Ứng dụng tính đơn điệu trong giải phương trình và hệ phương trình thường gặp trong đề thi đại học

Nguồn Khóa học: Các bài toán hàm số ôn thi đại học


Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân

Bài giảng số 09: ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ.
A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
Tính chất 1: Giả sử hàm số
( )
y f x

là đơn điệu trên khoảng
( , )
a b
và
, ( , )
x y a b

thì
( ) ( )
f x f y x y
  
.
Tính chất 2: Giả sử
( )
f x
là hàm số đồng biến trên khoảng
( , )
a b

và
( )
g x
là hàm số nghịch biến trên
khoảng
( , )
a b
, khi đó nếu phương trình
( ) ( )
f x g x

có nghiệm trên khoảng
( , )
a b
thì nghiệm đó là
duy nhất.
Nhận xét: Nếu
( )
f x
là hàm số đơn điệu trên khoảng
( , )
a b
thì phương trình
( )
f x c

nếu có nghiệm
trên khoảng
( , )
a b

thì nghiệm đó là duy nhất.
Tính chất 3: Cho hàm số
( )
y f x

trên khoảng
( , )
a b
. Nếu phương trình
'( ) 0
f x

có
1
n


( )
n N

nghiệm thuộc
( , )
a b
thì phương trình
( ) 0
f x

có nhiều nhất n nghiệm thuộc
( , )
a b

.
B. CÁC VÍ DỤ MẪU
Ví dụ 1: Giải phương trình:
5
8
1 2 4
2
x
x x

    (1)
Lời giải
Điều kiện:
1.
x


Xét hàm số
( ) 1 2 4
f x x x
   
trên

1; )
 
, ta có
1 1
'( ) 0
2 1 4
f x

x x
  
 
. Vậy
( )
f x
đồng biến trên miền xác định.
Mặt khác xét hàm số
8
5
8
( ) 2
2
x
x
g x


  , ta có
8
'( ) 2 .ln 2 0
x
g x

  
nên
( )
g x
nghịch biến trên miền xác định.
Theo tính chất 2, phương trình (1) có nghiệm duy nhất

5
x

, thật vậy:
Nếu
1 5
x
 
thì
( ) (5) (5) ( )
f x f g g x
  
nên phương trình (1) vô nghiệm.
Nếu
5
x

thì
( ) (5) (5) ( )
f x f g g x
  
nên phương trình (1) vô nghiệm.
Ví dụ 2: Giải phương trình:
2
2
2
2
1
log 3 2
2 4 3

x x
x x
x x
 
  
 
(2)
Lời giải
Điều kiện:
x R
 
.
Phương trình (2)


2 2 2 2
2 2
2 2 2 2
2 2
log ( 1) log (2 4 3) (2 4 3) ( 1)
log ( 1) ( 1) log (2 4 3) (2 4 3)
x x x x x x x x
x x x x x x x x
           
           

Xét hàm số
2
( ) log ( 0)
f t t t t

  
, khi đó phương trình (2) có dạng

2 2
( 1) (2 4 3)
f x x f x x
    
(2’)
Nguồn Khóa học: Các bài toán hàm số ôn thi đại học


Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân

Vì
1
'( ) 1 0
ln 2
f t
t
  
nên
( )
f t
là hàm đồng biến trên
(0, ).
 

Vậy theo tính chất 1, phương trình (2’)

2 2
1 2 4 3
x x x x
     
2
1
3 2 0
2
x
x x
x


    



.
Ví dụ 3*: Giải phương trình:
3 5 6 2
x x
x
  
(3)
Lời giải
Phương trình (3)
3 5 6 2 0.
x x
x
    

Xét hàm số
( ) 3 5 6 2
x x
f x x
   
, ta có
'( ) 3 ln3 5 ln5 6
x x
f x
  
.
Dễ thấy
'( )
f x
là hàm số đồng biến và liên tục trên
R
thỏa mãn điều kiện
(0) (1) 0
f f

nên phương trình
'( ) 0
f x

có nghiệm duy nhất thuộc khoảng
(0,1).

Vậy theo tính chất 3 phương trình (3) có nhiều nhất hai nghiệm.
Dễ thấy

0, 1
x x
 
là nghiệm của (3).

Ví dụ 4: Giải hệ phương trình:
2( 1) (4)
1 (5)
x y x y
x y
e e x
e x y
 


  


  



Lời giải
Lấy phương trình (4) –(5) theo vế ta có hệ phương trình ban đầu tương đương với

1 (4')
1 (5')
x y
x y
e x y

e x y



  


  



Lấy (4’)-(5’) theo vế, ta được
( ) ( ).
x y x y
e x y e x y
 
    
(6)
Xét hàm số
( ) ( )
t
f t e t t R
   , ta có
'( ) 1 0
t
f t e
  
nên
( )
f t

là hàm số đồng biến trên
R

Theo tính chất 1, phương trình (6)
( ) ( ) 0.
f x y f x y x y x y y
         

Với
0
y

thay vào (4), ta có :
1 0
x
e x
  
(7)
Xét hàm số
( ) 1,
x
g x e x
  
với
'( ) 1
x
g x e
 
thì
'( ) 0 0.

g x x
  

Lập bảng biến thiên









Nguồn Khóa học: Các bài toán hàm số ôn thi đại học


Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân

x


0


'( )
g x

- 0 +
( )

g x



Từ bảng biến thiên, ta suy ra
( ) 0
g x

, dấu

xảy ra khi và chỉ khi
0.
x


Vậy nghiệm của hệ phương trình là
(0; 0)
.
Ví dụ 5: Giải hệ phương trình

1 2
2
(1 4 )5 1 3 (6)
1
3 1 2 (7)
x y x y x y
x y y y
x
    


  


   



Lời giải
Biến đổi phương trình (6) về dạng:
1 4
5[ ] 1 9.3
5 5
x y
x y
x y



 
  
 
 

Đặt
t x y
 
, khi đó phương trình trên có dạng:
1 4
5 1 9.3
5 5

t t
t
 
   
  
 
   
   
 
 

Dễ thấy vế trái l à hàm số nghịch biến và vế phải là hàm số đồng biến nên theo tính chất 2 phương trình có nghiệm
duy nhất
0
t

.
Vậy
y x

, thay vào (7), ta có:
2
1
3 1 2
x x x x
x
   

Chia cả hai vế cho x ta được
1 1

3 2 0
x x
x x
    
(8)
Đặt
1
( 0)
u x u
x
  
, thì
2
1
(8) 3 2 0
2
u
u u
u


    




Với
1 5
2
1

1 5
2
x
u
x





 





. Với
2 5
2
2 5
x
u
x

 
 

 



Vậy hệ có 4 nghiệm
1 5 1 5 1 5 1 5
( ; ), ( ; ), (2 5; 2 5), (2 5; 2 5)
2 2 2 2
   
   






0
Nguồn Khóa học: Các bài toán hàm số ôn thi đại học


Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân

Ví dụ 6: Giải hệ phương trình:
2 3
2 3
log (1 3cos ) log (sin ) 2 (8)
log (1 3sin ) log (cos ) 2 (9)
x y
y x
  



  


Lời giải
Điều kiện:
cos 0
sin 0
x
y






Lấy phương trình (8) trừ (9) theo vế, ta có:

2 3 2 3
log (1 3cos ) log cos log (1 3sin ) log sin
x x y y
     (10)
Xét hàm số
3 3
( ) log (1 3 ) log ( 0)
f t t t t
   
, ta có:

'
3 1

( ) 0 ( 0)
(1 3 )ln2 ln3
f t t
t t
    


Vậy theo tính chất 1, phương trình
(cos ) (sin ) cos sin
f x f y x y
  
.
Thay
sin cos
y x

vào (8), ta có:

2 3
2 3
log (1 3cos ) log (cos ) 2
log (1 3cos ) log (9cos ) (11)
x x
x x
  
  
.
Đặt
2
3

3cos 2 1
3cos 2 1
log (1 3cos )
log 9cos
9cos 3
t
t
t
x
x
x t
x t
x

  
 

   
 





.
Vậy phương trình (11) tương đương với
1
3(2 1) 3 3 2 1 0
t t t t
     

(12)
Xét
1
( ) 3 2 1
t t
g t

  
, ta có
' 1
( ) 3 ln3 2 ln2.
t t
g t

 
Khi đó
3
2
3 3ln 2 3ln 2
'( ) 0 log ( )
2 ln3 ln3
t
g t t
 
    
 
 
. Theo tính chất 3, phương trình (12) có nhiều nhất hai
nghiệm. Dễ thấy (12) có hai nghiệm là
1

2
t
t





.
+) Nếu
1
t

thì
2
1
log (1 3cos ) 1 cos
3
x x
   
, từ đó
1
sin
3
y

.
Trong trường hợp này hệ có 4 nghiệm

1 1 1 1

(arccos 2 , arcsin 2 ), (arccos 2 , arcsin 2 ) ( ,
3 3 3 3
k m k m k m
    
     

)

1 1 1 1
( arccos 2 , arcsin 2 ), ( arccos 2 , arcsin 2 ) ( , )
3 3 3 3
k m k m m k
    
       


+) Nếu
2
t

thì
2
log (1 3cos ) 2 cos 1,
x x
   
từ đó
sin 1
y

.

Trong trường hợp này hệ có nghiệm
( 2 , 2 ) ( , ).
2
k m k m

 
 



Nguồn Khóa học: Các bài toán hàm số ôn thi đại học


Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân

C. BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1: Giải các phương trình sau
a) 04x3
x
 Đs:
1.
x


b)
3 3
log log
4 2 2
x x

x
 
, Đs:
1, 3.
x x
 

c)
2
1 2
2 2 ( 1)
x x x
x
 
  
Đs:
1.
x


d) 0)21(2x)23(x
xx2
 Đs:
0; 2
x x
 

Bài 2: Giải các phương trình sau
e)
2 5

log log (2 1) 2
x x
  
Đs:
2.
x


f)
7 3
log log ( 2).
x x
 
Đs:
49
x


g)
2
3 3
( 2)log ( 1) 4( 1)log ( 1) 16 0.
x x x x
      
Đs:
80
2;
81
x x
  

h)
2
2 1 5 1 10 1 6
x x x x x
        
Đs:
1.
x


i)
2
1
1
1
1
3
2
1 1
ln(1 ) ln(1 ) 1 .
x x
x x x
x x


    
Đs:
1
x



Bài 3: Giải các hệ phương trình sau:
a)
sin sin
cos2 3sin 1 0
x y x y
x y
  


  

Đs:
( 2 , 2 )
6 6
k k
 
 
  ,
5 5
( 2 , 2 )
6 6
k k
 
 
 
b)
2 1
2 1

2 2 3 1
2 2 3 1
y
x
x x x
y y y



    



    

Đs:
(1,1)

c)
3 3 2
2 2 2
3 3 2 0
1 3 2 1 0
x y y x
x x y y

    


     



Đs:
(1, 2), (1, 0), ( 1, 2), ( 1, 0).
 

d)
2
2 2
(4 1) ( 3) 5 2 0
( , )
4 2 3 4 7
x x y y
x y R
x y x

    



   


. Đs:
1
( ; 2)
2

Bài 4: Giải các hệ phương trình sau:
a)

2 2
1
2 2
x y x
x y y x
x y
 

  


  


Đs:
( 1, 1), (1, 0)
 

Nguồn Khóa học: Các bài toán hàm số ôn thi đại học


Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân

b)




2 2

ln 1 ln 1
.
2 5 0
x y x y
x xy y
     


  


Đs:


0;0 .


c) 1
ln ln
.
2 .3 36
x
x y
y
x y x y


  







Đs:
(1,1)

d)
3
2
2
.
log log 4 10
2
x y
e e x y
x
y

  


 


Đs:


2;2 .

e)
3 2
3 2
3 2
3 5 1 4
3 5 1 4 .
3 5 1 4
x x x y
y y y z
z z z x

   

   


   

Đs:
 


1;1;1 , 1 2;1 2;1 2 .
  