho giáo viên
đi học tập các lớp nâng cao trình độ, tổ chức các lớp bồi dưỡng
thường xuyên nâng cao chuyên môn, nghiệp vụ, hỗ trợ nguồn
kinh phí cung cấp cho thư viện trường các đầu sách có giá trị,
đúng trọng tâm để giáo viên có tài liệu tham khảo.
Chuyên đề này đã được các đồng chí có kinh nghiệm bồi
dưỡng học sinh giỏi của Trường THCS Việt Vinh - Huyện Bắc
21
Quang góp ý kiến bổ sung. Tuy nhiên, chắc chắn không tránh
khỏi những sai sót. Một số ví dụ còn giải tắt, ít ví dụ minh hoạ
cũng như chưa đi hết các cách giải. Tôi rất mong nhận được sự
đóng góp ý kiến cũng như các nhận xét của tất cả các thầy, cô
và các bạn đồng nghiệp để tôi sửa chữa nhưng chỗ sai, những
chỗ còn thiếu sót nhằm nâng cao chất lượng của chuyên đề
nghiên cứu thành một chuyên đề thiết thực và có hiệu quả cao.
Tôi xin chân thành cảm ơn!

Bắc Quang, ngày 29 tháng 12 năm 2008
NGƯỜI THỰC HIỆN
Nguyễn Ngọc Tuấn
Xác nhận của Hội đồng nghiên cứu khoa học các cấp:
22
23
TÀI LIỆU THAM KHẢO:
1 - Sách giáo khoa toán bậc THCS.
2 - Sách giáo viên toán bậc THCS.
3 - Thiết kế bài giảng toán bậc THCS.
4 - Sách giải bài tập toán nâng cao.
5 - Sổ tay toán THCS.
6 - Một số vấn đề đổi mới phương pháp dạy học bậc THCS.
24
MỤC LỤC
TRANG
A. PHẦN MỞ ĐẦU…………………………………………. 1
Lí do chọn chuyên đề …………………………… 1
Mục đích nghiên cứu ………………………………… 1
Đối tượng, phạm vi nghiên cứu ………………… 1
Nhiệm vụ nghiên cứu ……………………… …… … 1
Phương pháp nghiên cứu ………………………… 1
B. NỘI DUNG ……………………………………………… 2
Cơ sở lí luận ………………………………………… 2
Điều tra khảo sát thực tiễn ………………………… 2
Giải pháp ………………………………………………. 2
Kiến thức cơ bản ……………………………… 2
Các phương pháp giải phương trình bậc bốn 3
Bài tập áp dụng ………………………………… 7
C. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ………………………………… 8

Những kết quả đạt được …………………….………. 8
Bài học kinh nghiệm ………………………………… 8
Những kiến nghị và đề xuất ………………… …… 9
25