Tài Liệu Bồi Dưỡng HSG _ 6

BÀI TẬP HÌNH HỌC – BDHSG 8
(Chương: Tam giác đông dạng)
1) Cho hình thang ABCD (AB // CD). Một cát tuyến song song với AB lần lượt cắt các đoạn
thẳng AD, BD, AC, BC tại M, N, P, Q.
a/ CMR : MN = PQ.
b/ Gọi E là giao điểm của AD và BC, F là giao điểm của AC và BD. CMR : Đường
thẳng EF đi qua trung điểm của AB và DC.
2) Cho tam giác ABC, trung tuyến AD, trọng tâm G. Đường thẳng d qua G cắt AB,AC lần
lượt tại M, N. CMR:
3
AB AC
AM AN
+ =
.
3) Một đường thẳng đi qua đỉnh A của hình bình hành ABCD cắt đường chéo BD ở E và cắt
BC , DC theo thứ tự ở K, G. Chứng minh rằng:
a/
2
.AE EK EG=
b/
1 1 1
AE AK AG
= +
c/ Khi đường thẳng thay đổi vị trí nhưng vẫn đi qua A thì tích BK.DG có giá trị không đổi.
4) Cho hình thang ABCD (AB// CD), M là trung điểm của CD. Gọi I là giao điểm của AM và
BD, K là giao điểm của BM và AC.
a/ CMR: IK // AB.
b/ Đường thẳng IK cắt AD, BC theo thứ tự ở E, F.CMR: EI = IK = KF.
5) a/ Qua điểm M thuộc cạnh BC của tam giác ABC, vẽ các đường thẳng song song với hai
cạnh kia, chúng cắt AB, AC theo thứ tự ở H và K. C/m rằng tổng
AH AK

AB AC
+
không phụ thuộc vào
vị trí điểm M trên cạnh BC.
b/ Xét trường hợp tương tự khi M chạy trên đường thẳng BC nhưng không thuộc đoạn thẳng
BC.
6) Cho tam giác đều ABC trọng tâm G, M là điểm bất kỳ nằm trong tam giác. Đường thẳng
MG cắt các đường thẳng BC, AC, AB theo thứ tự ở A
’
, B
’
, C
’
. C/m rằng
' ' '
' ' '
3
A M B M C M
AG B G C G
+ + =
7) Cho hình bình hành ABCD. Các điểm M, N thay đổi trên BC và AB sao cho AM = CN.
Chứng minh rằng đỉnh D luôn cách đều các đoạn AM, CN.
8) Cho tam giác ABC cân tại A. Một điểm M thay đổi trên BC. Gọi I, K lần lượt là hình chiếu
của M lên AB, AC. Chứng minh tổng MI + MK không phụ thuộc vào vị trí của M.
9) Cho tam giác ABC có phân giác AD. Gọi DE, DF lần lượt là các phân giác của góc D của
các tam giác ABD và ACD.C/m: AE.BD.CF = BE.CD.AF.
10) Trên cạnh BC của hình vuông ABCD cạnh 6, lấy điểm E sao cho BE = 2.Trên tia đối của
tia CD lấy điểm F sao cho CF = 3.Gọi M là giao điểm của AE và BF. Tính
·
AMC

.
11/ Cho hai tam giác đều ABC và DEF mà A nằm trên cạnh DF, E nằm trên cạnh BC. Gọi I là
giao điểm của AC và EF, K là giao điểm của AB và DE. CMR:
a)
IFC
∆
và
IAE∆
đồng dạng;
KDB∆
và
KAE∆
đồng dạng.
b) DB//CF.
12/ Một đường thẳng song song với cạnh BC của tam giác ABC cắt AC ở E và cắt đường
thẳng song song với AB kẻ từ C ở F. Gọi S là giao điểm của AC và BF. CMR: SC
2
= SE .SA.
13/ Gọi O là điểm tùy ý nằm trong tam giác ABC. Các tia AO, BO, CO lần lượt cắt các cạnh
BC, CA, AB ở A
1
, B
1
, C
1
. CMR:
1 1 1
1 1 1
1
AA

OA OB OC
BB CC
+ + =
.
14/ Qua điểm O nằm trong tam giác ABC, kẻ đường thẳng song song với AB cắt AC và BC ở
D và E, kẻ đường thẳng song song với AC cắt AB và BC ở F và K, kẻ đường thẳng song song với
BC cắt AB và AC ở M và N.CMR:
AF
1
AB
BE CN
BC CA
+ + =
.