Proceedings VCM 2012 26 phân tích cấu hình đặc biệt của cơ cấu song song dùng tọa độ plücker

Tuyển tập công trình Hội nghị Cơ điện tử toàn quốc lần thứ 6 187


Mã bài: 41
Phân tích cấu hình đặc biệt của cơ cấu song song dùng tọa độ Plücker
Singularity Analysis of Parallel Mechanisms using Plücker Coordinates
Lê Hoài Quốc, Nguyễn Minh Thạnh, Trần Công Tuấn, Nguyễn Ngọc Lâm*
Khu Công nghệ cao Thành phố Hồ Chí Minh,
*Viện Nghiên cứu Điện tử - Tin học – Tự động hóa
e-Mail: , ,
,
Tóm tắt
Bài báo trình bày kết quả nghiên cứu các vấn đề về cấu hình đặc biệt và khả năng tải của tay máy song song
với các chân dẫn động phụ phân bố ngoài không gian làm việc, trong đó sử dụng phương pháp lý thuyết vít và
dùng toạ độ Plücker.
Bài báo cũng đề xuất các thuật toán xác định mô hình cho cơ cấu này trên cơ sở lý thuyết vít, xác định được
sự ảnh hưởng của chuẩn số gần tiến tới các cấu hình đặc biệt (singularities configuration) và ảnh hưởng căn
bản tới kết quả mô hình hóa cũng như khả năng chịu tải của cơ cấu song song.
Các kết quả nghiên cứu cho thấy việc áp dụng lý thuyết vít và dùng toạ độ Plücker vào bài toán tay máy
song song là rất hiệu quả, đặc biệt trong xét các cấu hình đặc biệt, cũng như khả năng chịu tải.
Abstract:
The research results on issues of singularities configurations and load capacity of the parallel mechanism
with actuators located outside the workspace, which uses screw theory and used Plücker coordinates are
presented.
The algorithms to determine the model of mechanism take into account singularities configuration based on
screw theory are proposed, the criterion of closeness to singularity is determined, the basic impact modeling
results as well as load capacity of parallel mechanisms.
The research results show that the application of screw theory and used Plücker coordinates parallel
mechanisms problem is very effective, especially in consideration of singularities configuration, as well as
load capacity.

1. Phần mở đầu
Trong những năm gần đây, cơ cấu có cấu trúc
song song (cơ cấu song song) dành được sự
quan tâm lớn của cộng đồng Robotics. Chúng
cũng được ứng dụng ngày càng nhiều trong
các lĩnh vực: máy công cụ, tổ hợp cảng, mô
phỏng bay, các công cụ định vị có tải trọng
lớn, độ chính xác cao. Giải bài toán về cơ cấu
song song có một vai trò đặc biệt, cho phép
nâng cao hiệu quả hoạt động của các thiết bị
kỹ thuật mà nó tham gia, đặc biệt là những
vấn đề về khả năng tải trọng và độ chính xác.
Đã có nhiều công trình được công bố quốc tế
[10-13] giới thiệu các kết quả nghiên cứu về
cơ cấu song song. Trong đó, nhiều phương
pháp tính toán tối ưu và điều khiển được áp
dụng như các phương pháp mô hình hoá sử
dụng tập hợp tối ưu Pareto, thuật toán di
truyền, lý thuyết điều điều khiển hiện đại và
điều khiển thông minh, Tuy nhiên, do tiềm
năng của lĩnh vực này rất rộng lớn với hướng
nghiên cứu mở và còn nhiều vấn đề cần phải giải quyết.
Về tính đặc biệt của cơ cấu song song cũng được nhiều
nhà khoa học nghiên cứu và công bố [14-28], trong đó
việc xem xét ảnh hưởng của các vị trí đặc biệt lên đặc
trưng của vùng làm việc là hết sức quan trọng.
Đối với mô hình cơ cấu song song có các dẫn động
được bố trí ngoài vùng làm việc, việc nỗ lực thiết lập
các chuỗi động học của chúng cũng đóng một vai trò

quan trọng cho các thiết bị hoạt động trong môi trường
ăn mòn, hoặc thiết bị dùng dưới nước. Do đặc điểm
ràng buộc về mặt hình học và kết cấu vật lý của các
chuỗi động liên kết của cơ cấu song song làm hạn chế
các thông số của vùng làm việc, cũng như yêu cầu về
khả năng tải và các đặc tính sẳn của nó có thể làm suy
giảm cạnh cấu hình đặc biệt (cấu hình suy biến).
Bài báo này trình bày cách giải quyết các vấn đề nêu
trên khi sử dụng lý thuyết vít và toạ độ Plücker, mặc
dù lý thuyết này đã có từ lâu và đã có nhiều nhà khoa
học nghiên cứu ý tưởng của Plücker [2-7].
Việc xây dựng các thuật toán và chương trình tự động
hoá thiết kế các cơ cấu song song có tính đến các đặc
điểm như không gian làm việc, khả năng tải, sự triệt
188 Lê Hoài Quốc, Nguyễn Minh Thạnh, Trần Công Tuấn, Nguyễn Ngọc Lâm


VCM2012
tiêu từ các cấu hình suy biến trên cơ sở lý
thuyết vít có thể đưa ra một cách giải quyết
mới vấn đề đã nêu Từ các kết quả trên, có
thể giải quyết một các kịp thời và cấp thiết
việc thiết lập hệ thống tự động hoá thiết kế
các cơ cấu song song có các dẫn động được
phân bố ngoài không gian làm việc [29].

2. Các khái niệm cơ bản tọa độ Plücker
Trong phần này chúng ta xem xét các khái
niệm cơ bản của tọa độ Plücker (Plücker’s
coordinates), phương trình của Plücker đường

(Plücker’s line), và Plücker phức hợp tuyến
tính (Plücker’s linear complex) được đưa ra
bởi Plücker [1]. Nó được ứng dụng trong các
phức hợp tuyến tính, cho phép ta biểu diễn
trường véc tơ trong chuyển động vít và làm
sáng tỏ về mặt hình học của phương trình
mặt lưới và quá trình kết hợp hai tham số.

2.1 Plücker đường
Một đường thẳng trong không gian được xác
định bởi một vector vị trí r
o
tại một điểm M
o

của một đường thẳng và một vector hướng
song song với đường thẳng (xem hình H.1).
Các thông số thể hiện hướng của một đường
thẳng là:
;( 0),
o o o
r r M M r a A
  
     
(1)
Đường thẳng được định hướng tương ứng với
ký hiệu của thừa số vô hướng .

H. 1 Biểu diễn một đường thẳng

Nếu đường thẳng được giả định rằng một
đường thẳng đi qua điểm M
o
, thì mômen của
đường thẳng định hướng đối với gốc O được
xác định như sau:

a o
m r a
 
(2)
Dễ dàng kiểm tra được rằng



o o a
r a r a a r a m

      
(3)



0
a
m a r a a
    
(4)
Từ đó, phương trình

, 0
a o a
m r a r a m a
     
(5)
thỏa mãn cho bất kỳ điểm tồn tại trên đường thẳng.
Những phương trình này xác định một đường thẳng và
được gọi là các phương trình Plücker của một đường
thẳng (Plücker đường) . Vì vậy, sáu tọa độ ((ax, ay, az),
(mx, my, mz)) được gọi là tọa độ Plücker. Chỉ có bốn
trong số các tọa độ đó là độc lập tuyến tính khi
0
a
m a
 
và có một thừa số chung vô hướng. Cụ thể,
chúng ta có thể biểu diễn
/
o
a a a

và
*
a o
m r a
 
thay
cho điểm a và đường thẳng m
a
.

1.2 Plücker phức hợp tuyến tính của một đường
thẳng nằm trên mặt phẳng
Một mặt phẳng có thể được xác định bằng cách: (a)
một điểm M
o
nằm trong mặt phẳng và (b) một véc tơ
pháp tuyến N đến mặt phẳng (xem hình H.2).
Một đường thẳng nằm trong mặt phẳng P được biểu
diễn:

,( 0), 0
o
r r a N a
 
    
(6)

H. 2 Biểu diễn một đường thẳng trong một mặt phẳng

Từ phương trình (6)

( ) 0
o
N r r
  
(7)
và mặt phẳng có thể biểu diễn bởi phương trình:

N r d

 
(8)
Bây giờ chúng ta xem xét một đường thẳng (g, m
g
),
đường thẳng này nằm trong cùng một mặt phẳng nếu
các phương trình sau đây được thỏa mãn theo [8]:





g
N g m d g g
   
(9)
Dùng phép biến đổi trực tiếp phương trình (9), ta thu
được:





 
( )
( ) ( )
( ) ( )
g
N g m N g r g
N r g g g N g

N r g g d g g
      
     
    
(10)
Khi g nằm trong mặt phẳng  thì
0


gN

Tiếp theo, xét đường thẳng (a, m
a
) và (g, mg), chúng ta
có thể kiểm tra được rằng các cặp của đường thẳng có
thể giao nhau từng đôi một hoặc chúng song song nếu
x
z
y
O
N
g
M
o
M
x
a
z
y
M

o
M
r
o
r
O
Tuyển tập công trình Hội nghị Cơ điện tử toàn quốc lần thứ 6 189


Mã bài: 41
các phương trình sau đây thỏa mãn:

0
g a
a m m g
   
(11)
Để minh chứng những vấn đề này được dựa
trên những điều sau đây:
(a) Dùng phép biến đổi trực tiếp phương trình
(11), ta thu được:







( ) 0
g a a g

a r g r a g r r a g
         
(12)
(b) Phương trình (12) thỏa mãn khi:
0, 0
a g
r r a g
   
, có nghĩa là các đường
thẳng có một điểm chung.
, 0
a g
r r a g
  
, có nghĩa là có hai đường
thẳng song song với nhau.
Phương trình (11) thể hiện Plücker phức hợp
tuyến tính của tất cả các đường thẳng (g, m
g
)
được xác định bởi một vector a và cặp (a,
m
a
).
Đường thẳng (g, m
g
) có sáu tọa độ Plücker (g
x

, g

y
, g
z
, mg
x
, mg
y
, mg
z
), nhưng chỉ có ba là
độc lập tuyến tính bởi vì một đường thẳng chỉ
có bốn tọa độ Plücker độc lập tuyến tính và có
thêm một mối quan hệ giữa các tọa độ được
cho bởi bởi phương trình (11).

3. Các đặc điểm của cơ cấu song song
có các dẫn động nằm ngoài vùng
làm việc
3.1 Đề xuất cơ cấu song song
Có nhiều cơ cấu song song với cấu trúc khác
nhau có thể mang lại vùng làm việc, vận tốc,
khả năng tải cao hơn cũng như đáp ứng môi
trường làm việc nguy hại khác với cơ cấu
Stewart Platform (Hexapod). Cơ cấu song
song mà chúng tôi đề xuất trong nghiên cứu
này là một cơ cấu có các dẫn động được phân
bố ngoài vùng làm việc (xem hình H.3). Cơ
cấu này có những ưu điểm là có thể đáp ứng
được điều kiện ứng dụng khắc nghiệt của một
thiết bị hoạt động trong môi trường ăn mòn,

hoặc thiết bị dùng dưới nước.


H. 3 Cơ cấu song song với bốn chuỗi động học

Loại cơ cấu được lựa chọn này nhìn tổng quát thì có thể
đáp ứng đầy đủ các điều kiện cho mục tiêu ứng dụng,
nhưng vẫn tồn tại một số hạn chế. Một mặt, với bốn
chuỗi động nó đảm bảo độ cứng vững cao hơn, khả
năng tải và vận tốc cao hơn so với cơ cấu có ba chuỗi
động. Tuy nhiên, sự hiện diện bốn chuỗi động có thể sẽ
thu hẹp thể tích làm việc bởi một khâu nào đó trong số
chúng cản trở chuyển động tương hỗ của các khâu
khác.
Cấu trúc hình học của cơ cấu song song với bốn chuỗi
động và với các chuỗi động được thiết kế bằng cách tạo
các dẫn động bố trí ngoài vùng làm việc, đồng thời
khớp động được bố trí tại các điểm В
1
, …, В
4
cho phép
chuyển dịch tuyến tính của các chân đối với nền, ngoài
ra, chúng còn thực hiện chuyển vị góc. Các khớp động
А
1
, …, А
4
được bố trí ở khâu ra (tấm dịch chuyển).
Ngoài ra các khâu được bố trí giữa các điểm А

5
và В
5
,
А
6
và В
6
, đảm bảo cho hệ thống có số bậc tự do mong
muốn.
Vị trí tương hỗ của khâu ra so với nền được xác định
nhờ sự tồn tại của một ma trận biến đổi (4x4), ma trận
này mô tả ba chuyển động tịnh tiến và ba chuyển được
quay. Tọa độ tâm của các điểm ở các khớp của khâu ra
cũng được xác định trong hệ tọa độ di chuyển. Ngoài
ra, toạ độ của các điểm này cũng được xác định trong
hệ tọa độ cố định. Khoảng cách giữa các điểm từ A
i
đến
B
i
(i = 1,…, 4) được xác định là tọa độ suy rộng. Đối
với chuỗi động 5 và 6 bài toán được giải quyết tương
tự, chỉ có khác biệt là những điểm cố định phía trên của
dẫn động được bố trí trên chuỗi động 1 và 4.
Chuyển động tuyến tính của các dẫn động được tạo ra
bằng cách dùng động cơ tuyến tính (linear motor) hoặc
động cơ quay kết hợp với bộ biến đổi chuyển động
quay thành chuyển động tịnh tiến (ví dụ: cơ cấu bánh
vít – trục vít hoặc bánh răng – thanh răng. Trong trường

hợp mất điện cơ cấu bánh vít – trục vít sẽ được giữ
nguyên vị trí. Cơ cấu bánh răng – thanh răng thì có hiệu
quả và phù hợp hơn cho các ứng dụng đòi hỏi tốc độ
cao).

3.2 Lựa chọn khớp động cho cơ cấu
Để có đủ số bậc tự do như mong muốn chuyển động
khâu ra trong không gian, người thiết kế phải tạo ra một
loại cơ cấu song song với các khớp nối giữa các khâu
của các dẫn động với tấm dịch chuyển.
Khi các dẫn động được gắn cố định, cơ cấu sẽ có bậc tự
do là zero, hay nói cách khác, tấm dịch chuyển sẽ được
cố định tại một vị trí.
Theo [9], số bậc tự do của cơ cấu được tính như sau:

1
( 1)
j
i d
i
w l j f I


    

(13)
y

z

x

O

A
1

A
2

A
3

B
1

B
3

B
2

A
5

B
5

A
4

B
4

A
6

B
6

190 Lê Hoài Quốc, Nguyễn Minh Thạnh, Trần Công Tuấn, Nguyễn Ngọc Lâm


VCM2012
trong đó

là bậc tự do trong không gian (

=
6); l là số khâu của cơ cấu; j: số khớp của cơ
cấu; f
i
: số bậc tự do của khớp thứ i; I
d
: số bậc
tự do thừa của cơ cấu.
Giả sử cả hai đầu mỗi một khâu được gắn với
các khớp cầu có một bậc tự do thừa, trong
trường hợp này, chúng ta cần phải xem xét
đến bậc tự do thụ động I

d
.
Xét cơ cấu song song có n khâu, các dẫn động
được gắn cố định. Khi đó,

= 6, l = n + 1 +
1 (sáu khâu, tấm dịch chuyển và bệ), j = 2·n
(số khớp trong cơ cấu). Vì tất cả các khớp đều
là khớp cầu, nên f
i
= 3 (mỗi khớp có 3 bậc tự
do). Mỗi khâu được gắn với hai khớp cầu, I
d

= n bậc tự do thụ động. Từ (13), số bậc tự do
của cơ cấu sẽ được tính:
w = 6(n+1+1-2·n-1) + 2·n·3 – n = 6–n (14)
Tiếp theo, nếu chúng ta dùng khớp Các-đăng
và khớp lăng trụ dọc trên trục mỗi khâu, thay
vì dùng các khớp cầu như trên. Ta có,

= 6, l
= n + 1 + 1 = 8, j = 3·n. Khi đó, cơ cấu sẽ có
12 khớp Các-đăng với 2 bậc tự do cho mỗi
khớp (f
i
= 2, với i = 1,…, 2n) và 6 khớp lăng
trụ với một bậc tự do cho mỗi khớp (f
i
= 1,

với I = 2n+1, , 3n), và I
d
= 0. Trong trường
hợp này, theo (13) số bậc tự do của cơ cấu sẽ
được tính:
w = 6(2·n+1+1-3·n-1)+2·n·2+n·1= 6-n (15)
Từ phương trình (14), (15) ta thấy cơ cấu sẽ
được định vị một cách vững chắc nếu có n =
6 khâu, khi đó bậc tự do của tấm dịch chuyển
sẽ là zero.

4. Tác động tương hỗ của chuỗi động
và khâu ra
Sự tồn tại của các cấu hình đặc biệt (cấu hình
kỳ dị, cấu hình suy biến) có thể ảnh hưởng
một cách căn bản đến các chức năng làm việc
của cơ cấu song song. Trong các cấu hình đặc
biệt, hệ thống vít lực đặc trưng sự tác động
tương hỗ giữa các chuỗi động và khâu ra bị
suy biến. Việc tìm thấy vít động – gradien
đưa hệ thống tới gần cấu hình đặc biệt. chính
vì thế, phân tích bài toán xác định vít động
đưa cơ cấu ra khỏi vị trí đặc biệt là cần thiết.
Chúng ta tiến hành xác định các vít lực biểu
diễn sự tác động tương hỗ của chuỗi động và
khâu ra.


H. 4 Một chuỗi động phụ

Xem xét một chuỗi động phụ thứ i (xem hình H.4), dẫn
động của chuyển vị tuyến tính được bố trí dưới góc gần
thanh nối. Trong trường hợp tổng quát khi dẫn động bị
hãm trục của vít lực thuộc mặt phẳng được đặc trưng
bởi các đoạn A
i
B
j
và B
j
C
j
đi qua C
j
và hướng thẳng góc
với phương chuyển vị có thể của C
j
, được xác định
bằng phép quay của B
j
xung quanh tâm khớp cầu của
A
i
. Khi xem xét sự chuyển động có thể của C
j
trong mặt
phẳng được đặc trưng bởi các đoạn A
i
B
j

và B
j
C
j
thì ta sẽ
tìm thấy tâm vận tốc tức thời của chuỗi động B
j
C
j
tại F
i
.
Chuyển dịch có thể của C
j
ở khâu ra thẳng góc với đoạn
F
i
C
j
, cho nên trục thẳng được định ra bởi đoạn này là
trục của vít lực cần phải tìm.
Véctơ của vít lực:

* **
i i i
p p p
  






/ / / . /
i j j j j i j j j
AC s d l f l d AC DC d DC
   
 
 
(16)
trong đó p
i
là véc tơ vít lực thứ i; p
i
*, p
i
** là các hình
chiếu của véc tơ p
i
song song và thẳng góc với véc tơ
BC
j
; AC
i
, DC
j
là các véc tơ được sắp xếp giữa các điểm
A
i
và C
j

, D
j
và C
j
tương ứng; s
j
, d
j
, f
j
là chiều dài các
vétơ BC
j
, DC
j
, BD
j
; (với j=1 và i=1, 2, 3; j=2 và i=4,
5; j=3 và i=6).
Véc tơ vít lực thứ i:

/
i i i
r p p
 (17)
Mômen vít lực r
i
0
sẽ bằng tích vétơ:

0
j
i C i
r r

 
(18)

trong đó r
i
0
là mômen vít lực thứ i;
j
C

là bán kính véc
tơ của С
j
ở khâu ra.

5. Ảnh hưởng của cấu hình đặc biệt lên các
thông số của vùng làm việc
Ảnh hưởng của cấu hình đặc biệt lên các thông số vùng
làm việc của cơ cấu song song là một vấn đề rất quan
trọng cần được xem xét. Ta cần phải định ra các cơ sở
ab
i

ab
i

*

B
j

ab
i
**

D
j

A
i

p
i

r
i

p
i
*

p
i
**

F

i

C
j

Tuyển tập công trình Hội nghị Cơ điện tử toàn quốc lần thứ 6 191


Mã bài: 41
để xác định cấu hình đặc biệt. Ở đây, chúng ta
có thể xem xét giá trị tiêu chuẩn (chuẩn số)
hoạt động đối với tọa độ trục các dẫn động
tuyến tính của cơ cấu. Đồng thời phải xem xét
các ma trận được thiết lập từ tọa đã nêu, toạ
độ này được xác định là tọa độ Plücker, được
tìm trên cơ sở lý thuyết vít.
Khi tay máy di chuyển đến cấu hình đặc biệt,
tay máy sẽ mất điều khiển, gây ảnh hưởng xấu
đến các chức năng của các hệ thống. Vì thế rất
cần phải phân tích và tìm cách xác định sự tồn
tại của các cấu hình đặc biệt ảnh hưởng đến
các thông số của không gian làm việc. Việc
tìm các giới hạn của các giá trị chuẩn số có thể
cần được xem xét.
Các thông số của cơ cấu song song (xem hình
H.3): B
i
, A
i
là các điểm kẹt chặt ở trên nền và

khâu ra. s
i
(s
xi
, s
yi
, s
zi
), r
i
(r
xi
, r
yi
, r
zi
) là các
vectơ xác định giữa gốc tọa độ O đến các đến
điểm được đề cập B
i
, A
i
(s
i
là hằng số).
Vít lực tác động lên khâu ra được định vị dọc
trục trên các chuỗi động với E
i
=e
i

+

e
o
i
,
(i=1,…,6), ở đây E
i
là được biết đến như là
tọa độ Plücker,

là các hệ số Clifford,

2
=0
(đối với một véc tơ, e
i
e
o
i
=0). Các tọa độ của
véc tơ e
i
được thể hiện thông qua tọa độ của
các điểm: (x
Bi
–x
Ai
)/L
i

, (y
Bi
–y
Ai
)/L
i
, (z
Bi
–z
Ai
)/L
i
,
ở đây x
Ai
, y
Ai
, z
Ai
, x
Bi
, y
Bi
, z
Bi
là tọa độ của điểm
A
i
và B
i

.
Chúng ta hãy xem xét định thức của ma trận
(T) (ký hiệu det(T)) được tạo từ các tọa độ
Plücker của các vít đơn vị E
i
, (i = 1,…,6) các
trục của vít lực tác động từ các chuỗi động
học đến khâu ra. Ma trận của Plücker được
biễu diễn:

1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2
6 6 6 6 6 6
. . . . . .
( )
. . . . . .
. . . . . .
o o o
x y z x y z
o o o
x y z x y z
o o o
x y z x y z
e e e
e e e e
e e e e e e
e e e
e e
T
 

 
 
 
  
 
 
 
 
 
(19)
Cấu hình của cơ cấu song song là đặc biệt khi
định thức của ma trận (T) tiến đến zero, nghĩa
là:
det(T) = 0 (20)
Cấu hình đặc biệt sẽ được tìm thấy nếu tất cả
các véctơ trên trục của các dẫn động là phụ
thuộc tuyến tính.
Ví dụ, chúng ta thiết lập thuật toán ban đầu,
với các tọa độ tham số của các điểm B
i
(i =
1,…,6) trong hệ tọa độ tương ứng với nền là
(m):
1.5
0
0
1
0
1.5
0

1
0
1.5
0
1
1.5
0
0
1
1.5
1.5
0
1
1.5
1.5
0
1













Tọa độ tham số của các điểm A
i
(i = 1,…,6) trong hệ
tọa độ tương ứng với khâu ra có giá trị (ở đây cột 5 và 6
tương ứng với cột 1 và 4) (m):
0.8
0
0
1
0
1
0
1
0
0.8
0
1
1
0
0
1
0.8
0
0
1
1
0
0
1














Tọa độ Plücker của các trục được tìm thấy dựa trên bài
toán động học ngược và được xác định bởi ma trận (T):
T
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1

0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0.423
0.906
0
0
0
0.725
0.316
0.949
0
0
0
0.949




















Định thức của ma trận (T) ở trên là bằng zero:
det(T)=0. Như vậy cấu hình đặc biệt của cơ cấu đã
được tìm thấy.
Bây giờ ta xét đến ảnh hưởng của cấu hình đặc biệt lên
vùng làm việc của cơ cấu song song đề xuất. Vùng làm
việc của cơ cấu được giới hạn khoảng dịch chuyển của
các dẫn động, nghĩa là giới hạn dịch chuyển của tọa độ
suy rộng. Ở đây cần quan tâm đến mối liên hệ giữa giới
hạn của tọa độ suy rộng và tọa độ tuyệt đối trong không
gian tham số. Trong trường hợp này chúng ta giải bài
toán và kiểm tra giới hạn trong tọa độ suy rộng, cũng
như giới hạn cấu trúc cơ cấu.
Để minh chứng các giá trị chuẩn số suy biến có ảnh
hưởng đến các thông số của vùng làm việc, ta tiến hành
kiểm tra giá trị của chuẩn số với |det(T)|0.000001.
Vùng làm việc của cơ cấu song song với góc hướng
thay đổi trong trường hợp giới hạn của tọa độ suy rộng
cho trước là 2.5 ≤ l
i

≤ 4.5(m) đối với chuỗi động 1, 2, 3,
4 (i=1,…,4) và 0.8 ≤ l
i
≤ 2.2(m) đối với chuỗi động 5 và
6 (i=5, 6). Giá trị đầu và cuối của tọa độ tuyệt đối x và y
thay đổi trong phạm vi từ –3.5 đến 3.5(m) và tọa độ
tuyệt đối z là từ 0 đến 3(m). Góc hướng khâu ra thay đổi
từ π/6 đến -π/6. Số bước quét trong không gian tham số
đối với x, y là 5 và đối với z, α, β, γ là 4. Kết quả vùng
làm việc của cơ cấu:
workspace
0 1 2 3 4 5 6 7 8
6394
6395
6396
6397
6398
6399
3.5 3.5 3 0 0.524 0.175 0.175 961 27
3.5 3.5 3 0 0.524 0.175 0.524 961 27
3.5 3.5 3 0 0.524 0.524
-0.524
961 27
3.5 3.5 3 0 0.524 0.524
-0.175
961 27
3.5 3.5 3 0 0.524 0.524 0.175 961 27
3.5 3.5 3 0 0.524 0.524 0.524 961 27


Quan sát vào kết quả trên ta thấy cấu hình đạt được là
961 và vị trí tâm khâu ra đạt được là 27. Vị trí tâm khâu
192 Lê Hoài Quốc, Nguyễn Minh Thạnh, Trần Công Tuấn, Nguyễn Ngọc Lâm


VCM2012
ra thể hiện trong vùng làm việc được trình
bày trên hình H. 5.
Tiếp theo, ta lần lượt xét giá trị của các chuẩn
số suy biến ảnh hưởng đến vùng làm việc của
cơ cấu thể hiện qua số cấu hình cơ cấu và vị
trí của tâm khâu ra đạt được. Kết quả đạt
được thể hiện trên Bảng 1.
X Y Z( )

H. 5 Vị trí của tâm khâu ra

Bảng 1. Kết quả khảo sát các giá trị của
chuẩn số suy biến

|det(T)|


Cấu hình Tâm khâu ra
0.00001

961

27

0.0001

956

27

0.001

883

27

0.01

497

21

0.1

0

0


Quan sát trên Bảng 1. chúng ta có thể tìm
thấy giới hạn các giá trị chuẩn số xác định cấu
hình đặc biệt của cơ cấu song song, từ đó
chúng ta có thể điều khiển tay máy song song
ra khỏi cấu hình đặc biệt tồn tại trong vùng

làm việc của chúng.

6. Khả năng chịu tải của cơ cấu
Khả năng chịu tải của cơ cấu song song có thể
được xác định trên cơ sở giá trị trung bình của
cấu hình có thể và vị trí tâm khâu ra ở thời
điểm tức thời. Đây cũng có thể là một chuẩn
số mà chúng ta cần xem xét, vì nó phản ánh
được khả năng chịu tải của cơ cấu. Chuẩn số
đó là giá trị định thức được lập ra từ tọa độ
của các dẫn động. Giả sử có một lực tác động
lên tấm dịch chuyển, mà nó có thể biểu diễn
dưới dạng một véctơ sáu chiều, hoặc vít lực
được đặc trưng bởi véctơ lực và véctơ
mômen:
(R) = (F,M) (21)
Lực này có thể phân chia ra các lực thành
phần trong từng dẫn động. Để có được điều
đó, cần có một ma trận (T) được lập ra từ tọa độ các
dẫn động:
(R) = (T)(f) (22)
trong đó (f) là véc tơ lực trong các dẫn động, có hệ
thức:
(f) = (Т)
-1
(R) (26)
trong đó (Т)
-1
là ma trận nghịch đảo.
Từ hệ thức trên, rõ ràng rằng các lực trong các dẫn

động đạt được giá trị vô cùng trong các cấu hình suy
biến khi định thức ma trận |det(T)| = 0. Định thức càng
lớn thì lực cần có trong các dẫn động càng nhỏ và khả
năng tải trọng càng lớn. Chính vì thế hệ thức trên có thể
được tiếp nhận như chuẩn số khả năng tải trọng.
Chúng ta đi tìm biểu thức biểu diễn cho độ cứng và sự
biến dạng của cơ cấu. Để có hệ thức của chuyển vị đàn
hồi trong các dẫn động thì cần phải tăng lực trên ma
trận tính để biến dạng (С)
-1
:
(q) = (C)
-1
(f) (27)
trong đó (C)
-1
là ma trận chéo, vì vậy:
(C)
-1
= (1/C) (28)
Sự chuyển dịch trong các dẫn động lúc này có thể được
biểu thị qua lực tác động lên tâm dịch chuyển:
(q) = (C)
-1
(f) = (C)
-1
(Т)
-1
(R) (29)
Tiếp theo ta có thể tìm thấy sự chuyển dịch của tấm

dịch chuyển bao gồm hai thành phần: chuyển vị tuyến
tính và chuyển vị góc.
(W) = (r,φ) = (Т)
-1
(q) = (Т)
-1
(C)
-1
(Т)
-1
(R) (30)
Từ đó ma trận biến dạng được tìm thấy: (G)
-1
= (Т)
-
1
(C)
-1
(Т)
-1
, trong ma trận này cũng có sự hiện diện của
tọa độ trục các dẫn động. Ma trận độ cứng sẽ là:
(G) = (Т)(C)(Т) (31)
Từ những điều trên đây có thể đưa ra kết luận rằng ma
trận (T), cũng như định thức của nó có thể là hệ số khả
năng tải trọng và độ cứng cơ cấu song song.

7. Kết luận
Nghiên cứu những khái niệm cơ bản của lý thuyết vít
và dùng toạ độ Plücker, ứng dụng chúng để giải quyết

một số vấn đề cho cơ cấu song song có các dẫn động
phân bố ngoài vùng làm việc đã cho một số kết quả cơ
bản sau: Các thuật toán được đề xuất trên cơ sở lý
thuyết vít cho phép xác định mô hình cơ cấu song song
có các dẫn động được bố trí ngoài vùng làm việc có
tính đến các cấu hình đặc biệt.
Trên cơ sở các thuật toán đã đưa ra, việc xác định được
sự ảnh hưởng của chuẩn số gần tiến tới các cấu hình
đặc biệt đã được thực hiện. Hệ thức được lập từ tọa độ
các trục dẫn động tuyến tính của cơ cấu song song có
thể sử dụng một các hiệu quả cả khi mô hình hóa. Giá
trị của chuẩn số tiến gần đến các cấu hình đặc biệt ảnh
Tuyển tập công trình Hội nghị Cơ điện tử toàn quốc lần thứ 6 193


Mã bài: 41
hưởng căn bản tới kết quả mô hình hóa cũng
như khả năng chịu tải của cơ cấu song song.
Các kết quả nghiên cứu cho thấy việc áp dụng
lý thuyết vít và dùng toạ độ Plücker vào bài
toán tay máy song song là rất hiệu quả, đặc
biệt trong xét các cấu hình đặc biệt và khả
năng chịu tải.

Tài liệu tham khảo
[1] Plücker J., On a New Geometry of Space,
Philosophical Transactions of the Royal
Society, Vol. 155, pp. 725–791, 1865.
[2] Ball, R., A Treatise on the Theory of
Screws, Cambridge at the University

Press, 1900.
[3] Klein F., Elementary Mathematics From
an Advanced Standpoint, Dover
Publications, New York, 1939.
[4] Bottema O., Roth B., Theoretical
Kinematics, North-Holland Publishing Co.
1979.
[5] Karger, A., Novak, J., Space Kinematics
and Lie Groups, Gordon and Breach
Science Publishers, New York. ISBN 2-
88124-023-2, 1978.
[6] F. Dimentberg, The Screw Calculus and
its Applications in Mechanics, Nauka,
1965 (English translation: AD680993,
Clearinghouse for Federal Technical and
Scientific Information, Virginia).
[7] Lipkin, H., Geometry and Mappings of
screws with applications to the hybrid
control of robotic manipulators, PhD
thesis, University of Florida, 1985.
[8] Merkin D.R., Algebra of Free and Sliding
Vectors”, Fizmatgis, 1962 (in Russian).
[9] Yang D.C.H., Lee T.W., Feasibility Study
of a Platform Type of Robotic
Manipulators from a Kinematic Viewpoint.
Journal of Mechanisms, Transmissions,
and Automation in Design, June 1984, Vol
106, 191-198.
[10] J. Angeles, The Qualitative Synthesis of
the parallel Manipulators, Journal of

Mechanical Design. Vol. 126, 2004, pp.
617-624.
[11] J P. Merlet, Parallel Robots, Kluwer
Academic Publishers, 2006, 394p.
[12] M. Ceccarelli, Fundamentals of Mechanics
of Robotic Manipulation, Kluwer
Academic Publishers, 2004, 310p.
[13] V. Parenti-Castelli, C. Innocenti, Direct
Displacement Analysis for Some Classes
of Spatial Parallel Mechanisms,
Proceedings, VIII CISM-IFToMM
Symposium on Theory and Practice of Robots and
Manipulators, Cracow, Poland, 1990, pp. 123-130.
[14] C. Gosselin, J. Angeles, Singularity Analysis of
Closed Loop Kinematic Chains, In IEEE Trans. on
Robotics and Automation, 1990, 6(3): 281-290.
[15] H. Funabashi, Y. Takeda, Determination of Singular
Points and Their Vicinity in Parallel Manipulators
Based on the Transmission Index, In Proceedings of
the 9th World Congress on the TMM, Milano, Italy,
1995, pp. 1977-1981.
[16] Y.N. Sarkissyan, T.F. Parikyan, Analysis of Special
Configurations of the parallel Topology
Manipulators, In: Eight CISM-IFMoMM Symp. of
Robots and Manipulators, Krakow, Poland, 1990,
pp. 156-163.
[17] D. Zlatanov, R.G. Fenton, B. Benhabib,
Identification and Classification of the Singular
Configurations of the mechanisms, Mechanism and
Machine Theory, Vol. 33, 1998, No 6, pp. 743-760.

[18] A.F. Kraynev, V.A. Glazunov, Parallel Structure
Mechanisms in Robotics, In MERO’91, Sympos.
Nation. de Roboti Industr., Bucuresti, Romania,
1991, 1: 104-111.
[19] V.A. Glazunov, A.S. Koliskor, A.F. Kraynev,
Spatial Parallel Structure Mechanisms, Moscow,
Nauka, 1991, 96p. (in rus.).
[20] V.A Glazunov, A.F. Kraynev, G.V. Rashoyan, A.N.
Trifonova, Singular Zones of the parallel Structure
Mechanisms, In Proceeding of the 10th World
Congress on TMM, Oulu, Finland, 1999, pp. 2710-
2715.
[21] V.A. Glazunov, A.F. Krainev, G.V. Rashoyan, A.N.
Trifonova, and M.G. Esina, Modeling the zones of
singular positions of the parallel-structure
manipulators, Journal of Machinery Manufacture
and Reliability, Allerton Press Inc., 2000, No. 2, pp.
85-91.
[22] V.A. Glazunov, Twists of Movements of the parallel
Mechanisms Inside Their Singularities, In
Mechanism and Machine Theory, 2006, 41: 1185-
1195.
[23] Victor Glazunov, Roman Gruntovich, Alexey
Lastochkin, Nguyen Minh Thanh, Representations of
constraints imposed by kinematic chains of parallel
mechanisms, In Proceedings of the 12th IFToMM
World Congress in Mechanism and Machine
Science, France, June 17-21, 2007, Vol. 1, pp. 380-
385.
[24] Victor Glazunov, Nguyen Minh Thanh,

Determination of the parameters and the Twists
Inside Singularity of the parallel Manipulators with
Actuators Situated on the Base, ROMANSY 17,
Robot Design, Dynamics, and Control. In
Proceedings of the Seventeenth CISM-IFToMM
Symposium, Tokyo, Japan, 2008, pp. 467-474.
194 Lê Hoài Quốc, Nguyễn Minh Thạnh, Trần Công Tuấn, Nguyễn Ngọc Lâm


VCM2012
[25] Nguyen Minh Thanh, Victor Glazunov, Lu
Nhat Vinh, Nguyen Cong Mau,
Parametrical optimization of parallel
mechanisms while taking into account
singularities, In ICARCV 2008
Proceedings, Hanoi, Vietnam, 2008,
International Conference on Control,
Automation, Robotics and Vision, IEEE
2008, pp. 1872-1877.
[26] Nguyen Minh Thanh, Le Hoai Quoc,
Victor Glazunov, Constraints analysis,
determination twists inside singularity and
parametrical optimization of the parallel
mechanisms by means the theory of
screws, In Proceedings of the (CEE 2009)
6
th
International Conference on Electrical
Engineering, Computing Science and
Automatic Control, IEEE 2009, Toluca,

Mexico, 2009, pp. 89-95.
[27] Victor Glazunov, Nguyen Ngoc Hue,
Nguyen Minh Thanh, Singular
configuration analysis of the parallel
mechanisms, In Journal of Machinery and
Engineering Education, ISSN 1815-1051,
No. 4, 2009, pp. 11-16.
[28] Nguyen Minh Thanh, Victor Glazunov, Lu
Nhat Vinh, Determination of Constraint
Wrenches and Design of Parallel
Mechanisms. In CCE 2010 Proceedings,
Tuxtla Gutiérrez, Mexico, 2010,
International Conference on Electrical
Engineering, Computing Science and
Automatic Control, IEEE 2010, pp. 46-53.
[29] Nguyen Minh Thanh, Victor Glazunov,
Tran Cong Tuan, Nguyen Xuan Vinh,
Multi-criteria optimization of the parallel
mechanism with actuators located outside
working space. In ICARCV 2010
Proceedings, Singapore, 2010,
International Conference on Control,
Automation, Robotics and Vision, IEEE 2010, pp.
1772-1778.
[30] Nguyen Minh Thanh, Le Hoai Quoc, Victor
Glazunov, Singularity Analysis, Constraint
Wrenches and Optimal Design of Parallel
Manipulators. In Book chapter of Serial and Parallel
Robot Manipulators - Kinematics, Dynamics,
Control and Optimization, ISBN: 978-953-51-0437-

7, 2012, pp. 359-372.

Le Hoai Quoc received PhD in
1982 of the Institute of
Mathematics and Electronics
Moscow – Russia in the
Controls of Technical Systems.
He is an Associate Professor.
From 2006, he is the Deputy
Director of Department of
Science and Technology, People’s Committee of HCM
City; Head of National Key Lab. of Robotics in the
Vietnam National University, HCM City; Invited
Professor of HCM University of Technology, VNU.
From 2011, he is the President of Saigon Hi-Tech Park.
His other professional activities are the Vice Chairman
of Vietnam Association of Robotics; Vice Chairman of
HCM City Association of Automation; Member of
Board of Vietnam National Program of Mechanical
Engineering and Automation KC.03/11-15. Besides, he
is the Member of Committee of Vietnam National
Program on Automation; Member of National
Committee of Professor’s Title on Electrics –
Electronics and Automation; Chairman of HCM City
Program of Industrial Technology and Automation;
Chairman of HCM City Program of Industrial Robots.
He co-authored two books and published many papers
on national and international journals and conference
proceedings.