Tài Liệu Bồi Dưỡng HSG _ 2

BÀI TẬP ĐẠI SỐ - BDHSG 8
(Chính phương, nguyên tố, hợp số)
1/ Tìm các chữ số x,y
( )
, 0x y ≠
để
xxyy
là chính phương.
2/ Viết theo thứ tự 4 chữ số liên tiếp nhau, sau đó đổi 2 chữ số đầu cho nhau, ta được một số
gồm 4 chữ số là số chính phương. Tìm 4 chữ số liên tiếp.
3/ Tìm số chính phương có 4 chữ số sao cho 3 chữ số cuối giống nhau.
4/ Một số chính phương có n + 4 chữ số, trong đó có n chữ số đầu tiên và 4 chữ số cuối cùng làm
thành các số chính phương khác 0. Hỏi số chính phương đó có giá trị lớn nhất là bao nhiêu?
5/ CMR:
a) Số
( )
9 8 7 2
70 71 71 71 ... 71 71 1P = + + + + + +
là một số chính phương.
b) Số
( )
1993 1992 2
75 4 4 ... 4 5 25Q = + + + + +
là số chính phương.
6/ CMR: Tích của 4 số tự nhiên liên tiếp cộng thêm 1 là một số chính phương.
7/ Cho a là số gồm 2n chữ số 1,b là số gồm n +1 chữ số 1,c là số gồm n chữ số 6
( )
, 1n N n∈ ≥
.
CMR: a + b + c + 8 là số chính phương.
8/ a) Cho x là số nguyên. CMR:

4 3 2
4 2 12 9B x x x x= − − + +
là bình phương của một số nguyên.
b) Cho x, y, z, là các số tự nhiên. CMR:
( ) ( ) ( )
2 2
4C x x y x y z x z y z= + + + + +
là số chính
phương.
9/ Mỗi số sau là bình phương của số tự nhiên nào?
a)
{
{
99...900...025
n n
A =
; b)
{
{
99...9800...01
n n
B =
; c)
{
{
1
44...488...89
n n
C
−

=
; d)
{
{
1
11...122...25
n n
D
+
=
10/ Cho a, b, c, d là các số nguyên dương thỏa điều kiện
2 2 2 2
a b c d− = −
.CMR:S = a + b + c + d
là hợp số.
11/ Tìm số tự nhiên n để giá trị của các biểu thức sau là số nguyên tố:
a)
3 2
1n n n− + −
. b)
3
6 4n n− +
. c)
5 3
2 1n n n− − −
. d)
3 2
2n n n− − −
. e)
1975 1973

1n n+ +
12/ Tìm các chữ số x, y
( )
, 0x y ≠
sao cho :
2 2
xxyy xx yy= +
.
13/ Tìm các chữ số x, y, z
( )
, , 0x y z ≠
sao cho với mọi n nguyên dương ta có các đẳng thức sau:
a)
{
{
{
2
n
xx...x ... 1 ... 1
n
n
yy y zz z
 
+ = +
 ÷
 
b)
{
{
{

2
2
... ... ...
n n
n
xx x yy y zz z− =