phương pháp tìm GTLN và GTNN của hàm ba biến

Cao Hồng Sơn Chuyên đề cực trị của biểu thức nhiều biến
Website: http://wwwcaohồngsơn.vn

3. ỨNG DỤNG TIẾP TUYẾN CỦA DỒ THỊ HÀM SỐ TRONG BÀI
TOÁN TÌN GTNN, GTLN CỦA BIỂU THỨC BA BIẾN.

Cho hàm số
( )
y f x

liên tục và có đạo hàm trên K. Khi đó phương trình tiếp tuyến của đồ thị
hàm số
( )
y f x

tại điểm
0
x K

là
0 0 0
'( )( ) ( )
y f x x x f x
   . Khi đó tiếp tuyến nằm trên hoặc nằm
dưới đồ thị hàm số
( )
y f x

.
* Nếu tiếp tuyến nằm trên đồ thị hàm số thì
0 0 0

( ) '( )( ) ( )
f x f x x x f x
  
, đẳng thức xảy ra khi
0
x x

. Khi đó
1 2
, , ,
n
x x x K
 
, ta có
0 0 0
( ) '( )( ) ( )
i i
f x f x x x f x
   , đẳng thức xảy ra khi
0
i
x x

,
( 1,2, , )
i n


Do đó
0 0 0

1 1
( ) '( )( ) ( )
n n
i i
i i
f x f x x x nf x
 
  
 


0 0 0
1
'( ) ( ) ( )
n
i
i
f x x x nf x

  



0 0 0
1
'( ) ( )
n
i
i
f x x nx nf x


 
  
 
 

(i)
* Nếu tiếp tuyến nằm dưới đồ thị hàm số thì
0 0 0
( ) '( )( ) ( )
f x f x x x f x
   , đẳng thức xảy ra khi
0
x x

. Khi đó
1 2
, , ,
n
x x x K
 
, ta có
0 0 0
( ) '( )( ) ( )
i i
f x f x x x f x
   , đẳng thức xảy ra khi
0
i
x x


,
( 1,2, , )
i n


Do đó
0 0 0
1 1
( ) '( )( ) ( )
n n
i i
i i
f x f x x x nf x
 
  
 


0 0 0
1
'( ) ( ) ( )
n
i
i
f x x x nf x

  


0 0 0
1
'( ) ( )
n
i
i
f x x nx nf x

 
  
 
 

(ii)
Như vậy nếu
1
n
i
i
x k



(hằng số) thì từ (i) và (ii), ta có

 
0 0 0 0
1
( ) '( ) ( ) '( )

n
i
i
f x kf x n f x x f x

  


Hoặc
 
0 0 0 0
1
( ) '( ) ( ) '( )
n
i
i
f x kf x n f x x f x

  

.
Suy ra MinP = Min
1
( )
n
i
i
f x





0 0 0 0
'( ) ( ) '( )
kf x n f x x f x
   khi
0
, 1,2, ,
i
x x i n
  
MaxP = Max
1
( )
n
i
i
f x




0 0 0 0
'( ) ( ) '( )
kf x n f x x f x
  
khi
0
, 1,2, ,
i

x x i n
   .

Ví dụ 3.1 Cho
, ,
a b c
là các số thực dương thỏa mãn
1
abc

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
3 3 3
2 2 2
(1 ) (1 ) (1 )
a b c
P
a b c
  
  
.
Phân tích. Ta nhận thấy ngay
( ) ( ) ( )
P f a f b f c
  
với
3
2
( )
(1 )
x

f x
x


,
0
x

.
Ta có các biến a, b, c có vai trò bình đẳng và P đạt cực trị tại tâm


1
a b c
  
.
Bài giải.
Phương trình trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
3
2
( )
(1 )
x
f x
x


, tại
1
1;

4
M
 
 
 
là
1 1
2 4
y x
 

Cao Hồng Sơn Chuyên đề cực trị của biểu thức nhiều biến
Website: http://wwwcaohồngsơn.vn
Ta chứng minh
3
2
1 1
(1 ) 2 4
x
x
x
 

với
0
x

(3.1.1)
Thật vậy
3

2
1 1
(1 ) 2 4
x
x
x
 

3 2
4 (1 ) (2 1)
x x x
   
2
( 1) (2 1) 0,
x x
   
đúng
0
x
 
, đẳng thức xảy
ra khi và chỉ khi
1
x

.
Áp dụng bất đẳng thức (3.1.1), ta có
3
2
1 1

(1 ) 2 4
a
a
a
 

,

3
2
1 1
(1 ) 2 4
b
b
b
 

,

3
2
1 1
(1 ) 2 4
c
c
c
 

.
Suy ra

3 3 3
2 2 2
(1 ) (1 ) (1 )
a b c
P
a b c
  
  
1 3
( )
2 4
a b c
   
3
3 3 3
2 4 4
abc
  
.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
1
a b c
  
.
Vậy MinP
3
4

khi
1

a b c
  
.
Ví dụ 3.2 Cho
, ,
a b c
là các số thực dương thỏa mãn
3
a b c
  
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2 2 2
1 1 1
P a a b b c c
        
.
Phân tích.
( ) ( ) ( )
P f a f b f c
  
với
2
( ) 1
f x x x
  
,
0
x

.

Ta có các biến a, b, c có vai trò bình đẳng và P đạt cực trị tại tâm
1
a b c
  
.
Bài giải.
Phương trình trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
2
( ) 1
f x x x
  
, tại


1;1
M là
1 1
2 2
y x
 

Ta chứng minh
2
1 1
1
2 2
x x x
   
với
0

x

(3.1.2)
Thật vậy, ta có
2 2
1 1
2 1 2 1 ( 1)
2 2
x x x x x x
 
 
        
 
 
 
 


2
2
3( 1)
0, 0
2 1 1
x
x
x x x

   
   

Ví dụ 3.3 Cho
, ,
a b c
là các số thực dương thỏa mãn
3
a b c
  
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
1 1 1
9 9 9
P
ab bc ca
  
  
.
Phân tích. Biểu thức P chưa có dạng
( ) ( ) ( )
f a f b f c
 
nhưng các biến hoán vị vòng quanh và đạt
cực trị tại tâm


1
a b c
  
. Hơn nữa
, , 0
a b c
 

, ta có

2 2
( ) (3 )
4 4
a b c
ab
 
 
2 2
1 4 4
9 9 (3 ) 6 27
ab c c c
  
     

2 2
2 2
( ) (3 ) 1 4 4
4 4 9 9 (3 ) 6 27
c b a
bc
bc a a a
 
    
     


2 2
2 2

( ) (3 ) 1 4 4
4 4 9 9 (3 ) 6 27
c a b
ca
ca b b b
 
    
    

Suy ra
2 2 2
4 4 4
( ) ( ) ( )
6 27 6 27 6 27
P f a f b f c
a a b b c c
     
        
,
với
2
4
( )
6 27
f x
x x

  
,
(0;3)

x
 
.
Cao Hồng Sơn Chuyên đề cực trị của biểu thức nhiều biến
Website: http://wwwcaohồngsơn.vn
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
( )
f x
tại điểm
1
x

là
1 9
64 64
y x   .
Bài giải.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho các số dương
, ,
a b c
, ta có

2 2
( ) (3 )
4 4
a b c
ab
 
 
2 2

1 4 4
9 9 (3 ) 6 27
ab c c c
  
     

2 2
2 2
( ) (3 ) 1 4 4
4 4 9 9 (3 ) 6 27
c b a
bc
bc a a a
 
    
     


2 2
2 2
( ) (3 ) 1 4 4
4 4 9 9 (3 ) 6 27
c a b
ca
ca b b b
 
    
    

Suy ra

2 2 2
4 4 4
6 27 6 27 6 27
P
a a b b c c
  
        
,
Ta chứng minh
2
4 1 9
, (0;3)
6 27 64 64
x x
x x
    
  
.
Thật vật với
(0;3)
x
 
, ta có
1
2 2
4 1 9 ( 1) ( 13)
0
6 27 64 64 64( 6 27)
x x
x

x x x x
 
 
    
 
     
 

Suy ra
2
4 1 9
6 27 64 64
x
x x
 
  
 
  
 
,
(0;3)
x
 
(3.3.1)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
1
x

.
Với

, , (0;3)
a b c

, áp dụng bất đẳng thức (3.3.1), ta có

2
4 1 9
6 27 64 64
a
a a
  
  


2
4 1 9
6 27 64 64
b
b b
  
  


2
4 1 9
6 27 64 64
c
c c
  
  

Suy ra
1 1 1
9 9 9
P
ab bc ca
  
  
.

2 2 2
4 4 4
6 27 6 27 6 27
a a b b c c
  
        


27 ( ) 3
64 8
a b c
  
 

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
1
a b c
  
.
Do đó MaxP

3
8

khi
1
a b c
  
.
Ví dụ 3.4 Cho
, ,
a b c
là các số dương. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
2 2 2 2 2 2
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
a b c b c a c a b
P
a b c b c a c a b
  
  
     
.
Phân tích. Đây là bài toán cực trị không có điều kiện. Để sử dụng tính chất của tiến của đồ thị hàm
số ta cần xây dựng các
i
x K
 

sao cho
1

n
i
i
x k



(hằng số) và phân tích
1
( )
n
i
i
P f x



với
( )
f x

liên tục và có đạo hàm trên K.
Ta nhận xét rằng biểu thức P đồng bậc, không mất tính tổng quát, ta giả sử
1
a b c
  
. Khi đó
2 2 2
2 2 2
2 2 1 2 2 1 2 2 1

a a b b c c
P
a a b b c c
  
  
     
( ) ( ) ( )
f a f b f c
  
,
Cao Hồng Sơn Chuyên đề cực trị của biểu thức nhiều biến
Website: http://wwwcaohồngsơn.vn
trong đó
2
2
( )
2 2 1
x x
f x
x x


 
, với
(0;1)
x


Ta có P đạt cực trị tại tâm
1

( )
3
a b c
  
.
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
2
2
( )
2 2 1
x x
f x
x x


 
tại điểm
1
3
x

là
27 1
25 25
y x 

Bài giải.
Không mất tính tổng quát, ta giả sử
1
a b c

  
. Khi đó biểu thức P có dạng
2 2 2
2 2 2
2 2 1 2 2 1 2 2 1
a a b b c c
P
a a b b c c
  
  
     

Ta chứng minh
2
2
27 1
2 2 1 25 25
x x
x
x x

 
 
,
(0;1)
x
 
.
Thậy vậy với
(0;1)

x
 
, ta có
2 2
2 2
27 1 (3 1) (6 1)
0
2 2 1 25 25 25(2 2 1)
x x x x
x
x x x x
  
 
    
 
   
 

Suy ra
2
2
27 1
2 2 1 25 25
x x
x
x x

 
 
,

(0;1)
x
 
(3.4.1)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
1
3
x

.
Với
, , (0;1)
a b c
 
, áp dung bất đẳng thức (3.4.1), ta có
2
2
27 1
2 2 1 25 25
a a
a
a a

 
 

2
2
27 1
2 2 1 25 25

b b
b
b b

 
 

2
2
27 1
2 2 1 25 25
c c
c
c c

 
 

Suy ra
2 2 2
2 2 2
2 2 1 2 2 1 2 2 1
a a b b c c
P
a a b b c c
  
  
     
27 1 27 1 27 1
25 25 25 25 25 25

a b c     


27( ) 3 6
25 5
a b c
  
 
.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
1
3
a b c
  
.
Do đó MaxP
6
5

khi
1
3
a b c
  
.