Phương pháp tính cách bài toán tích phân
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (577.09 KB, 45 trang )
TOÁN 12 www.dangnhatlong.com
Biên soạn : ðặng Nhật Long Trang 1/ 45 Email:
Chuyên ñề : TÍCH PHÂN ÔN THI ðẠI HỌC 2015
Website: www.dangnhatlong.com
BẢNG CÔNG THỨC TÍNH ðẠO HÀM
(
)
( )
( )
x
x
x
x
α.x'x
k
αα
2
1
'
11
0'
2
'
1
=
−=
=
=
−
(
)
( )
u
u
u
u
u
u
uα.u'u
αα
2
'
'
'1
'.
2
'
1
=
−=
=
−
(
)
( )
( )
( )
( )
x
x
x
x
x
x
xx
xx
2
2
2
2
cot1
sin
1
'cot
tan1
cos
1
'tan
sin'cos
cos'sin
+−=−=
+==
−=
=
(
)
( )
( )
( )
( )
( )
uu
u
u
u
uu
u
u
u
uuu
uuu
2
2
2
2
cot1'.
sin
'
'cot
tan1'.
cos
'
'tan
sin'.'cos
cos'.'sin
+−=−=
+==
−=
=
(
)
( )
aaa
ee
xx
xx
ln'
'
=
=
(
)
( )
'.ln'
'.'
uaaa
uee
uu
uu
=
=
( )
( )
ax
x
x
x
a
ln.
1
'log
1
'ln
=
=
( )
( )
au
u
u
u
u
u
a
ln.
'
'log
'
'ln
=
=
( )
2
'
dcx
bcad
y
dcx
bax
y
+
−
=⇒
+
+
=
;
( )
2
22
''
'''2'
'
''
bxa
cabbxabxaa
y
bxa
cbxax
y
+
−++
=⇒
+
++
=
BẢNG CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM
Nguyên hàm của những
hàm số sơ cấp thường gặp
Nguyên hàm của những hàm số
thường gặp
Nguyên hàm của những
hàm số hợp
Cxdx +=
∫
( )
1
1
1
≠+
+
=
+
∫
α
α
α
α
C
x
dxx
( )
0ln ≠+=
∫
xCx
x
dx
Cedxe
xx
+=
∫
( )
10
ln
≠<+=
∫
aC
a
a
dxa
x
x
Cxxdx +=
∫
sincos
Cxxdx +−=
∫
cossin
Cxdx
x
+=
∫
tan
cos
1
2
Cxdx
x
+−=
∫
cot
sin
1
2
( ) ( )
Cbax
a
baxd ++=+
∫
1
( )
(
)
( )
1
1
1
1
≠+
+
+
=+
+
∫
α
α
α
α
C
bax
a
dxbax
( )
0ln
1
≠++=
+
∫
xCbax
a
b
ax
dx
Ce
a
dxe
baxbax
+=
++
∫
1
( ) ( )
Cbax
a
dxbax ++=+
∫
sin
1
cos
( ) ( )
Cbax
a
dxbax ++−=+
∫
cos
1
sin
( )
( )
Cbax
a
dx
bax
++=
+
∫
tan
1
cos
1
2
( )
( )
Cbax
a
dx
bax
++−=
+
∫
cot
1
sin
1
2
Cudu +=
∫
( )
1
1
1
≠+
+
=
+
∫
α
α
α
α
C
u
duu
( )
0ln ≠+=
∫
uCu
u
du
Cedue
uu
+=
∫
( )
10
ln
≠<+=
∫
aC
a
a
dxa
u
u
Cuudu +=
∫
sincos
Cuudu +−=
∫
cossin
Cudu
u
+=
∫
tan
cos
1
2
Cudu
u
+−=
∫
cot
sin
1
2
CÁC CÔNG THỨC SUY RA:
1).
∫
++=
+
Cbax
a
b
ax
dx
ln
1
(a
0
≠
) 2).
∫
+
−
−
−
=
−−
C
bx
ax
ba
dx
bxax
dx
ln
1
))((
(a
)b
≠
3).
∫
+
+
−
=
−
C
ax
ax
a
ax
dx
ln
2
1
22
4).
C
baxa
bax
dx
+
+
−
=
+
∫
1
.
1
)(
2
(a
)0
≠
5).
Caxx
ax
dx
+++=
+
∫
2
2
ln
6).
(
)
( )
( )
sin ax+b
ln os ax+b
os ax+b
dx c C
c
= − +
∫
TOÁN 12 www.dangnhatlong.com
Biên soạn : ðặng Nhật Long Trang 2/ 45 Email:
7).
(
)
( )
( )
os ax+b
ln sin ax+b
sin ax+b
c
dx C
= +
∫
CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC HAY SỬ DỤNG
1
cos .cos cos( ) cos( )
2
1
sin .sin cos( ) cos( )
2
1
sin .cos sin( ) sin( )
2
α β = α + β + α −β
α β = α −β − α +β
α β = α+β + α − β
2 2 2
1 cos2 1 cos2 1 cos2
cos ; sin ; tan
2 2 1 cos2
+ α − α − α
α = α = α =
+ α
* Nếu ñặt
t an
2
x
t =
thì ta có :
2
2
sin
1
t
x
t
=
+
;
2
2
1
cos
1
t
x
t
−
=
+
;
2
2
tan
1
t
x
t
=
−
Vấn ñề 1: DÙNG CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM TÍNH NGUYÊN HÀM
Bài 1. Tìm nguyên hàm của các hàm số.
1. f(x) = x
2
– 3x +
x
1
ð
S. F(x) =
Cx
xx
++−
ln
2
3
3
23
2. f(x) =
2
4
32
x
x +
ð
S. F(x) =
C
x
x
+−
3
3
2
3
3. f(x) =
2
1
x
x
−
ð
S. F(x) = lnx +
x
1
+ C
4. f(x) =
2
22
)1(
x
x −
ð
S. F(x) =
C
x
x
x
++−
1
2
3
3
5. f(x) =
4
3
xxx ++
ð
S. F(x) =
C
xxx
+++
5
4
4
3
3
2
4
5
3
4
2
3
6. f(x) =
3
21
xx
−
ð
S. F(x) =
Cxx +−
3 2
32
7. f(x) =
x
x
2
)1( −
ð
S. F(x) = Cxxx ++− ln4
8. f(x) =
3
1
x
x
−
ð
S. F(x) =
Cxx +−
3
2
3
5
9. f(x) =
2
sin2
2
x
ð
S. F(x) = x – sinx + C
10. f(x) = tan
2
x
ð
S. F(x) = tanx – x + C
11. f(x) = cos
2
x
ð
S. F(x) =
Cxx ++
2sin
4
1
2
1
12. f(x) = (tanx – cotx)
2
ð
S. F(x) = tanx - cotx – 4x + C
13. f(x) =
x
x
22
cos
.
sin
1
ð
S. F(x) = tanx - cotx + C
14. f(x) =
x
x
x
22
cos
.
sin
2cos
ð
S. F(x) = - cotx – tanx + C
15. f(x) = sin3x
ð
S. F(x) =
Cx +−
3cos
3
1
TOÁN 12 www.dangnhatlong.com
Biên soạn : ðặng Nhật Long Trang 3/ 45 Email:
16. f(x) = 2sin3xcos2x ðS. F(x) =
Cxx +−− cos5cos
5
1
17. f(x) = e
x
(e
x
– 1)
ð
S. F(x) = Cee
xx
+−
2
2
1
18. f(x) = e
x
(2 + )
cos
2
x
e
x−
ð
S. F(x) = 2e
x
+ tanx + C
19. f(x) = 2a
x
+ 3
x
ð
S. F(x) =
C
a
a
xx
++
3
ln
3
ln
2
20. f(x) = e
3x+1
ð
S. F(x) =
Ce
x
+
+13
3
1
21.
2
( ) 3
2
x
f x x
= +
22.
1
3
( )
f x x
=
23.
2
( ) cos
f x x
=
24.
2
( ) 10
x
f x
=
25
3 2
2
3 3 1
( )
2 1
x x x
f x
x x
+ + −
=
+ +
26.
x
xxxf
1
cos)(
3
−+=
27.
x
xxxg
2
4
cos
1
25)(
+−=
28. x
x
x
xh
sin5
23
)(
4
++−=
29.
24)(
2
+−= xtgxm
x
30.
2
23
234
)(
x
xx
xn
+−
=
31.
23
)32()(
−= xxp
32.
4
3
xxxy ++=
33. y= x
2
(5 –x )
4
Bài 2: Tìm hàm số f(x) biết rằng
1. f’(x) = 2x + 1 và f(1) = 5
ð
S. f(x) = x
2
+ x + 3
2. f’(x) = 2 – x
2
và f(2) = 7/3
ð
S. f(x) = 1
3
2
3
+−
x
x
3. f’(x) = 4
xx −
và f(4) = 0
ð
S. f(x) =
3
40
2
3
8
2
−−
xxx
4. f’(x) = x - 2
1
2
+
x
và f(1) = 2
ð
S. f(x) =
2
3
2
1
2
2
−++ x
x
x
5. f’(x) = 4x
3
– 3x
2
+ 2 và f(-1) = 3
ð
S. f(x) = x
4
– x
3
+ 2x + 3
6
. f’(x) = ax + 2)1(,4)1(,0)1(',
2
=−== fff
x
b
ð
S. f(x) =
2
51
2
2
++
x
x
Vấn ñề 2: TÍNH TÍCH PHÂN ÁP DỤNG CÔNG THỨC CƠ BẢN
Dạng cơ bản:
( ) ( ) ( ) ( )
b
a
a
I f x dx F x F b F a
b
= = = −
∫
TOÁN 12 www.dangnhatlong.com
Biên soạn : ðặng Nhật Long Trang 4/ 45 Email:
BÀI TẬP ÁP DỤNG:
1.
1
3
0
( 1)
x x dx
+ +
∫
2.
2
2
1
1 1
( )
e
x x dx
x x
+ + +
∫
3.
2
1
1
x dx
+
∫
4.
2
3
(2sin 3 )
x cosx x dx
π
π
+ +
∫
5.
1
0
( )
x
e x dx
+
∫
6.
1
3
0
( )
x x x dx
+
∫
7.
2
1
( 1)( 1)
x x x dx
+ − +
∫
8.
2
3
1
(3sin 2 )
x cosx dx
x
π
π
+ +
∫
9.
1
2
0
( 1)
x
e x dx
+ +
∫
10.
2
2
3
1
( )
x x x x dx
+ +
∫
11.
2
1
( 1)( 1)
x x x dx
− + +
∫
12.
3
3
1
x 1 dx
( ).
−
+
∫
13.
2
2
2
-1
x.dx
x
+
∫
14.
2
e
1
7x 2 x 5
dx
x
− −
∫
15.
x 2
5
2
dx
x 2
+ + −
∫
16.
2
2
1
x 1 dx
x x x
( ).
ln
+
+
∫
17.
2
3
3
6
x dx
x
cos .
sin
π
π
∫
18.
4
2
0
tgx dx
x
.
cos
π
∫
19.
1
x x
x x
0
e e
e e
dx
−
−
−
+
∫
20.
1
x
x x
0
e dx
e e
.
−
+
∫
21.
2
2
1
dx
4x 8x
+
∫
22.
3
x x
0
dx
e e
ln
.
−
+
∫
23.
2
0
dx
1 x
sin
π
+
∫
24.
∫
−
++
1
1
2
)12(
dxxx
25.
∫
−−
2
0
3
)
3
2
2( dxxx
26.
∫
−
−
2
2
)3(
dxxx 27.
∫
−
−
4
3
2
)4( dxx
28. dx
xx
∫
+
2
1
32
11
29.
∫
−
2
1
3
2
2
dx
x
xx
30.
∫
e
e
x
dx
1
1
31.
∫
16
1
.
dxx 32.
dx
x
xx
e
∫
−+
2
1
752
33.
dx
x
x
∫
−
8
1
3
2
3
1
4
Vấn ñề 3: MỘT SỐ DẠNG TÍCH PHÂN CƠ BẢN
Dạng 1: I =
( )
( 0)
b
a
p x
dx c
cx d
≠
+
∫
(
P(x)
là m
ộ
t
ñ
a th
ứ
c).
N
ế
u b
ậ
c P(x) l
ớ
n h
ơ
n ho
ặ
c b
ằ
ng 1 ta chia t
ử
cho m
ẫ
u
Ví dụ 1:
Tính
1
2
1
3 4 5
2 3
x x
I dx
x
−
+ −
=
−
∫
Giải
TOÁN 12 www.dangnhatlong.com
Biên soạn : ðặng Nhật Long Trang 5/ 45 Email:
1
1
2
1
1
31
3 17 3 17 31 17 31
4
ln 2 3 = ln5
2 4 2 3 4 4 8 2 8
I x dx x x x
x
−
−
= + + = + + − −
−
∫
Dạng 2:
2
( )
b
a
P x
I dx
x px q
=
+ +
∫
( P(x) là một ña thức)
Nếu bậc của P(x) lớn hơn hoặc bằng 2 ta chia tử cho mẩu ta ñược các tích phân có dạng:
+
( -1)
b
a
x dx
α
α
≠
∫
=
1
1 1
1
1 1
+
+ +
= −
+ +
b
a
x
b a
α
α α
α α
+
I
1
2
b
a
Ax B
dx
x px q
+
=
+ +
∫
Cách tính I
1
:
2
0
x px q
+ + =
vô nghiệm (
0
∆ <
)
Ta bi
ế
n
ñổ
i: Ax+B =
[ ]
(2 ) (2 ) ( )
2 2 2
A A Ap
x p p B x p B+ − + = + + −
1
2 2
2
( )
2 2
b b
a a
A x p Ap dx
I dx B
x p q x px q
+
= + −
+ + + +
∫ ∫
* I
2
=
2
2
b
a
x p
dx
x p q
+
+ +
∫
ðặt t = x
2
+px+q
(2 )
dt x p dx
⇒ = +
ðổi cận: ;x a t x b t
α β
= ⇒ = = ⇒ =
2
ln ln
= = =
∫
dt
I t
t
β
β
α
α
β
α
* I
3 =
2
2
2
2
2
( 0)
4
( )
( )
2
2 4
= = = − >
+ +
+ +
+ + −
∫ ∫ ∫
b b b
a a a
dx dx dx p
m q
p
p p
x px q
x m
x q
ðặt
tan
2
p
x m t
+ =
2
(1 tan )
dx m t dt
⇒ = +
ðổi cận: ;x a t x b t
α β
= ⇒ = = ⇒ =
[ ]
2
3
2
(1 tan ) 1 1 1
[ ]
tan
+
= = = = −
+
∫ ∫
m t dt
I dt t
m t m
m m m
β β
β
α
α α
β α
Ví dụ: Tính
3
2
2
3 2
7 13
x
I dx
x x
+
=
− +
∫
Giải
( ) ( )
( )
( )
3 3
2 2
2 2
3
3
2
1
2
2
2
3 3
2
2
2
2 2
3 3 25
3 2 2 7 7 2 2 7
2 2 2
2 7
3 25
2 7 13 2 7 13
2 7
I = ln 7 13 = - ln3
7 13
+ I =
7 13
7 3
2 4
x x x
x
dx
I dx
x x x x
x
dx x x
x x
dx dx
x x
x
+ = − + + = − +
−
= +
− + − +
−
+ = − +
− +
=
− +
− +
∫ ∫
∫
∫ ∫
TOÁN 12 www.dangnhatlong.com
Biên soạn : ðặng Nhật Long Trang 6/ 45 Email:
( )
2
7 3
tan t ;
2 2 2 2
3
1 tan
2
− = ∈ −
⇒ = +
π π
Ñaët x t
dx t dt
ðổi cận:
6
2
3
2 3 3
3 9
I dx
π
π
π
−
−
= =
∫
3 25 3
ln3
2 18
I
π
−
= +
2
0
x px q
+ + =
có nghiệm kép
2
p
x
=
(
0
∆ =
)
2
2 2 2
( )
2
( ) ( ) ( ) ( )
2
2 2 2 2
p
M A
M x N
M
Ax B Ax B M N
Mp
p p p p
N
x px q
N B
x x x x
=
+ +
+ +
= = + = ⇒ ⇒
+ +
+ =
+ + + +
I
1
=
2
( )
( )
2 2
b
a
M N
dx
p p
x x
+
+ +
∫
ln
2
2
b
a
p N
M x
p
x
= + −
+
Ví dụ: Tính
1
2
1
2 5
2 1
x
I dx
x x
+
=
+ +
∫
Giải
Ta có:
( ) ( )
2 2
2
2 5 2 5
2 1 1
1 1
x x A B
x x x
x x
+ +
= = +
+ + +
+ +
2
2
2
1
1
2 5 ( 1)
2 2
5 3
2 3 3 3 1
2ln 1 2ln
1 ( 1) 1 2 2
x A x B
A A
A B B
I dx x
x x x
⇒ + = + +
= =
⇒ ⇒
+ = =
= + = + − = +
+ + +
∫
2
0
x px q
+ + =
có 2 nghiệm x
1,
x
2
(
0)
∆ >
2 1
2
1 2 1 2 1 2
( ) ( )
( )( ) ( ) ( ) ( )( )
M x x N x x
Ax B Ax B M N
x px q x x x x x x x x x x x x
− + −
+ +
= = + =
+ + − − − + − −
2 1
M N A
M
Mx Nx B
N
+ =
⇒ ⇒
− + =
1 1 2
1 2
ln ln
( ) ( )
b
b
a
a
M N
I dx M x x N x x
x x x x
= + = − + −
− −
∫
Ví dụ: Tính
3
2
2
4 5
4 5
x
I dx
x x
−
=
− −
∫
x 2 3
t
3
π
−
6
π
−
TOÁN 12 www.dangnhatlong.com
Biên soạn : ðặng Nhật Long Trang 7/ 45 Email:
Giải
2
4 5 4 5
4 5 ( 5) ( 1)
4 5 ( 1)( 5) 1 5
3
4
2
4 5 ( ) 5
5 5 5
2
x x A B
x A x B x
x x x x x x
A
A B
x A B x A B
A B
B
− −
= = + ⇒ − = − + +
− − + − + −
=
+ =
⇒ − = + − + ⇒ ⇒
− + = −
=
3
3
2
2
3 5
3 5 3 4 5 2
2 2
ln 1 ln 5 ln ln
1 5 2 2 2 3 2 3
I dx x x
x x
= + = + + − = +
+ −
∫
Tích phân dạng:
( , ) (c, e 0)
b
n
a
cx d
I R x dx
ex f
+
= ≠
+
∫
ðặt t =
n
cx d
ex f
+
+
⇒
x =
( ) '( )
t dx t dt
ϕ ϕ
⇒ =
ðổi cận : ;x a t x b t
α β
= ⇒ = = ⇒ =
[ ]
( ) ( ) ( ) ( )
= = = −
∫
I g t dt G t G G
β
β
α
α
β α
Ví dụ: Tính
7
3
3
0
( 1)
3 1
x
I dx
x
+
=
+
∫
Gi
ả
i:
ðặ
t
3
3 2
3
1
3 1 3 1
3
t
t x t x x dx t dt
−
= + ⇒ = + ⇒ = ⇒ =
ðổ
i c
ậ
n:
7
0 1; 2
3
x t x t
= ⇒ = = ⇒ =
3
2
2 2 2
5
2 3 4 2
1 1 1
1
1
1
1 1 1 46
3
( 2) ( 2 )
3 3 3 5 15
t
t
I t dt t tdt t t dt t
t
−
+
= = + = + = + =
∫ ∫ ∫
Tích phân dạng: I =
2
( ,
b
a
I R x m x dx
= −
∫
( m > 0
)
ðặt
sin
x m t
= ;
2 2
t
π π
∈ −
( hoặc
os
=
x mc t
[
]
(
)
0;
∈t
π
)
cos
dx m tdt
⇒
= (-
sin
=
dx m tdt
)
ðổ
i c
ậ
n: ;x a t x b t
α β
=
⇒
= =
⇒
=
[ ]
( ) ( ) ( ) ( )
= = = −
∫
I g t dt G t G G
β
β
α
α
β α
Ví dụ:
Tính
2
2 2
0
4
I x x dx
= −
∫
Gi
ả
i
: 2sin t ; 2cos
2 2
−
= ∈ ⇒ =
π π
Ñaët x t dt tdt
;
ðổ
i c
ậ
n: 0 0; 2
2
x t x t
π
=
⇒
= =
⇒
=
TOÁN 12 www.dangnhatlong.com
Biên soạn : ðặng Nhật Long Trang 8/ 45 Email:
2 2 2
2
2 2 2 2
0
0 0 0
1
4sin 4 4sin .2cos 8 sin cos (1 cos4 ) sin4
4 2
I t t tdt t tdt t dt t t
π π π
π
π
= − = = + = + =
∫ ∫ ∫
I
=
2
( , )
b
a
R x x m dx
±
∫
(m > 0)
Cách 1:
ðặ
t:
2
( ) '( )
t x x m x t dx t dt
ϕ ϕ
= + ± ⇒ = ⇒ =
ðổ
i c
ậ
n:
;x a t x b t
α β
= ⇒ = = ⇒ =
[ ]
( ) ( ) ( ) ( )
= = = −
∫
I g t dt G t G G
β
β
α
α
β α
Cách 2: *
2
−
x m
ðặt
ost
m
x
c
=
*
2
+
x m
ðặt
tan
=
x m t
Ví dụ: Tính
1
2
0
1
I x dx
= +
∫
Giải:
ðặt
2 2
2 2 2 2 2
2
1 1
1 1 2 1
2 2
t t
t x x t x x t xt x x x dx dt
t t
− +
= + + ⇒ − = + ⇒ − + = + ⇒ = ⇒ =
2 2
2
1 1
1 ;
2 2
t t
x t
t t
− +
+ = − =
ðổi cận:
0 1; 1 1 2
x t x t= ⇒ = = ⇒ = +
1 2 1 2 1 2
2 2 4 2
2 3 3
1 1 1
1 2
2
2
1
1 1 1 2 1 1 2 1
( )( )
2 2 4 4
1 1 1 3 2 2 1
2ln ln(1 2)
4 2 2 4 2
2(3 2 2)
t t t t
I dt dt t dt
t t t t t
t
t
t
+ + +
+
+ + + +
= = = + +
+
= + − = + + −
+
∫ ∫ ∫
ðặc biệt:
các d
ạ
ng tích phân sau
(
)
(
)
b b
2 2
2 n 2
a a
; ; x ;
b b
n
n n
a a
m x x m
x m x dx dx x m dx dx
x x
− ±
− ±
∫ ∫ ∫ ∫
( v
ớ
i n là s
ố
nguyên d
ươ
ng l
ẽ
)
ðặ
t
2 2 2 2 2
2
*
* ( )
= − ⇒ = − ⇒ = − ⇒ = −
= ±
t m x t m x x m t xdx tdt
t x m
ðổ
i c
ậ
n: ;x a t x b t
α β
= ⇒ = = ⇒ =
[ ]
( ) ( )
I g t dt G t
β
β
α
α
= =
∫
Ví dụ:
Tính
1
3 2
0
1
I x x dx
= +
∫
Gi
ả
i:
1 1
3 2 2 2
0 0
1 1 .
I x x dx x x xdx
= + = +
∫ ∫
ðặ
t:
2 2 2 2 2
1 1 1
t x t x x t xdx tdt
= +
⇒
= +
⇒
= −
⇒
=
ðổ
i c
ậ
n:
0 1; x= 2
=
⇒
=
x t
2
2 2
5 3
2 4 2
1 1
1
2 2 2
( 1) . ( )
5 3 15
t t
I t t tdt t t dt
+
= − = − = − =
∫ ∫
TOÁN 12 www.dangnhatlong.com
Biên soạn : ðặng Nhật Long Trang 9/ 45 Email:
Tích phân dạng:
(ln )
b
a
f x
I dx
x
=
∫
ðặt
t = lnx dt=
dx
x
⇒
ðổ
i c
ậ
n:
;x a t x b t
α β
= ⇒ = = ⇒ =
( )
I f t dt
β
α
=
∫
Ví dụ: Tính
3
2
1
ln
(1 ln )
x
I dx
x x
=
+
∫
Giải:
ðặt ln
dx
t x dt
x
=
⇒
=
;
ðổi cận:
1 0; 3 ln3
x t x t
=
⇒
= =
⇒
=
ln3
ln3
2 3
2
0
0
1 1
ln 1 ln(1 ln 3)
1 2 2
tdt
I t
t
= = + = +
+
∫
Vấn ñề 4: TÍCH PHÂN ðỔI BIẾN SỐ
* ðổi biến số dạng 1:
( ) ( ( )) '( )
b
a
f x dx f t t dt
β
α
ϕ ϕ
=
∫ ∫
* Quy tắc ñổi biến số dạng 1:
Cho hàm số f(x) liên tục trên ñoạn [a;b], ñể tính
( )
b
a
f x dx
∫
ta thực hiện các bước sau:
Bước 1. ðặt x = u(t) và tính
/
( )
dx u t dt
= .
Bước 2. ðổi cận: , x a t x b t
α β
= ⇒ = = ⇒ =
.
Bước 3.
/
( ) [ ( )] ( ) ( )
b
a
f x dx f u t u t dt g t dt
β β
α α
= =
∫ ∫ ∫
.
Ví dụ 1. Tính tích phân
1
2
2
0
1
I dx
1 x
=
−
∫
.
Giải
ðặt
x sin t, t ; dx cos tdt
2 2
π π
= ∈ − ⇒ =
1
x 0 t 0, x t
2 6
π
= ⇒ = = ⇒ =
6 6
2
0 0
cos t cos t
I dt dt
cos t
1 sin t
π π
⇒ = =
−
∫ ∫
6
6
0
0
dt t 0
6 6
π
π
π π
= = = − =
∫
.
Vậy
I
6
π
=
.
Ví dụ 2. Tính tích phân
2
2
0
I 4 x dx
= −
∫
.
Hướng dẫn:
ðặt
x 2 sin t
=
ðS:
I
= π
.
TOÁN 12 www.dangnhatlong.com
Biên soạn : ðặng Nhật Long Trang 10/ 45 Email:
Ví dụ 3. Tính tích phân
1
2
0
dx
I
1 x
=
+
∫
.
Giải
ðặt
2
x tan t, t ; dx (tan x 1)dt
2 2
π π
= ∈ − ⇒ = +
x 0 t 0, x 1 t
4
π
= ⇒ = = ⇒ =
4 4
2
2
0 0
tan t 1
I dt dt
4
1 tan t
π π
+ π
⇒ = = =
+
∫ ∫
.
Vậy I
4
π
=
.
Ví dụ 4. Tính tích phân
3 1
2
0
dx
I
x 2x 2
−
=
+ +
∫
.
Hướng dẫn:
3 1 3 1
2 2
0 0
dx dx
I
x 2x 2 1 (x 1)
− −
= =
+ + + +
∫ ∫
.
ðặt
x 1 tan t
+ =
ðS:
I
12
π
=
.
Ví dụ 5. Tính tích phân
2
2
0
dx
I
4 x
=
−
∫
.
ðS:
I
2
π
=
.
Ví dụ 6. Tính tích phân
3 1
2
0
dx
I
x 2x 2
−
=
+ +
∫
.
ðS:
I
12
π
=
.
* Công thức ñổi biến số dạng 2
( )
( )
( ( )) '( ) ( )
b
b
a a
f x x dx f t dt
ϕ
ϕ
ϕ ϕ
=
∫ ∫
* Quy tắc ñổi biến số dạng 2:
ðể tính tích phân
b
/
a
f[u(x)]u (x)dx
∫
ta thực hiện các bước sau:
Bước 1. ðặt t = u(x) và tính
/
dt u (x)dx
=
.
Bước 2. ðổi cận:
x a t u(a) , x b t u(b)
= ⇒ = = α = ⇒ = = β
.
Bước 3.
b
/
a
f[u(x)]u (x)dx f(t)dt
β
α
=
∫ ∫
.
Ví dụ 7. Tính tích phân
2
e
e
dx
I
x ln x
=
∫
.
Giải
ðặt
dx
t ln x dt
x
= ⇒ =
2
x e t 1, x e t 2
= ⇒ = = ⇒ =
TOÁN 12 www.dangnhatlong.com
Biên soạn : ðặng Nhật Long Trang 11/ 45 Email:
2
2
1
1
dt
I ln t ln 2
t
⇒ = = =
∫
.
Vậy
I ln 2
=
.
Ví dụ 8. Tính tích phân
4
3
0
cos x
I dx
(sin x cos x)
π
=
+
∫
.
Hướng dẫn:
4 4
3 3 2
0 0
cos x 1 dx
I dx .
(sin x cos x) (tan x 1) cos x
π π
= =
+ +
∫ ∫
. ðặt
t tan x 1
= +
ðS:
3
I
8
=
.
Ví dụ 9. Tính tích phân
3
1
2
dx
I
(1 x) 2x 3
=
+ +
∫
.
Hướng dẫn:
ðặt
t 2x 3
= +
ðS:
3
I ln
2
=
.
Ví dụ 10. Tính tích phân
1
0
3 x
I dx
1 x
−
=
+
∫
.
Hướng dẫn:
ðặt
3
2
2 2
1
3 x t dt
t 8
1 x
(t 1)
−
= ⇒
+
+
∫
⋯
; ñặt
t tan u
=
⋯
ðS:
I 3 2
3
π
= − +
.
Chú ý:
Phân tích
1
0
3 x
I dx
1 x
−
=
+
∫
, rồi ñặt
t 1 x
= +
sẽ tính nhanh hơn.
NHỮNG CÁCH BIẾN ðỔI THÔNG THƯỜNG:
Hàm số Cách ñặt
Hàm số chứa
[
]
( )
n
x
ϕ
( )
t x
ϕ
=
Hàm số chứa mẫu t=mẫu
Hàm số chứa
( )
x
ϕ
( )
t x
ϕ
=
hoặc
( )
t x
ϕ
=
Tích phân chứa
dx
x
ðặt
ln
t x
=
Tích phân chứa
x
e
ðặt
x
t e
=
Tích phân chứa
( )
f x
e
ðặt
( )
t f x
=
Tích phân chứa
dx
x
ðặt
t x
=
Tích phân chứa
2
dx
x
ðặt
1
t
x
=
Tích phân chứa
cos
xdx
ðặt
sin
t x
=
Tích phân chứa
2
cos
dx
x
ðặt
t tanx
=
TOÁN 12 www.dangnhatlong.com
Biên soạn : ðặng Nhật Long Trang 12/ 45 Email:
Tích phân chứa
2
sin
dx
x
ðặt
cot
t x
=
Tích phân chứa
2 2
a x
−
ðặt
sin , ;
2 2
x a t t
π π
= ∈ −
Tích phân chứa
2 2
a x
+
ðặt
a tan
x t
=
Tích phân chứa
2 2
x a
−
ðặt
sin
a
x
t
=
Tích phân chứa
2
1
x k
+
ðặt
2
t x x k
= + +
Tích phân chứa
1
ax b cx d
+ ± +
Nhân lượng liên hợp
BÀI TẬP BÌNH THƯỜNG:
Loại 1 :
,
( ( )). ( ).
b
a
f x x dx
ϕ ϕ
∫
1) Tính :
1
5
0
(3 2)
x −
∫
dx ;
1
2
3
0
( )
2
x
x
−
∫
dx ;
1
2
3
0
2
1
x
x
+
∫
dx
2) Tính :
2
1
0
x
xe dx
∫
;
3
1
2
1
x
x e
−
−
∫
dx ;
1
2 ln
e
x
x
+
∫
dx ;
2
1 ln
e
e
dx
x x
+
∫
;
3
1
1 ln
e
x
x
+
∫
dx ;
4
1
ln
x
x
∫
dx
3) Tính:
3
3
0
sin
cos
x
x
π
∫
dx ;
3
cos
0
sin
x
x e
π
∫
dx ;
2
0
2 1 cos
x
π
+
∫
.sinx dx ;
4
2
0
cos
tgx
e
x
π
∫
dx ;
3
6
sin 2
dx
x
π
π
∫
;
2
3
0
cos sin
x x
π
∫
dx
4)
Tính:
3
3
0
sin
1 cos
x
x
π
+
∫
dx ;
2
1
(1 ln )
e
x
x
+
∫
dx ;
3
1
6 2ln
e
x
x
+
∫
dx ;
3
4
2
0
sin
cos
x
x
π
∫
dx ;
3
2
0
sn xtgx dx
π
∫
ðề ðH:
1.
2
1
ln
(1 ln )
e
x
dx
x x+
∫
(DH 2010 B)
Loại 2:
1).
1
2 2
3
4
dx
x x
−
∫
2).
1
2
2 5
0
3
(1 )
dx
x
−
∫
3).
4
3
2
4
4
x
dx
x −
∫
4).
3
2 2 3
3
(2 )
dx
x x
−
∫
5).
1
2
2 3
0
(1 )
x dx
x
+
∫
6)
4
2
3x 7
dx
(x 1)(x 4)
+
− +
∫
7).
∫
+
−
4
5
3
2
x
x
xdx
II. PHƯƠNG PHÁP ðẶT ẨN PHỤ:
1.
2
3 2
3
sin
xcos xdx
π
π
∫
2.
2
2 3
3
sin
xcos xdx
π
π
∫
3.
2
0
sin
1 3
x
dx
cosx
π
+
∫
TOÁN 12 www.dangnhatlong.com
Biên soạn : ðặng Nhật Long Trang 13/ 45 Email:
12.
1
2
0
1
1
dx
x+
∫
13.
1
2
1
1
2 2
dx
x x
−
+ +
∫
14.
1
2
0
1
1
dx
x +
∫
15.
1
2 2
0
1
(1 3 )
dx
x+
∫
16.
2
sin
4
x
e cosxdx
π
π
∫
17.
2
4
sin
cosx
e xdx
π
π
∫
18.
2
1
2
0
x
e xdx
+
∫
19.
2
3 2
3
sin
xcos xdx
π
π
∫
20.
2
sin
4
x
e cosxdx
π
π
∫
21.
2
4
sin
cosx
e xdx
π
π
∫
22.
2
1
2
0
x
e xdx
+
∫
23.
2
3 2
3
sin
xcos xdx
π
π
∫
24.
2
2 3
3
sin
xcos xdx
π
π
∫
25.
2
0
sin
1 3
x
dx
cosx
π
+
∫
26.
4
0
tgxdx
π
∫
27.
4
6
cot
gxdx
π
π
∫
28.
6
0
1 4sin
xcosxdx
π
+
∫
29.
1
2
0
1
x x dx
+
∫
30.
1
2
0
1
x x dx
−
∫
31.
1
3 2
0
1
x x dx
+
∫
32.
1
2
3
0
1
x
dx
x +
∫
33.
1
3 2
0
1
x x dx
−
∫
34.
2
3
1
1
1
dx
x x +
∫
35.
1
1 ln
e
x
dx
x
+
∫
36.
1
sin(ln )
e
x
dx
x
∫
37.
1
1 3ln ln
e
x x
dx
x
+
∫
38.
2ln 1
1
e
x
e
dx
x
+
∫
39.
2
2
1 ln
ln
e
e
x
dx
x x
+
∫
40.
2
2
1
(1 ln )
e
e
dx
cos x+
∫
41.
2
1
1 1
x
dx
x+ −
∫
42.
1
0
2 1
x
dx
x +
∫
43.
1
0
1
x x dx
+
∫
44.
1
0
1
1
dx
x x
+ +
∫
45.
1
0
1
1
dx
x x
+ −
∫
46.
3
1
1
x
dx
x
+
∫
46.
1
1 ln
e
x
dx
x
+
∫
47.
1
sin(ln )
e
x
dx
x
∫
48.
1
1 3ln ln
e
x x
dx
x
+
∫
49.
50.
2
2
1 ln
ln
e
e
x
dx
x x
+
∫
51.
2
2
1
(1 ln )
e
e
dx
cos x+
∫
52.
1
2 3
0
5
+
∫
x x dx
53.
( )
2
4
0
sin 1 cos+
∫
x xdx
π
54.
4
2
0
4
x dx
−
∫
55.
4
2
0
4
x dx
−
∫
56.
1
2
0
1
dx
x
+
∫
57.
dxe
x
∫
−
+
0
1
32
58.
∫
−
1
0
dxe
x
59.
1
3
0
x
dx
(2x 1)
+
∫
60.
1
0
x
dx
2x 1
+
∫
61.
1
0
x 1 xdx
−
∫
TOÁN 12 www.dangnhatlong.com
Biên soạn : ðặng Nhật Long Trang 14/ 45 Email:
62.
1
2
0
4x 11
dx
x 5x 6
+
+ +
∫
63.
1
2
0
2x 5
dx
x 4x 4
−
− +
∫
64.
3
3
2
0
x
dx
x 2x 1
+ +
∫
65.
6
6 6
0
(sin x cos x)dx
π
+
∫
66.
3
2
0
4sin x
dx
1 cosx
π
+
∫
67.
4
2
0
1 sin2x
dx
cos x
π
+
∫
68.
2
4
0
cos 2xdx
π
∫
69.
2
6
1 sin2x cos2x
dx
sinx cosx
π
π
+ +
+
∫
70.
1
x
0
1
dx
e 1
+
∫
.
71.
dxxx )sin(cos
4
0
44
∫
−
π
72.
∫
+
4
0
2sin21
2cos
π
dx
x
x
73.
∫
+
2
0
13cos2
3sin
π
dx
x
x
74.
∫
−
2
0
sin25
cos
π
dx
x
x
75.
∫
−
−+
+
0
2
2
32
22
dx
xx
x
76.
∫
+
+
−
1
1
2
5
2
x
x
dx
77.
2
3 2
0
cos xsin xdx
π
∫
78.
2
5
0
cos xdx
π
∫
79.
4
2
0
sin4x
dx
1 cos x
π
+
∫
80.
1
3 2
0
x 1 x dx
−
∫
81.
2
2 3
0
sin2x(1 sin x) dx
π
+
∫
82.
4
4
0
1
dx
cos x
π
∫
83.
e
1
1 lnx
dx
x
+
∫
84.
4
0
1
dx
cosx
π
∫
85.
e
2
1
1 ln x
dx
x
+
∫
86.
1
5 3 6
0
x (1 x ) dx
−
∫
87.
6
2
0
cosx
dx
6 5sinx sin x
π
− +
∫
88.
3
4
0
tg x
dx
cos2x
∫
89.
4
0
cos sin
3 sin2
x x
dx
x
π
+
+
∫
90.
∫
+
2
0
22
sin4cos
2sin
π
dx
xx
x
91.
∫
−+
−
5ln
3ln
32
xx
ee
dx
92.
∫
+
2
0
2
)sin2(
2sin
π
dx
x
x
93.
∫
3
4
2sin
)ln(
π
π
dx
x
tgx
94.
∫
−
4
0
8
)1(
π
dxxtg
95.
∫
+
−
2
4
2sin1
cossin
π
π
dx
x
xx
96.
∫
+
+
2
0
cos31
sin2sin
π
dx
x
xx
97.
∫
+
2
0
cos1
cos2sin
π
dx
x
xx
98.
∫
+
2
0
sin
cos)cos(
π
xdxxe
x
99.
∫
−+
2
1
11
dx
x
x
100.
∫
+
e
dx
x
xx
1
lnln31
101.
∫
+
−
4
0
2
2sin1
sin21
π
dx
x
x
102.
1
2
0
1 x dx
−
∫
103.
1
2
0
1
dx
1 x
+
∫
104.
1
2
0
1
dx
4 x
−
∫
105.
1
2
0
1
dx
x x 1
− +
∫
106.
1
4 2
0
x
dx
x x 1
+ +
∫
107.
2
0
1
1 cos sin
dx
x x
π
+ +
∫
108.
2
2
2
2
0
x
dx
1 x
−
∫
109.
2
2 2
1
x 4 x dx
−
∫
TOÁN 12 www.dangnhatlong.com
Biên soạn : ðặng Nhật Long Trang 15/ 45 Email:
110.
2
3
2
2
1
dx
x x 1
−
∫
111.
3
2
2
1
9 3x
dx
x
+
∫
112.
1
5
0
1
(1 )
x
dx
x
−
+
∫
113.
2
2
2
3
1
1
dx
x x
−
∫
114.
2
0
cos
7 cos2
x
dx
x
π
+
∫
115.
1
4
6
0
1
1
x
dx
x
+
+
∫
116.
2
0
cos
1 cos
x
dx
x
π
+
∫
117.
∫
+
+
−
0
1
2
2
2
x
x
dx
118.
∫
++
1
0
311 x
dx
119.
∫
−
−
2
1
5
1
dx
x
xx
120.
8
2
3
1
1
dx
x x +
∫
121.
7
3
3 2
0
1
x
dx
x+
∫
122.
3
5 2
0
1
x x dx
+
∫
123.
ln2
x
0
1
dx
e 2
+
∫
124.
7
3
3
0
1
3 1
x
dx
x
+
+
∫
125.
2
2 3
0
1
x x dx
+
∫
126.
∫
+
32
5
2
4xx
dx
BÀI TẬP ỨNG DỤNG:
1).
1
2
0
1
x x dx
−
∫
2).
1
2
0
1
x x dx
+
∫
3).
1
3 2
0
1
x x dx
+
∫
4).
1
2
3
0
1
x
dx
x
+
∫
5).
1
3 2
0
1
x x dx
−
∫
6).
1
1 ln
e
x
dx
x
+
∫
7).
1
sin(ln )
e
x
dx
x
∫
8).
1
1 3ln ln
e
x x
dx
x
+
∫
9).
2ln 1
1
e
x
e
dx
x
+
∫
10).
2
2
1 ln
ln
e
e
x
dx
x x
+
∫
11).
1
0
1
1
dx
x x
+ +
∫
12).
1
1 ln
e
x
dx
x
+
∫
13).
1
sin(ln )
e
x
dx
x
∫
14).
1
1 3ln ln
e
x x
dx
x
+
∫
15).
2ln 1
1
e
x
e
dx
x
+
∫
16).
1
2 3
0
5
+
∫
x x dx
17).
∫
+
2
0
13cos2
3sin
π
dx
x
x
18).
∫
−
2
0
sin25
cos
π
dx
x
x
19).
∫
+
4
0
2sin21
2cos
π
dx
x
x
20).
∫
+
2
0
13cos2
3sin
π
dx
x
x
21).
2
3 2
0
cos xsin xdx
π
∫
22).
e
1
1 lnx
dx
x
+
∫
23).
e
2
1
1 ln x
dx
x
+
∫
24).
1
5 3 6
0
x (1 x ) dx
−
∫
25).
3
2
2
0
sin cos
1 cos
x x
dx
x
π
+
∫
26).
1
0
x
dx
2x 1
+
∫
27).
e
1
1 3ln x ln x
dx
x
+
∫
28).
1
3 4 5
0
x (x 1) dx
−
∫
29).
1
3 2
0
I x 2 x dx
= −
∫
30).
2
sin x
4
e cosxdx
π
π
∫
TOÁN 12 www.dangnhatlong.com
Biên soạn : ðặng Nhật Long Trang 16/ 45 Email:
31).
∫
+
3ln
0
3
2
)1(
dx
e
e
x
x
32).
3
3
x
dx
2
1
x 16
∫
−
33).
1
5 3 3
0
(1 )
x x dx
−
∫
34).
2
2
sin x
0
e .sin xcosxdx
π
∫
35).
2
2 3
0
x (x 4) dx
+
∫
36).
1
0
25 3
dx
x
−
∫
38).
∫
+
2
1
3
2
2
.
x
dxx
39).
dxx .4
3
3
2
∫
−
−
40).
dxxx .1
1
0
8
2
∫
−
41).
dx
x
x
.
1
1
5
2
−
+
∫
42).
∫
+−
2
0
2
23xx
dx
43).
∫
+
2
0
2
4 x
dx
44).
∫
++
+
1
0
2
65
).114(
xx
dxx
45).
2
0
2 .
1
sin x cosx
dx
cosx
π
+
∫
46).
dx
e
ee
x
xx
∫
−
+
5ln
2ln
1
).1(
47).
2
0
2. 1 4sin3 . 3 .
x cos x dx
+
∫
48).
2
2
0
( ). .
x sin x cosx dx
π
+
∫
49).
∫
2
π
0
2
.4cos dxx
50).
∫
−
1
0
10
.)23.( dxxx
51).
1
2012
0
( 1) .
x x dx
−
∫
52).
4
4
tan .
x dx
π
π
−
∫
53).
6
0
( 6 . 2 6).
sin x sin x dx
π
−
∫
54).
∫
−
+
2
1
.
2
dx
e
e
x
x
55).
2
2
0
sin 2
4
x
dx
cos x
π
+
∫
56).
∫
2
ln.
e
e
xx
dx
57).
∫
+
e
dx
x
xx
1
3
2
.
ln2.ln
58).
∫
+
e
xx
dx
1
3
2
2ln.
59).
2
sin
0
( ). .
x
e cosx cosx dx
π
+
∫
60).
2
2
0
4
dx
x
+
∫
Vấn ñề 5: TÍCH PHÂN CÁC HÀM LƯỢNG GIÁC
Tích phân có dạng:
( )
n
sin ; os
m
I R x c x dx
β
α
=
∫
Cách giải:
- N
ế
u m l
ẻ
, n ch
ẵ
n :
ñặ
t
cos
x t
=
( G
ọ
i t
ắ
t là l
ẻ
sin )
- N
ế
u n l
ẻ
, m ch
ẵ
n :
ñặ
t sin
x t
=
( G
ọ
i t
ắ
t là l
ẻ
cos )
- N
ế
u m,n
ñề
u l
ẻ
thì :
ñặ
t
cos
x t
=
ho
ặ
csin
x t
=
ñề
u
ñượ
c ( g
ọ
i t
ắ
t l
ẻ
sin ho
ặ
c l
ẻ
cos )
- N
ế
u m,n
ñề
ch
ẵ
n :
ñặ
t
tan
x t
=
( g
ọ
i t
ắ
t là ch
ẵ
n sinx , cosx )
Ví dụ 1 (bậc sin lẻ).
Tính tích phân
2
2 3
0
I cos x sin xdx
π
=
∫
.
Hướng dẫn:
ðặ
t
t cos x
=
ð
S:
2
I
15
=
.
Ví dụ 2 (bậc cosin lẻ).
Tính tích phân
2
5
0
I cos xdx
π
=
∫
.
Hướng dẫn:
ðặ
t
t sin x
=
TOÁN 12 www.dangnhatlong.com
Biên soạn : ðặng Nhật Long Trang 17/ 45 Email:
ðS:
8
I
15
= .
Ví dụ 3 (bậc sin và cosin chẵn). Tính tích phân
2
4 2
0
I cos x sin xdx
π
=
∫
.
Giải
2 2
4 2 2 2
0 0
1
I cos x sin xdx cos x sin 2xdx
4
π π
= =
∫ ∫
2 2
2
0 0
1 1
(1 cos 4x)dx cos 2x sin 2xdx
16 4
π π
= − +
∫ ∫
2 2
2
0 0
1 1
(1 cos 4x)dx sin 2xd(sin 2x)
16 8
π π
= − +
∫ ∫
3
2
0
x 1 sin 2x
sin 4x
16 64 24 32
π
π
= − + =
.
Vậy
I
32
π
=
.
Ví dụ 4. Tính tích phân
2
0
dx
I
cos x sin x 1
π
=
+ +
∫
.
Hướng dẫn:
ðặt
x
t tan
2
=
.
ðS:
I ln 2
=
.
Biểu diễn các hàm số LG theo
tan
2
a
t =
:
2
2 2 2
2 1 2
sin ; cos ; tan .
1 1 1
t t t
a a a
t t t
−
= = =
+ + −
Tích phân có dạng:
asinx+bcosx+c
'sinx+b'cosx+c'
I dx
a
β
α
=
∫
Cách giải :
Ta phân tích :
(
)
' osx-b'sinx
asinx+bcosx+c
'sinx+b'cosx+c' 'sinx+b'cosx+c' 'sinx+b'
cosx+c'
B a c
C
dx A
a a a
β
α
= + +
∫
- Sau ñó : Quy ñồng mẫu số
- ðồng nhất hai tử số , ñể tìm A,B,C .
- Tính I :
(
)
( )
' osx-b'sinx
'sinx+b'cosx+c' 'sinx+b'cosx+c'
Ax+Bln 'sinx+b'cosx+c'
'sinx+b'cosx+c'
B a c
C
I A dx
a a
dx
a C
a
β
α
β
α
β
α
= + +
= +
∫
∫
VÍ DỤ ÁP DỤNG
Ví dụ . Tính các tích phân sau :
a.
2
0
sinx-cosx+1
sinx+2cosx+3
dx
π
∫
( B
ộ
ñề
) b.
4
0
osx+2sinx
4cos 3sin
c
dx
x x
π
+
∫
( XD-98 )
c.
2
0
sinx+7cosx+6
4sin 3cos 5
dx
x x
π
+ +
∫
d. I =
2
0
4 c o s x 3 s in x 1
d x
4 sin x 3 c o s x 5
π
− +
+ +
∫
Giải
TOÁN 12 www.dangnhatlong.com
Biên soạn : ðặng Nhật Long Trang 18/ 45 Email:
a.
2
0
sinx-cosx+1
sinx+2cosx+3
dx
π
∫
. Ta có :
(
)
( )
osx-2sinx
sinx-cosx+1
( ) 1
sinx+2cosx+3 sinx+2cosx+3 sinx+2cosx+3
B c
C
f x A= = + +
Quy
ñồ
ng m
ẫ
u s
ố
và
ñồ
ng nh
ấ
t h
ệ
s
ố
hai t
ử
s
ố
:
( ) ( )
1
5
2 1
2 sinx+ 2A+B osx+3A+C
3
( ) 2 1
sinx+2cosx+3 5
3 1
4
5
A
A B
A B c
f x A B B
A C
C
= −
− =
−
⇔ = ⇒ + = − ⇔ = −
+ =
=
. Thay vào (1)
( )
2 2 2
0 0 0
sinx+2cosx+3
1 3 4 1 3 4
ln sinx+2cosx+3
2
5 5 sinx+2cosx+3 5 sinx+2cosx+3 10 5 5
0
d
I dx dx J
π π π
π
π
= − − + = − − −
∫ ∫ ∫
( )
3 4 4
ln 2
10 5 5 5
I J
π
= − − −
- Tính tích phân J :
ðặ
t :
( )
2
1
2
0
2
2 2
2 2
1
; 0 0, 1
2 2
os
2
2
tan
1 2 2
2
1 2
( )
2 1
1 2 3
2 3
1 1
dx
dt x t x t
x
c
x dt
t J
dt dt
t
f x dx
t t
t t t
t t
π
= = → = = → =
=
⇒
⇔ =
+ +
= =
−
+ + +
+ +
+ +
∫
. (3)
Tính (3) :
ðặ
t :
1 2
2
2
2
2
2 . 0 tan ; 1 tan 2
os 2
1 2 tan
1 2 2
( )
2
os 2
os
du
dt t u u t u u
c u
t u
du
f t dt du
c u
c u
= = → = = = → = =
+ = ⇒
= =
V
ậ
y :
( ) ( )
2
1
2 1 2 1
u
2
2
tan
2 2 3 4 4 2
j= ln
2
2 2 10 5 5 5 2
tan 2
u
u
du u u I I u u
u
π
=
= − ⇒ = = − − − −
=
∫
b.
( )
( )
4
0
3cos 4sin
osx+2sinx osx+2sinx
; ( ) 1
4cos 3sin 4cos 3sin 4cos 3sin 4cos 3sin
B x x
c c C
dx f x A
x x x x x x x x
π
−
= = + + →
+ + + +
∫
Gi
ố
ng nh
ư
phàn a. Ta có :
2 1
;
5 5
A B
= = −
;C=0
V
ậ
y :
( )
4
0
3cos 4sin
2 1 2 1 1 4 2
ln 4cos 3sin ln
4
5 5 4cos 3sin 5 5 10 5 7
0
x x
I dx x x x
x x
π
π
π
−
= − = − + = +
+
∫
H
ọ
c sinh t
ự
áp d
ụ
ng hai ph
ầ
n gi
ả
i trên
ñể
t
ự
luy
ệ
n .
MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1
. Tính các tích phân sau :
a. (
ðH, Cð Khối A – 2005)
∫
+
+
=
2
0
cos31
sin2sin
π
dx
x
xx
I
TOÁN 12 www.dangnhatlong.com
Biên soạn : ðặng Nhật Long Trang 19/ 45 Email:
b ðH, Cð Khối B – 2005 .
dx
x
xx
I
∫
+
=
2
0
cos1
cos2sin
π
KQ:
2ln2 1
−
Giải
a.
( )
( )
2 2
0 0
2cos 1 sinx
sin 2 sin
1
1 3cos 1 3cos
x
x x
I dx dx
x x
π π
+
+
= =
+ +
∫ ∫
ðặ
t :
2
t 1 2
osx= ;sinxdx=-
3 3
1 3cos
0 2; 1
2
c tdt
t x
x t x t
π
−
= + ⇒
= → = = → =
Khi
ñ
ó :
2
1 2
2
3
2 1
1
2 1
2
3
2 2 1 2 1 34
2
1
3 9 9 3 27
t
t
I tdt dt t t
t
−
+
+
= − = = + =
∫ ∫
b.
( )
2 2
2 2 2
0 0 0
sin 2 cos 2sin cos os
2 sinxdx 1
1 cos 1 cos osx+1
x x x x c x
I dx dx
x x c
π π π
= = =
+ +
∫ ∫ ∫
ðặ
t :
( )
2
dt=-sinxdx, x=0 t=2;x= 1
2
1 osx
1
1
( ) 2
t
t c
t
f x dx dt t dt
t t
π
→ → =
= + ⇒
−
= = − +
Do
ñ
ó :
1
2
2
0 2
2
1 1
2 ( ) 2 2 2 2 ln 2ln 2 1
1
2
I f x dx t dt t t t
t
π
= = − − + = − + = −
∫ ∫
Ví dụ 2.
Tính các tích phân sau
a.
ðH- Cð Khối A – 2006 .
2
2 2
0
sin2x
I dx
cos x 4sin x
π
=
+
∫
KQ:
2
3
b.
Cð Bến Tre – 2005 .
∫
+
=
2
0
1sin
3cos
π
dx
x
x
I
KQ:
2 3ln2
−
Giải
a.
2
2 2
0
sin2x
I dx
cos x 4sin x
π
=
+
∫
. ðặ
t :
2 2 2 2 2
os 4sin os 4sin
t c x x t c x x
= + ⇒ = +
Do
ñ
ó :
( )
2
2 2sin cos 8sin cos 3sin 2 sin 2
3
0 1; 2
2
tdt x x x x dx xdx xdx tdt
x t x t
π
= − + = → =
= → = = → =
V
ậ
y :
2 2
2
0 1 1
2
2 2 2 2
( )
1
3 3 3 3
tdt
I f x dx dt t
t
π
= = = = =
∫ ∫ ∫
b.
∫
+
=
2
0
1sin
3cos
π
dx
x
x
I
.
Ta có :
(
)
(
)
(
)
3 2 2 2
os3x=4cos 3cos 4cos 3 osx= 4-4sin 3 osx= 1-4sin o
sx
c x x x c x c x c
− = − −
TOÁN 12 www.dangnhatlong.com
Biên soạn : ðặng Nhật Long Trang 20/ 45 Email:
Cho nên :
(
)
( )
2
1 4sin
os3x
( ) osxdx 1
1+sinx 1 sinx
x
c
f x dx dx c
−
= =
+
ðặt :
( )
2
dt=cosxdx,x=0 t=1;x= 2
2
1 sinx
1 4 1
3
( ) 8 4
t
t
t
f x dx dt t dt
t t
π
→ → =
= + ⇒
− −
= = − −
V
ậ
y :
( )
2
2
2
0 1
2
3
( ) 8 4 8 2 3ln 2 3ln2
1
I f x dx t dt t t t
t
π
= = − − = − − = −
∫ ∫
Ví dụ 3
. Tính các tích phân sau
a
.
CðSP Sóc Trăng Khối A – 2005 .
2
2 2
0
sin
sin 2cos .cos
2
xdx
I
x
x x
π
=
+
∫
b. Cð Y Tế – 2006 .
2
4
sinx cosx
I dx
1 sin2x
π
π
−
=
+
∫
KQ:
ln 2
Giải
a.
( )
2 2 2
2
2 2
0 0 0
sin sin sinx
ln 1 osx ln2
2
sin cos . 1 osx 1+cosx
sin 2cos .cos
0
2
xdx xdx
I dx c
x
x x c
x x
π π π
π
= = = = − + =
+ +
+
∫ ∫ ∫
b.
( )
( )
π π π
π π π
− − −
= = =
+
∫ ∫ ∫
2 2 2
2
4 4 4
sinx cosx sinx cosx sinx cosx
I dx dx dx 1
sinx+cosx
1 sin2x
sinx+cosx
Vì :
sinx+cosx= 2 sin ; 3 sin 0
4 4 2 2 4 4 4
x x x x
π π π π π π π
+ ≤ ≤ ⇒ ≤ + ≤ ⇔ + >
Do
ñ
ó :
sinx+cosx sinx+cosx
=
M
ặ
t khác :
(
)
(
)
sinx+cosx osx-sinx
d c dx
=
Cho nên :
( )
2
4
sinx+cosx
1
2
ln sinx+cosx ln1 ln 2 ln 2
sinx+cosx 2
4
d
I
π
π
π
π
= − = − = − − =
∫
Ví dụ 4.
Tính các tích phân sau
a.
Cð Sư Phạm Hải Dương – 2006 .
( )
π
=
− +
∫
2
3
0
cos2x
I dx
sinx cosx 3
KQ:
1
32
b.
Cð KTKT ðông Du – 2006 .
π
=
+
∫
4
0
cos2x
I dx
1 2sin2x
KQ:
1
ln3
4
Giải
a.
( )
2
3
0
cos2x
I dx
sinx cosx 3
π
=
− +
∫
.
Vì :
(
)
(
)
2 2
cos2 os sin osx+sinx osx-sinx
x c x x c c
= − =
TOÁN 12 www.dangnhatlong.com
Biên soạn : ðặng Nhật Long Trang 21/ 45 Email:
Cho nên :
( )
(
)
( )
( )
3 3
osx-sinx
os2x
( ) osx+sinx
sinx-cosx+3 sinx-cosx+3
c
c
f x dx dx c dx
= =
ðặt :
( )
3 2 3
dt= cosx+sinx ; 0 2, 4
2
sinx-cosx+3
3 1 1
( ) 3
dx x t x t
t
t
f x dx dt dt
t t t
π
= → = = → =
= ⇒
−
= = −
V
ậ
y :
4
2
2 3 2
0 2
4
1 1 1 3 1 1
( ) 3
2
4 32
I f x dx dt
t t t t
π
= = − = − + =
∫ ∫
b.
4
0
cos2x
I dx
1 2sin2x
π
=
+
∫
. ðặ
t :
1
4cos2 os2xdx=
4
1 2sin 2
0 1; 3
4
dt xdx c dt
t x
x t x t
π
= →
= +
⇒
= → = = → =
V
ậ
y :
π
= = = =
+
∫ ∫
3
4
0 1
3
cos2x 1 dt 1 1
I dx ln t ln3
1 2sin2x 4 t 4 1 4
Ví dụ 5.
Tính các tích phân sau :
a.
Cð Sư Phạm Quảng Ngãi – 2006 .
3
2
0
4sin x
I dx
1 cosx
π
=
+
∫
KQ: 2
b.
Cð Bến Tre – 2006 .
3
6
0
sin3x sin 3x
I dx
1 cos3x
π
−
=
+
∫
Giải
a.
( )
( ) ( )
π π π
π
−
= = − − =
+ +
∫ ∫ ∫
2
3
2 2 2
2
0 0 0
1 cos x
4sin x 1
I dx 4 sinxdx=4 1 cosx sinxdx=4. 1 cosx 2
2
1 cosx 1 cosx 2
0
b.
3
6
0
sin3x sin 3x
I dx
1 cos3x
π
−
=
+
∫
.
Ta có :
(
)
3 2 2
sin3 sin 3 sin3 1 sin 3 sin3 . os 3
x x x x xc x
− = − = .
ðặ
t :
1
dt=-3sin3xdx sin3xdx=-
3
1 os3x
0 2; 1
6
dt
t c
x t x t
π
→
= +
⇒
= → = = → =
V
ậ
y :
( )
2
1 2
6
2
0 2 1
2
1
1 1 1 1 1 1 1
( ) 2 2 ln ln 2
1
3 3 3 2 6 3
t
f x dx dt t dt t t t
t t
π
−
= − = − + = − + = − +
∫ ∫ ∫
Ví dụ 6.
Tính các tích phân sau
a. I =
3
3
2
3
sin x sin x
cot gx dx
sin x
π
π
−
∫
b. I =
2
2
s i n ( x )
4
d x
s i n ( x )
4
π
− π
π
−
π
+
∫
c. I =
2
4
0
sin xdx
π
∫
d. I =
dxxxnsix )cos(2cos
44
2
0
+
∫
π
TOÁN 12 www.dangnhatlong.com
Biên soạn : ðặng Nhật Long Trang 22/ 45 Email:
Giải
a. I =
3
3
3
2
2 2
3 3
1
s inx 1
sin x sin x
sin x
cot gx dx cot xdx
sin x s inx
π π
π π
−
−
=
∫ ∫
2 2
3
2
3
2
3 3
1
1 cot xdx cot x cot xdx
sin x
π π
π π
= − = −
∫ ∫
b. I =
2 2
2 2
s i n ( x )
c o s x - s i n x
4
d x d x
c o s x + s i n x
s i n ( x )
4
π π
− π π
−
π
−
=
π
+
∫ ∫
( )
2
2
d cosx+sinx
2
ln cosx+sinx 0
cosx+sinx
2
π
π
−
π
= = =
π
−
∫
c. I =
2
2 2 2
4
0 0 0
1 cos2x 1 1 cos4x
sin x dx dx 1 2cos2x dx
2 4 2
π π π
− +
= = − +
∫ ∫ ∫
2
0
3 1 1 3 1 1 3
cos2x+ cos4x dx x sin 2x sin 4x
2
8 2 8 8 4 32 16
0
π
π
π
= − = − + =
∫
d. I =
dxxxnsix )cos(2cos
44
2
0
+
∫
π
. Vì :
4 4 2
1
sin os 1 sin 2
2
x c x x
+ = −
Cho nên :
2 2 2
2 2 3
0 0 0
1 1 1 1
1 sin 2 os2xdx= os2xdx- sin 2 cos2 sin 2 sin 2 0
2 2
2 2 2 3
0 0
I x c c x xdx x x
π π π
π π
= − = − =
∫ ∫ ∫
Ví dụ 7.
Tính các tích phân sau
a. I =
2
5
0
sin xdx
π
∫
b. I =
4
2
6
1
dx
sin x cot gx
π
π
∫
c. I =
3
2 2
6
tg x cot g x 2dx
π
π
+ −
∫
d. */I =
2
3 3
0
( cosx sin x)dx
π
−
∫
Giải
a. I =
( )
( )
2 2 2
2
5 2 2 4
0 0 0
sin xdx 1 cos x sinxdx=- 1 2cos x cos x d cosx
π π π
= − − +
∫ ∫ ∫
3 5
2 1 2
cosx+ cos x cos x
2
3 5 15
0
π
= − − =
TOÁN 12 www.dangnhatlong.com
Biên soạn : ðặng Nhật Long Trang 23/ 45 Email:
b. I =
4
2
6
1
dx
sin x cotgx
π
π
∫
.
ðặt :
2 2
2
1 1
2 2
sin sin
cot cot
3; 1
6 4
tdt dx dx tdt
x x
t x t x
x t x t
π π
= − → = −
= ⇒ = ↔
= → = = → =
Vậy :
( )
1 3
1
3
2 3
2 2 2 3 1
1
tdt
I dt t
t
= − = = = −
∫ ∫
c. I =
( )
3 3 3
2
2 2
6 6 6
tg x cotg x 2dx tanx-cotx dx tanx-cotx dx
π π π
π π π
+ − = =
∫ ∫ ∫
Vì :
2 2
sinx osx sin os os2x
tanx-cotx= 2 2cot 2
cosx sinx sinxcosx sin2x
c x c x c
x
−
− = = − = −
Cho nên :
tanx-cotx<0;x ;
6 4
3 3
; 2 ;2 cot 2 ;
6 3 3 3 3 3
tanx-cotx>0;x ;
4 3
x x x
π π
π π π π
π π
∈
∈ ↔ ∈
⇒
∈ − ⇔
∈
V
ậ
y :
( ) ( )
3 3
4 4
6 4 6 4
os2x os2x 1
t anx-cotx t anx-cotx
sin2x sin2x 2
c c
I dx dx dx dx
π π
π π
π π π π
= − + = − + =
∫ ∫ ∫ ∫
( ) ( )
1
4 3
ln sin 2 ln sin 2 ln 2
2
6
4
x x
π π
π
π
− =
d. I =
2
3 3
0
( cosx sin x)dx
π
−
∫
(1)
ðặ
t :
, 0 ; 0
2 2 2
x t dx dt x t x t
π π π
= − → = − = → = = → =
Do
ñ
ó :
( )
( ) ( )
( )
0
2 2
3 3 3 3
3 3
0 0
2
os sin sin ost sin osx 2
2 2
I c t t dt t c dt x c dx
π π
π
π π
= − − − = − = −
∫ ∫ ∫
L
ấ
y (1) +(2) v
ế
v
ớ
i v
ế
:
2 0 0
I I
= ⇒ =
Ví dụ 8
. Tính các tích phân sau
a.
3
4
4
tan
xdx
π
π
∫
(Y-HN-2000) b.
( )
4
0
os2x
sinx+cosx+2
c
dx
π
∫
(NT-2000) c.
6
2
4
4
os
sin
c x
dx
x
π
π
∫
(NNI-2001)
d.
2
4
6
0
sin
os
x
dx
c x
π
∫
( GTVT-2000) e.
2
2
0
sin 2
4 os
x
dx
c x
π
−
∫
f.
2
4
0
1 2sin
1 sin 2
x
dx
x
π
−
+
∫
(KB-03)
Giải
TOÁN 12 www.dangnhatlong.com
Biên soạn : ðặng Nhật Long Trang 24/ 45 Email:
a.
3
4
4
tan
xdx
π
π
∫
. Ta có :
(
)
2
2
4
4
4 4 4 2
1 os
sin 1 1
( ) tan 2 1
os os os os
c x
x
f x x
c x c x c x c x
−
= = = = − +
Do ñó :
( )
[ ]
3 3 3
2
4 2 2
4 4 4
1 1
3
( ) 2 1 1 tan 2tan
os os os
4
dx
I f x dx dx x x x
c x c x c x
π π π
π π π
π
π
= = − + = + − +
∫ ∫ ∫
3
1 4 2
3
t anx+ tan 2 3 2 2 3 2 3 2
3 12 3 12 3 12
4
x
π
π π π
π
= − − + = − − − + = +
* Chú ý : Ta còn có cách phân tích khác :
(
)
(
)
(
)
(
)
4 2 2 2 2 2 2 2 2
( ) tan tan tan 1 1 tan 1 tan tan tan 1 tan tan 1 1
f x x x x x x x x x x
= = + − = + − = + − + +
V
ậ
y :
( ) ( )
3 3 3 3
2 2 2 2
2 2
4 4 4 4
tan 1 tan tan 1 1 tan .
os os
dx dx
I x x x dx x dx
c x c x
π π π π
π π π π
= + − + + = − +
∫ ∫ ∫ ∫
3
1 1 1 2
3
tan t anx+x 3 3 3 1
3 3 3 3 4 3 12
4
I x
π
π π π
π
= − = − + − − + = +
b.
( )
4
0
os2x
sinx+cosx+2
c
dx
π
∫
.
Ta có :
( )
(
)
( )
( )( )
( )
2 2
3 3 3
os sin
osx-sinx osx+sinx
os2x
( )
sinx+cosx+9 sinx+cosx+9 sinx+cosx+9
c x x
c c
c
f x
−
= = =
Do
ñ
ó :
( )
( )
( ) ( )
4 4
3
0 0
osx+sinx
( ) osx-sinx 1
sinx+cosx+2
c
I f x dx c dx
π π
= =
∫ ∫
ðặ
t :
( )
3 2 3
cosx+sinx=t-2.x=0 t=3;x= 2 2,
4
sinx+cosx+2
2 1 1
osx-sinx ( ) 2
t
t
t
dt c dx f x dx dt dt
t t t
π
→ → = +
= ⇒
−
= ⇒ = = −
V
ậ
y :
( ) ( )
2 2
2 2
2 3 2
3
1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2
2 2
2
3 9 3
2 2
3
2 2 2 2
I dt
t t t t
+
+
+
= − = − + = − + − − + = −
+
+ +
∫
(
)
( )
( )( )
(
)
( )
( )
sin ost sin ost
sin ost os sin t ( )
sin ost+9 sin ost+9
t c t c
t c dt c t dt f x
t c t c
+ +
= − − = − =
+ +
c.
6
2
4
4
os
sin
c x
dx
x
π
π
=
∫
Ta có :
(
)
3
2
6 2 4 6
2
4 4 4 4 2
1 sin
os 1 3sin 3sin sin 1 1
( ) 3 3 sin
sin sin sin sin sin
x
c x x x x
f x x
x x x x x
−
− + −
= = = = − + −
TOÁN 12 www.dangnhatlong.com
Biên soạn : ðặng Nhật Long Trang 25/ 45 Email:
Vậy :
( )
2 2 2 2
2
2 2
4 4 4 4
1 os2x
1 cot 3 3
sin sin 2
dx dx c
I x dx dx
x x
π π π π
π π π π
−
= + − + −
∫ ∫ ∫ ∫
3
1 1 1 5 23
2
cot 3cot 3 sin 2
3 2 4 8 12
4
x x x x x
π
π
π
= − + + − + = +
d.
( )
2 2
4 4 4 4 4
2
6 6 6 4 4 2 2
0 0 0 0 0
sin 1 os 1 1 1 1
1 tan
os os os os os os os
x c x dx
dx dx dx dx x
c x c x c x c x c x c x c x
π π π π π
−
= = − = − +
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
4 4 4 4
2
2 2 2 4 2
2 2
0 0 0 0
1 1
1 tan 1 tan 1 2tan tan tan 1 tan t anx
os os
x dx x dx x x d x x d
c x c x
π π π π
= + − + = + + − +
∫ ∫ ∫ ∫
3 5 3 3 5
2 1 1 1 1 8
t anx+ tan tan t anx- tan tan tan
4 4
3 5 3 3 5 15
0 0
x x x x x
π π
= + − = + =
e.
( )
2 2 2 2
2
0 0 0 0
7 os2x
sin 2 sin 2 2sin2 3
ln 7 os2x ln
2
1 os2x
4 os 7 os2x 7 os2x 4
4
0
2
d c
x x x
dx dx dx c
c
c x c c
π π π π
π
−
= = = − = − − =
+
− − −
−
∫ ∫ ∫ ∫
f.
( )
2
4 4 4
0 0 0
1 sin 2
1 2sin os2 1 1 1
ln 1 sin 2 ln 2
4
1 sin 2 1 sin 2 2 1 sin 2 2 2
0
d x
x c x
dx dx x
x x x
π π π
π
+
−
= = = + =
+ + +
∫ ∫ ∫
Ví dụ 9. Tính các tích phân sau :
a.
2
3 4
0
sin cos
x xdx
π
∫
b.
2
0
sin3
1 2 os3x
x
dx
c
π
+
∫
c.
5
2 2
6 6 3
0 0
3
2
sin os os2x
sinx+ 3 osx sinx+ 3 osx cosx- 3sinx
x c x c
I dx J dx K dx
c c
π π π
π
= ∨ = ⇒ =
∫ ∫ ∫
Giải
a.
( ) ( )
( )
2 2 2
3 4 2 4 6 4
0 0 0
sin cos 1 os os .sinxdx os os osx
x xdx c x c x c x c x d c
π π π
= − = −
∫ ∫ ∫
7 5
1 1 2
os os
2
7 5 35
0
c x c x
π
= − =
b.
( )
( )
2 2 2
0 0 0
1 2cos3
sin3 1 3sin3 1 1 1
ln 1 2cos3 ln3
2
1 2 os3x 6 1 2cos3 6 1 2cos3 6 6
0
d x
x x
dx dx x
c x x
π π π
π
+
−
= − = − = − + =
+ + +
∫ ∫ ∫
c. Ta có :
2 2
6 6 6
0 0 0
sin os 1 1 1 1
2 2
sinx+ 3 osx 1 3
sin
sinx+ osx
3
2 2
x c x
I J dx dx dx
c
x
c
π π π
π
+
+ = = =
+
∫ ∫ ∫
