Tìm số phức và tìm tập hợp điểm biểu diễn cho số phức trên mặt phẳng tọa độ

Khóa học: Số phức ôn thi đại học


Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà

BÀI GIẢNG SỐ 02: TÌM SỐ PHỨC VÀ TÌM TẬP HỢP ĐIỂM BIỂU DIỄN CHO SÔ PHỨC
Dạng 1: Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện cho trước
Giải phương trình nghiệm phức:
Phương pháp: Áp dụng các phép toán (cộng, trừ, nhân, chia) các số phức để tìm nghiệm
phức
z a bi
 
của phương trình đã cho.
Ví dụ 1: Giải phương trình nghiệm phức
a.
25
8 6
z i
z
  

b.
2
0
z z
 

Bài giải:
a. Ta có:
25 25

8 6 8 6
z i x yi i
z x yi
       




2 2
25
8 6
x yi
x yi i
x y

   






2 2 2 2 2 2 2 2
( ) ( ) 25 25 8 6
x y x y x y i x yi x y x y i
         





2 2 2 2 2 2 2 2
( 25) ( 25) 8 6
x y x y x y i x y x y i
         




   
2 2 2 2
2 2 2 2
25 8
25 6
x x y x y
y x y x y

   



   


4 4
3 3
x
x y
y
   

2 2 2 2
4 16 16
25 8
3 9 9
y y y y y
   
    
   
   
2 2 2 2 2 2
16 16 25 25
25 6 25 6.
9 9 9 9
y y y y y y y y
     
       
     
     

2 2 3 2
1 6
1 6 9 0
9 9
y y y y y y
 
      
 
 
0
3

y
y






0
4
x
x







0( )
4 3
z L
z i



 


Vậy số phức z là: z = 4 + 3i

b. Ta có:
2
0
z z
 

 
2
2 2 2 2
0 2 0
x yi x yi x y xyi x y
         

2 2 2 2
2 0
x y x y xyi
     
2 2 2 2
0
0
x y x y
xy

   







2 2 2 2
0
0
0
x y x y
x
y

   











Nếu
2
0
0 0
1
y
x y y
y



     

 

0
z
z i




 


Khóa học: Số phức ôn thi đại học


Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà

Nếu
2
0 0
0 0
1 1( )
x z
y x x
x z L
 
 

     
 
  
 


Vậy
0
z
z i



 


Ví dụ 2: Tìm số phức z thỏa mãn:
 
2 10
. 25
z i
z z

  






Bài giải:
Gọi số phức z = x + yi
Ta có:


2 10 2 10
z i x yi i       


2 1 10
x y i    
       
2 2 2 2
2 1 10 2 1 10
x y x y
         
(1)
Mặt khác:
. 25
z z





25
x yi x yi
   
2 2
25

x y
  
(2)
Từ (1) và (2)
   
2 2
2 2
3
4
2 1 10
5
25
0
x
y
x y
x
x y
y
 





   
 

 





 









Vậy
3 4
5
z i
z
 





Ví dụ 3: Tìm số phức z thỏa mãn :








4)(
22
22
zz
izziz

Bài giải:
Ta có:
2 2
z i z z i
   
     
2
2 2
2 1 2 2 2 1 2 ( 1)
x y i y i x y y         

2 2 2 2
2 1 2 1 4 0
x y y y y x y
         
(1)
Có :
2 2
( ) 4
z z
 
2 2 2 2

2 2 4 4 4
x y xyi x y xyi xyi
        

2 2
1 1 1
x y xy xy
      

Khóa học: Số phức ôn thi đại học


Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà

Với
3
2
3
3
4 0
1 4 1
1 0 4
0
4
x
xy y x x y
x x
x


 
          





Với
1
1xy y
x
    
3
2
3
3
4 0
4 1
0 4
0
4
x
x x y
x
x

 
        





Vậy
3
3
3
3
1
4
4
1
4
4
z
z

 



  



Dạng 2: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z
Biểu diễn hình học của số phức: Số phức
 
z a bi
được biểu diễn bởi điểm
M( a;b )

trong mặt phẳng Oxy.
Loại 1: Số phức z thỏa mãn biểu thức về độ dài (môđun)
Phương pháp: Sử dụng công thức
2 2
z a b
 

Ví dụ 1: Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa
mãn:
a.
1
z i
 

b.
1
z i
z i




c.
3 4
z z i
  

Bài giải:
Với số phức z = x + yi



,
x y R
 được biểu diễn bởi điểm M (x; y)
a. Ta có:
   
2
2
1 1 1
z i x yi i x y i x y          

 
2
2
1 1
x y
   

Vậy tập hợp điểm M thuộc đường tròn tâm


0;1
I , bán kính R = 1


Khóa học: Số phức ôn thi đại học


Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi

Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà

b. Ta có:
1
z i
z i







1 1
z i z i x y i x y i
         
   
2 2
2 2
1 1 0
x y x y y
       

Vậy tập hợp điểm M thuộc trục Ox ( trục thực )
c. Ta có:
3 4
z z i
  



3 4 3 4
x yi x yi i x y i
         

   
2 2
2 2
3 4 6 8 25 0
x y x y x y
        

Vậy tập hợp điểm M thuộc đường thẳng (d): 6x + 8y – 25 = 0
Ví dụ 2: Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số thỏa mãn
điều kiện
3 4
z z
  

Bài giải:
Với số phức z = x + yi


,
x y R
 được biểu diễn bởi điểm M (x; y )
Ta có:
4 3 3 2 3
z z x yi x yi x
         

2 3 4
x
   
1
2 3 4
2
2 3 4 7
2
x
x
x
x



 

 


  


 



Vậy tập hợp điểm M thuộc hai đường thẳng:
1 7
,

2 2
x x
  

Ví dụ 3:Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số thỏa mãn điều
kiện:
a.
2 2
z i z z i
   

b.
4
z i z i
   

Bài giải:
Với số phức z = x + yi


,
x y R
 được biểu diễn bởi điểm M (x; y)
a. Ta có:
2 2 2 2
z i z z i x yi i x yi x yi i
           

Khóa học: Số phức ôn thi đại học

Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà

       
2 2
2
2 1 2 1 2 1 4 1
x y i y i x y y         

   
2
2 2
2
1 1
4
x
x y y y      
Vậy tập hợp điểm M thuộc parabol (P):
2
4
x
y 
b. Ta có:
4
z i z i
   
4
x yi i x yi i
      





1 1 4
x y i x y i
      
   
2 2
2 2
1 1 4
x y x y
      

Gọi
1 2
(0;1), (0; 1)
F F
  
 
2
2
1
1
MF x y   

 
2
2

2
1
MF x y  

Nếu
 
2 2
2 2
: 1
x y
M E
a b
  
1 2
2
MF MF b
  

Mặt khác
   
2 2
2 2
1 2
1 1 4
MF MF x y x y
       

Do đó:
2 4 2
b b

  

Ta có c = 1, b = 2
2 2 2
4 1 3
a b c
     

Vậy tập hợp điểm M thuộc parabol (E) :
2 2
1
3 4
x y
 

Loại 2: Số phức z là số thực (thực âm hoặc thực dương), số ảo.
Phương pháp:
a. Để z là số thực điều kiện là b = 0
b. Để z là số thực âm điều kiện là
0
0
a
b






c. Để z là số thực dương điều kiện là

0
0
a
b






d. Để z là số ảo điều kiện là
0
b


e. Để z là số thuần ảo
0
0
a
b






Khóa học: Số phức ôn thi đại học


Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi

Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà




Ví dụ 1:
a. Cho số phức z = x + yi


,
x y R
 . Khi
z i

, hãy tìm phần thực và phần ảo của số
phức
z i
z i



b. Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa
mãn điều kiện
z i
z i


là số thực dương
Bài giải:
a. Ta có: w=

z i
z i




 




 
2
2
1 . 1
1
1
1
x y i x y i
x y i
x yi i
x yi i x y i
x y
   
   
 
 
   
  
   

 


 
2 2
2
2
1 2
1
x y xi
x y
  

 

Do đó, số phức w có phần thực là
 
2 2
2
2
1
1
x y
x y
 
 
, phần ảo là
 
2
2

2
1
x
x y 

b. Để w là số thực dương điều kiện là
2 2 2
1
1 0 1
2 0 0
0
y
x y y
x x
x
 
 
   

 
  
 


 


Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z thuộc trục Oy ( trục ảo) trừ các điểm có
tung độ
1

y


Ví dụ 2: Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức thỏa mãn điều kiện
 


2
z i z
 
là số ảo tùy ý
Bài giải:
Với số phức z = x + yi


,
x y R
 được biểu diễn bởi điểm M (x; y)
Ta có: w =
 


    
2 2
2 2 2 2 2
z i z x yi i x yi x y x y x y i
              

Khóa học: Số phức ôn thi đại học

Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà

Để w là số ảo điều kiện là
2 2 2 2
2 0 2 0
x y x y x y x y
         

 
2
2
1 5
1
2 4
x y
 
    
 
 

Vậy tập hợp điểm M thuộc đường tròn tâm
1
1;
2
I
 
 
 

và bán kính
5
2
R 
Ví dụ 3: Xác định tập hợp các điểm nằm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức
thỏa mãn
z
k
z i


, k là số thực dương cho trước
Bài giải:
Với số phức z = x + yi


,
x y R
 được biểu diễn bởi điểm M ( x; y )
Ta có:
 
2 2
2
2
2
1
z x yi x y
k k
z i x yi i
x y

 
   
  
 
(1)
Xét hai trường hợp:
TH1: Nếu k = 1 thì (1)
 
2
2 2 2
1
1
2
x y x y y
      

Vậy điểm M thuộc đường thẳng
1
2
y


TH2: Nếu
1
k

thì (1)
2 2
2 2
2 2

2 2
0
1 1
k y k
x y
k k
    
 

 
2
2 2
2
2
2
2
1
1
k k
x y
k
k
 
   
 

 


Vậy điểm M thuộc đường tròn tâm

2
2
0;
1
k
I
k
 
 

 
và bán kính
2
1
k
R
k



BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
Khóa học: Số phức ôn thi đại học


Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà

1. Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng biểu diễn số phức z thỏa mãn điều
kiện
3 4

z z i
  
ĐS: 6x + 8y – 25 = 0
2. Tìm tất cả các điểm của mặt phẳng phức biểu diễn số phức z sao cho
z i
z i


là một
số thực ĐS: trục thực Ox hoặc trục ảo Oy
3. Xác định tập hợp các điểm của mặt phẳng phức biểu diễn số phức z sao cho
1
3
z i
z i



ĐS: y = 1
4. a) Giải phương trình sau trên tập số phức C:
1 2
z iz i
  
ĐS: z =
3
2
2
i


b) Hãy xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z
thỏa mãn
1 2
z
 
ĐS: bên trong đường tròn tâm


1;0 , 2
I R


c) Hãy xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z
thoả mãn 1 < | z – 1 | < 2 ĐS: bên trong






1;0 , 2 \ 1;0 , 1
I R I r
 

5. Trong mặt phẳng tọa độ tìm tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức z thỏa mã
điều kiện


1
z i i z

   ĐS: Đường tròn tâm


0; 1 , 2
I R 
6. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức


w 1 3 2
i z
  
biết rằng số phức z
thỏa mãn
1 2
z
 
ĐS: Đường tròn tâm


3; 3 , 4
I R


7. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn:


1
z i i z
   ĐS: Đường tròn tâm



0; 1 , 2
I R 
8. . Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn
điều kiện:


3 4 2
z i
  
ĐS: Đường tròn tâm


3; 4 , 2
I R
 

9. Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa mãn
điều kiện
2 2 5
z z
   
ĐS:
2 2
1
25 9
4 4
x y
 

Khóa học: Số phức ôn thi đại học


Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà