bt về tập hợp điểm biểu diễn cho số phức

BÀI TẬP VỀ TẬP HỢP ĐIỂM M (x, y) TRÊN MẶT PHẲNG PHỨC
Phương pháp:
* Thay z = x + yi vào điều kiện của bài toán
* Chuyển điều kiện của bài toán từ z sang x và y
* Nhận dạng phương trình với x và y (có thể là đường thẳng, đường tròn, …)
Ví dụ : Tìm số phức z, nếu
2
0z z+ =
.
Đặt z = x + yi, khi đó
2 2 2 2
0 ( ) 0z z x yi x y+ = ⇔ + + + =
(
)

− + + =

⇔ − + + + = ⇔

=


2 2 2 2
2 2 2 2
0
2 0
2 0
x y x y
x y x y xyi
xy
⇔

2
2
0
0
0
0, 0
0
0 (1 ) 0
0, 1
1
0, 1
0 0
0 (do 1 0)
0, 0
(1 ) 0
0
0
x
x
x
x y
y
y y y y
x y
y
x y
y y
x x
y x
x x

x x
y

=


=

=





 
= =

=




 



− + = − =

= =
 



  



=
⇔ ⇔ ⇔







= = −
= =
 








= + >







= =

+ =
+ =


 





=



Vậy có ba số phức thoả điều kiện là z = 0; z = i; z = − i.
2. Biểu diễn số phức trong mặt phẳng toạ độ
Ví dụ 1: Giả sử M(z) là điểm trên mặt phẳng toạ đô biểu diễn số phức z. Tìm tập hợp những
điểm M(z) thỏa mãn điều kiện sau a)
− + =1 2z i
; b)
+ = −2 z i z
.
a) Đặt z = x + yi suy ra z − 1 + i = (x − 1) + (y + 1)i.
− + =1 2z i
2 2 2 2

( 1) ( 1) 2 ( 1) ( 1) 4.x y x y− + + = ⇔ − + + =
Vậy tập hợp các điểm M(z) trên mặt phẳng toạ độ biểu diễn các số phức z thỏa mãn giả thiết là
đường tròn tâm I(1; − 1) bán kính R = 2.
b) Gọi A (− 2 ; 0), B(0 ; 1). Khi đó
+ = −2 z i z

⇔ − − = −( 2)z z i
hay là M(z)A = M(z)B. Vậy tập
hợp các điểm M(z) là đường trung trực của đoạn thẳng AB.
Bài tập áp dụng:
Bài 1: Tìm tập hợp các số phức z sao cho:
a)
1z =
b)
2 2
1z z
+ =
c)
1
z
z
=
Giải:
a) Với z = x + yi ta có
2 2
1 1x yi x y+ = ⇔ + =
⇒ Tập hợp các số phức là đường tròn tâm O bán kính R = 1
b) Với z = x + yi ta có
( ) ( )
2 2

2 2 2 2
1 2 2 1 2 2 1x yi x yi x y x y+ + − = ⇔ − = ⇔ − =
⇒ Tập hợp các số phức là đường hyperbol với
2 2
1 1
2 2
,a b
 
= =
 ÷
 
c) Với z = x + yi ta có
2 2
2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
1
1
x yi
x yi x yi
x yi x y
x y
x y x y
x y x y
−
+ = ⇔ + =
+ +
   
⇔ + = + ⇔ + =
 ÷  ÷

+ +
   

Bài 2: (TT)
a)
2 1z =
b)
2 1z i =
c)
3 2z + =
d)
2 3 4z i+ =
d)
1 2 4z i z+ + =
e)
3 2z i =
f)
2 1z i + =
Gii: d) Vi z = x + yi ta cú
( ) ( ) ( )
2 2 2
2
1 2 4 1 2 4
10 4 11 0
x yi i x yi x y x y
x y
+ + + = + + + + = +
+ =
Bi 3: Biu din hỡnh hc s phc z
a)

2 3z =
b)
1z i+ <
c)
1 2 3z i + >
d)
1
2z
z
+ =
Bi 4: Tìm tập hợp những điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn:
a.
z 3 1+ =
b.
z i z 2 3i+ =
c. z + 2i là số thực
d. z - 2 + i là số thuần ảo e.
z z 9. =
f.
z 3i
1
z i

=
+
là số thực
Bi 5: Gii cỏc phng trỡnh sau trờn C:
1)
2 3 5 3z i z+ = +
2)

4 5
2 0
2 1
z i
i
z

=
+
3)
S PHC TRONG CC THI (NGUYN TH THCH Lấ HI CHU)
1. Tỡm s phc nghch o ca s phc
1
1
i
z
i

=
+
2. Tỡm modun v argumem ca s phc z = 1+ i
3. Vit kt qu phộp tớnh di dng i s
2 3 2
3 2 4 3
i
z
i
+
=

4. Vit di dng lng giỏc s phc
3 3z i=
5. Trong mp phc cho im M biu din s phc z = x + yi. Ta gi
( ) ( )
1z z i

=
. Tỡm tp
hp im M :
a)

l s thc
b)

l s thun o
6. Tỡm cn bc hai ca s phc z = 3 + 4i
7. Trong mp phc tỡm cỏc im biu din cho s phc z tha món:
1 1z i <
8. Vit di dng lng giỏc s phc
1 3z i=
9. Tỡm modun ca s phc z = 4 3i + (1 i)
3
10. Gii phng trỡnh: z
2
+ z + 1 = 0
11. Tỡm cỏc im z C sao cho
( )
3
arg z

=
12. Gii phng trỡnh:
( )
2
3 2 7 17 0z i z i+ + + =
13.
Gii phng trỡnh trờn tp s phc
Bi 1 : Gii pt trờn tp s phc ( tỡm x )
1.3x+(2+3i)(1-2i) = (5+4i) 2.
( ) ( ) ( )
5 7 3 2 5 1 3i x i i + = +
3.
( ) ( )
5 2 3 4 1 3ix i i = +
4.
( ) ( ) ( )
3 4 1 2 4i x i i+ = + +
5
2 3 5 4ix x i+ = +
. 6.
( ) ( )
2 3 1 2 1 3i x ix i i + = + +
Bi 2 :Gii pt sau trờn tp s phc
1.x
2
+ x + 7 = 0 2. 2x
2
+ 3x + 4 = 0 3. 3x
2
- 2 x + 7 = 0

4. 2x
4
+ 3x
2
- 5 = 05. x
3
- 8 = 0 6. x
3
+ 8 = 0
Bi 3 :Gii cỏc pt sau trờn tp s phc
1.
2
6 29 0x x
+ =
2.
2
1 0x x
+ + =
3.
2
2 5 0z z
+ =
4.
2
4 7 0z z
+ =
5.
2
6 25 0z z
+ =

6.
2
2 3 5 0x x
+ =
7.
2
3 10 9 0x x
=
8.
2
72 1297 0x x
=

9.
2
600 2008 2009 0x x
+ + =
Bi 4 : a/(3-2i)z +(4+5i)=7+3i b/ (1+3i)z-(2+5i)=(2+i)z c/
(2 3 ) 5 2
4 3
z
i i
i
+ =

d).x + 4 = 0 e) x + 2x 5 = 0 f). x
4
3x
2
4 = 0 g). x

4
9 = 0
Bi 5: Gii pt sau trờn tp s phc:
a/ z
2
z + 5 = 0 b/ z
4
1 = 0 c/ z
4
z
2
6 = 0
Bi 6: Gii pt sau trờn tp s phc:
a.
2
9 0x + =
; b.
2
4 5 0x x+ + =
; c.
2
2 5 4 0x x + =
; d.
2
2 3 5 0x z + =
;
e.
4 2
5 4 0x x+ + =
; f.

3 2
2 10 0x x x + =
; g.
3
1 0x + =
; h.
( ) ( )
2 2
4 2 5 0x x x + + =
.
Bi 7: Gii pt sau trờn tp s phc:
a.
2
2 0z iz+ + =
; b.
( ) ( )
2
3 2 1 0z i z i + + + =
.
Bi 8: Giải các phơng trình sau trên tập số phức
a. x
2
+ 7 = 0 b. x
2
- 3x + 3 = 0 c. x
2
+ 2(1 + i)x + 4 + 2i = 0
d. x
2
- 2(2 - i)x + 18 + 4i = 0 e. ix

2
+ 4x + 4 - i = 0 g. x
2
+ (2 - 3i)x = 0
Bi 9: Giải các phơng trình sau trên tập số phức
a.
( )
( )
2
z 3i z 2z 5 0+ + =
b.
( ) ( )
2 2
z 9 z z 1 0+ + =
c.
3 2
2z 3z 5z 3i 3 0 + + =
Bi 10: Giải phơng trình sau trên tập số phức:
a. (z + i)(z
2
- 2z + 2) = 0 b. (z
2
+ 2z) - 6(z
2
+ 2z) - 16 = 0
c. (z + 5i)(z - 3)(z
2
+ z + 3) = 0 d. z
3
- (1 + i)z

2
+ (3 + i)z - 3i = 0
Bi 11: Giải phơng trình sau trên tập số phức:
a. (z + 2i)
2
+ 2(z + 2i) - 3 = 0 b.
2
4z i 4z i
5 6 0
z i z i
+ +

+ =
ữ


Bi 12: Giải phơng trình sau biết chúng có một nghiệm thuần ảo
a. z
3
- iz
2
- 2iz - 2 = 0 b. z
3
+ (i - 3)z
2
+ (4 - 4i)z - 4 + 4i = 0
Bi 13: Gii phng trỡnh bc hai s phc sau:
a)
( )
2

2 2 3 3 0iz i z i =
b)
2
4 6 0z iz + =
c) z
2
+ 2z + 1 + 2i = 0
d) ( 1 + 2i) z = 3z i e)
1
2z i
z
=
f) z
2
z + 1 = 0 g) z
2
2iz (1 2i) = 0 h)
z
2
(5 14i)z 2(12 + 5i) = 0 i) z
2
80z + 4099 100i = 0
Bi 14. Gii cỏc phng trỡnh sau trờn tp hp s phc:
a)
2 3 7 8z i i
+ = +
b)
( ) ( )
1 3 4 3 7 5i z i i + + =
c)

( )
1 3 2 4i z i z+ + =
d)
( )
1 2 5 6
2 3
z
i i
i
+ =
+
Bi 15. Gii cỏc phng trỡnh sau trờn tp hp s phc:
a)
2
2 5 0z z+ + =
b)
2
4 20 0z z + =
c)
2
3 5 0z z + =
d)
2
4 9 0z + =
Bi 16. Gii cỏc phng trỡnh sau trờn tp hp s phc:
a)
3
8 0z =
b)
3 2

4 6 3 0z z z+ + + =
c)
4 3 2
6 8 16 0z z z z + =
d)
4 2
12 0z z =
S phc trong cỏc i hc
Cõu VII.a (1 im)
Tỡm s phc z tho món :
z (2 i) 10 v z.z 25 + = =
Cõu VII.a. t z = x + yi vi x, y R thỡ z 2 i = x 2 + (y 1)i
z (2 + i)=
10
v
z.z 25=
⇔
2 2
2 2
(x 2) (y 1) 10
x y 25

− + − =

+ =

⇔
{
2 2
4x 2y 20

x y 25
+ =
+ =

⇔
{
2
y 10 2x
x 8x 15 0
= −
− + =
⇔
{
x 3
y 4
=
=
hay
{
x 5
y 0
=
=
Vậy z = 3 + 4i hay z = 5
Câu VII.a (1,0 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa
mãn điều kiện z – (3 – 4i)= 2.
Câu VII.a. Gọi z = x + yi. Ta có z – (3 – 4i) = x – 3 + (y + 4)i
Vậy z – (3 – 4i) = 2 ⇔
2 2
(x 3) (y 4) 2− + + =

⇔ (x – 3)
2
+ (y + 4)
2
= 4
Do đđó tập hợp biểu diễn các số phức z trong mp Oxy là đường tròn tâm I (3; -4) và bán kính R
= 2.
Câu VII.a (1,0 điểm)
Gọi z
1
và z
2
là hai nghiệm phức của phương trình z
2
+ 2z + 10 = 0. tính giá trị của biểu thức A = |z
1
|
3
+
|z
2
|
3
.
Câu VII. a
Phương trình: z
2
+ 2z + 10 = 0
Ta có:
'∆

= (-1)
2
– 10 = -9 = (3i)
2
nên phương trình có hai nghiệm là:
z
1
= -1 – 3i và z
2
= -1 + 3i
Suy ra
2
2 2
1
2
2 2
2
z = (-1) + (-3) = 10
z = (-1) + (3) = 10





Vậy A =
2
1
z
+
2

2
z 10 10 20= + =
Câu VII.a (1,0 điểm)
Cho số phức z thoả mãn (1 + i)
2
(2 − i)z = 8 + i + (1 + 2i)z. Tìm phần thực và phần ảo của z.
Câu VII. a.
( ) ( )
2
1 2 8 (1 2 )i i z i i z+ - = + + +
( ) ( )
2 2 (1 2 ) 8i i z i z iÛ - - + = +
4 2 1 2 8z i i i
é ù
Û + - - = +
ê ú
ë û
( ) ( )
8 1 2
8 8 15 2 10 15
2 3
1 2 5 5 5
i i
i i i
z i
i
+ -
+ - + -
Û = = = = = -
+

Phần thực của z là 2. Phần ảo của z là – 3.
Câu VII.b (1,0 điểm)
Giải phương trình sau trên tập hợp các số phức :
4z 3 7i
z 2i
z i
− −
= −
−
Câu VII.b.
4z 3 7i
z 2i
z i
− −
= −
−
⇔ 4z – 3 – 7i = z
2
– 3iz – 2 ⇔ z
2
– (4 + 3i)z + 1 + 7i = 0
∆ = (4 + 3i)
2
– 4(1 + 7i) = 3 – 4i = (2 – i)
2

Vậy
4 3i 2 i
z 3 i
2

+ + −
= = +
hay z =
4 3i 2 i
1 2i
2
+ − +
= +
.