Bài giảng số 6. Các phương pháp giải hệ phương trình mũ trong đề thi đại học

Khóa học: Phương trình mũ và logarit ôn thi đại học 2013

Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Tổ toán trường THPT Trần Ân Chiêm –Thanh Hóa

Bài giảng số 6: PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ

BÀI TOÁN 1: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ
I. Phương pháp:
Phương pháp được sử dụng nhiều nhất để giải các hệ mũ là việc sử dụng các ẩn phụ. Tuỳ theo dạng của hệ mà lựa chọn
phép đặt ẩn phụ thích hợp.
Ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Đặt điều kiện cho các biểu thức trong hệ có nghĩa
Bước 2: Lựa chọn ẩn phụ để biến đổi hệ ban đầu về các hệ đại số đã biết cách giải ( hệ bậc nhất 2 ẩn, hệ đối xứng loại I,
hệ đối xứng loại II và hệ đẳng cấp bậc 2)
Bước 3: Giải hệ nhận được
Bước 4: Kết luận về nghiệm cho hệ ban đầu.
II. Các ví dụ minh hoạ:
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình:
2 2 2 2
1
3 2 17
2.3 3.2 8
x y
x y
 



 





 



(I)
Giải:
Đặt
3
2
x
y
u
v











điều kiện u, v>0. Khi đó hệ (I) được biến đổi về dạng:
2
2 2

1
1
9 6 1 0
1
9 4 17 3
3
3
8 6
1
6 3 8
2
2 2
3
x
y
u u
x
u v
u
u
y
u v
v
v
 

 

  



 

 
 
  

 



  
   
    

    

 

    





  

 
 

Vậy hệ có cặp nghiệm (-1;1)
Ví dụ 2: Cho hệ phương trình:
1
1
3 2 2
3 2 1
x y
x y
m m
m m




 




  




a) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất.
b) Tìm m nguyên để nghiệm duy nhất của hệ là nghiệm nguyên.
Giải:
Đặt
1
3

2
x
y
u
v












điều kiện u
3

và v>0. Khi đó hệ (I) được biến đổi về dạng:
Khóa học: Phương trình mũ và logarit ôn thi đại học 2013

Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Tổ toán trường THPT Trần Ân Chiêm –Thanh Hóa


2
1
mu v m

u mv m


 



  


(II). Ta có:
1
m
D 
2
1
1
m
m
 
;
2
1
u
m
D
m



2
1
2 1;
1
v
m
m m D
m
   
2
2
1
m
m m
m
 


a) Hệ có nghiệm duy nhất khi:

2
0
1 0
1
2 1
3 3 2 1 2 1
1
1 0
0
1

u
v
D
m
m
D
m
u m m
D m
m m
D
m
v
m
D









 



 










 
             
  
  

  
   
  
  

 


 
 






Vậy hệ có nghiệm khi

2 1
m
   
.
a) Với m nguyên ta có m=-2 khi đó hệ có nghiệm là:

1
3 0
3 3
1 1
2 1
1
2 2
x
y
u x
x
v y
y




 

 
 

 



 
 
  
   
   
 


   
 





Vậy với m=-2 hệ có nghiệm nguyên (0;1)
Ví dụ 3: Cho hệ phương trình:
2cot sin
sin cot
9 3
9 81 2
gx y
y gx
m









 




a) Giải hệ phương trình vớim=1
b) Tìm m để hệ có cặp nghiệm (x;y) thoả mãn 0
2
y

 

Giải:
Biến đổi hệ về dạng:
2
. 3
u v m
u v


 



 



Khi đó u, v là nghiệm của phương trình
2
( ) 2 3 0
f t t mt
   
(1)
a) Với m=1 ta được:
sin
0; 0
2
2cot
1 3 9 3
2 3 0
3 1
9 1
y
u v
gx
t u
t t
t v
 

 


   





     
 

 
  
  
  
 



Khóa học: Phương trình mũ và logarit ôn thi đại học 2013

Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Tổ toán trường THPT Trần Ân Chiêm –Thanh Hóa

2
6
1
; 2
sin
5
2 6
; ,
2
2
5
6

cot 0
; 2
2 6
2
y k
x l y y k
y
k l Z
y k
gx
x l y y k
x l


 
 


 
 







 










    








  

   
  
 

  

  

    
  



 



 





Vậy với m=1 hệ có 2 họ cặp nghiệm.
Ví dụ 4: Giải hệ phương trình:
2 2 2
2 2 2
2 2
2
4 2 4 1
2 3.2 16
x x y y
y x y
 
 



  






 




Giải:
Viết lại hệ phương trình dưới dạng:
2 1
1 2
2 1
2
2
2
4 4.4 .2 2 1
2 3.4 .2 4
x
x y y
y x y
 








  






  





 


(I)
Đặt
1
2
4
2
x
y
u
v













điều kiện
1
4
u

và v>0.
Khi đó hệ (I) được biến đổi về dạng:
2 2
2
4 1(1)
4 4(2)
u uv v
v uv


  




 



(II)

Để giải hệ (II) ta có thể sử dụng 1 trong 2 cách sau:
Cách 1: Khử số hạng tự do từ hệ ta được:
2 2
4 13 3 0
u uv v
  
(3)
Đặt u=tv, khi đó:
 
2 2
3
(3) 4 13 3 0
1
4
t
v t t
t




    





+ Với t=3 ta được u=3v do đó:
2
(2) 8 4

v
  
vô nghiệm.
+ Với
1
4
t

ta được
1
4
4
u v v u
   do đó:
2
(2) 4 4 1
u u
   

Khóa học: Phương trình mũ và logarit ôn thi đại học 2013

Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Tổ toán trường THPT Trần Ân Chiêm –Thanh Hóa

2
1
2
1 1
1 0
4 1

4 2
2
2 4
x
y
u x
x
v y
y




 

 
  

 


 
 
   
   
   
 


   

 





Vậy hệ phương trình có 2 cặp nghiệm (1;2) và (-1;2)
Cách 2: Nhận xét rằng nếu (u;v) là nghiệm của hệ thì
0
u


Từ (2) ta được
2
4
3
v
u
v


(4). Thay (4) vào (1) ta được:
4 2
2 31 16 0
v v
  
(5)
Đặt
2
, 0

t v t
 
ta được:
2 2
16
1
(5) 2 31 16 0 16 4
1
4
(1)
2
t
u
t t v v
v
t









 
         
 
 


 
 






2
1
2
1
1 0
4 1
2
2
2 4
x
y
x
x
y
y









 
 



  
  
  
  


  









Vậy hệ phương trình có 2 cặp nghiệm (1;2) và (-1;2)
Ví dụ 5: Giải hệ phương trình:
2 1
2
2
2
2 3.2 2
2 3 2 2

x x
x
y
y y




  





  




Giải:
Đặt
2
x
u

điều kiện
1
u

. Hệ có dạng:

 
 
 
  
2 2
2 2 2 2
2 2
2 3 2
2 3
2 3 2
3 1 0
1
u u y
u y u y u y
y y u
u y
u y u y
y u


  


      


  








     


 



+ Với u=y, hệ phương trình tương đương với:
2 2 2
2 1 0
1 1
1
2
2 3 2 3 2 0 1
2 2
2
2
x
x
x
u y u y y y
u y
u y
u u u u u x
y

y







  







 


 

   

 


 


 


 

   
  


 
  
 
 
       

  
 



 
 









 

 






Khóa học: Phương trình mũ và logarit ôn thi đại học 2013

Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Tổ toán trường THPT Trần Ân Chiêm –Thanh Hóa

+ Với y=1-u, hệ phương trình tương với:



2
2
2
1
1
3 1 0
2 3 1 2
y u
y u
u u
u u u




 

 


 

 
 
  
   
 




vô nghiệm
Vậy hệ có 3 cặp nghiệm là (0;1), (1;2) và (-1;2).
Ví dụ 6: Giải phương trình:


 




log 3
log
2 2
2

2
9 3 2 (1)
1 1 1 (2)
xy
xy
x y



 





   




Giải:
Điều kiện xy>0
+ Giải (1): Đặt


2
log 2
t
t xy xy
  

. Khi đó phương trình (1) có dạng:



log 3
2 2
2
9 3 2 2 3 3 2.3 3 2.3 3 0
t t t t t t
        
(3)
Đặt
3 , 0
t
u u
 
, khi đó phương trình (3) có dạng:

2
1(1)
2 3 0 3 3 1 2
3
t
u
u u t xy
u

 

         






+ Giải (2):




2
2 2
2 2 1 0 2 2 1 0
x y x y x y x y xy
            





2
2 3 0
x y x y
     
(4)
Đặt v=x+y, khi đó phương trình (4) có dạng:

2
1 1
2 3 0

3 3
v x y
v v
v x y
 
  
 
    
 
    
 
 

Với x+y=1 ta được:
1
2
x y
xy


 







Khi đó x, y là nghiệm của phương trình:
2

2 0
X X
  
vô nghiêm
Khóa học: Phương trình mũ và logarit ôn thi đại học 2013

Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Tổ toán trường THPT Trần Ân Chiêm –Thanh Hóa

Với x+y=-3, ta được:
3
2
x y
xy


  







Khi đó x, y là nghiệm của phương trình :
2
1 1
3 2 0
2 2
X x

X X
X y
 

 



    



 



 
và
2
1
x
y











Vậy hệ có 2 cặp nghiệm (1;2) và (2;1)
Ví dụ 7: Giải hệ phương trình:
3 1 2 3
2
2 2 3.2 (1)
3 1 1 (2)
x y y x
x xy x
  


 




    



Giải:
Phương trình (2)
 
2
1 0
1 0
1
0 1

3 1 0
3 1 1
3 1 0 1 3
x x
x
x
x x
x x y
x xy x
x y y x
 

  





 


 




 
 

  

   
  




  
  
   


  



 
     






 
 

+ Với x=0 thay vào (1) ta được:
2
2
8 8

2 2 3.2 8 2 12.2 2 log
11 11
y y y y y
y

        
+ Với
1
1 3
x
y x


 



 


thay y=1-3x vào (1) ta được:
3 1 3 1
2 2 3.2
x x  
 
(3)
Đặt
3 1
2
x

t


vì
1
t
 
nên
1
4
t






2 3 1
2 2
3 8(1)
1
(3) 6 6 1 0 2 3 8
3 8
1
log 3 8 1 2 log 3 8
3
x
t
t t t
t

t
x y


 

          


 

 
       
 
 

Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm:
2
0
8
log
11
x
y












và




2
2
1
log 3 8 1
3
2 log 3 8
x
y


 

  

 

 




  




BÀI TOÁN 2: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ
I. Phương pháp:
Khóa học: Phương trình mũ và logarit ôn thi đại học 2013

Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Tổ toán trường THPT Trần Ân Chiêm –Thanh Hóa

Ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Đặt điều kiện cho các biểu thức trong hệ có nghĩa.
Bước 2: Từ hệ ban đầu chúng ta xác định được 1 phương trình hệ quả theo 1 ẩn hoặc cả 2 ẩn, giải phương trình này
bằng phương pháp hàm số đã biết
Bước 3: Giải hệ mới nhận được
II. Các ví dụ minh hoạ:
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình:
2 2
3 3 (1)
12(2)
x y
y x
x xy y


  





  




Giải:
Xét phương trình (1) dưới dạng:
3 3
x y
x y
  
(3)
Xét hàm số
( ) 3
t
f t t
 
đồng biến trên R.
Vậy phương trình (3) được viết dưới dạng:




f x f y x y
  
. Khi đó hệ có dạng:
2 2 2
2

2 2
12 3 12
x y x y
x y x y
x x y
x xy y x
 
 
 
 

  
 

 

  
  

  
    
   

  
 
 
 

Vậy hệ phương trình có 2 cặp nghiệm (2;2) và (-2;-2)
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình:

2 2 3
2 2 3
x
y
x y
y x


  




  




Giải:
Biến đổi tương đương hệ về dạng:
2 2 3
2 3 3 2 3 3
3 2 2
x
x y
y
x y
x y
x y



  


     


  



(1)
Xét hàm số


2 3 3
t
f t t
  
là hàm đồng biến trên R.
Vậy phương trình (1) được viết dưới dạng:




f x f y x y
  
.
Khi đó hệ thành:
2 2 3 2 3 (2)

x x
x y x y
x y x
 
 
 
 
 

 
 
    
 
 
 
(II)
Khóa học: Phương trình mũ và logarit ôn thi đại học 2013

Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Tổ toán trường THPT Trần Ân Chiêm –Thanh Hóa

+ Giải (2): Ta đoán được x=1 vì
1
2 3 1
 
. Vế trái là một hàm đồng biến còn vế trái là hàm số nghịch biến do vậy x=1
là nghiệm duy nhất của phương trình này. Khi đó hệ (II) trở thành:

1
1

x y
x y
x




  






Vậy hệ đã cho có nghiệm x=y=1.
Ví dụ 3: Giải hệ phương trình:




2 2
2 2 2 (1)
2 (2)
x y
y x xy
x y


   





 




Giải:
Thay (2) vào (1) ta được:




2 2 3 3
3 3
2 2 2 2
2 2 (3)
x y x y
x y
y x x y xy y x
x y
        
   

Xét hàm số


3
2

t
f t t
 
đồng biến trên R.
Vậy phương trình (3) được viết dưới dạng:




f x f y x y
  
. Khi đó hệ có dạng:
2 2 2
1
1 1
2 2 2
x y x y
x y x y
x x y
x y x
 
 
 
 
 
  
 
 
 
  

   
   
    
  
   
 
 
 


Vậy hệ có 2 cặp nghiệm (1;1) và (-1;-1)
BÀI TOÁN 3: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ
I. Phương pháp:
Nhiều bài toán bằng cách đánh giá tinh tế dựa trên các:
+ Tam thức bậc hai
+Tính chất hàm số mũ
+Bất đẳng thức
+……
Ta có thể nhanh chóng chỉ ra được nghiệm của hệ hoặc biến đổi hệ về dạng đơn giản hơn.
Khóa học: Phương trình mũ và logarit ôn thi đại học 2013

Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Tổ toán trường THPT Trần Ân Chiêm –Thanh Hóa

II. Các ví dụ minh hoạ:
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình:
1 1
1
2 2
2

2 3 2 2 3
2 .3 1
x y x y
x y
 




   










Giải:
Đặt
1
2
2
x
y
u
v













điều kiện u>0 và
1
3
v

. Hệ có dạng:
2(1)
1(2)
u v u v
uv


   









(I)
Biến đổi (1) về dạng:








2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
4 2 2 2 2 4 4
u v u v u v u v u v u v uv
              

Khi đó hệ tương đương với:
2 2
2 2
1
2
2 0
2 1
0 0
1
1 0 1
3 1
1

x
y
u v
x x
u v u v
y y
uv



 



 


 
 


 
   
      
   
   
   

   
 

 

 





Vậy hệ có 2 căp nghiệm (0;1) và (0;-1)
BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1: Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp biến đổi tương đương
a)
1
3 2
4 2
2 2
2 5 4
x x
X
x
y
y y









 

b)
3 1 2 3
2
2 2 2
3 1 1
x y x y
x xy x
  

 


   


c)
2x
3y
5
y
x
x 2(1 y)
y y
2 2 .2
3 3.3










Bài 2: Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp đặt ẩn phụ
a)
log log
2 2 3
y x
x y
xy y




 


b)
lg lg
lg4 lg3
3 4
(4 ) (3 )
x y
x y








c)


 





2 2
64 64 12
.
64 4 2
x y
x y

Bài 4: Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp hàm số
a)
2 2
1
2 2
x y x
x y y x
x y
 


  


  


b)
2 1
2 1
2 2 3 1
2 2 3 1
y
x
x x x
y y y



    



    


Khóa học: Phương trình mũ và logarit ôn thi đại học 2013

Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Tổ toán trường THPT Trần Ân Chiêm –Thanh Hóa

c)
2( 1)
1
x y x y
x y
e e x
e x y
 


  


  


d)
1 2
2
(1 4 )5 1 3
1
3 1 2
x y x y x y
x y y y
x
    

  



   

