Đáp Án Đề thi học sinh giỏi lớp 10 môn Toán trường Thuận Thành tỉnh Bắc Ninh năm học 20122013

Đáp án và biểu điểm Môn Toán lớp 10
Câu Đáp án Điểm

1 (2điểm)
ĐKXĐ:
2
x
 
; Đặt
2 , 0
x y y
  
.Ta có pt:
3 2 3 3 3
3 2 3
3 2 6 0 3 ( 2) 2 0
3 2 0(1)
x x y x x x x y
x xy y
        
   

0.25
0.75

Pt (1) là pt đẳng cấp bậc 3, giải pt thu được
1
x
y


hoặc
2
x
y
 
.
0.25

Giải pt được nghiệm là: x=2, x=
2 2 3
 .Kết luận.
0.75
2 (2điểm) ĐKXĐ:
2
2 1
x y
 

Phân tích pt (1) của hệ:
2
2
( )( 2 ) 0
2
x y
x y x y
x y


   





0.25
0.25
TH1:
2
2
x y
 (loại do ĐKXĐ)
0.25

TH2: x=y, thay vào pt(2) ta được:
3
2 3
2 2 1 14 2(3)
x x x x      Ta thấy,
 
3
3 2 3 2
2 6 12 8 ( 14) 6( 2 1)
x x x x x x x
         

0.25

Đặt
2
2 1 0, 2

x x a x b
     
. Ta có pt:
3 3 2
2 6
a b a b
  

0.25

3
3 2 3 2 3 2 2 3
3 2 2 2
6 2 6 6 12 8
8 6 12 6 0
b a b a b a b b a ab a
a b a ba a
         
    

0.25

2
2
0
3 3
2 3 0(*)
2 4
a
a b b a





 

   
 

 

Dễ thấy pt(*) vô nghiệm .
0.25


0
a

, giải pt thu được
1 2.
x y  
0.25
3(1.5điểm)

1
3
AE AB AD
 
  
,

( )
(1 ) .
2
AI AB BI AB kBF AB k BC CF
k
AB k AD
      
  
       
 

0.25
0.5

Vì
,
AI AE
 
cùng phương suy ra
2
5
k

. Vậy
6 2
.
5 5
AI AB AD
 
  

0.25

Lại có,
1 3
( )
5 5
CI AI AB AD AB AD
    
     

0.25

. 0.
AI CI
 
 

0.25
4(1.5điểm)

Từ giả thiết suy ra
osC+ccosB
.
cosBcosC sin sin
bc a
B C

0.25

Áp dụng định lý Côsin,
2 2 2
a
osC= ,
2
b c
bc
a
 
tương tự với
osB
cc
.
osC+ccosB=a
bc


0.5

Từ đó,
(3 4; ) ( 3 2; 2).
B BC B b b C b b
       

0.5

Suy ra,
0 0
90 90 .
B C A    0.25

5(1.5điểm)

Gọi A(x;y). Ta có,
3
MA MG

 
, suy ra A(0;2)
0.5

Pt đường thẳng BC ( qua M, nhận
1
( ;1)
3
MG 

) làm VTPT:
3 4 0
x y
   

0.25

(3 4; ) ( 3 2; 2)
B BC B b b C b b
       

0.25

Tam giác ABC vuông tại A

. 0 ( 3 2)(3 4) ( 4)( 2) 0
AB AC b b b b
          
 

0,25
TH1:
0 (4;0), ( 2; 2)
b B C
   

TH2: b= -2 , ngược lại.
0.25
6(1.5điểm)

Vai trò a,b,c bình đẳng, giả sử b là số ở giữa
( )( ) 0 ( )( ) 0
b a b c a b a b c
       

0.25

2 2 2 2
( )( ) ( ) ( )
P a b a b c b a c b a c
       
0.25

Áp dụng BĐT Côsi,
2 2 2 2

2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
2
3
( ) 4 .
2 2
2 2
4( ) 4 2.
3
a c a c
P b a c b
a c a c
b
P
 
   
 
 
   



0.75


Đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1. Vậy giá trị lớn nhất của khi P
bằng 2.
0.25
Ghi chú: các cách giải khác đúng cho điểm tương ứng