GTLN, GTNN của biểu thức hai biến bằng đạo hàm

Chuyên dề: Ứng dụng đạo hàm vào tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm nhiều biến


Gv: Cao Hồng Sơn website: http://wwwcaohồngsơn.vn - 213 -

PHƯƠNG PHÁP TÌM GTLN, GTNN CỦA BIỂU
THỨC HAI BIẾN BẰNG ĐẠO HÀM



Ví dụ 1. ( CĐ Khối A, B – 2008 ). Cho
,
x y
là số thực thỏa mãn
2 2
2
x y
 
. Tìm giá
trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức.

3 3
2( ) 3
P x y xy
  


Bài giải

Ta có :
2 2

2( )( ) 3 = 2( )(2 ) 3
P x y x xy y xy x y xy xy
       
Vì
2
( ) 2
2
x y
xy
 

, đặt
t x y
 
, ta có
2 2
3 2
2 2 3
( ) 2 (2 ) 3 6 3
2 2 2
t t
P t t t t t
 
       

Do
2
2 2 2
( )
( ) 4 2 2

2
x y
x y x y t

        
.
Xét hàm số
3 2
3
( ) 6 3
2
P t t t t
    
với
2 2
t
  
.
Ta có
2
'( ) 3 3 6
P t t t
   
,
1
'( ) 0
2
t
P t
t



 

 


Bảng biến thiên
Vậy
 
2;2
Min ( ) ( 2) 7
P t P

   
khi
1
x y
  



 
2;2
1 3 1 3
;
13
2 2
M ( ) (1)
2

1 3 1 3
;
2 2
x y
ax P t P
x y


 
 


  

 
 





Ví dụ 2. ( ĐH Khối D – 2009 ) Cho
0, 0
x y
 
và
1
x y
 
.Tìm giá trị lớn nhất, giá

trị nhỏ nhất của biểu thức

2 2
(4 3 )(4 3 ) 25
S x y y x xy
   
Bài giải.
Ta có :
2 2 2 2 3 3
(4 3 )(4 3 ) 25 16 12( ) 34
S x y y x xy x y x y xy
       


2 2 2 2
16 12( )( ) 34
x y x y x xy y xy
     

2 2 2
16 12[( ) 3 ] 34 , do 1
x y x y xy xy x y
      


2 2
16 2 12
x y xy
  

Đặt
t xy

. Do
0; 0
x y
 
nên
2
( ) 1 1
0 0
4 4 4
x y
xy t

     

Xét hàm số
2
( ) 16 2 12
f t t t
  
với
1
0
4
t
 
.
Chuyên dề: Ứng dụng đạo hàm vào tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm nhiều biến

Gv: Cao Hồng Sơn website: http://wwwcaohồngsơn.vn - 214 -
Ta có
'( ) 32 2
f t t
 
;
1
'( ) 0
16
f t t  
.
Bảng biến thiên


Vậy :
1
0;
4
1 191
Min ( )
16 16
f t f
 
 
 
 
 
 

 
khi
2 3 2 3
;
4 4
x y
 
  hoặc
2 3 2 3
;
4 4
x y
 
 

1
0;
4
1 25
Max ( )
4 2
f t f
 
 
 
 
 
 
 
khi

1
2
x y
 
.
Ví dụ 3 ( ĐH Khối B – 2009). Tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của biểu thức
4 4 2 2 2 2
3( ) 2( ) 1
P x y x y x y
     
.
với
,
x y
là các số thỏa mãn điều kiện :
3
( ) 4 2
x y xy
  
.
Bài giải.
Ta luôn có kết quả :
2
( ) 4
x y xy
  , từ đó ta có :
3 3 2 3
( ) 4 2 ( ) ( ) ( ) 4 2
x y xy x y x y x y xy
          

 
3 2
2
( ) ( ) 2
( ) 1 ( ) ( ) 2 0
( ) 1 0
x y x y
x y x y x y
x y
    
 
       
 
   

Do
2
2
1 7
( ) ( ) 2 ( ) 0, ,
2 4
x y x y x y x y
 
         
 
 

Bài toán được đưa về tìm Max, Min của :
4 4 2 2 2 2
3( ) 2( ) 1

P x y x y x y
     

với
,
x y
thỏa mãn
1
x y
 
.
Ta biến đổi biểu thức P như sau
4 4 2 2 2 2 2 2 2 4 4 2 2
3 3
3( ) 2( ) 1 ( ) ( ) 2( ) 1
2 2
P x y x y x y x y x y x y
            



2 2 2
2 2 2 2 2
3 3( )
( ) 2( ) 1
2 4
x y
x y x y

     

( do
2 2 2
4 4
( )
2
x y
x y

 
)
Hay
2 2 2 2 2
9
( ) 2( ) 1
4
P x y x y
    
.
Vì
2
2 2
( )
2
x y
x y

 
( do
1

x y
 
) nên
2 2
1
2
x y
 
.
Đặt
2 2
t x y
 
. Xét hàm số
2
9
( ) 2 1
4
f t t t
  
với
1
2
t

.
Chuyên dề: Ứng dụng đạo hàm vào tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm nhiều biến


Gv: Cao Hồng Sơn website: http://wwwcaohồngsơn.vn - 215 -

Ta có
9 4
'( ) 2; '( ) 0
2 9
f t t f t t
    

Bảngbiến thiên

Vậy
1
2
1 9
Min ( ) ( )
2 16
t
f t f

 
đạt được khi
1
2
t


Suy ra
9
16
P


. Mặt khác, ta dễ thấy
1
2
x y
 
thì
9
16
P

.
Kết luận :
9
Min
16
P

khi
1
2
x y
 
và không có giá trị lớn nhất.
Ví dụ 4. (ĐH Khối A- 2006). Cho hai số thực
, 0
x y

thay đổi thỏa mãn điều kiện
2 2
( )

x y xy x y xy
   
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

3 3
1 1
P
x y
 
Bài giải
Ta có
2 2
3 3 2 2
3 3 3 3 3 3
1 1 ( )( ) 1 1
x y x y x xy y x y
P
x y x y x y xy x y
   
    
      
   
   
.
Đặt
x ty

. Từ gải thiết ta có:
2 2 3 2 2
( ) ( 1) ( 1)

x y xy x y xy t ty t t y
        

Do đó
2
2
1
;
t t
y
t t
 



2
1
1
t t
x ty
t
 
 

.
Từ đó
2
2
2
2

1 1 2 1
1
t t
P
x y t t
 
 
 
  
 
 
 
 
 
.
Xét hàm số
2
2
2 1
( )
1
t t
f t
t t
 

 
, ta có
 
2

2
2
3 3
'( )
1
t
f t
t t
 

 
.
Lập bảng biến thiên ta tìm GTLN của P là: 16 đạt được khi
1
2
x y
 
.
Ví dụ 5. (ĐH Khối B- 2011). Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn
2 2
2( )
a b ab
 

( )( 2)
a b ab
  
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

3 3 2 2

3 3 2 2
4 9
a b a b
P
b a b a
   
   
   
   

Bài giải
Biến đổi giả thiết:
2 2
2( ) ( )( 2)
a b ab a b ab
    


 
2 2 2 2
2( ) 2( )
2 1 ( ) 2
a b ab a b ab a b
a b
a b a b
b a
      
 
      
 

 

Chuyên dề: Ứng dụng đạo hàm vào tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm nhiều biến


Gv: Cao Hồng Sơn website: http://wwwcaohồngsơn.vn - 216 -

1 1
2 1 ( ) 2
a b
a b
b a a b
   
      
   
   

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta được:

1 1 1 1
( ) 2 2 2( ) 2 2 2
a b
a b a b
a b a b b a
     
        
     
     

Suy ra:

5
2 1 2 2 2
2
a b a b a b
b a b a b a
     
       
     
     
.
Đặt
a b
t
b a
 
,
5
2
t

. Ta được :
3 2 3 2
4( 3 ) 9( 2) 4 9 12 18
P t t t t t t
       
.
Xét hàm số:
3 2
( ) 4 9 12 18
f t t t t

   
;
2
5
'( ) 6(2 3 2) 0,
2
f t t t t
     

Bảng biến thiên


Suy ra
5
;
2
5 23
Min ( )
2 4
f t f
 



 
 
  
 
 
.

Vậy
23
Min
4
P
 
khi và chỉ khi
1 1
2
5

2
a b
a b
a b
b a

 
  
 


 


 



( ; ) (2;1)

a b

hoặc
( ; ) (1;2)
a b



Ví dụ 6. Cho x, y là hai số thay đổi thỏa mãn điều kiện
2 2
2( ) 1
x y xy
  
. Tìm giá trị
lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
4 4
2 1
x y
P
xy




Bài giải
Đặt t=xy từ giả thiết suy ra
1 1
4 1
5 3
xy xy xy

     
. Vậy
1 1
;
5 3
t
 
 
 
 
.
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số
x
và
y
ta được
2 2
2
x y xy
 

Biến đổi và biểu diễn theo biến t ta được:
2
7 2 1
8 4
t t
P
t
  



.
Xét hàm số
2
7 2 1
( )
8 4
t t
f t
t
  


,
1 1
;
5 3
t
 
 
 
 
; ta có
2
2
56 56
'( )
(8 4)
t t
f t

t
 


;
0
'( ) 0
1
t
f t
t


 

 


Bảng biến thiên


Vậy
1 1
;
5 3
1
Max ( ) (0)
4
f t f
 


 
 
 
và

1 1
;
5 3
1 1 2
Min ( )
5 3 15
f t f f
 

 
 
   
   
   
   

Từ đó kết luận về giá trị lớn nhất và giá
trị nho nhất của P.