Bài giảng số 6. Bài toán khoảng cách trong câu hỏi phụ hàm số

Câu hỏi phụ hàm số ôn thi đại học

Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Th.S. Đỗ Viết Tuân

Bài giảng số 7: BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH
A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
 Khoảng cách giữa hai điểm
( ; ), ( ; )
A A B B
A x y B x y
được cho bởi công thức:
   
2
B A B A
AB x x y y   

 Khoảng cách từ điểm
0 0
( ; )
M x y
đến đường thẳng
: 0
ax by c
   
được cho bởi công thức

0 0
2 2
( , )
ax by c

d M
a b
 
 


 Định lý viet của phương trình bậc hai.

B. CÁC VÍ DỤ MẪU
Ví dụ 1: Cho hàm số
3 2
3 2
y x x
  
(1)
Tìm điểm M thuộc đường thẳng (d)
3 2
y x
 
sao tổng khoảng cách từ M tới hai điểm cực trị nhỏ nhất.
Lời giải
Ta có
2
0
' 3 6 0
2
x
y x x
x



   



.
Với
0 2
x y
  
và
2 2
x y
   
. Vậy đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là
(0, 2)
A và
(2, 2)
B


Ta viết đường thẳng
3 2
y x
 
thành dạng:
3 2 0 (*)
x y
  
.

Thay tọa độ A, B vào vế trái của (*) ta thu được hai giá trị trái dấu, vì vậy điểm A và B nằm về hai phía của đường
thẳng.
Vậy vị trí của điểm M trên (d) sao cho MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất là M là giao điểm của (d) với đường thẳng đi qua
hai điểm A và B.
Phương trình đường thẳng đi qua A và B có dạng:
0 2
2 2 0
2 0 2 2
x y
x y
 
    
  

Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình sau:

4
3 2 0
5
2 2 0 3
5
x
x y
x y
y



  




 
  





. Vậy tọa độ điểm M cần tìm là
4 3
( ; )
5 5
M .
Ví dụ 2: Cho hàm số
2x 3
y (C)
x 2




Tìm trên (C) những điểm M sao cho tiếp tuyến tại M của (C) cắt hai tiệm cận của (C) tại A, B sao cho AB ngắn nhất .
Câu hỏi phụ hàm số ôn thi đại học

Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Th.S. Đỗ Viết Tuân

Lời giải:
Gọi

0 0
( , )
M x y
là tiếp điểm của tiếp tuyến với đồ thị (C). Khi đó phương trình tiếp tuyến tại điểm
0 0
( , )
M x y
có
dạng:

0
0
2
0
0
2 3
1
2
2


  


( )
( )
x
y x x
x
x

(d)
Giao điểm A của tiếp tuyến (d) với tiệm cận đứng
2

x
là nghiệm của hệ:

0
0
0
0
2
0
0
0
0
2
2
2 2
22 3
2 2
1
2
2
2
2





 
 


 
  


 





( ; )
( )
( )
x
x
x
Ax
x
y x x
y
x
x
x
x

Tọa độ điểm B của tiếp tuyến (d) với tiệm cận ngang

2

y
là nghiệm của hệ:

0
00
0
2
0
0
2
2 2
2 2 2
2 3
1
2
2
2



 
 
  

 
  








( ; )
( )
( )
y
x x
B xx
y x x
y
x
x

Vậy khoảng cách giữa A và B là
   
 
2
2 2
0
0 0
2
0
0
2 2
1
2 4 2 2 2 2 2
2

2
 

       
 
 


 
x
AB x x
x
x

Theo bất đẳng thức cauchy dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
02 4
0 0
2
0
0
3
1
2 2 1
1
2


     






( ) ( )
( )
x
x x
x
x

Vậy tiếp tuyến cần lập thỏa mãn điều kiện có dạng
 
y x
và
6
  
y x
.
Ví dụ 3: Cho hàm số .

2 4

1
x
y
x



(C)

Tìm trên đồ thị (C) hai điểm đối xứng nhau qua đường thẳng MN biết M(-3; 0) và N(-1; -1).
Lời giải:
Phương trình đường thẳng đi qua M và N:
3 0
2 3 0
2 1
x y
x y
 
    

.
Gọi
,
A B
là hai điểm đối xứng nhau qua đoạn thẳng MN. Khi đó phương trình đường thẳng đi qua A và B có dạng
2 0 2
( )
x y c y x c d
     

Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d) có dạng
Câu hỏi phụ hàm số ôn thi đại học

Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Th.S. Đỗ Viết Tuân


2
2 4

2
1
2 4 0 (3)
x
x c
x
x cx c

 

    

Gọi
1 1 2 2
( ; 2 ), ( ; 2 )
A x x c B x x c
 
, với
1 2
,
x x
là nghiệm của phương trình (3). Khi đó trung điểm I của AB có tọa độ
là
1 2 1 2
2 2 2
( ; ) ( ; )
2 2 4 2
x x x x c
c c
I

  
  (theo viet).
Vì A, B đối xứng nhau qua (MN) nên ta có

( ) 2 3 0
4 2
4
c c
I MN
c
     
  

Thay c = -4 vào (3), ta có
2
0
2 4 0
2
x
x x
x


  



.
Với x = 0 thì y = - 4, còn với x = 2 thì y= 0.
Vậy có điểm A(0; - 4), B(2; 0) thuộc đồ thị hàm số thỏa mãn điều kiện bài toán.

Ví dụ 4: Tìm trên đồ thị hàm sô (H):

1
1
x
y
x



hai điểm thuộc hai nhánh sao cho khoảng cách giữa 2 điểm là nhỏ
nhất.
Lời giải
Gọi điểm
2 2
(1 ; ); (1 ; )
a b
A a B b
a b
 
 

(a, b > 0) là hai điểm nằm về hai nhánh của đồ thị khi đó ta có
   
 
2
2 2
2
2
1 1 64 1 1 4

4 16. ( )
AB a b a b vi
a b a b a b
a b
 
         
 

 


Vậy AB min khi và chỉ khi
 
 
2
2
64
2.
a b
a b
a b
a b



  

 





Vậy tọa độ điểm A và B là
(1 2;1 2); (1 2;1 2)
A B   

Nhận xét: Hai điểm nằm về hai nhánh của đồ thị có nghĩa là hai điểm nằm về hai phía tiệm cận đứng x = 1, vì vậy có
một điểm hoành độ là 1 + a và một điểm hoành độ 1 –b (a, b > 0).
Ví dụ 5: Cho hàm số
3 2
2 ( 3) 4 ( )
m
y x mx m x C
    
Câu hỏi phụ hàm số ôn thi đại học

Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Th.S. Đỗ Viết Tuân

Cho đường thẳng (d) có phương trình
4
y x
 
và điểm K(1; 3). Tìm m để (d) cắt (C
m
) tại ba điểm phân biệt A(0; 4),
B, C sao cho tam giác KBC có diện tích bằng
8 2.

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm của


m
C
và (d) là:
3 2
3 2
2 ( 3) 4 4
2 ( 2) 0
x mx m x x
x mx m x
     
    

2
0
2 2 0( )
x
x mx m




    


(d) cắt



m
C
tại 3 điểm phân biệt

phương trình



có 2 nghiệm phân biệt
0


Điều kiện
2
2
' 0 2
2 0
1
2 0 1
0
0
m
m
m m
m
m m
m
m
 


  

  
 


   
  


   

 





Gọi
( ; 4); ( ; 4)
B B C C
B x x C x x
 
với
B
x
,
C
x
là nghiệm của phương trình





Theo định lý Viet ta có:
2
. 2
B C
B C
x x m
x x m
  


 


Ta có:
 
2
2
2( ) 2 4 .
B C B C B C
BC x x x x x x
 
    
 
2
2(4 4 8)
m m

  

Mặt khác
1
( ; ).
2
1 2
8 2 . 16
2
2
KBC
S d K d BC
BC BC


   

Vậy
2 2
2(4 4 8) 16 8 8 16 256
m m m m      
2
8 8 272 0
m m
   
1 137
2
m

 

C. BÀI TẬP TỰ GIẢI
Câu hỏi phụ hàm số ôn thi đại học

Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Th.S. Đỗ Viết Tuân

Bài 1: Cho đồ thị hàm số
1
( )
m
y mx C
x
 
Tìm m để đồ thị hàm số
( )
m
C
có cực trị và khoảng cách từ điểm cực tiểu của
( )
m
C
đến tiệm cận xiên của
( )
m
C
bằng
1
2

.
Bài 2: Cho hàm số
2 4
1
x
y
x



(1), có đồ thị (C)
Chứng minh rằng đường thẳng ( ): 2
d y x m
 
luôn luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B với mọi m. Xác định m để
đoạn AB ngắn nhất
Bài 3: Cho hàm số
1
12



x
x
y (C)
Tìm tọa độ điểm M trên (C) sao cho khoảng cách từ giao điểm của hai đường tiệm cận của (C) đến tiếp tuyến tại M là
lớn nhất.
Bài 4: Cho hàm số
2 4
1

x
y
x



. (C )
Gọi (d) là đường thẳng qua A( 1; 1 ) và có hệ số góc k. Tìm k sao cho (d) cắt ( C ) tại hai điểm M, N và
3 10
MN  .
Bài 5: Tìm m để hai điểm cực trị của hàm số
3 2
3 3(2 1) 1
y x mx m x
    
nằm về hai phía của đường thẳng
d: x – y = 0
Bài 6: Cho hàm số
1
2
2



x
x
y (C). Tìm những điểm trên đồ thị (C) cách đều hai điểm A(2 , 0) và B(0 , 2).
Bài 7: Cho hàm số
1



x
y
x
(C)
Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C), biết rằng khoảng cách từ tâm đối xứng của đồ thị (C) đến tiếp tuyến là lớn
nhất
Bài 8: Cho hàm số
3 2 3
3 4
y x mx m
  
(m là tham số) có đồ thị là (C
m
)
Xác định m để (C
m
) có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng y = x.
Bài 9: Cho đường cong (C):
4 2
2 3 2 1
   
y x x x
và đường thẳng (d): y = 2x – 1.
a. CMR (d) không cắt (C).
b. Tìm trên (C) điểm A có khoảng cách đến (d) là nhỏ nhất.
Câu hỏi phụ hàm số ôn thi đại học

Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Th.S. Đỗ Viết Tuân

Bài 10: Tìm trên đồ thị hàm sô (H):
2
3 2
2 1
x x
y
x
 


hai điểm thuộc hai nhánh sao cho khoảng cách giữa 2 điểm là
nhỏ nhất.
Bài 11: Cho (Cm):
2 2 3
( 1) 4
mx m x m m
y
x m
   



Tìm trên (Cm) điểm có tổng khoảng cách đến 2 tiệm cận (Cm) nhỏ nhất.
Bài 12: Tìm khoảng cách giữa các đồ thị sau:
a)
: 2 5
y x
  
và (P):

2
1
y x
 
.
b) : 1
y x
  
và (P):
2
5
y x x
  
.
c)
: 3
y x
  
và (P):
2
1
y x x
  
.
Bài 13: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số :
3x 4
y
x 2




. Tìm điểm thuộc (C) cách đều 2 đường tiệm
cận .
Bài 14: Cho hàm số
2 1
1
x
y
x



(C)
Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) biết rằng khoảng cách từ điểm I(1; 2) đến tiếp tuyến bằng 2 .
Bài 15: Cho hàm số
2 2
1
x
y
x



(C)
Tìm m để đường thẳng d: y = 2x + m cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho AB =
5
.