Các phương pháp đặc biệt giải toán tích phân theo từng dạng

www.MATHVN.com

Tích phân ơn thi đại học

Võ Hữu Quốc

CÁC DẠNG TÍCH PHÂN VÀ CÁCH TÍNH
A - TÍCH PHÂN HÀM PHÂN THỨC: Dạng

P ( x)
Q( x)

Dạng 1: Bậc của tử lớn hơn (hay bằng) bậc của mẫu:
Cách giải: Ta thực hiện phép chia đa thức cho đa thức
1

Ví dụ 1: I = ∫
0

b

Chú ý: I = ∫
a

2 x 2 + 3x + 5
19 

dx = ∫  2 x + 7 +
dx =
x−2
x−2

0
1

(x

2

+ 7 x + 19 ln | x − 2 |) |1
0

1
dx (Rất quan trọng trong tích phân hữu tỉ)
ax + bx + c
2

1
A
B
=
+
giải ra tìm A, B
ax + bx + c x − x1 x − x2

TH1: Mẫu có 2 nghiệm. Đặt
1

Ví dụ 2: I = ∫
0

2

1

1
1
dx = ∫
dx .
2
x + 3x + 2
( x + 1)( x + 2)
0

Làm ngài nháp:
 A+ B = 0
 A =1
1
A
B
A( x + 2) + B ( x + 1) ( A + B ) x + 2 A + B
=
+
=
=
⇒
⇔
( x + 1)( x + 2) x + 1 x + 2
( x + 1)( x + 2)
( x + 1)( x + 2)
 2 A + B = 1  B = −1
1

1
1
1
1
1 
 1
1
Khi đó I = ∫ 2
dx = ∫
dx = ∫ 
−
dx = ( ln | x + 1| − ln | x + 2 |) |0
x + 3x + 2
( x + 1)( x + 2)
x +1 x + 2 
0
0
0

TH2: Mẫu có 1 nghiệm. Phân tích ax 2 + bx + c = a ( x − x0 ) . Tính trực tiếp
2

1

Ví dụ 3: I = ∫
0

−1 1
1
1

dx = ∫
dx =
|0
2
2
x + 4x + 4
x+2
( x + 2)
0
1

2

b
∆
b 
∆ 
TH3: Mẫu vô nghiệm. Phân tích ax + bx + c = a  x +  − 2  . Đặt x + = − 2 tan t
2a
4a
2a  4a 



2

1

Ví dụ 4: I = ∫
0

1

1
1
dx = ∫
dx
2
x + 4x + 7
( x + 2)2 + 3
0

Đặt x + 2 = 3 tan t ⇒ dx = 3(1 + tan 2 t )dt . đổi cận x = 0 ⇒ t = Arc tan
arctan 3/ 3

khi đó I =

2
3
, x = 1 ⇒ t = Arc tan
3
3

arctan 3/ 3

arctan 3/ 3

1
1
1

1
.(1 + tan 2 t )dt = ∫
.(1 + tan 2 t )dt = ∫
dt = t |arctan 3/
2
2
3(tan t + 1)
3
3 arctan 2/
3 ( 3 tan t ) + 3
arctan 2/ 3
arctan 2/ 3

∫

arctan 2/

Đặc biệt: + I = ∫
1

1
dx . Đặt
x +a

a tan t = x

2

+ I =∫

3
3

1
dx là dạng TH1 (a > 0)
x −a
2

1
dx . Đặt x = 5 tan t . Giải hồn tồn tương tự Ví dụ 4
x +5

Ví dụ 5: a) I = ∫

2

0

1

b) I = ∫
0

1

1
1
dx = ∫
dx . Giải tương tự Ví dụ 2
2

x −5
0 ( x − 5)( x + 5)

Dạng 2: Một số phép biến đổi thường dùng (phải nhớ từng dạng và cách biến đổi)
(ax + b) n
1
ax + b
 ax + b 
dx = ∫ 
dx . Từ đây đặt t =
.
n+2
2
(cx + d )
cx + d
 cx + d  (cx + d )
n

+ I =∫

3

(2 x + 3)3
1
2x + 3
−10
 2x + 3 
dx = ∫ 
dx . Đặt t =
⇒ dt =

dx
Ví dụ 6: a) I = ∫
.
5
2
(4 x + 1)
4x +1
(4 x + 1) 2
 4 x + 1  (4 x + 1)
0
0
1

1

www.MATHVN.com – Facebook: facebook.com/mathvn.com

1


www.MATHVN.com

Tích phân ơn thi đại học
( x + 2)5
(3 x − 5)7
0

Võ Hữu Quốc

(5 x − 2) 2

(3 x + 1) 4
0

1

1

* Tương tự: 1/ I = ∫

2/ I = ∫

b) Áp dụng phương pháp trên:
1

1

1

1
1
1
1
1
dx = ∫
dx = ∫
.
.
dx
3
3

3
5
6
(2 x + 3) (4 x + 1)
(4 x + 1) (4 x + 1)2
0
0  2x + 3 
8
0  2x + 3 

 .(4 x + 1)


 4x +1 
 4x +1 

I =∫

1
1
1  2x + 3 
1
 1 2.(2 x + 3) − (4 x + 1) 
dx
=∫
. .
dx = ∫
.2.
− 1 .
 .

3 
3 6 
2
5
4x + 1
5  4 x + 1  (4 x + 1) 2
 (4 x + 1)
0  2x + 3  
0  2x + 3 




 4x + 1 
 4x +1 
2x + 3
4x +1
1
1
1
1
* Tương tự: 1/ I = ∫
dx
2/ I = ∫
dx
3
7
3
(3 x + 4) (3 x − 2)
(2 x − 1) (3 x − 1) 4

0
0
1

6

1

6

1

Đặt t =

Ví dụ 7: Các phép biến đổi hay
3
3
3
3
3
dx
dx
1 x 2 − ( x 2 − 3)dx 1 
x2
x2 − 3 
1
x
1 
a) I = ∫ 3
dx − ∫ dx 

=∫
= ∫
= ∫
−
dx =  ∫ 2
x − 3x 1 x( x 2 − 3) 3 1 x( x 2 − 3)
3 1  x( x 2 − 3) x( x 2 − 3) 
3 1 x −3
x 
1
1
3

+ I1: Đặt t = x2 - 3

+ I2: ln|x|
3

3

dx
* Tương tự: 1/ I = ∫ 9
x + 3x5
1

2/ I = ∫
1

dx
x + 3x

6

dx
1 x − (x + k)
xm
xm + k
=
Tổng quát: I = ∫ n m
dx = ∫ n m
dx − ∫ n m
dx
x ( x + k ) k ∫ xn ( xm + k )
x (x + k)
x (x + k)
a
a
a
a
b

b

m

b

m

b

1
1
1+ 2
3 1+
3
2
x2 + 1
1
2
x dx =
b) I = ∫ 4 dx = ∫
∫ 1 x2 dx . Từ đây đặt t = x − x (ở bước đầu chia cho x )
1
x +1
1
1 x2 +
1 (x − ) + 2
x2
x
3 2
3
x −1
x2 −1
* Tương tự: 1/ I = ∫ 4 dx
2/ I = ∫ 4
dx
x +1
x − 5 x3 − 4 x 2 − 5 x + 1
1
1

3

BÀI TẬP TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỈ
x3 + 1
dx
1/ I = ∫ 3
x − 5x 2 + 6 x
0

3x 2 + 3x + 3
2/ I = ∫
dx
( x + 2)( x − 1) 2
2

3x + 1
4/ I = ∫
dx
( x + 2)( x + 1)
0

3x + 1
5/ I = ∫
dx
( x + 1)3
0

1

1

4

7/ I = ∫
3

3

3x
dx
2
x − 3x + 2

3

2

3/ I = ∫
1
3

1

2

3

x
dx
( x + 1) 2

1

8/ I = ∫

www.MATHVN.com – Facebook: facebook.com/mathvn.com

6/ I =

∫
0

3

9/ I =

dx
dx
x( x 3 + 1)
x3
dx
x2 + 1
dx

∫ x+x

3

dx

0

2


www.MATHVN.com

Tích phân ơn thi đại học
2

10/ I = ∫
1
1

dx
dx
5
x + x3

x
dx
(1 + 2 x)3
0

13/ I = ∫

1

11/ I = ∫
0
1

dx
dx
3
x +1

(3 x − 5)
dx
(1 + 2 x)9
0

14/ I = ∫

7

www.MATHVN.com – Facebook: facebook.com/mathvn.com

Võ Hữu Quốc
1

12/ I = ∫
0
2

x5
dx
x2 + 1

1
dx

( x − 1)( x + 1)( x + 3)
0

15/ I = ∫

3


www.MATHVN.com

Tích phân ơn thi đại học

Võ Hữu Quốc

B – TÍCH PHÂN CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
www.DeThiThuDaiHoc.com
b

Dạng 1: I = ∫ sin n x.cos m xdx
a

+ Nếu n hoặc m lẻ: Đặt hàm số dưới mũ chẵn bằng t (Tức là sinx = t hoặc cosx = t)
+ Nếu n, m cùng lẻ: Đặt t = sinx hoặc t = cosx đều được
+ Nếu n, m cùng chẵn thì dùng cơng thức hạ bậc: sin 2 x =

1 − cos 2 x
1 + cos 2 x
, cos 2 x =
2
2

Dạng 2: I = ∫ f [cos x].sin xdx - Hàm số ta có thể đưa hết về cosx và chỉ cịn lại sinx là phần dư ở sau
(cách nhận dạng là số mũ của sinx lẻ). Đặt t = cosx.
Các phép biến đổi:
A1 = sin 3 x = sin 2 x.sin x = (1 − cos 2 x) sin x
⇒ Tổng quát lên sin 2 k +1 x.cos batki x = sin 2 k x.cosbatki x.sin x = (1 − cos 2 x) k .cosbatki x.sin x (nhận dạng: sinx mũ
lẻ)
s inx
s inx
s inx
=
=
2k +2
2
k +1
sin
x sin
x (sin x)
(1 − cos 2 x) k +1
A3: Hàm số có chứa sin 2 x = 2sin x cos x

A2 =

1

2 k +1

=

π

π

4

4

sin 2 x
dx
2
3sin x − 4 sin x + 1
0

1
dx
sin 3 x
0

áp dụng: 1/ I = ∫

2/ I = ∫

π

sin 2 x + sin x
dx
cos x + 3
0
2

3/ I = ∫

Dạng số 3: I = ∫ f [sin x].cos xdx - Hàm số ta có thể đưa hết về sinx và chỉ còn lại cosx là phần dư ở
sau (cách nhận dạng là số mũ của cosx lẻ). Đặt t = sinx
Các phép biến đổi:
A1 = cos3 x = cos 2 x.cosx = (1 − sin 2 x)cosx
⇒ Tổng quát lên cos 2 k +1 x.sin x batki x = cos 2 k x.sin xbatki x.cos x = (1 − cos 2 x) k .sin x batki x.cos x (nhận dạng: cosx
mũ lẻ)
cos x
cos x
cos x
=
=
2k +2
2
k +1
cos
x cos
x (cos x)
(1 − sin 2 x)k +1
A3: Hàm số có chứa sin 2 x = 2sin x cos x

A2 =

1

2 k +1

=

π

π

4

4

1
2/ I = ∫
dx
cos x
0

áp dụng: 1/ I = ∫ sin 2 x.cos5 xdx
0

π

sin 2 x + cos x
dx
sin x + 3
0
2

3/ I = ∫

Dạng số 4: I = ∫ f [sin 2 x, cos 2 x].sin 2 xdx - Hàm số chứa sin 2 x, cos 2 x và sin2x tách rời ra
Cách biến đổi: Đặt t = f [sin 2 x, cos 2 x]
- Chú ý: + (sin 2 x) ' = sin 2 x, (cos 2 x) ' = − sin 2 x

+ Đôi khi người ta không cho sin2x mà cho sinx.cosx ta biến đổi sinx.cosx =
Ví dụ 8: a) I =

π /2

sin 2 x

∫ 1 + cos x dx .
2

1
sin 2 x
2

Ta nhận thấy hàm số có chứa cos2x và sin2x

0

Đặt t = 1 + cos 2 x ⇒ dt = − sin 2 xdx ⇒ dx =

dt
. đổi cận: x = pi/2 thì t = 1, x = 0 thì t = 2
− sin 2 x

1

sin 2 x dt
= − ln | t ||1 = ln 2
2
t − sin 2 x

2

Khi đó: I = ∫

www.MATHVN.com – Facebook: facebook.com/mathvn.com

4


www.MATHVN.com

Tích phân ơn thi đại học

b) I =

π /2

∫
0

sin 2 x

2

cos x + 4sin x
2

Võ Hữu Quốc

2

2

dx . Ta nhận thấy hàm số có chứa đồng thời sin x, cos x và sin2x

Đặt t = cos 2 x + 4 sin 2 x ⇒ t 2 = cos 2 x + 4sin 2 x ⇒ 2tdt = (− sin 2 x + 4 sin 2 x)dx ⇒ dx =

2tdt
.
3sin 2 x

Đổi cận: x = pi/2 thì t = 2, x = 0 thì t = 1
1

sin 2 x 2tdt
2 2 2
= t |1 =
t 3sin 2 x 3
3
2
1
1
Dạng 5: I = ∫ f (tan x). 2 dx - Hàm số chứa mình tanx và
tách rời ra
cos x
cos 2 x

Khi đó: I = ∫

Cách biến đổi: Đặt t = tanx

Ví dụ 9: a) I =

π /4

∫
0

(tan x + 1) 2
dx
cos 2 x

1
dx ⇒ dx = cos 2 x.dt . Đổi cận x = 0 ⇒ t = 0, x = π / 4 ⇒ t = 1
2
cos x
1
1
2
(t + 1)
7
2
Khi đó: I = ∫
.cos xdt = ∫ (t + 1)2 dt =
2
cos x
3
0
0

Đặt t = tan x ⇒ dt =

Nhưng đề thi khơng cho một cách đơn giản vậy, có nghĩa là mình phải qua các phép biến đổi mới
nhận dạng được chứ lúc đầu chưa thấy có mình tanx và
π /4

1
(yêu cầu kỹ năng và làm nhiều)
cos 2 x

sin 2 x
b) I = ∫
dx . Mới nhìn vào ta thấy có tanx nhưng có thêm sin 2 x, cos 4 x . Ta sẽ
4
2
cos x(tan x - 2 tan x + 5)
−π / 4

cố gắng tìm cách đưa về đúng dạng, Ở ví dụ sau ta sẽ thấy điều đó:
I=

π /4

π /4
 sin 2 x

sin 2 x
1
dx = ∫ 

∫/ 4 cos4 x(tan 2 x - 2 tan x + 5) −π / 4  cos4 x . tan 2 x - 2 tan x + 5  dx

−π

π /4

π /4
 sin 2 x 1

1
1
1
 2

= ∫ 
.
. 2
. 2
 dx = ∫  tan x.
 dx
2
2
2
cos x cos x tan x - 2 tan x + 5 
cos x tan x - 2 tan x + 5 
−π / 4 
−π / 4 

=

π /4


tan 2 x
1 

∫/ 4  tan 2 x - 2 tan x + 5 . cos2 x  dx
−π 

Từ bài này ta có thể tổng quát được rằng cứ số mũ của sin ở trên tử nhỏ hơn số mũ của cos ở dưới
mẫu là ta tách như vậy
Chú ý: Các phép biến đổi thường dùng để đưa về dạng này
A1 =

1
1
1
1
1
=
.
= (1 + tan 2 x).
. Từ đây làm cho thầy
???
4
2
2
2
cos x cos x cos x
cos x
cos 6 x

Tổng quát lên cosx mũ chẵn ta sẽ giải quyết được hết bằng cách này (Nếu cosx mũ lẻ ta cũng giải
quyết được bằng A2 dạng 3)
1
ta sẽ chia cả tử và mẫu cho cos2x
a sin x + b sin x.cos x + c cos 2 x + d
1/ cos 2 x
1 / cos 2 x
=
=
sin 2 x
sin x.cos x
cos 2 x
d
a tan 2 x + b tan x + c + d (1 + tan 2 x)
a
+b
+c
+
cos 2 x
cos 2 x
cos 2 x cos 2 x

A2 =

2

www.MATHVN.com – Facebook: facebook.com/mathvn.com

5

www.MATHVN.com

Tích phân ơn thi đại học

Võ Hữu Quốc

1
1
=
(Chia cả tử và mẫu cho
asinx + b cos x + c asin x cos x + b(cos 2 x − sin 2 x ) + c(cos 2 x + sin 2 x )
2
2
2
2
2
2
x
co s 2 )
2
1
1
A4 =
= 2 2
(phải dạng A2 chưa?)
2
(a s inx + bcosx)
a sin x + 2ab sin x cos x + b 2 cos 2 x
1

1
1
A5 =
=
=
(Chia cả tử và mẫu
a + cosx a (sin 2 x + cos 2 x ) + (cos 2 x − sin 2 x ) (a − 1)sin 2 x + (a + 1) cos 2 x
2
2
2
2
2
2

A3 =

cho?)
A6 =

1
1
1
=
=
(Chia cả tử và mẫu
a + sinx a (sin 2 x + cos 2 x ) + 2sin x cos x asin 2 x + 2sin x cos x + a cos 2 x
2
2
2
2

2
2
2
2

cho?)
Dạng 6: I = ∫ f (cot x).

1
1
dx - Hàm số chứa mình cotx và
tách rời ra
2
sin x
sin 2 x

Cách biến đổi: Đặt t = cotx
Ví dụ 10: a) I =

π /4

∫
π

/6

3cot x + 1
1
dx . nếu theo 1 cách máy móc thì thấy hàm số chứa cotx và
thì ta

2
sin x
sin 2 x

đặt t = cotx. Nhưng nếu tinh ý ta đặt nguyên căn bằng t bài toán sẽ đơn giản hơn rất nhiều.
Khơng tin hãy thử?
Cũng giống dạng 6 thì đề rất ít khi cho sẵn dạng, mà phải qua phép biến đổi.
A1 =

1
1
1
1
1
=
. 2 = (1 + co t 2 x). 2 . Từ đây làm cho thầy
???
4
2
sin x sin x sin x
sin x
sin 6 x

A2, A3, A4, A5, A6 Ở dạng 4 ta có thể giải quyết bằng cách này bằng cách không chia cho cos nữa mà
ta sẽ chia cả tử và mẫu cho sin. Thử coi?
Từ đây ta có nhận xét: hầu hết các bài tích phân của hàm lượng giác mà tử số là hằng số sẽ được giải
quyết bằng 2 cách dạng 4 hoặc dạng 5.
asinx + b cos x + c
dx - Hàm bậc nhất của sinx, cosx chia hàm bậc nhất của sinx,cosx
a 'sin x + b 'cos x + c '

Hướng giải quyết: Tử = asinx + b cos x + c = A(a 'sin x + b 'cos x + c ') + B(a 'cos x − b 'sin x) + C

Dạng 7: I = ∫
Ví dụ 11: I =

π /2

∫
0

sin x + 7 cos x + 6
dx
4 sin x + 3cos x + 5

Ta phân tích tử số:

sin x + 7 cos x + 6 = A(4sin x + 3cos x + 5) + B (4 cos x − 3sin x) + C = (4 A − 3B )sin x + (3 A + 4 B ) cos x + 5 A + C

 4 A − 3B = 1

Khi đó ta có hệ phương trình: 3 A + 4 B = 7 (tức là ta cho hệ số sinx, cosx ở đầu bằng cuối)
 5A + C = 6


giải hệ phương trình ta được: A = 1, B = 1, C = 1
Khi đó: I =

π /2

∫

0

=

π /2

∫
0

sin x + 7 cos x + 6
dx =
4 sin x + 3cos x + 5

π /2

4sin x + 3cos x + 5
dx +
4sin x + 3cos x + 5

π /2

∫
0

∫
0

(4 sin x + 3cos x + 5) + (4 cos x − 3sin x) + 1
4 sin x + 3cos x + 5
4 cos x − 3sin x

dx +
4 sin x + 3cos x + 5

π /2

∫
0

1
dx
4sin x + 3cos x + 5

www.MATHVN.com – Facebook: facebook.com/mathvn.com

6


www.MATHVN.com

Tích phân ơn thi đại học
I1 =

π /2

∫
0

I3 =

π /2

∫
0

4 sin x + 3cos x + 5
dx =
4 sin x + 3cos x + 5

π /2

∫
0

dx =

π

I2 =

2

π /2

∫
0

Võ Hữu Quốc

4 cos x − 3sin x
dx đặt t = mẫu

4 sin x + 3cos x + 5

1
dx quay lại A3 của dạng 5
4sin x + 3cos x + 5

MỘT SỐ CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC THƯỜNG DÙNG TRONG TÍNH TÍCH PHÂN
1 / sin 2 x = 2 sin x.cos x
2/ cos 2 x = cos 2 x − sin 2 x = 2 cos 2 x − 1 = 1 − 2sin 2 x
1 − cos 2 x
1 + cos 2 x
1 − cos 2 x
3 / sin 2 x =
4 / cos 2 x =
⇒ tan 2 x =
2
2
1 + cos 2 x
3sin x − sin 3 x
3cos x + cos 3 x
5 / sin 3 x =
6 / cos3 x =
4
2
1
1
7/
= 1 + tan 2 x
8/ 2 = 1 + co t 2 x
2

cos x
sin x
1 2
1 1
3 1
9 / sin 4 x + cos 4 x = 1 − sin 2 x = + cos 2 2 x = + cos 4 x
2
2 2
4 4
3 2
5 3
10 / sin 6 x + cos 6 x = 1 − sin 2 x = + cos 4 x
11 /1 + sin 2 x = (sin x + cos x) 2
4
8 8

CÁC CÔNG THỨC ĐẠO HÀM QUAN TRỌNG
1 / (sin x) ' = sin 2 x

2 / (cos 2 x) ' = − sin 2 x

2

3 / (tan x) ' =

1
= 1 + tan 2 x
2
cos x

4 / (co t x) ' =

1
= 1 + co t 2 x
2
sin x

BÀI TẬP TÍCH PHÂN LƯỢNG GIÁC
1/ I =

π /2

∫

sin x.cos x(1 + cos x)2 dx

2/ I =

π /2

∫

0

4/ I =

π /2

∫

π /2

∫
0

10/ I =
13/ I =

sin 2 x.cos x
dx
1 + cos x
cos3 x
dx
1 + sin x

π /2

∫

0
π /4

∫

5/ I =

∫

16/ I =

8/ I =

π /2

∫
0

11/ I =

(tan x + esin x cos x)dx

14/ I =

0

19/ I =

∫e

6/ I =

∫

3sin x + 4 cos x
dx 9/ I =
3sin 2 x + 4 cos 2 x

π /2

∫

0
π /2

∫

cos 2 x
dx
1 + cos x

4 sin x
dx
4
x

sin 2 x

.sin 2 xdx

17/ I =

π /4

∫
0

20/ I =

0

π /2

∫
0

tan 4 xdx

0

π /3

∫ sin

x. tan xdx

0

12/ I =

(esin x + cos x) cos xdx

2

π /2

∫e

cos x

sin 2 xdx

0

15/ I =

0
3

∫ 1 + cos

π /2

4sin x

sin 2 x + sin x
dx
1 + 3cos x

π /12

0

sin 3 x
dx
1 + cos 2 x

π /4

0
3

∫ 1 + cos x dx

0

I=

π /2

0

π /2

0

7/ I =

3/ I =

tan 3 xdx

π /2

∫
0

1 − 2 sin x
dx
1 + sin 2 x
2

cos x
dx
2 + cos 2 x

18/ I =

π /3

∫
0

sin 2 x
dx
4 − cos 2 x
cos x
dx
2 + cos 2 x

21/

π /2

∫ sin 2 x(1 + sin

2

x)3 dx

0

22/ I =

π /2

∫
0

cos x
1 + cos 2 x

dx

23/ I =

π /2

∫

cos 2 x(sin 4 x + cos 4 x)dx 24/ I =

0

www.MATHVN.com – Facebook: facebook.com/mathvn.com

π /2

∫
0

sin x.cos3 x
dx
1 + cos 2 x

7


www.MATHVN.com

Tích phân ơn thi đại học

25/ I =

π /2

∫
0

I=

sin 2 x
dx
1 + cos 2 x

26/ I =

π /2

sin 4 x

∫ 1 + cos

2

0

x

Võ Hữu Quốc

27/

dx

π /2

∫ sin 2 x(1 + sin

2

x)3 dx

0

28/ I =

π /2

∫

34/ I =

π /4

∫

0
π /4

∫
0

37/ I =
40/ I =
43/ I =
46/ I =

π /6

∫

∫
π

I=

∫
0

2

dx

dx
dx
2
sin x + 2sin x cos x − cos 2 x
3

tan x
dx
cos 2 x

0
4π /3

1
sin

x
2

dx

π /2

1
∫/4 sin 4 xdx
π
π /3

−

π /4

cos x + 4 sin x
1
dx
cos 4 x
2

0

31/ I =

sin 2 x

1
dx
sin x + 9 cos 2 x
/3

∫
π

2

29/ I =

π /2

∫
0

32/ I =
35/ I =

4 cos x + 9 s in x
2

2

dx

π /4

∫ tan

0
π /4

∫
0

38/ I =

sin x cos x

6

xdx

sin 3 x
dx
(tan 2 x + 1) 2 c os5 x

π /2

1

∫ 1 + sin 2 x dx

30/ I =

π /2

0

33/ I =
36/ I =

π /4

∫ tan

0
π /6

∫
0

39/ I =

π /4

∫

0

41/ I =

0

π /2

π /2

dx

∫ 1 + cos x

42/ I =

0

44/ I =

π /2

∫
π

3cot x + 1
dx
sin 2 x

π /2

∫
0

3

xdx

tan 4 x
dx
cos 2 x
1
dx
(sin x + 2 cos x) 2

1
dx
2 − cos 2 x

π /4

cot x

/4

47/ I =

1

∫ 1 + tan x dx

e

∫
π sin
/4

2

x

dx

45/ I =

∫
π sin
/6

2

1
dx
x cot x

48/

cos 2 x
dx
(sin x + cos x + 2)3

49/ I =

π /4

∫
0

52/ I =

π /2

∫
π

/4

55/ I =

π /2

∫
0

π /2

cos 2 x
dx
sin x + cos x + 2
sin x + cos x
dx
sin x − cos x

3

cos 2 x
dx
(sin x − cos x + 3)3

sin 6 x
57/ I = ∫ 6
dx
6
π /4 sin x + cos x

π /2

sin x − cos x
50/ I = ∫
dx
π /4 sin x + cos x

53/ I =
56/ I =

π /3

sin x + cos x
dx
3 + sin 2 x
/4

∫
π

51/ I =

π /2

1

dx
∫
π 1 + sin 2 x
/4

54/ I =

π /2

sin x − cos x
dx
1 + sin 2 x
/4

∫
π

π /2

sin x − cos x
dx
1 + sin 2 x
/4

∫
π

π /2

sin 3 x
58/ I = ∫ 3
dx
3
π /4 sin x + cos x

www.MATHVN.com – Facebook: facebook.com/mathvn.com

59/ I =

π /2

∫
π

/4

sin x
dx
sin x + cos x

8


www.MATHVN.com

Tích phân ơn thi đại học

Võ Hữu Quốc

C - TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỈ (CHỨA CĂN)
www.DeThiThuDaiHoc.com
b

Dạng 1: I = ∫ f ( x; x 2 − k )dx - Hàm số có chứa

x2 − k

a

x 2 − k = t − x ⇒ x 2 − k = (t − x)2 ⇒ x 2 − k = t 2 − 2 xt + x 2 ⇒ x =

Hướng giải quyết: đặt
1

x2

Ví dụ 1: I = ∫

dx . Nếu đặt t = căn thì việc giải sẽ rất khó khăn

x2 − 3

0

t2 + k
2t

Khi đó ta sẽ định hướng đặt

x2 − 3 = t − x

x 2 − 3 = t − x ⇒ x 2 − 3 = (t − x) 2 ⇒ x 2 − 3 = t 2 − 2 xt + x 2 ⇒ x =

t2 + 3
t2 − 3
⇒ dx = ( 2 )dt
2t
2t

2

 t2 + 3 
 2

3+ 6 
3+ 6
3+ 6
(t 2 + 3)2
2t (t 2 − 3)
(t 2 + 3)(t 2 − 3)
 2t  . t − 3 dt =
I= ∫
∫ −(2t )2 (t 2 + 3). 2t 2 dt = ∫ −(2t )2 .t dt
t 2 + 3 2t 2
3
3
3
t−
2t

Đến đây rồi việc giải tiếp dành cho các em!!!
Dạng 2: I = ∫ ( x + a)( x + b)dx - Hàm số có chứa ( x + a)( x + b)
Hướng giải quyết: t = x +

a+b
2

1

Ví dụ 2: I = ∫ ( x + 1)( x + 3)dx
0

Đặt t = x +

1+ 3
= x + 2 ⇒ dt = dx , x + 1 = t − 1, x + 3 = t + 1
2

3

3

2

2

I = ∫ (t − 1)(t + 1)dx = ∫ t 2 − 1dx Hình như là đã quay về dạng 1. hehe!!!

Dạng 3: I = ∫

1
dx, a < b
( x − a )(− x + b)

π

Hướng giải quyết: x = a + (b − a) sin 2 t , (0 < t < )
2

dx = 2(b − a ) sin t cos tdt

x − a = (b − a ) sin 2 t , − x + b = (b − a )(1 − sin 2 t ) = (b − a )cos 2 t
I= ∫

2(b − a ) sin t cos t
(b − a ) 2 sin 2 t cos 2 t
2

Ví dụ 3: I = ∫
0

dt = ∫ 2dt = 2t

1
− x 2 + 3x + 4
2

Ta sẽ phân tích: I = ∫
0

dx
1

− x 2 + 3x + 4

2

dx = ∫
0

1
dx . Trình bày lời giải cho thầy.
( x + 1)(− x + 4)

Nhưng nếu phương trình trong căn vơ nghiệm thì chắc chắn cách này sẽ không giải quyết được!!!!

www.MATHVN.com – Facebook: facebook.com/mathvn.com

9


www.MATHVN.com

Tích phân ơn thi đại học

Võ Hữu Quốc

Dạng 4 I = ∫ f ( x; a − x 2 )dx - Hàm số có chứa a − x 2
Hướng giải quyết: Đặt x = a sin t
1

1

Ví dụ 4: I = ∫

dx . đặt x = 3 sin t , trình bày lời giải tiếp.....

3 − x2

0

Ta quay lại với trường hợp phương trình trong căn vơ nghiệm, coi cách này có giải quyết được
khơng?
1

1

Ví dụ 5: I = ∫

dx đúng là phương trình trong căn vơ nghiệm và có hệ số a < 0
− x2 + 2 x + 4
0
Thử biến đổi: − x 2 + 2 x + 4 = −( x 2 − 2 x + 1) + 5 = 5 − ( x + 1) 2
1

I =∫
0

1

1

dx = I = ∫

x2 + 2 x + 4

0

1
5 − ( x + 1)2

dx . đặt x + 1 = 5 sin t thử coi được khơng?

Từ đó đặt câu hỏi: vô nghiệm nhưng hệ số a dương bài toán sẽ được giải quyết như thế nào?

Dạng 5: I = ∫ f ( x; x 2 + a )dx
Hướng giải quyết: sẽ có 2 cách
Cách 1: đặt x = a tan t
Cách 2: đặt x 2 + a + x = t
1

1

Ví dụ 6: I = ∫

x +3
2

0

dx

cách 1: đặt x = 3 tan t ⇒ dx = 3(1 + tan 2 t )dt . đổi cận x = 0, t = 0: x = 1, t = π / 6
1

1

khi đó: I = ∫

x +3
2

0

dx =

π /6

∫
0

3(1 + tan 2 t )dt
( 3 tan t ) 2 + 3

=

π /6

∫

3(1 + tan 2 t )dt
3(tan t + 1)
2

0

=

π /6

∫
0

x 2 + 3 + x = t ⇒ x 2 + 3 = t − x ⇒ x 2 + 3 = (t − x)2 ⇒ x =

cách 2: đặt

1 + tan tdt =
2

π /6

1

∫ cosx dx = ???
0

t2 − 3
t2 + 3
⇒ dx =
dt
2t
2t 2

đổi cận: x = 0, t = 3 : x = 1, t = 3
1
t2 + 3
dx = ∫
.
dt =
t 2 − 3 2t 2
x2 + 3
3t−
2t

1

3

1

khi đó: I = ∫
0

2t t 2 + 3
∫ t 2 + 3. 2t 2 dt =
3
3

3

1

∫ t dt = ln t |

3
3

= ln 3

3

Ví dụ 7: Đề thì sẽ khơng cho sẵn như trên, hoặc đó chỉ là bước tính cuối cùng của 1 bài tích phân
1

I =∫
0

1
x + 2x + 4
2

dx - vô nghiệm và hệ số a dương

Ta có thể biến đổi: x 2 + 2 x + 4 = ( x + 1)2 + 3
1

khi đó I = ∫
0

1
x + 2x + 4
2

1

dx = ∫
0

1
( x + 1) 2 + 3

cách 1: x + 1 = 3 tan t . Giải tiếp.....
cách 2: ( x + 1) 2 + 3 + ( x + 1) = t . Giải tiếp.... (ta xem x + 1 như là x trong ví dụ 6)
Dạng 6: I = ∫

1
(a ' x + b ') ax 2 + bx + c

dx

www.MATHVN.com – Facebook: facebook.com/mathvn.com

10


www.MATHVN.com

Tích phân ơn thi đại học

Hướng giải quyết: đặt t =

1
a'x + b'

1
dx or
ax + b + ax + c

Dạng 7: I = ∫

Võ Hữu Quốc

∫

1
dx
ax + b − ax + c

Hướng giải quyết: nhân cho lượng liên hợp (nếu cộng nhân tử và mẫu cho dấu trừ và ngược lại)
Dạng 8: I = ∫

1
xn xm + k

dx

xm + k
(cách này sẽ sử dụng rất hiệu quả khi đặt t = căn không được)
x

hướng giải quyết: đặt t =

Tổng kết lại
- Hướng thứ nhất: đặt t = căn
- Hướng thứ hai: đặt t =

x

- Hướng thứ ba: dựa vào bảng sau
Dấu hiệu

Cách chọn
 π π
Đặt x = |a| sint; với t ∈  − ; 

 2 2
hoặc x = |a| cost; với t ∈ [0; π ]

a2 − x2

 π π
; với t ∈  − ;  \ {0}
sint
 2 2
a
π 
hoặc x =
; với t ∈ [0; π ] \  

Đặt x =
x2 − a2

a

2
 π π
Đặt x = |a|tant; với t ∈  − ; 
 2 2
hoặc x = |a|cost; với t ∈ ( 0; π )
cost

a2 + x2
a+x
hoặc
a−x

a−x
a+x

Đặt x = acos2t

( x − a )( b − x )

Đặt x = a + (b – a)sin2t
 π π
Đặt x = atant; với t ∈  − ; 
 2 2

1
a + x2
2

BÀI TẬP TÍCH PHÂN HÀM VƠ TỈ
4

1/ I =

∫x
7

3

∫

4/ I =

3/ 2
4

7/ I = ∫
1

dx
x2 + 9
dx
(1 + x 2 )3
dx

x4 1 + x2

7

2/ I =

∫

x3
3

0
3

5/ I =

x2 + 1

3

∫x
1

−1

8/ I = ∫

−3

1

dx

0

4

dx
33

3/ I = ∫ x3 1 − x 2 dx

2 − x3
dx

x + 4 + ( x + 4)3

www.MATHVN.com – Facebook: facebook.com/mathvn.com

6/ I = ∫
1
6

9/ I = ∫
4

dx
x(1 + x )
x − 4 dx
.
x+2 x+2

11


www.MATHVN.com

Tích phân ơn thi đại học
6

10/ I = ∫ 3
4

x−4
dx
.
x + 2 (2 − x)2

2

3

14/ I =

0

x +1
5

0
9

dx

19/ I = ∫ x 3 1 − xdx

17/ I =

x +1

∫
2

3

x 1− x

2

dx

25/ I= ∫
0
1

28/ I = ∫
0
1

31/ I = ∫
0

x 2 -3x+2
dx
-x - 2x + 3
dx
3x + 1 + 3x + 6
2

dx

x4 1 + x2

23/ I = ∫
0
1

x + x +1
2

1

29/ I = ∫ x + x + 1.dx
2

0
1

32/ I = ∫
0

1
x x2 + 4

dx

18/ I = ∫ x5 1 − x 2 dx

1

x 2 +2x+1

0

∫

21/ I = ∫

dx

26/ I= ∫

15/ I =

0
2

dx

( x + 1)

1

5

−1

1

dx

dx

x +1
dx

20/ I = ∫

dx
x(1 + 4 x )

1

x3
2

16

12/ I = ∫

2 3

3

0
2

1

3/ 2

∫

x + 2x
5

2

3

x4

16/ I = ∫

22/ I =

∫
0

2

2

11/ I = ∫ 3 


1

13/ I = ∫ x (1 + 4 x )5 dx

x −1 
dx
 .
2
 x + 1  ( x − 1)

3

Võ Hữu Quốc

1

24/

dx
x 1 + x3
dx

∫ ( 2x + 4)
0

1

27/ I = ∫
0

x2 + 2 x

dx
x2 + x + 1

1

30/ I = ∫ − x 2 − 2 x + 3.dx
0

dx

2x + 4 − 2x + 9

www.MATHVN.com – Facebook: facebook.com/mathvn.com

12