Các phương pháp xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp

Khóa học thể tích khối đa diện

Bài giảng độc quyền bởi Page 1
Biên soạn: Th.S. Đỗ Viết Tuân –Trung tâm luyện thi EDUFLY- Hotline: 0987708400
Bài giảng số 3 ôn thi đại học
CÁC PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH TÂM VÀ BÁN KÍNH MẶT CẦU NGOẠI TIẾP KHỐI ĐA DIỆN
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Có 4 phương pháp xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
-Chỉ ra một điểm cách đều các đỉnh của khối đa diện
-Dựng trục đường tròn đáy và mặt phẳng trung trực của một cạnh bên
-Dựng hai trục đường tròn của hai mặt của khối đa diện
-Dùng phương pháp tọa độ tìm tâm và bán kính mặt cầu.
B. CÁC VÍ DỤ MẪU
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA = SB = a, mặt phẳng (SAB) vuông góc
với mặt đáy. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.
Lời giải
Gọi H là trung điểm của AB, ta có
( ) (1)
( ) ( )
SH AB
SH ABCD
SAB ABCD


 



Gọi O là tâm đường tròn đáy và từ O
dựng đường thẳng d vuông góc với

(ABCD) suy ra
/ /
d SH

Vì SA = SB = a = AB nên tam giác
SAB đều. Gọi G là trọng tâm của SAB
suy ra G là tâm đường tròn ngoại tiếp
tam giác SAB.
Từ G dựng được thẳng d’ vuông góc
với (SAB) thì d’ và d cắt nhau tại I thì I
là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
S.ABCD. Bán kính R =SI
Ta có
3 2 3
2 3 3
a a
SH GS SH   
2
a
OH



O
A
B
C
D
S
H

G
I


Khóa học thể tích khối đa diện

Bài giảng độc quyền bởi Page 2
Biên soạn: Th.S. Đỗ Viết Tuân –Trung tâm luyện thi EDUFLY- Hotline: 0987708400
Xét tam giác vuông SGI, theo định lý Pitago ta có
2
2 2 2 2 2
7 7
.
12
2 3
a a
SI SG IG SG OH R      
Bình luận: Bài tập này sử dụng phương pháp tìm tâm mặt cầu bằng giao của hai trục đường tròn ngoại tiếp
đáy ABCD và tam giác SAB.
Ví dụ 2: (Khối B-2010) Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh AB = a, góc giữa hai mặt phẳng
(A’BC) và (ABC) là 60
0
. Gọi G là trọng tâm tam giác A’BC. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và bán kính
mặt cầu ngoại tiếp tứ diện G.ABC.
Lời giải

Vì tam giác ABC đều nên đường cao
3
2
a

AH  .

Theo giả thiết thì


' ' 0
(( ), ( )) 60
A BC ABC A HA 
Trong tam giác vuông A’AH tại H, theo công thức
tỉ số lượng giác ta có:
0
' 3
tan 60 ' 3
2
AA a
AA AH
AH
   
Vậy thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ là
3
1 3 3
'. '. . .
2 8
ABC
a
V AA S AA AH BC

  
B'
A'

C'
A
CB
H
G
O
M
I

Từ G hạ
( )
GO AH O AH
 
, khi đó
1
.
' ' 3
GO OH HG
AA AH HA
 
Suy ra O là trọng tâm của tâm giác ABC và O
là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Vậy GO là trục đường tròn của đáy ABC.
Trong mặt phẳng (GAH), kẻ trung trực của GA cắt GO tại I thì I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp G.ABC.

Khóa học thể tích khối đa diện

Bài giảng độc quyền bởi Page 3
Biên soạn: Th.S. Đỗ Viết Tuân –Trung tâm luyện thi EDUFLY- Hotline: 0987708400
Ta có
'

.
3 2
AA a
GO
 
Xét tam giác vuông GOA, theo Pitago, ta có
2 2 2
2 2 2
7 21
4 3 12 6
a a a a
GA GO AO GA      
Dễ thấy
GMI

đồng dạng với
GOA

theo trường hợp (g-g)
Từ đó suy ra:
2
2
7
. 7
12
2 12
a
GI GM GAGM GA a
GI
GA GO GO GO a

      .
Vậy bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp G.ABC là
7
.
12
a
R 

Ví dụ 3: Cho tứ diện ABCD có hai tam giác tam giác ABC và DBC đều cạnh a. Góc giữa AD và mặt phẳng
(ABC) bằng 45
0
. Tính thể tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.

Lời giải

Gọi H là trung điểm của CB, dễ thấy
( )
CB DAH

. Hạ
' ' ( ).
DH AH DH ABC
  

Vậy


0
( ,( )) ' 45
DA ABC DAH 

Mà

0
90
DBC ABC HA HD DHA      

Vậy H’ trùng với H.
Tức
( )
DH ABC

.
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, vì ABC đều
nên G là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC.
Từ G dựng đường thẳng d vuông góc với ABC
tại G suy ra d//DH
Trong mặt phẳng (DHA) dựng đường trung
trực của cạnh bên DA cắt d tại I thì I là tâm
mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
Vì tam giác AHD vuông cân tại H nên suy ra
N
D
C
B
A
H
H'
G
K
I

Khóa học thể tích khối đa diện

Bài giảng độc quyền bởi Page 4
Biên soạn: Th.S. Đỗ Viết Tuân –Trung tâm luyện thi EDUFLY- Hotline: 0987708400
6 6
2
2 4
a a
DA AH AK   

Tam giác NGA vuông cân tại G nên
2 3
3 3
a
NG GA AH   và
6
2
3
a
NA GA 
Tam giác NKI cũng vuông cân nên ta có
6 6 6
3 4 12
a a a
IK NK AN AK     
Tam giác vuông IKA, theo Pitago ta có:
2 2
2 2

6 6 60
144 16 12
a a a
R IA IK AK      .

Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D với AB=AD=a, CD=2a. Canh
bên SD

(ABCD) và SD=a. Gọi E là trung điểm của CD và I là trung điểm của BC.
a) Tính độ dài cạnh DI.
b) Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SBCE.
Lời giải
a) Dễ thấy tam giác BEC vuông cân tại E nên ta có
2 2
BC BE a
 
.
Xét tam giác DIC, theo định lý hàm số cosin ta có:
2
2 2 2 0 2
2
2 2
2 . .cos45 4 2.2 .
2 2 2
5 10
2 2
a a
DI DC CI DC CI a a
a a
DI

     
  


Khóa học thể tích khối đa diện

Bài giảng độc quyền bởi Page 5
Biên soạn: Th.S. Đỗ Viết Tuân –Trung tâm luyện thi EDUFLY- Hotline: 0987708400
b) Dựng trục đường tròn của tam giác BCE
(Đường thẳng vuông góc với (BCE) tại I.
Dễ chứng minh được
( )
CB SDB CB SB
  

Gọi J là trung điểm thì J là tâm đường tròn
ngoại tiếp tam giác DBC, dựng trục đường
tròn của tam giác DBC và giả sử trục đường
tròn này cắt cắt trục đường tròn tam giác BCE
tại O thì O là tâm mặt cầu ngoại tiếp S.BCE.
Gọi R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình
chóp S.BCE.
Khi đó, xét tam giác vuông IOC theo Pitago ta
có:
2
2
2
a
OI R 
Từ O hạ

OH SD

, ta có DH = OI
j
O
D
A
B
C
S
E
I
H

Ta có
2
2
10
,
2 2
a a
SH SD DH a R OH DI      
Xét tam giác vuông SHO, theo định lý Pitago, ta có:
2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 2 2 2
2
2 2 2 2
5

( )
2 2
5
2
2 2 2
11
2 3 4 2 9 .
2 2
a a
SO SH OH R a R
a a a
R a a R R
a a
R a R a a R
      
      
       

C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
1. Cho tứ diện S.ABC có SA, SB, SC đôi một vuông góc nhau và có độ dài lần lượt la a, b, c. Hãy xác định
tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện (Đs:R=
222
cba
2
1
 )

Khóa học thể tích khối đa diện

Bài giảng độc quyền bởi Page 6

Biên soạn: Th.S. Đỗ Viết Tuân –Trung tâm luyện thi EDUFLY- Hotline: 0987708400
2. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, mặt bên hợp với đáy một góc bằng

. Xác
định tâm và tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. (ĐS: R =


tg12
)tg4(a3
2
)
3. Cho mặt phẳng (P)

mặt phẳng (Q) và (P)

(Q) = Δ. Trên Δ lấy A, B sao cho AB = a.Trong mặt
phẳng (P) lấy C, trong mặt phẳng (Q) lấy D sao cho AC và BD cùng vuông góc với Δ và AC = BD = a. Tính
bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD) theo a.
(Đs: R =
2
3a
; d =
2
2a
).
4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, Tam giác SAB đều cạnh a nằm trong mặt phẳng
vuông góc với đáy, góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng (ABCD) bẳng 30
0
.
a) Tính thể tích khối chóp. SABCD.

b) Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.

5. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có các cạnh bên bằng a và mặt chéo SAC là tam giác đều.
a) Tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. Đs:
a 3
R
3

b) Qua A, dựng mặt phẳng
( )

vuông góc với SC. Tính diện tích thiết diện tạo bởi mặt phẳng
( )

và
hình chóp. =>
2
AMNP
a 3
S
6

6. Hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SA = a và đáy ABCD là tứ
giác nội tiếp đường tròn bán kính r, trong đó các đường chéo AC và BD vuông góc với nhau. Tính bán kính
R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.
7. Cho tứ diện ABCD có AB=a, CD=b, các cạnh còn lại bằng c. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
ABCD. Đs:
2 2 2
2 2 2
1 4

2 4
c a b
R
c a b


 

8. Cho tứ diện ABCD có AB=x. Hai mặt phẳng ACD và BCD là các tam giác đều cạnh a. Gọi M là trung
điểm của AB.
a) Xác định x khi DM là đường cao của tứ diện
2
x a



Khóa học thể tích khối đa diện

Bài giảng độc quyền bởi Page 7
Biên soạn: Th.S. Đỗ Viết Tuân –Trung tâm luyện thi EDUFLY- Hotline: 0987708400
b) Cho DM

(ABC). Tính bán kính mặt cầu nội tiếp ABCD.
(2 3)
2
a
r


9. Cho tứ diện ABCD với ,

AB AC a BC b
  
Hai mặt phẳng (BCD) và (ABC) vuông góc nhau và có
0
90
BDC  Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD theo a và b.
Đs:
2
2 2
a
R
4a b



10. Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng
2
a
. Lấy điểm H thuộc đoạn AC sao cho
2
a
AH

. Trên đường
thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) tại H lấy điểm S sao cho góc ASC = 45
0
. Xác định tâm và bán kính
mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.