Tài liệu bồi dưỡng HSG Toán THCS
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (738.41 KB, 22 trang )
I. PHNG PHP QUY NP
cm mt mnh ph thuc s t nhiờn n N ta khụng th th trc tip vi mi s t nhiờn c vỡ
tp hp s t nhiờn l vụ hn. Song ta cú th tin hnh cỏc bc kim tra nh sau
Bc 1 : Trc ht ta kim tra rng mnh ỳng vi n=0
Bc 2 : Ri ta chng rng : T gii thit mnh ỳng vi mt s t nhiờn n=k 0 bt kỡ suy ra nú
ỳng vi n=k+1 .
Vớ d : Chng minh rng vi mi s t nhiờn n 2 ta cú ng thc :
a
n
-b
n
=(a-b)(a
n-1
+a
n-2
b + + b
n-1
)
Chng minh
Ta chng minh bng phng phỏp qui np .
* Khi n=2 ta cú a
2
-b
2
=(a-b)(a+b) l ỳng
* Gi s ng thc ỳng khi n=k . Tc l ta cú : a
k
-b
k
=(a-b)(a
k-1
+a
k-2
b + + b
k-1
)
Ta cn chng minh ỳng vi n=k+1 . Tc l C/m a
k+1
-b
k+1
=(a-b)(a
k
+a
k-1
b + + b
k
) .
Tht vy ta cú :
VT = a
k+1
- b
k+1
= a
k+1
-a
k
b + a
k
b -b
k+1
= a
k
(a-b)+ b(a
k
-b
k
) = a
k
(a-b) + b(a-b)(a
k-1
+a
k-2
b + + b
k-1
)
= (a-b)[ a
k
+ b(a
k-1
+a
k-2
b + + b
k-1
)] = (a-b)(a
k
+a
k-1
b + + b
k
) = VP
Vy theo gi thit quy np ng thc ỳng vi mi n 2
Bi 1: Chng minh vi mi s t nhiờn n 1 ta cú ng thc : 1+2+3+4+ n =
2
1)n(n
+
Bi 2: Chng minh rng vi mi n N
*
ta cú : 1
2
+2
2
+3
2
+ 4
2
+5
2
++n
2
=
6
1++
)1)(2nn(n
Bi 3: Chng minh rng vi mi n N biu thc U
n
=13
n
-1 chia ht 6.
Bi 4 : Chng minh rng vi mi s t nhiờn n 3 ta cú 2
n
> 2n+1
Bi 5: Chng minh rng vi mi s t nhiờn n ta cú:
2n 2
4.3 32n 36 64
+
+
M
Bi 6 : Chng minh rng vi mi s t nhiờn n 1 ta luụn cú: (n+1)(n+2)(2n)
M
1.3.5(2n-1)
Bi 7 : Chng minh rng vi mi s t nhiờn n ta luụn cú: n
3
+2n
M
3
Bi 8: Chng minh rng vi mi s t nhiờn n ta luụn cú:
n
16 15n 1 225
M
A. CHIA HT S NGUYấN
1. nh ngha: Cho hai s nguyờn bt kỡ a v b (b
0). Tn ti mt v ch mt cp s nguyờn (q, r) sao
cho a = bq + r vi
0 r b
<
.
* Nu r = 0 thỡ a chia ht cho b: a
M
b
a = kb a, b, k
Ơ
* Nu r
0 phộp chia a cho b l cú d
2. Tớnh cht ca qua h chia ht:
a
M
a
a
M
b v b
M
a thỡ a = b
a
M
b v b
M
c thỡ a
M
c
a
M
m thỡ ka
M
m v a
k
M
m
a
M
m, b
M
m thỡ a
b
M
m
a
b
M
m m a
M
m thỡ b
M
m
a
M
m, b
M
n thỡ ab
M
nm
a
M
m thỡ a
n
M
m
n
a
n
M
m, m nguyờn t thỡ a
M
m
a
M
m, a
M
n m (n, m) = 1 thỡ a
M
mn
a
M
m, a
M
n, a
M
k; n, m, k nguyờn t sỏnh ụi thỡ a
M
mnk
a
M
m, b
M
m thỡ a
b
M
m
* Trong n s nguyờn liờn tip (nN
*
) cú mt v
ch mt s chia ht cho n.
* Trong n+1 s nguyờn bt kỡ (nN
*
) chia cho n
thỡ cú hai s chia cho n cú cựng s d.
* chng t A(n) chia ht cho mt s nguyờn t
p ta cú th xột mi trng hp v s d ca n chia
cho p.
* chng t A(n) chia ht cho hp s m, ta phõn
tớch m thnh tớchcỏc thac s ụi mt nguyờn t
cựng nhau ri ln lt chng t A(n) chia ht cho
tng tha s ú.
* CM f(x) chia ht cho m thụng thng ta phõn
tớch f(x) thnh nhõn t ri xột s d khi chia x cho
m.
PHNG PHP GII :
Boi dửụừng hoùc sinh gi i toỏn THCS 1
1/ Phng phỏp 1 : A(n) chia ht cho p; ta xột s d khi chia n cho p
Vớ d : A(n) = n(n
2
+1)(n
2
+4) chia ht cho 5
n chia cho 5 cú s d l r =0,1,2,3,4,5
a/ Vi r = 0 thỡ n chia ht cho 5 => A(n) chia ht cho 5
b/ Vi r = 1 => n = 5k+1 => n
2
= 25k
2
+10k +1 thỡ (n
2
+4) chia ht cho 5=> A(n) chia ht cho 5
c/ Vi r = 2 => n = 5k+2 => n
2
= 25k
2
+20k +4 thỡ (n
2
+1) chia ht cho 5=> A(n) chia ht cho 5
d/ Vi r = 3 => n = 5k+3 => n
2
= 25k
2
+30k +9 thỡ (n
2
+1) chia ht cho 5=> A(n) chia ht cho 5
e/ Vi r = 4 => n = 5k+4 => n
2
= 25k
2
+40k +16 thỡ (n
2
+4) chia ht cho 5=> A(n) chia ht cho 5
2/ Phng phỏp 2 : A(n) chia ht cho m; ta phõn tớch m = p.q
a/ (p,q) = 1 ta chng minh: A(n) chia ht cho p, A(n) chia ht cho q => A(n) chia ht cho p.q
b/ Nu p v q khụng nguyờn t cựng nhau ta phõn tớch A(n) = B(n).C(n) v chng minh B(n) chia ht
cho p, C(n) chia ht cho q => , A(n) chia ht cho p.q
3/ Phng phỏp 3 : chng minh A(n)
m cú th bin i A(n) thnh tng nhiu hng t v chng minh
mi hng t chia ht cho n.
4/ Phng phỏp 4 : chng minh A(n)
m ta phõn tớch A(n) thnh nhõn t, trong ú cú mt nhõn t
bng m hoc chia ht cho m: A(n) = m.B(n)
+ Thng ta s dng cỏc hng ng thc :
a
n
b
n
a b ( a
b) n bt k.
a
n
b
n
a b ( a
- b) n chn.
a
n
+ b
n
a + b ( a
- b) n l.
5/ Chng minh bng quy np toỏn hc :
Bi 1. Chng minh rng :
a) n
5
- 5n
3
+ 4n
120 ; vi
n
Z
b) n
3
-3n
2
-n+3
48 ; vi
n l
c) n
4
+ 4n
3
-4n
2
-16n
384 vi
n chn
Bi 2. CMR: a)
4 2
n n 12
M
b)
2
n(n 2)(25n 1) 24
+
M
c) Ch s tn cựng ca s t nhiờn n v n
5
l ging nhau.
d)
3 3
(a b) 6 (a b ) 6
+ +
M M
e) Cho n > 2 v (n, 6) = 1. CMR
2
n 1 24
M
g)
2n 1 n 2
3 2 7
+ +
+ M
f)
2n 2 6n 1
3 2 11
+ +
+
M
B, CHIA HT A THC :
1. Ta s dng nh lý B zu :
S d trong phộp chia a thc f(x) cho nh thc x a bng giỏ tr ca a thc f(x) ti x = a.
T ú ta cú cỏc h qu : a thc f(x)
( x a) < = > f(a) = 0 tc l khi a l nghim ca a thc
T ú suy ra :
a thc f(x) cú tng cỏc h s bng 0 thỡ chia ht cho x 1
a thc f(x) cú tng cỏc h s ca s hng bc chn bng tng cỏc h s ca s hng bc l thỡ
f(x)
( x + 1)
2.a thc bc 2 tr lờn :
Cỏch 1 : Phõn tớch a thc b chia thnh nhõn t trong ú cú nhõn t chi ht cho a thc chia.
Cỏch 2 : Xột giỏ tr riờng.
3/ Chng minh a thc chia ht cho a thc khỏc :
Cỏch 1 : Phõn tớch a thc b chia thnh nhõn t trong ú cú 1 tha s chia ht cho a thc chia.
Cỏch 2 : Bin i a thc b chia thnh tng cỏc a thc chia ht cho a thc chia.
Cỏch 3 : S dng bin i tng ng : chng minh f(x)
g(x) ta chng minh : f(x) + g(x)
g(x)
hoc f(x) - g(x)
g(x).
Cỏch 4 : Chng t rng mi nghim ca a thc chia u l nghim ca a thc b chia
Bi 1. Xỏc nh cỏc hng s a ; b sao cho:
a) 4x
2
- 6x + a
(x-3)
b) 2x
2
+ x + a
(x+3)
c) x
3
+ ax
2
- 4
(x
2
+ 4x + 4)
d) 10x
2
- 7x + a
(2x - 3)
e) 2x
2
+ ax + 1 chia cho x - 3 d 4
g) ax
5
+ 5x
4
- 9
(x-1)
Bi 2 Tỡm cỏc hng s a v b sao cho x
3
+ ax + b chia cho x + 1 thỡ d 7, chia cho x - 3 thỡ d -5
Boi dửụừng hoùc sinh gi i toỏn THCS 2
Bi 3 Tỡm n
Z :
a/ n
2
+ 2n 4
11
b/ 2n
3
+ n
2
+ 7n +1
2n 1
c/ n
3
2
n 2
d/ n
3
- 3n
2
+ 3n - 1
n
2
+n + 1
e/n
4
2n
3
+ 2n
2
2n + 1
n
4
1
Bi 4: Tỡm s d phộp chia x
99
+ x
55
+ x
11
+x + 7 cho x + 1
Bi 5: CMR : a/ x
50
+ x
10
+ 1
x
20
+ x
10
+ 1
b/ x
2
- x
9
x
1945
x
2
- x + 1
c/ x
10
- 10x + 9
(x 1)
2
d/ 8x
9
- 9x
8
+ 1
(x 1)
2
I. MT S DNG PHNG TRèNH VI NGHIM NGUYấN
1. Dng 1: Phng trỡnh bc nht.
a. Phng trỡnh dng: ax + by = c (a,b,c nguyờn)
* Cỏch gii: - Tỏch cỏ h s v tng cỏc s chia ht cho a hoc b (S no cú GTT ln hn)
- S dng du hiu v tớnh cht chia ht ca mt tng tỡm ra mt n .
Thay nghim va tỡm c vo phng trỡnh ban u tỡm nghim cũn li.
- Kt lun nghim
Bi tp mu: Tỡm nghim nguyờn ca phng
trỡnh: 2x + 3y = 11
Gii:
Cỏch 1: 2x + 3y = 11
1 y
x y 5
2
= + +
x nguyờn khi
1 y 2 hay y = 2t + 1 t
M Â
x = 4 3t
Vy nghim nguyờn ca phng trỡnh:
x 4 3t
y 2t 1
=
= +
t
Z
Cỏch 2: 2x + 3y = 11
d = (a, b) = (2, 3) = 1
nghim riờng: (x
0,
y
0)
= (4, 1)
1
1
a
a
d
b
b
d
=
=
nghim tng quỏt
0 1
0 1
x x b t
y y a t
=
= +
Vy nghim phng trỡnh l:
x 4 3t
y 2t 1
=
= +
Vớ d 1 Gii phng trỡnh: 11x + 18 y = 120
Hng dn gii
11x + 18 y = 120 ú 11x + 22y 4y = 121 1
ú 11(x + 2y -11 ) = 4y 1
4y 1
M
11 => 12y 3
M
11
ú y 3
M
11 => y = 11t + 3 (t
Z
)
x = 6 18 t.
Vy nghim pt l:
6 18
11 3
x t
y t
=
= +
(t
Z
)
Vớ d 2 Tỡm nghim nguyờn dng ca phng
trỡnh: 12x + 7y = 45 (1)
Hng dn gii
Theo cỏch gii trờn ta tỡm c nghim nguyờn
ca phng trỡnh (1) l
7 12
27 12
x t
y t
=
=
Vi iu kin nghim nguyờn dng ta cú:
7 12 0
27 12 0
x t
y t
= >
= >
=> t = 2
Vy nghim nguyờn ca phng trỡnh l
2
3
x
y
=
=
b. Phng trỡnh dng: ax + by +cz= d (a,b,c,d
nguyờn)
Vớ d Tỡm nghim nguyờn ca phng trỡnh:
6x + 15y + 10 z = 3 (1)
Hng dn gii
(1) ú 3(2x +5y +3 z-1) = - z
=> z
M
3 => z = 3t (t
Z
)
Thay vo phng trỡnh ta cú:
2x + 5y + 10t = 1 (t
Z
)
Gii phng trỡnh ny vi hai n x; y (t l tham
s) ta c:
Nghim ca phng trỡnh: (5t 5k 2; 1 2t; 3k)
Vi t; k nguyờn tu ý
.
Dng 2: Phng trỡnh bc hai hai n.
Dng ax
2
+ by
2
+ cxy + dx + ey + f = 0 (a, b, c, d, e, f l cỏc s nguyờn)
Vớ d 1 Tỡm nghim nguyờn ca phng trỡnh: 5x 3y = 2xy 11 (1)
Boi dửụừng hoùc sinh gi i toỏn THCS 3
Hng dn gii
Cỏch 1: Rỳt y theo x: y =
5 11 5
2
2 3 2 3
x x
x x
+ +
= +
+ +
(Do x nguyờn nờn 2x + 3 khỏc 0)
Vỡ y nguyờn => x + 5
M
2x + 3 => . 7
M
2x + 3
Lp bng ta cú: cỏc cp (x; y) l: (-1;6); (-1; -2);
(2; 3); (-5; 2) Th li cỏc giỏ tr ú u ỳng.
Cỏch 2. a v phng trỡnh c s:
Cỏch 3: Coi ú l phng trỡnh bc hai n x, y l
s ó bit. t K cú x nguyờn.
Vớ d 2 Tỡm cỏc nghim nguyờn ca phng trỡnh.
x
2
+ 2y
2
+3xy x y + 3 =0 (1)
Hng dn gii
S dng cỏch th 3 nh vớ d trờn.
3. Dng 3: Phng trỡnh bc ba tr lờn cú hai n.
Vớ d 1 Tỡm nghim nguyờn ca phng trỡnh:
x(x+1)(x+2)(x+3) = y
2
(1)
Hng dn gii
Phng trỡnh (1) ú (x
2
+ 3x)(x
2
+ 3x + 2) = y
2
t a = x
2
+ 3x (K: a
2
(*)
Ta cú: a
2
1 = y
2
GiI phng trỡnh ny bng cỏch
a v phng trỡnh c s: => nghim phng
trỡnh (1)
Vớ d 2. Tỡm nghim nguyờn ca phng trỡnh:
x
3
- y
3
= xy + 8 (1)
Hng dn gii
Ta cú:
2 2
. 8x y x xy y
+ + =
Ta cú x khỏc y vỡ
nu x = y => x
2
+ 8 = 0 Vụ lý.
Vỡ x; y nguyờn =>
1x y
=>
2 2
8x xy y xy
+ + +
=> x
2
+ xy + y
2
8xy
+
(2)
Nu xy + 8 < 0=> (2) ú (x + y)
2
-8. Vụ nghim.
N u xy +8 > 0 => (2) ú x
2
+ y
2
8
=> x
2
, y
2
{ }
0;1;4
T ú tỡm c Hai nghim
nguyờn ca (1) l: (0; - 2); (2; 0)
4. Dng 4: Phng trỡnh dng phõn thc.
Vớ d 1 Tỡm nghim nguyờn ca phng trỡnh:
1 1 1 1
6 6x y xy
+ + =
(1)
Hng dn gii
t iu kiờn sau ú a v phng trỡnh c s
Tỡm c hai nghim (43; 7); (7; 43)
Vớ d 2 Tỡm x nguyờn sao cho
17
9
x
x
l bỡnh
phng ca mt phõn s.
Hng dn gii
Gi s
17
9
x
x
=
ữ
2
a
b
Vi a, b nguyờn, b khỏc 0
v (a, b) = 1.
Nu a = 0 => x = 17.
Nu a khỏc 0. Ta cú (a
2
, b
2
) = 1 => x 17 = a
2
.k; x
9 = b
2
.k (k nguyờn)
T ú ta cú: 8 = (a + b).(b a).k
Lp bng tỡm c nghim ca phng trỡnh
x =17; 18; 8
5. Dng 5: Phng trỡnh dng m.
Vớ d Tỡm cỏc s t nhiờn x, y sao cho:
2
x
+ 3 = y
2
(1)
Hng dn gii
Nu x = 0 => y
2
= 4 => y = 2 hoc y = -2.
Nu x = 1 => y
2
= 5 Vụ nghim nguyờn.
Nu x
2
=> 2
x
M
4 Do ú v trỏI chia cho
4 d 3 m y l (Do 1) => y
2
chia 4 d 1
=> Vụ lý.
Vy nghim nguyờn ca (1) l:
(0; 2); (0; -2)
II. BI TP:
1. Tỡm nghim nguyờn ca phng trỡnh:
a) 2x + 3y = 11
b) 3x + 5y = 10
2. Tỡm tt c cỏc nghim nguyờn dng ca
phng trỡnh: 4x + 5y = 65
3. Phõn tớch s 100 thnh hai s t nhiờn mt
s chia ht cho 7, mt s chia ht cho 11.
4. Tỡm s nguyờn dng bộ nht chia cho
100 d 1, chia cho 98 d 11.
5. Cú 37 cõy tỏo cú s qu bng nhau, 17 qu
hng, s cũn li chia u cho 79 ngi.
Hi mi cõy cú ớt nht my qu?
I. Tớnh cht c bn ca BT:
Boi dửụừng hoùc sinh gi i toỏn THCS 4
a) a < b, b < c
a < c
b) a < b
a +c < b+ c.
c) a< b
a.c < b.c (vi c > 0)
a< b
a.c > b.c (vi c < 0)
d) a < b v c < d
a+c < b + d.
e) 0 < a < b v 0 < c < d
a.c < b.d
f)
( )
2 1 2 1
n
n n
a b a b
+ + +
< <
Â
0 <
( )
2 2
n
n n
a b a b
+
< <
Â
g)
( )
2 1 2 1
n
n n
a b a b
+
+ +
< <
Â
( )
2 2
0 n
n n
a b a b
+
< < <
Â
II. BT Cauchy: (Cụsi)
a,b 0
2
a b
ab
+
ng thc
2
a b
ab
+
=
xy ra khi v ch khi a = b.
a, b, c 0
3
+ +
a b c
abc
H qu:
1
a + 2
a
,
a 0
>
III. Bt ng thc cha du giỏ tr tuyt i
a) |x|
0, |x|
x, |x|
-x
b) |x|
a
-a
x
a ( vi a > 0)
|x|
a
x
-a hoc x
a
c) |a|-|b|
|a+b|
|a| + |b|.
II. BT Bunhinacụpxki
Cho a, b, x, y l cỏc s thc, ta cú:
++ ))((
2222
yxba
(ax + by)
2
ng thc xy ra khi:
a b
x y
=
Tng quỏt: Cho 2n s thc:
1 2 1 2
, , , ; , , ,
n n
a a a b b b
Ta cú:
1 1 2 2
| |
+ + +
n n
a b a b a b
2 2 2 2 2 2
1 2 1 2
( )( )
n n
a a a b b b
+ + + + + +
Du = xy ra khi v ch khi:
1 2
1 2
n
n
a
a a
b b b
= = =
III. BT Becnuli
Cho a > -1, n
N
*
:
(1+ + a)
n
1 + na.
ng thc xy ra khi
a = 0 hoc n = 1
Bt ng thc Cụ-si m rng:
Cho n s khụng õm: a
1
; a
2; ;
a
n
Ta cú:
1 2 1 2
a
a
n n
a a n a a a
+ + +
Du = xy ra khi v ch khi
1 2
a
n
a a
= = =
Bi 1:
Cho hai s dng a v b . Chng minh : (a+b)(
b
1
a
1
+
) 4
Gii:
Vỡ a, b l hai s dng nờn ỏp dng bt ng thc Cụsi ta cú:
(a+b) 2 ab
1 1 1
+ 2
a b ab
1 1 1
(a+b) 2 .2 =4
a ab
ab
b
+
ữ
Du = xy ra khi v ch khi:a= b.
Bi 2: Vi mi a, b,x,y, thuc
Ă
.
Chng minh rng:
( ) ( )
2 2 2
| |ax by a b x y
2
+ + +
p dng :
1. Cho x
2
+ y
2
=1 , chng minh -
2
x+y
2
2. Cho x+2y = 2 , chng minh x
2
+ y
2
5
4
Bi 3
Cho ba s dng a, b, c.
Chng minh rng:
Boi dửụừng hoùc sinh gi i toỏn THCS 5
( )
1 1 1
9a b c
a b c
+ + + +
ữ
Bi 4: Cho
3
ab+bc+ca
, , 0. C/m:
3
a b c abc
Bi 5: Cho a,b,c >0. C/m:
ab bc ca
a b c
c a b
+ + + +
Bi 6: Cho a > 0, b > 0, c > 0, a + b + c =1.
Chng minh rng:
1 1 1
1 1 1 64
a b c
+ + +
ữ ữ ữ
Bi 7: CMR vi 4 s a, b, x, y bt k ta cú:
++
))((
2222
yxba
(ax + by)
2
.Du ng thc xy ra khi no?
Bi 8: Cho a, b, c, d > 0. Cm:
( )( )
dbcacdab
+++
Bi 9: CM bt ng thc:
( ) ( )
22
2222
dbcadcba ++++++
Bi 10: Cho a, b, c l cỏc s dng cm BT
2
222
cba
ba
c
ac
b
cb
a
++
+
+
+
+
+
Bi 11: CM vi mi n nguyờn dng thỡ:
2
1
2
1
2
1
1
1
>++
+
+
+
nnn
Bi 12: Cho a
3
+ b
3
= 2. Cmr: a + b
2.
Bi 13: Cho a, b, c tha món: a + b + c = -2 (1)
a
2
+ b
2
+ c
2
= 2 (2)
CMR mi s a, b, c u thuc on
0;
3
4
Bi 14: Cho a, b, c tha món h thc 2a + 3b = 5.
CMR: 2a
2
+ 3b
2
5.
Bi 15: Cho a, b l hai s tha món i: a + 4b = 1.
CM: a
2
+ 4b
2
5
1
. Du = xy ra khi no?
Bi 16: CM:
3
1
2222
22222
<
++
+++
Bi 17: Chng minh:
a)
++
))((
2222
yxba
(ax + by)
2
b)
2420
+<
xx
Bi 18: Cho a, b, c > 0. Cm:
2
3
+
+
+
+
+ ba
c
ac
b
cb
a
Bi 19: Cho
100
1
3
1
2
1
1
++++=
S
.
CMR: S khụng l s t nhiờn.
Bi 20: a) Cho x, y dng. CMR:
yxyx +
+
411
.
Du bng xy ra khi no?
Boi dửụừng hoùc sinh gi i toỏn THCS 6
b) Tam giỏc ABC cú chu vi
2
cba
P
++
=
.
++
+
+
cbacpbpap
111
2
111
Du bng xy ra khi tam giỏc ABC cú c im gỡ?
Bi 21: a) CM x > 1 ta cú:
2
1
x
x
b) Cho a > 1, b > 1. Tỡm GTNN ca:
11
22
+
=
a
b
b
a
P
Bi 22: Cho a, b, c l di ba cnh ca mt tam giỏc. CM: a
2
+ b
2
+ c
2
< 2(ab + bc + ca)
Bi 23: CMR nu a, b, c > 0 v a + b + c = 1 thỡ
9
111
++
cba
.
Bi 24: CMR nu a, b, c l di ba cnh ca mt tam giỏc thỡ:
ab + bc + ca
a
2
+ b
2
+ c
2
< 2(ab + bc + ca)
Bi 25: Cho tam giỏc ABC cú di ba cnh l a, b, c v cú chu vi l 2.
CMR: a
2
+ b
2
+ c
2
+ 2abc < 2
Bi 26: Cho a, b l 2 s thc tha món iu kin: (a - 1)
2
+ ( b - 2)
2
= 5. Cm: a + 2b
10.
Bi 27: Cho a, b l cỏc s thc tha món iu kin a
2
+ b
2
= 4 + ab.
CMR:
8
3
8
22
+
ba
. Du bng xy ra khi no?
Bi 28: CMR vi mi a, b > 0 tha món ab = 1. Ta cú BT:
3
211
+
++
baba
Bi 29: CMR nu:
a)
51
a
thỡ
105413
+
aa
b) a + b
2;01;0
=++
bab
thỡ
2211
+++
ba
Bi 30: Cho biu thc
4 3 4 3
5 4 3 2
3 1
1 1
4
1
P
x x x x x x
x x x x x
=
+ +
+ +
CMR:
9
32
0 << P
vi
1
x
.
Bi 31: a) Cho a, b, k l cỏc s dng v
1
a
b
<
:
a a k
Cmr
b b k
+
<
+
b) Cmr nu a, b, c l di 3 cnh ca mt tam giỏc thỡ:
ba
c
ac
b
cb
a
+
+
+
+
+
< 2.
Bi 32: Cho cỏc s dng a, b tha món iu kin a + b = 1. CMR :
9
1
1
1
1
+
+
ba
Bi 33: CM B T sau õy ỳng vi mi x, y l cỏc s thc bt k khỏc 0:
+++
x
y
y
x
x
y
y
x
34
2
2
2
2
1) nh ngha: L s cú dng
2
,n n
Â
.
2) Tớnh cht:
Boi dửụừng hoùc sinh gi i toỏn THCS 7
1. S chớnh phng chn thỡ chia ht cho 4, s chớnh phng l khi chia cho 8 d 1
2. Nu a=3k thỡ
( )
2
0 mod9a
; Nu
3a k
thỡ
( )
2
1 mod3a
3. Gia cỏc bỡnh phng ca hai s nguyờn liờn tip khụng cú s chớnh phng no
4. S chớnh phng ch cú th cú ch s tn cựng bng 0, 1, 4, 5, 6, 9 ; khụng th cú ch s tn cựng
bng 2, 3, 7, 8
5. Nu hiu ca hai s nguyờn bng 2n thỡ tớch ca chỳng thờm n
2
s l s chớnh phng.
6. Nu ab chớnh phng, (a,b)=1 thỡ a chớnh phng v b chớnh phng.
HD: G/s ab= c
2
v gi d=(a,c) suy ra a=a
1
d; c=c
1
d, (c
1
, d
1
)=1do ú ab=c
1
2
d
+ Do
( )
2 2
1 1 1 1 1
a d c c , 1b vi a c
=
M M
+ Do
( ) ( )
2
2 2 2 2
1 1 1
, , 1 ;
c
c d b c b vi b d b a b c a d
b
= = = = =
M M
7. Nu mt s chớnh phng chia ht cho p, p- nguyờn t thỡ s chớnh phng ú chia ht cho p
2
. Do
ú nu mt s a chia ht cho s nguyờn t p nhng s a khụng chia ht cho p
2
thỡ a khụng l s
chớnh phng.
2. Khi phõn tớch ra tha s nguyờn t, s chớnh phng ch cha cỏc tha s nguyờn t vi s m chn.
3. S chớnh phng ch cú th cú mt trong hai dng 4n hoc 4n + 1. Khụng cú s chớnh phng no cú
dng 4n + 2 hoc 4n + 3 (n
N).
4. S chớnh phng ch cú th cú mt trong hai dng 3n hoc 3n + 1. Khụng cú s chớnh phng no cú
dng 3n + 2 (n
N).
5. S chớnh phng tn cựng bng 1 hoc 9 thỡ ch s hng chc l ch s chn.
S chớnh phng tn cựng bng 5 thỡ ch s hng chc l 2
S chớnh phng tn cựng bng 4 thỡ ch s hng chc l ch s chn.
S chớnh phng tn cựng bng 6 thỡ ch s hng chc l ch s l.
6. S chớnh phng chia ht cho 2 thỡ chia ht cho 4.
S chớnh phng chia ht cho 3 thỡ chia ht cho 9.
S chớnh phng chia ht cho 5 thỡ chia ht cho 25.
S chớnh phng chia ht cho 8 thỡ chia ht cho 16.
III. MT S DNG BI TP V S CHNH PHNG
A. DNG1: CHNG MINH MT S L S CHNH PHNG
Bi 1: Chng minh rng vi mi s nguyờn x, y thỡ
A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y
4
l s chớnh phng.
Ta cú A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y
4
= (x
2
+ 5xy + 4y
2
)( x
2
+ 5xy + 6y
2
) + y
4
t x
2
+ 5xy + 5y
2
= t ( t
Z) thỡ
A = (t - y
2
)( t + y
2
) + y
4
= t
2
y
4
+ y
4
= t
2
= (x
2
+ 5xy + 5y
2)2
V ỡ x, y, z
Z nờn x
2
Z, 5xy
Z, 5y
2
Z
x
2
+ 5xy + 5y
2
Z
Vy A l s chớnh phng.
Bi 2: Chng minh tớch ca 4 s t nhiờn liờn tip cng 1 luụn l s chớnh phng.
Gi 4 s t nhiờn, liờn tiờp ú l n, n + 1, n+ 2, n + 3 (n
N). Ta cú
n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 = n.(n + 3(n + 1)(n + 2) + 1
Boi dửụừng hoùc sinh gi i toỏn THCS 8
= (n
2
+ 3n)( n
2
+ 3n + 2) + 1 (*)
t n
2
+ 3n = t (t
N) thỡ (*) = t( t + 2 ) + 1 = t
2
+ 2t + 1 = ( t + 1 )
2
= (n
2
+ 3n + 1)
2
Vỡ n
N nờn n
2
+ 3n + 1
N Vy n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 l s chớnh phng.
Bi 3: Cho S = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + . . . + k(k+1)(k+2)
Chng minh rng 4S + 1 l s chớnh phng .
Ta cú k(k+1)(k+2) =
4
1
k(k+1)(k+2).4 =
4
1
k(k+1)(k+2).[(k+3) (k-1)]
=
4
1
k(k+1)(k+2)(k+3) -
4
1
k(k+1)(k+2)(k-1)
S =
4
1
.1.2.3.4 -
4
1
.0.1.2.3 +
4
1
.2.3.4.5 -
4
1
.1.2.3.4 ++
4
1
k(k+1)(k+2)(k+3) -
4
1
k(k+1)(k+2)(k-1) =
4
1
k(k+1)(k+2)(k+3)
4S + 1 = k(k+1)(k+2)(k+3) + 1
Theo kt qu bi 2
k(k+1)(k+2)(k+3) + 1 l s chớnh ph ng.
Bi 4: Cho dóy s 49; 4489; 444889; 44448889;
Dóy s trờn c xõy dng bng cỏch thờm s 48 vo gia s ng trc nú. Chng minh rng
tt c cỏc s ca dóy trờn u l s chớnh phng.
Ta cú 4448889 = 44488 8 + 1 = 444 . 10
n
+ 8 . 111 + 1
n ch s 4 n-1 ch s 8 n ch s 4 n ch s 8 n ch s 4 n ch s
= 4.
9
110
n
. 10
n
+ 8.
9
110
n
+ 1
=
9
9810.810.410.4
2
++
nnn
=
9
110.410.4
2
++
nn
=
+
3
110.2
n
Ta thy 2.10
n
+1=20001 cú tng cỏc ch s chia ht cho 3 nờn nú chia ht cho 3
n-1 ch s 0
+
3
110.2
n
Z hay cỏc s cú dng 4448889 l s chớnh phng.
Bi 5: Chng minh rng cỏc s sau õy l s chớnh phng:
A = 111 + 444 + 1
2n ch s 1 n ch s 4
B = 111 + 111 + 666 + 8
2n ch s 1 n+1 ch s 1 n ch s 6
Kt qu: A =
+
3
210
n
; B =
+
3
810
n
;
Bi 6: Chng minh rng cỏc s sau l s chớnh phng:
a. A = 22499910009 n-2 ch s 9 n ch s 0
b. B = 1115556 n ch s 1 n-1 ch s 5
Boi dửụừng hoùc sinh gi i toỏn THCS 9
2
2
a. A = 224.10
2n
+ 999.10
n+2
+ 10
n+1
+ 9
= 224.10
2n
+ ( 10
n-2
1 ) . 10
n+2
+ 10
n+1
+ 9
= 224.10
2n
+ 10
2n
10
n+2
+ 10
n+1
+ 9
= 225.10
2n
90.10
n
+ 9
= ( 15.10
n
3 )
2
A l s chớnh phng
B. DNG 2: TèM GI TR CA BIN BIU THC L S CHNH PHNG
Bi1: Tỡm s t nhiờn n sao cho cỏc s sau l s chớnh phng:
a. n
2
+ 2n + 12 b. n ( n+3 )
c. 13n + 3 d. n
2
+ n + 1589
Gii
a. Vỡ n
2
+ 2n + 12 l s chớnh phng nờn t n
2
+ 2n + 12 = k
2
(k
N)
(n
2
+ 2n + 1) + 11 = k
2
k
2
(n+1)
2
= 11
(k+n+1)(k-n-1) = 11
Nhn xột thy k+n+1 > k-n-1 v chỳng l nhng s nguyờn dng, nờn ta cú th vit
(k+n+1)(k-n-1) = 11.1
k+n+1 = 11
k = 6
k n - 1 = 1 n = 4
b. t n(n+3) = a
2
(n
N)
n
2
+ 3n = a
2
4n
2
+ 12n = 4a
2
(4n
2
+ 12n + 9) 9 = 4a
2
(2n + 3)
2
- 4a
2
= 9
(2n + 3 + 2a)(2n + 3 2a) = 9
Nhn xột thy 2n + 3 + 2a > 2n + 3 2a v chỳng l nhng s nguyờn dng, nờn ta cú th vit
(2n + 3 + 2a)(2n + 3 2a) = 9.1
2n + 3 + 2a = 9
n = 1
2n + 3 2a = 1 a = 2
c. t 13n + 3 = y
2
( y
N)
13(n 1) = y
2
16
13(n 1) = (y + 4)(y 4)
(y + 4)(y 4)
13 m 13 l s nguyờn t nờn y + 4
13 hoc y 4
13
y = 13k
4 (Vi k
N)
13(n 1) = (13k
4 )
2
16 = 13k.(13k
8)
n = 13k
2
8k + 1
Vy n = 13k
2
8k + 1 (Vi k
N) thỡ 13n + 3 l s chớnh phng.
a.
t n
2
+ n + 1589 = m
2
(m
N)
(4n
2
+ 1)
2
+ 6355 = 4m
2
(2m + 2n +1)(2m 2n -1) = 6355
Nhn xột thy 2m + 2n +1> 2m 2n -1 > 0 v chỳng l nhng s l, nờn ta cú th vit (2m + 2n +1)
(2m 2n -1) = 6355.1 = 1271.5 = 205.31 = 155.41
Suy ra n cú th cú cỏc giỏ tr sau: 1588; 316; 43; 28.
Bi 2: Tỡm a cỏc s sau l nhng s chớnh phng:
a. a
2
+ a + 43
b. a
2
+ 81
Boi dửụừng hoùc sinh gi i toỏn THCS 10
c. a
2
+ 31a + 1984
Kt qu: a. 2; 42; 13
b. 0; 12; 40
c. 12; 33; 48; 97; 176; 332; 565; 1728
Bi 3: Tỡm s t nhiờn n 1 sao cho tng 1! + 2! + 3! + + n! l mt s chớnh phng .
Vi n = 1 thỡ 1! = 1 = 1
2
l s chớnh phng .
Vi n = 2 thỡ 1! + 2! = 3 khụng l s chớnh phng
Vi n = 3 thỡ 1! + 2! + 3! = 1+1.2+1.2.3 = 9 = 3
2
l s chớnh phng
Vi n 4 ta cú 1! + 2! + 3! + 4! = 1+1.2+1.2.3+1.2.3.4 = 33 cũn 5!; 6!; ; n! u tn cựng bi 0 do ú
1! + 2! + 3! + + n! cú tn cựng bi ch s 3 nờn nú khụng phi l s chớnh phng .
Vy cú 2 s t nhiờn n tha món bi l n = 1; n = 3.
Bi 4: Tỡm n
N cỏc s sau l s chớnh phng:
a. n
2
+ 2004 ( Kt qu: 500; 164)
b. (23 n)(n 3) ( Kt qu: 3; 5; 7; 13; 19; 21; 23)
c. n
2
+ 4n + 97
d. 2
n
+ 15
Bi 5: Cú hay khụng s t nhiờn n 2006 + n
2
l s chớnh phng.
Gi s 2006 + n
2
l s chớnh phng thỡ 2006 + n
2
= m
2
(m
N)
T ú suy ra m
2
n
2
= 2006
(m + n)(m - n) = 2006
Nh vy trong 2 s m v n phi cú ớt nht 1 s chn (1)
Mt khỏc m + n + m n = 2m
2 s m + n v m n cựng tớnh chn l (2)
T (1) v (2)
m + n v m n l 2 s chn
(m + n)(m - n)
4 Nhng 2006 khụng chia ht cho 4
iu gi s sai.
Vy khụng tn ti s t nhiờn n 2006 + n
2
l s chớnh phng.
Bi 6: Tỡm s t nhiờn n cú 2 ch s bit rng 2n+1 v 3n+1 u l cỏc s chớnh phng.
Ta cú 10 n 99 nờn 21 2n+1 199. Tỡm s chớnh phng l trong khong trờn ta c 25; 49; 81;
121; 169 tng ng vi s n bng 12; 24; 40; 60; 84.
S 3n+1 bng 37; 73; 121; 181; 253. Ch cú 121 l s chớnh phng.
Vy n = 40
C.DNG 3: TèM S CHNH PHNG
Bi 1: Cho A l s chớnh phng gm 4 ch s. Nu ta thờm vo mi ch s ca A mt n v thỡ ta
c s chớnh phng B. Hóy tỡm cỏc s A v B.
Gi A = abcd = k
2
. Nu thờm vo mi ch s ca A mt n v thỡ ta cú s
B = (a+1)(b+1)(c+1)(d+1) = m
2
vi k, m
N v 32 < k < m < 100
a, b, c, d
N ; 1 a 9 ; 0 b, c, d 9
Ta cú A = abcd = k
2
Boi dửụừng hoùc sinh gi i toỏn THCS 11
2
B = abcd + 1111 = m
2
m
2
k
2
= 1111
(m-k)(m+k) = 1111 (*)
Nhn xột thy tớch (m-k)(m+k) > 0 nờn m-k v m+k l 2 s nguyờn dng.
V m-k < m+k < 200 nờn (*) cú th vit (m-k)(m+k) = 11.101
Do ú m k == 11
m = 56
A = 2025
m + k = 101 n = 45 B = 3136
Bi 2: Tỡm 1 s chớnh phng gm 4 ch s bit rng s gm 2 ch s u ln hn s gm 2 ch s sau
1 n v.
t abcd = k
2
ta cú ab cd = 1 v k
N, 32 k < 100
Suy ra 101cd = k
2
100 = (k-10)(k+10)
k +10
101 hoc k-10
101
M (k-10; 101) = 1
k +10
101
Vỡ 32 k < 100 nờn 42 k+10 < 110
k+10 = 101
k = 91
abcd = 91
2
= 8281
Bi 3: Tỡm s chớnh phng cú 4 ch s bit rng 2 ch s u ging nhau, 2 ch s cui ging nhau.
Gi s chớnh phng phi tỡm l aabb = n
2
vi a, b
N, 1 a 9; 0 b 9
Ta cú n
2
= aabb = 11.a0b = 11.(100a+b) = 11.(99a+a+b) (1)
Nhn xột thy aabb
11
a + b
11
M 1 a 9 ; 0 b 9 nờn 1 a+b 18
a+b = 11
Thay a+b = 11 vo (1) c n
2
= 11
2
(9a+1) do ú 9a+1 l s chớnh phng .
Bng phộp th vi a = 1; 2; ; 9 ta thy ch cú a = 7 tha món
b = 4
S cn tỡm l 7744
Bi 4: Tỡm mt s cú 4 ch s va l s chớnh phng va l mt lp phng.
Gi s chớnh phng ú l abcd . Vỡ abcd va l s chớnh phng va l mt lp phng nờn t abcd =
x
2
= y
3
Vi x, y
N
Vỡ y
3
= x
2
nờn y cng l mt s chớnh phng .
Ta cú 1000 abcd 9999
10 y 21 v y chớnh phng
y = 16
abcd = 4096
Bi tp
1.
Chng minh rng tng ca hai s chn liờn tip khụng chớnh phng.
HD:
( )
2 (2 2) 4 2 2 mod 4n n n
+ + = +
2.
Chng minh rng tng cỏc bỡnh phng ca 2 hoc 3 s nguyờn l khụng chớnh phng.
HD:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2 2 2
2 1 2 1 2 mod 4
2 1 2 1 2 1 3 mod8
n k
n k l
+ + +
+ + + + +
3.
Chng minh rng mt s chn bt kỡ khụng phi l bi ca 4 thỡ khụng th phõn tớch thnh hiu 2 s
chớnh phng.
HD:
( ) ( ) ( )
2 2
2 2 1k a b a b a b
+ = = +
Boi dửụừng hoùc sinh gi i toỏn THCS 12
Do v trỏi chn nờn hai s a v b cú cựng tớnh chn l suy ra (a-b) v (a+b) cựng chn. Khi ú v phi
chia ht cho 4.
4.
Chng minh phng trỡnh 13x
2
+2 =y
2
khụng cú nghim nguyờn.
HD: + x v y cựng tớnh chn l
+ Khi y chn:
( ) ( )
VP 0 mod 4 ;VT 2 mod 4 ;
+ Khi y l :
( ) ( )
VP 1 mod8 ;VT 7 mod8 ;
5.
Tỡm
n
Ơ
2 8 5
n
n
+ +
l chớnh phng.
HD: +
( )
3 2 8 5 5 mod8
n
n n
+ +
+ n=2: 25 l chớnh phng.
+ n=0 hoc 1 thỡ khụng tho món
6. Chng minh rng khụng tn ti
n
Ơ
24n+41 l chớnh phng.
HD: G/s 24n+41=t
2
+ Nu t chia ht cho 3 thỡ 24n+41=3(8n+13)+2 khụng chia ht cho 3
+ Nu t khụng chia ht cho 3 thỡ
( ) ( ) ( )
2
1 mod3 3 8 13 2 1 mod3t n
+ +
7.
Chng minh khụng tn ti
n
Ơ
7.10
n
+4 l chớnh phng.
HD:
( )
7.10 4 2 mod3
n
+
8.
Chng minh rng tớch ca 2 s t nhiờn khỏc khụng liờn tip khụng chớnh phng.
HD: cú n
2
< n(n+1) < n
2
+2n+1 = (n+1)
2
9. Tỡm
n
Ơ
n
2
+ 3n l chớnh phng.
HD: D thy n = 0;1 ỳng.
Ngoi ra, cú n
2
+2n+1< n
2
+3n < n
2
+4n+4 hay (n+1)
2
< n
2
+3n< (n+2)
2
10. Tỡm
n
Ơ
n
2
+ 3 chia ht cho 5.
11. Tỡm
n
Ơ
n! + 97 l chớnh phng.
HD: Nu
5n
thỡ n!+97 cú tn cựng l 7 nờn khụng chớnh phng.
Nu n = 4 thỡ 24+97 = 121= n
2
Nu
0 3n
thỡ u khụng tho món.
12. Chng minh rng tớch ca 4 s t nhiờn liờn tip thờm 1 l s chớnh phng.
13. Tng cỏc ch s ca mt s chớnh phng cú th bng 1994 hoc 1995 c hay khụng?
HD: a)
( )
( ) mod3N S N
. Vỡ
( )
1994 2 mod3
nờn nu S(N)=1994 thỡ
( )
2 mod3N
b) vỡ 1995 chia ht cho 3, nhng 1995 khụng chia ht cho 9 nờn tng cỏc ch s ca 1 s chớnh
phng khụng th bng 1995.
14. Chng minh rng tng bỡnh phng ca 5 s nguyờn liờn tip khụng chớnh phng.
HD:
( ) ( ) ( ) ( )
( )
2 2 2 2
2 2
2 1 1 2 5 2 5n n n n n n + + + + + + = + M
nhng khụng chia ht cho 25.
15.
Chng minh rng khụng tn ti
n
Ơ
n
2
+n+2 chia ht cho 3.
HD: G/s
n
Ơ
n
2
+n+2=3k khi ú n
2
+n+2-3k = 0 cú nghim nguyờn dng
Cú
( )
3 4 3 2k
= +
l s chớnh phng. iu ny vụ lớ vỡ
( )
2 mod3
16. Gi N=2.3.4P
n
l tớch ca n s nguyờn t u tiờn. Chng minh rng c 3 s N, N-1, N+1 u
khụng l s chớnh phng.
HD: Nu N chn nhng khụng chia ht cho 4 nờn N khụng chớnh phng.
Nu N+1=k
2
thỡ k l khi ú
N=(k-1)(k+1) 4!M
Nu
( )
1 2 mod3N
th ỡ N-1 khụng chớnh phng.
17.
Chng minh rng tng bỡnh phng ca 2 s l khụng chớnh phng.
18.
Chng minh rng s chớnh phng cú cha ch s l hng chc thỡ ch s hng n v luụn bng
6.
HD: xột (10n+b)
2
= 20n(5n+b) + b
2
; Vi
9b
ch s hng chc ca 20n(5n+b) chn do ú ch s
hng chc ca b
2
l nờn b=4; 6.
19.
Chng minh rng mi s chớnh phng l u cú ch s hng chc l chn.
Boi dửụừng hoùc sinh gi i toỏn THCS 13
HD: Xột (10a+b)
2
= 20a(5a+b)+b
2
vi b l,
2
9 1;3;5;7;9 01;09;25;49;81b b b
= =
PCM
20.
Chng minh rng mt s chớnh phng ln hn 100 cú tn cựng l 5 thỡ ch s hng trm l chn.
HD: Xột (10a+5)
2
=100a(a+1)+25. Vỡ a(a+1) chn . Ta cú PCM.
21.
Tỡm
,x y
Ơ
2
x
+ 5
y
chớnh phng.
HD: G/s
( )
2 2
2 5
y
k k
+ =
Â
+ Nu x=0 thỡ 1+5
y
=k
2
suy ra k chn
( )
1 5 2 mod 4
y
+
+ Nu
0x
k l v k khụng chia ht cho 5.
y=0:
( ) ( )
2
2
2 1 2 1 2 4 1 1, 3, 0
x x
k m m m m x y
+ = = + = + = = =
0y
, vỡ k khụng chia ht cho 5 nờn
( )
2
1 mod5k
T gi thit suy ra
( )
2 mod 5
x
x chn, x=2n
V t gi thit suy ra
( )
2 5
5 ( 2 ) 2 , ; ,
2 5
n a
y n n
n b
k
k k a b y a b
k
+ =
= + + =
=
Ơ
( )
1 1
2 5 5 1 5 1, 0 2 5 1
n b a b b n y
b hay a y
+ +
= = = = =
+ Nu y=2t thỡ 2
n+1
=25
t
-1 chia ht cho 3
+ Nu y l thỡ 2
n+1
=4(5
y-1
+5
y-2
++ 5+1)
nu y>1 thỡ 5
y-1
+5
y-2
++5+1 l.
Vy y=1 suy ra x=2. ỏp s x=1; y=2.
22.
Tỡm 1 s cú 2 ch s bit:
a) Tng ca s ú v s vit theo th t ngc li l s chớnh phng.
b) Hiu bỡnh phng ca s ú v s vit theo th t ngc li l s chớnh phng.
HD:a)
( )
11 11ab ba a b
+ = +
M
, vỡ s chớnh phng chia ht cho 11 thỡ chia ht cho 121 nờn (a+b)
chia ht cho 11. do ú a+b chia ht cho 11.
+)
( ) ( )
( )
2 2
2 2
2 2
10 10 99 11ab ba a b b a a b
= + + =
M
Vỡ 0<(a-b)<8,
2 2
2 18 11 9.11.11.( )a b a b ab ba a b
+ + = =
chớnh phng hay (a-b)
chớnh phng, suy ra hoc a-b=1 hoc a-b=4
S: s 65
23.
Tỡm s chớnh phng
abcd
bit
1ab cd
=
HD:
2
100 100(1 ) 100 101n abcd ab cd cd cd cd= = + = + + = +
( ) ( )
10 10 101n n cd
+ =
.
Vỡ n<100 v 101 l nguyờn t nờn n+10=101 suy ra n=91.
24. (V Balan) Chng minh rng nu a, b l cỏc s nguyờn tho món h thc 2a
2
+a = 3b
2
+ b thỡ a - b v
2a + 2b+ 1 l cỏc s chớnh phng.
HD: Cú 2a
2
-2b
2
+a-b=b
2
(1), suy ra (a-b)(2a+2b+1) =b
2
.
Gi d l c dng ca a-b v 2a+2b+1 thỡ d chia ht (2a+2b+1-2(a-b)=4b+1).
Mt khỏc (1)
2 2
(1) \ \ \1 1d b d b d d
=
.
Vy (a-b, 2a+2b+1)=1. T ú ta c PCM
* Lu ý: T gt suy ra (a-b)(3a+3b+1)=a
2
nờn (3a+3b+1) l chớnh phng
25.
(HSGQG 1995) Tỡm p nguyờn t sao cho tng tt c cỏc c t nhiờn ca p
4
l s chớnh phng.
HD: G/s 1+p+p
2
+p
3
+p
4
=n
2
. D thy 4p
4
+4p
3
p
2
<4n
2
<4p
4
+p
2
+4+4p
3
+4p+8p
2
hay
(2p
2
+p)
2
<(2n)
2
<(2p
2
+p+2)
2
suy ra 2n =2p+p+1 suy ra p=3.
26. Chng minh rng nu mi s nguyờn p, q l tng ca hai s chớnh phng thỡ tớch pq cng l tng
ca 2 s chớnh phng.
27. Chng minh rng nu mi s nguyờn m, n l tng ca 4 s chớnh phng thỡ tớch m.n cng l tng
ca 4 s chớnh phng.
HD: (a
2
+b
2
+c
2
+d
2
)(m
2
+n
2
+p
2
+p
2
)=(am-bm-cp-dq)
2
+
+(an+bm-cq+dp)
2
+(ap+bq+cm-dn)
2
+(aq-bp+cn-dm)
2
.
Boi dửụừng hoùc sinh gi i toỏn THCS 14
28.
Chng minh rng tng cỏc bỡnh phng ca 7 s nguyờn liờn tip khụng chớnh phng.
29.
Chng minh rng tng cỏc bỡnh phng ca 9 s nguyờn liờn tip khụng chớnh phng.
30.
Tỡm
a
Ơ
a
2
+a+1589 chớnh phng.
31.
Chng minh rng nu 8
n+1
v 24
n+1
l chớnh phng thỡ 8
n+3
l hp s
32.
Chng minh rng n
3
+1 khụng chớnh phng vi mi n l v n>1.
33.
Tỡm
abcd
bit nú l mt bi ca 11 v b+c = a, bc chớnh phng.
34.
Chng minh rng nu
1
2
ab cd
=
thỡ
abcd
khụng chớnh phng
35.
Tỡm tt c cỏc s chớnh phng cú dng
1985A ab
=
.
S: 198025 v 198916
36.
Tỡm t c cỏc s t nhiờn a s n=26a+17 l mt s chớnh phng.
S: a=26m
2
+22m+4 hoc a=26m
2
+30m+8
37.
Chng minh rng mt s chớnh phng cú s c l mt s l v ngc li.
38.
Chng minh rng nu gp ụi mt s t nhiờn bng tng ca 2 s chớnh phng thỡ s t nhiờn ú
cng bng tng ca 2 s chớnh phng.
Bi 1: Cho biu thc P =
( ) ( )
3
a1
2
2
a
a12
1
a12
1
+
+
+
a) Rỳt gn P. b) Tỡm Min P.
Bi 2: Cho x, y l hai s khỏc nhau tha món:
x
2
+ y = y
2
+ x.
Tớnh giỏ tr biu thc : P =
1 -xy
xy
2
y
2
x
++
Bi 3: Tớnh giỏ tr biu thc Q =
yx
y-x
+
Bit x
2
-2y
2
= xy v x 0; x + y 0
Bi 4: Cho biu thc P =
3x
3x2
x-1
2x3
3x2x
11x15
+
+
+
+
a) Tỡm cỏc giỏ tr ca x sao cho P =
2
1
b) Chng minh P
3
2
Bi 5: Cho biu thc
P =
a
2a
2a
1a
2aa
39a3a
1
+
+
+
+
+
a) Rỳt gn P.
b) Tỡm cỏc giỏ tr nguyờn ca a P nguyờn.
Bi 6: Cho biu thc
2
a 4 a-4 a 4 a -4
8 16
1-
a
a
P
=
+ +
+
a) Rỳt gn P.
b) Tỡm cỏc giỏ tr nguyờn ca a (a >8) P
nguyờn.
Bi 7: Cho biu thc
P =
+
1a
2
1a
1
:
aa
1
1a
a
a) Rỳt gn P.
b) Tớnh giỏ tr P khi a = 3 + 2
2
c) T ỡm cỏc giỏ tr ca a sao cho P < 0.
Bi 8: Cho biu thc
P =
+
x
2
x2x
1x
:
x4
8x
x2
x4
a) Rỳt gn P.
b) Tớnh x P = -1
c) T ỡm m vi mi giỏ tr x > 9 ta cú
m(
x
- 3)P > x + 1.
Bi 9: Cho biu thc
P =
+
+
++
xy
yx
xxy
y
yxy
x
:
yx
xy -y
x
a) Tỡm x, y P cú ngha.
b) Rỳt gn P.
c) Tỡm giỏ tr ca P vi x = 3, y = 4 + 2
3
Bi 10: Cho biu thc
Boi dửụừng hoùc sinh gi i toỏn THCS 15
P =
x
2007x
1x
14xx
1x
1-x
1x
1x
2
2
+
+
+
+
a) Tỡm x P xỏc nh.
b) Rỳt gn P.
c) Tỡm cỏc giỏ tr nguyờn ca x P nguyờn.
Bi 11: Rỳt gn P.
P =
2
224
22
22
22
22
b
baa4
:
baa
baa
baa
baa
+
+
Vi | a | >| b | > 0
Bi 12: Cho biu thc
P =
2
2
x1
.
1x2x
2x
1x
2x
++
+
a) Rỳt gn P.
b) Chng minh rng nu 0 < x < 1 thỡ P > 0.
c) Tỡm GTLN ca P.
Bi 13: Chng minh giỏ tr ca biu thc
P =
6x5x
10x
3x4x
1x5
2x3x
2x
++
+
+
++
+
+
++
Khụng ph thuc vo bin s x.
Bi 13: Chng minh giỏ tr ca biu thc
P =
x
x
x
++
+
+
52.549
347.32
4
63
Khụng ph thuc vo bin s x.
Bi 15: Cho biu thc
P =
1x
1xx
xx
1xx
xx
22
++
+
+
++
Rỳt gn P vi 0 x 1 .
Bi 16: Cho biu thc
P =
1x
)12(x
x
x2x
1xx
xx
2
+
+
++
a) Rỳt gn P.
b) Tỡm GTNN ca P
c) Tỡm x b. thc Q =
P
x2
nhn g tr l s nguyờn.
Bi 17: Cho biu thc
P =
1x2
x
1x2x
1x
1x
xx
1xx
xxx2x
+
+
+
+
a) Tỡm x P cú ngha
b) Rỳt gn P.
c) Vi giỏ tr no ca x thỡ biu thc P t GTNN v
tỡm GTNN ú.
Bi 18: Rỳt gn biu thc
P =
5310
53
5310
53
+
++
+
Bi 19: Rỳt gn biu thc
a) A =
7474
+
b) B =
5210452104
++++
c) C =
532154154
++
Bi 20: Tớnh giỏ tr biu thc
P =
123412724
++++
xxxx
Vi
2
1
x 5.
Bi 21: Chng minh rng:
P =
26
4813532
+
++
l mt s nguyờn.
Bi 22: Chng minh ng thc:
1
2
3
11
2
3
1
2
3
11
2
3
1
=
+
++
+
Bi 23: Cho x =
3
725
3
725
+
Tớnh giỏ tr ca biu thc f(x) = x
3
+ 3x
Bi 24:Cho E =
yx
xy1
yx
xy1
+
+
Tớnh giỏ tr ca E bit:
x =
222.222.84
++++
y =
45272183
2012283
+
+
Bi 25:Tớnh P =
2008
2007
2
2008
2
2007
2
20071
+
+
+
Bi 26:Rỳt gn biu thc sau:
P =
51
1
+
+
95
1
+
+ +
1
2005 2009+
Bi 27:Tớnh giỏ ri ca biu thc:
P = x
3
+ y
3
- 3(x + y) + 2004 bit rng
x =
3
223
3
223
++
y =
3
21217
3
21217
++
Bi 28:Cho biu thc
A =
+
+
+
a
aa
a
a
a
a 1
4
1
1
1
1
a) Rỳt gn A.
b) Tớnh A vi a = (4 +
15
)(
10
-
6
)
154
Bi 29:Cho biu thc
A =
( ) ( )
( )
++
1
1
1
14
1414
2
x
xx
xxxx
a) x = ? thỡ A cú ngha.
b) Rỳt gn A.
Bi 30:Cho biu thc
P =
xxx
x
xx
x
+
+
+++
+
+
+
+
1
1
11
11
11
11
a) Rỳt gn P.
b) So sỏnh P vi
2
2
.
Bi 31:Cho biu thc
P =
1
2
1
3
1
1
+
+
+
+
xxxxx
a) Rỳt gn P.
b) Chng minh: 0 P 1.
Boi dửụừng hoùc sinh gi i toỏn THCS 16
Bi 32:Cho biu thc
P =
a
a
a
a
aa
a
+
+
+
3
12
2
3
65
92
a) Rỳt gn P.
b) a = ? thỡ P < 1
c) Vi giỏ tr nguyờn no ca a thỡ P nguyờn.
Bi 33:Cho biu thc
P =
x
x
yxyxx
x
yxy
x
+
1
1
22
2
2
a) Rỳt gn P.
b) Tớnh P bit 2x
2
+ y
2
- 4x - 2xy + 4 = 0.
Bi 34:Cho biu thc
P =
x
x
yxyxx
x
yxy
x
+
1
1
22
2
2
a) Rỳt gn P.
b) Tớnh P bit 2x
2
+ y
2
- 4x - 2xy + 4 = 0.
Bi 35:Cho biu thc
P =
yxxy
yyxxyx
yx
yxyx
33
33
:
11211
+
+++
++
+
+
a) Rỳt gn P.
b) Cho xy = 16. Tỡm Min P.
.
Bi 1: Cho phng trỡnh n s x: x
2
2(m 1)x 3 m = 0 (1)
a) Gii phng trỡnh khi m = 2.
b) Chng t rng phng trỡnh cú nghim s vi mi m.
c) Tỡm m sao cho nghim s x
1,
x
2
ca phng trỡnh tha món
iu kin
2
1
x
+
2
2
x
10.
Bi 2: Cho cỏc s a, b, c tha iu kin:
( )
+<+
>
acbcabac
c
2
0
2
Chng minh rng phng trỡnh ax
2
+ bx + c = 0
luụn luụn cú nghim.
Bi 3: Cho a, b, c l cỏc s thc tha iu kin:
a
2
+ ab + ac < 0.
Chng minh rng phng trỡnh ax
2
+ bx + c = 0 cú
hai nghim phõn bit.
Bi 4: Cho phng trỡnh x
2
+ px + q = 0. Tỡm p, q
bit rng phng trỡnh cú hai nghim x
1
, x
2
tha
món:
=
=
35
5
3
2
3
1
21
xx
xx
Bi 5: CMR vi mi giỏ tr thc a, b, c thỡ phng
trỡnh
(x a)(x b) + (x c)(x b) + (x c)(x a) = 0
luụn cú nghim.
Bi 6: CMR phng trỡnh ax
2
+ bx + c = 0
( a
0) cú nghim bit rng 5a + 2c = b
Bi 7: Cho a, b, c l di cỏc cnh ca mt tam
giỏc. CMR phng trỡnh sau cú nghim:
(a
2
+ b
2
c
2
)x
2
- 4abx + (a
2
+ b
2
c
2
) = 0
Bi 8: CMR phng trỡnh ax
2
+ bx + c = 0 ( a
0)
cú nghim nu
4
2
+
a
c
a
b
Bi 9: Cho phng trỡnh : 3x
2
- 5x + m = 0. Xỏc
nh m phng trỡnh cú hai nghim tha món:
2
1
x
-
2
2
x
=
9
5
Bi 10: Cho phng trỡnh:
x
2
2(m + 4)x +m
2
8 = 0. Xỏc nh m phng
trỡnh cú hai nghim x
1
, x
2
tha món:
a) A = x
1
+ x
2
-3x
1
x
2
t GTLN
b) B = x
1
2
+ x
2
2
- t GTNN.
c) Tỡm h thc liờn h gia x
1
,
x
2
khụng
ph thuc vo m.
Bi 11: Gi s x
1
,
x
2
l hai nghim ca phng
trỡnh bc 2: 3x
2
- cx + 2c - 1 = 0. Tớnh theo c giỏ tr
ca biu thc: S =
3
2
3
1
11
xx
+
Bi 12: Cho phng trỡnh : x
2
- 2
3
x + 1 = 0. Cú
hai nghim l x
1
,
x
2.
Khụng gii phng trỡnh trờn
hóy tớnh giỏ tr ca biu thc:
A =
2
3
1
3
21
2
221
2
1
44
353
xxxx
xxxx
+
++
Bi 13: Cho pt: x
2
2(a - 1)x + 2a 5 = 0 (1)
1) CMR phng trỡnh (1) luụn cú hai nghim
vi mi giỏ tr ca a.
Boi dửụừng hoùc sinh gi i toỏn THCS 17
2) Tỡm giỏ tr ca a pt (1) cú hai nghim x
1
,
x
2
tha món iu kin: x
1
2
+ x
2
2
= 6.
3. Tỡm giỏ tr ca a phng trỡnh cú hai
nghim x
1
,
x
2
tha món iu kin: x
1
< 1 <
x
2
.
Bi 14: Cho phng trỡnh:
x
2
2(m - 1)x + m 3 = 0 (1)
a) CMR phng trỡnh (1) cú nghim vi
mi giỏ tr ca m.
b) Gi x
1
,
x
2
l hai nghim ca phng
trỡnh (1) .
Tỡm GTNN ca M = x
1
2
+ x
2
2
Bi 15: Cho a, b l hai s thc tha món iu kin:
2
111
=+
ba
CMR ớt nht mt trong hai phng trỡnh sau phi
cú nghim:
x
2
+ ax + b = 0 v x
2
+ bx + a = 0.
Bi 16: Cho phng trỡnh:
x
2
2(m + 1)x + 2m +10 = 0 (1)
a) Gii v bin lun s nghim ca phng
trỡnh (1) theo m.
b) Tỡm m sao cho 10x
1
x
2
+ x
1
2
+ x
2
2
t
GTNN. Tỡm GTNN ú.
Bi 17: Chng minh rng vi mi s a, b, c khỏc 0,
tn ti mt trong cỏc phng trỡnh
sau phi cú nghim:
ax
2
+ 2bx + c = 0 (1)
bx
2
+ 2cx + a = 0 (2)
cx
2
+ 2ax + b = 0 (2)
Bi 18: Cho phng trỡnh:
x
2
(m - 1)x + m
2
+ m 2 = 0 (1)
a) CMR phng trỡnh (1) luụn luụn cú
nghim trỏi du vi mi giỏ tr ca m.
b) Vi giỏ tr no ca m, biu thc P = x
1
2
+ x
2
2
t GTNN.
Bi 19: Cho phng trỡnh:
x
2
2(m - 1)x 3 - m = 0 (1)
1) CMR phng trỡnh (1) luụn cú hai nghim vi
mi giỏ tr ca m.
2) Tỡm giỏ tr ca m pt (1) cú hai nghim x
1
,
x
2
tha món iu kin:
x
1
2
+ x
2
2
10.
3) Xỏc nh giỏ tr ca m phng trỡnh cú hai
nghim x
1
,
x
2
tha món iu kin:
E = x
1
2
+ x
2
2
t GTNN.
Bi 20: Gi s phng trỡnh bc 2:
x
2
+ ax + b + 1 = 0 cú hai nghim nguyờn dng.
CMR: a
2
+ b
2
l mt hp s.
.
Gii phng trỡnh:
Bi 1: x
3
+ 2x
2
+ 2
2
x + 2
2
.
Bi 2: (x + 1)
4
= 2(x
4
+ 1)
Bi 3: 4(x + 5)(x + 6)(x + 10)(x + 12) = 3x
2
Bi 4: 3(x + 5)(x + 6)(x + 7) = 8x
Bi 5: (x + 2)(x + 3)(x - 7)(x - 8) = 144
Bi 6: (x + 2)
4
+ (x + 8)
4
= 272
Bi 7: a) (x +
2
)
4
+ (x + 1)
4
= 33 + 12
2
b) (x - 2)
6
+ (x - 4)
6
= 64
Bi 8: a) x
4
- 10x
3
+ 26x
2
- 10x + 1 = 0
b) x
4
+ 3x
3
- 14x
2
- 6x + 4 = 0
c) x
4
- 3x
3
+ 3x + 1 = 0
Bi 9: a) x
4
= 24x + 32
b) x
3
+ 3x
2
- 3x + 1 = 0
Bi 10:
198
35
=+
xx
Bi 11:
1
253
7
23
2
22
=
++
+
xx
x
xx
x
Bi 12: x
2
+
( )
12
2
4
2
2
=
+
x
x
Bi 13:20
0
1
4
48
1
2
5
1
2
2
2
22
=
+
+
+
x
x
x
x
x
x
Bi 14: a)
4
1
7
13
3
22
=
++
+
+
xx
x
xx
x
b)
1512
4
156
1510
22
2
+
=
+
+
xx
x
xx
xx
c)
4
1
56
55
54
53
2
2
2
2
=
+
+
+
+
xx
xx
xx
xx
Bi 15: a) x
2
+
( )
40
9
81
2
2
=
+
x
x
b) x
2
+
( )
15
1
2
2
=
+x
x
Bi 16: a)
9
40
2
11
22
=
+
x
x
x
x
b)
0
1
4
2
5
1
2
1
2
2
2
22
=
+
+
+
x
x
x
x
x
x
c) x.
15
1
8
1
8
=
x
x
x
x
x
Bi 17: x
2
+
2
1
x
x
= 8( thi HSG V1
2004)
Bi 18:
23151
=
xxx
Boi dửụừng hoùc sinh gi i toỏn THCS 18
Bi 19:
271
33
=++
xx
Bi 20:
21212
=++
xxxx
Bi 21: 3x
2
+ 21x + 18 + 2
277
2
=++
xx
Bi 22: a) (x - 2)
4
+ (x - 3)
4
= 1
b) x
4
+ 2x
3
- 6x
2
+ 2x + 1 = 0
c) x
4
+ 10x
3
+ 26x
2
+ 1 = 0
Bi 23: (x + 2)
2
+ (x + 3)
3
+ (x + 4)
4
= 2
( thi HSG V1 2003)
Bi 24: a) (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) = 3
b) (x
2
+ 3x - 4)(x
2
+ x - 6) = 24
Bi 25: a) x
3
- 6x + 4 = 0
b) x
4
- 4x
3
+ 3x
2
+ 2x - 1 = 0
Bi 26: a) x
4
+ 2x
3
+ 5x
2
+ 4x - 12 = 0
b) x
4
- 4x
3
- 10x
2
+ 37x - 14 = 0
Bi 27:
0
4
3
10
48
3
2
2
=
+
x
x
x
x
Bi 28: a) Phõn tớch thnh nhõn t: 2(a
2
+
b
2
) -5ab
b) Gii phng trỡnh: 2(x
2
+ 2) = 5
1
3
+
x
( thi HSG 1998)
Bi 29:
3
53
14
5 =
+
x
x
x
Bi 30: x
4
- 4
3
x -5 = 0 ( thi HSG
2000)
Bi 31:
05
2
4
2
4
=
+
x
x
x
( thi
HSG V2 2003)
Bi 32: a) x
4
- 4x
3
- 19x
2
+ 106x - 120 = 0
b) (x
2
- x + 1)
4
- 10(x
2
- x + 1)
2
+9x
4
= 0
Bi 33: (x + 3
x
+ 2)(x + 9
x
+18) =
168x ( thi HSG 2005)
Bi 34: a) x
2
+ 4x + 5 = 2
32
+
x
b) 3
8
3
+
x
= 2x
2
- 6x + 4
c)
2
32
4
2
=
+
+
x
x
Bi 35:
0321
333
=+++++
xxx
Bi 36: Cho phng trỡnh: x
4
-4x
3
+8x = m
a) Gii phng trỡnh khi m = 5.
b) nh m phng trỡnh cú 4
nghim phõn bit.
Bi 37: Cho phng trỡnh (x + a)
4
+ (x +
b)
4
= c. Tỡm iu kin ca a, b, c phng trỡnh
cú nghim.
Bi 38: Gii phng trỡnh: x
4
+ 2x
3
+ 5x
2
+
4x - 5 = 0
Bi 39: Tỡm nghim nguyờn ca phng
trỡnh: 4x
4
+ 8x
2
y + 3y
2
- 4y - 15 = 0.
Bi 40: x
2
+ 9x
+ 20 = 2
103
+
x
Bi 41: x
2
+ 3x
+ 1 = (x + 3)
1
2
+
x
Bi 42: x
2
+
2006
+
x
=2006
.
Bi 1: Cho a > b > 0 tha món: 3a
2
+3b
2
= 10ab.
Tớnh giỏ tr ca biu thc: P =
ba
ba
+
Bi 2: Cho x > y > 0 v 2x
2
+2y
2
= 5xy
Tớnh giỏ tr biu thc E =
yx
yx
+
Bi 3: 1) Cho a + b + c = 0
CMR: a
3
+ b
3
+ c
3
= 3abc
2) Cho xy + yz + zx = 0 v xyz 0
Tớnh giỏ tr biu thc:
M =
222
z
xy
y
xz
x
yz
++
Bi 4: Cho a
3
+ b
3
+ c
3
= 3abc. Tớnh giỏ tr ca
biu thc:
P =
+
+
+
a
c
c
b
b
a
111
Bi 5: a) Phõn tớch thnh nhõn t:
(x + y + z)
3
- x
3
- y
3
-z
3
b) Cho cỏc s x, y, z tha món iu kin x
+ y + z = 1 v x
3
+ y
3
+ z
3
= 1 .
Tớnh giỏ tr ca biu thc: A = x
2007
+ y
2007
+ z
2007
Bi 6: Cho a + b + c = 0 v a
2
+ b
2
+ c
2
= 14.
Tớnh giỏ tr ca biu thc:
P = a
4
+ b
4
+ c
4
Bi 7: Cho a, b l cỏc s thc dng tha món:
a
100
+ b
100
=
a
101
+ b
101
= a
102
+ b
102
Tớnh giỏ tr ca biu thc P = a
2007
+ b
2007
Bi 8: Cho
1
=+
b
y
a
x
v
2
=
ab
xy
. Tớnh
3
3
3
3
b
y
a
x
+
Bi 9: Cho a + b + c = 0 . Tớnh giỏ tr ca biu
thc
P =
222222222
111
cbabcaacb
+
+
+
+
+
Bi 10: Cho
bab
y
a
x
+
=+
1
4
4
; x
2
+ y
2
= 1.
Chng minh rng:
a) bx
2
= ay
2
;
Boi dửụừng hoùc sinh gi i toỏn THCS 19
b)
10041004
2008
1004
2008
)(
2
bab
y
a
x
+
=+
Bi 11: Chng minh rng nu xyz = 1 thỡ:
xzzyzyxyx ++
+
++
+
++ 1
1
1
1
1
1
= 1
Bi 12: Cho a + b + c = 0. Tớnh giỏ tr biu thc:
A = (a b)c
3
+ (c a)b
3
+ (b c)a
3
Bi 13: Cho a, b, c ụi mt khỏc nhau. Tớnh giỏ tr
ca biu thc:
P =
))(())(())((
222
acbc
c
abcb
b
caba
a
+
+
Bi 14: Gi a, b, c l di ba cnh mt tam giỏc.
Cho bit (a + b)(b + c)(c + a) = 8abc
Chng minh: Tam giỏc ó cho l tam giỏc
u.
Bi 15: Chng minh rng: Nu a,b,c khỏc nhau
thỡ:
accbbabcac
ba
abcb
bc
caba
cb
+
+
=
+
+
222
))(())(())((
Bi 16: Cho bit a + b + c = 2p
Chng minh rng:
))()((
1111
cpbpapp
abc
pcpbpap
=
+
+
Bi 17: Cho a, b khỏc 0 tha món a + b = 1.
Chng minh :
3
)2(2
11
2233
+
=
+
ba
ab
a
b
b
a
Bi 18: Cho
1
=++
c
z
b
y
a
x
v
0
=++
z
c
y
b
x
a
Tớnh giỏ tr biu thc A =
2
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x
++
Bi 19: Cho a, b, c ụi mt khỏc nhau v
0
=
+
+
ba
c
ac
b
cb
a
Tớnh giỏ tr ca P =
222
)()()( ca
c
ac
b
cb
a
+
+
Bi 20: Phõn tớch cỏc a thc sau thnh nhõn t:
a) x(y
2
z
2
) + y(z
2
x
2
) + z(x
2
y
2
)
b) x(y + z)
2
+ y(z + x)
2
+ z(x + y)
2
4xyz
Bi 21: Cho ba s phõn bit a, b,c. Chng minh
rng biu thc
A = a
4
(b c) + b
4
(c a) + c
4
(a b) luụn
khỏc 0.
Bi 22: Cho bn s nguyờn tha món iu kin: a
+ b = c + d v ab + 1 = cd
Chng minh: c = d.
Bi 23: Cho x , y l cỏc s dng tha món iu
kin: 9y(y x) = 4x
2
.
Tớnh giỏ tr biu thc: A =
yx
yx
+
Bi 24: Cho x, y l cỏc s khỏc khỏc 0 sao cho 3x
2
y
2
= 2xy.
Tớnh giỏ tr ca phõn thc A =
22
6
2
yxyx
xy
++
Bi 25: Cho x, y, z khỏc 0 v a, b, c dng tho
món ax + by + cz = 0 v a + b +c = 2007.
Tớnh giỏ tr ca biu thc: P =
222
222
)()()( yxabzxaczybc
czbyax
++
++
Bi 26: Cho x, y, z khỏc 0 v x + y + z = 2008.
Tớnh giỏ tr biu thc:
P =
))(())(())((
333
xzyz
z
zyxy
y
zxyx
x
+
+
Bi 27:Cho
=++
=++
=++
1
1
1
333
222
zyx
zyx
zyx
Tớnh giỏ tr ca biu thc: P = x
2007
+ y
2007
+ z
2007
.
Bi 28: Cho a, b, c l di cỏc cnh ca mt tam
giỏc. Tớnh giỏ tr ca biu thc:
P =
[ ]
[ ]
22
22
)()(
)()(
bcacba
cbacba
++
++
Bi 29: Cho biu thc P = (b
2
+ c
2
a
2
)
2
4b
2
c
2
.
Chng minh rng nu a, b, c l ba cnh
ca mt tam giỏc thỡ P < 0.
Bi 30: Cho cỏc s dng x, y ,z tha món:
=++
=++
=++
15
8
3
zxzx
zyyz
zyxy
Tớnh giỏ tr biu thc: P = x + y + z.
Bi 31: Cho cỏc s x, y, z tha món h phng
trỡnh:
=++
=++
1
1
333
222
zyx
zyx
Tớnh giỏ tr biu thc P = xyz. ( thi
HSG tnh 2003)
Bi 32: a) Thu gn biu thc: P =
432
48632
++
++++
b) Tớnh giỏ tr biu thc: Q =
yx
yx
+
Bit x
2
2y
2
= xy v y 0 , x + y 0. (
thi HSG tnh 2004-2005)
Bi 33: Chng minh rng nu: x + y + z = 0 thỡ:
Boi dửụừng hoùc sinh gi i toỏn THCS 20
2(x
5
+ y
5
+ z
5
) = 5xyz(x
2
+ y
2
+ z
2
)
( thi HSG tnh 2005-2006)
Bi 34: Cho a, b, c l ba s dng tha món iu
kin: a
2
= b
2
+ c
2
.
a) So sỏnh a v b + c.
b) So sỏnh a
3
v b
3
+ c
3
. ( thi HSG tnh
2006-2007)
Bi 35: 1) Gii phng trỡnh: x
3
-6x 40 = 0
2) Tớnh A =
33
2142021420
++
( thi HSG tnh 2006-2007)
Bi 1) Cho hai s thc x, y tha món iu kin: x
2
+
y
2
= 1.Tỡm GTLN v GTNN ca biu thc A = x +
y.
Bi 2) Cho x, y > 0, x + y = 1. Tỡm GTNN ca
P =
2 2
1 1
1 1
x y
ữ
ữ
Bi 3) Cho P =
( )
2
2
2 1
1
x x
x
+ +
+
. Tỡm GTNN, GTLN ca
P v cỏc giỏ tr tng ng ca x.
Bi 4) Tỡm GTLN v GTNN ca biu thc
A = (x
4
+ 1)(y
4
+ 1) bit x,y
0, x + y =
10
Bi 5) Tỡm GTLN v GTNN ca biu thc
B = 2x + 3y bit 2x
2
+ 3y
2
5.
Bi 6) Tỡm GTLN v GTNN ca biu thc
P = x
2
+ y
2
. Bit x
2
(x
2
+2y
2
3) + (y
2
2)
2
= 1
Bi 7) Tỡm GTLN v GTNN ca biu thc
P =
2
2
1
1
x x
x x
+
+ +
Bi 8) Tỡm GTLN ca A = x +
2 x
Bi 9) Tỡm GTLN ca P =
x y z
y z x
+ +
vi x, y, z > 0.
Bi 10) Tỡm GTLN ca
P =
2 2
( 1990) ( 1991)x x
+
Bi 11) Cho M =
3 4 1 15 8 1a a a a
+ + +
a) Tỡm iu kin ca a M c xỏc
nh.
b) Tỡm GTNN ca M v giỏ tr ca A
tng ng.
Bi 12) Cho ba s dng x, y, z tha món:
1 1 1
2
1 1 1x y z
+ +
+ + +
.
Tỡm GTNN ca P = x.y.z.
Bi 13) Tỡm GTNN ca P =
2 1
1 x x
+
Bi 14) Cho x, y tha món x
2
+ 4y
2
= 25. Tỡm
GTLN
v GTNN ca biu thc P = x + 2y.
Bi 15) Cho x, y l hai s tha món: x + 2y = 3.
Tỡm GTNN ca E = x
2
+ 2y
2
.
Bi 16) Cho x > 0, y > 0 tha món: x + y
1.
Tỡm GTNN ca biu thc
P =
2 2
1
x y
+
+
2
xy
+ 4xy
Bi 17) Tỡm GTLN v GTNN ca: P =
2
2
1
1
x x
x
+ +
+
Bi 18) Cho x, y l hai s dng tha món: x + y
1.
Tỡm GTNN ca biu thc
A =
2 2
1 2
x y xy
+
+
Boi dửụừng hoùc sinh gi i toỏn THCS 21
Bi 19) Cho x,y > 0; x + y = 1. Tỡm GTNN ca biu
thc P =
2
2
1 1
x y
x y
+ + +
ữ
ữ
Bi 20) Cho x,y > 0; x + y = 1. Tỡm GTNN ca biu
thc P = 2(x
4
+ y
4
) +
1
4xy
Bi 21) Cho x,y > 0; x + y = 1. Tỡm GTNN ca biu
thc P =
1 1
1 1
x y
+ +
ữ
ữ
Bi 22) Cho x, y l hai s dng tha món:
x
2
+ y
2
= 4.
Tỡm GTNN ca biu thc
P =
2
2
1 1
x y
y x
+ + +
ữ
ữ
Bi 23) Cho ba s dng a, b, c cú a + b + c = 1. Tỡm
GTNN ca biu thc:
E =
2 2 2
1 1 1
a b c
a b c
+ + + + +
ữ ữ ữ
Bi 24) Cho a, b l hai s thc bt k cú tng bng 1.
Tỡm GTNN ca:
P = a
3
+ b
3
Bi 25) Cho a, b l hai s dng tha a + b = 1.
Tỡm GTNN ca P =
1 1
1 1a b
+
+ +
Bi 26) Cho hai s x, y tha món xy = 2. Tỡm GTNN
ca P =
2 2
x y
x y
+
Bi 27) Cho hai s dng x, y cú x + y = 1. Tỡm
GTNN ca
P = 8(x
4
+ y
4
) +
1
xy
Bi 28) Cho x, y liờn h vi nhau bi h thc:
x
2
+ 2xy + 7(x + y) + 2y
2
+10 = 0
Tỡm GTNN, GTLN ca biu thc
S = x + y + 1
Bi 29) Tỡm GTNN, GTLN ca biu thc
S = x
x
+ y
y
bit
x
+
y
= 1
Bi 30) Tỡm GTNN ca biu thc
P =
2
2
2 2008x x
x
+
Boi dửụừng hoùc sinh gi i toỏn THCS 22
