Sử dụng lượng liên hợp để giải phương trình vô tỉ - thầy Nguyễn Văn Cường

MATHVN.COM | www.mathvn.com

www.MATHVN.com & Nguyn Vn Cng 1

S DNG K NNG NHN LIấN HP
GII PHNG TRèNH Vễ T

Nguyn Vn Cng GV THPT M c A - H Ni
Email :
Trong thi i hc khi B nm 2010 cú cõu gii phng trỡnh vụ t,cõu ny gõy nhiu khú
khn cho hc sinh khi lm bi thi. giỳp hc sinh nm vng cỏch lm dng phng trỡnh
trờn,bi vit ny tụi xin trỡnh by k nng bin i s dng biu thc liờn hp trong gii
phng trỡnh vụ t . Hy vng rng s giỳp ớch cho cỏc em lm tt cỏc dng bi trờn .
a b
a b
a b
-
=
m
(a,b>0, a
ạ
b);
3 3
3 3
2 2
3
a b
a b
a ab b

=

+
m


Vớ d 1 Gii phng trỡnh
2
3 1 6 3 14 8 0
x x x x
+ - - + - - =
(1) ( Khi B-2010)
Phõn tớch:
Ta tỡm mt s x (
1
6
3
x
- Ê Ê
) sao cho 3x+1 v 6-x l mt s chớnh phng tha món phng
trỡnh trờn .D thy x=5 tha (*).Vỡ vy ta a phng trỡnh trờn v dng (x-5)f(x)=0,nhng nh
lý Bzu ch ỳng i vi f(x) l a thc ,vỡ vy ta cn lm xut nhõn t chung x-5 t v trỏi ca
phng trỡnh bng phng phỏp liờn hp. Mun vy tỡm hai s a , b > 0 sao cho h phng
trỡnh sau cú nghim x=5.
3 1 0 4
6 0 1
x a a
b x b
ỡ ỡ
+ - = =
ù ù
ị

ớ ớ
- - = =
ù ù
ợ ợ

Li gii: TX
1
6
3
x
- Ê Ê

(1)


2
3 5 5
( 3 1 4) (1 6 ) 3 14 5 0 ( 5)(3 1) 0
3 1 4 1 6
x x
x x x x x x
x x
- -
+ - + - - + - - = + + - + =
+ + + -



5 0 5
1 1

(3 1) 0(*)
3 1 4 1 6
x x
x
x x
- = =
ộ
ờ
ờ
+ + + =
ờ
+ + + -
ở

Ta thy phng trỡnh (*) vụ nghim vi
1
6
3
x
- Ê Ê
.Vy x=5 l nghim dy nht .
Vớ d 2:Gii phng trỡnh :
2
2 1 3 1 0
x x x
- + - + =
( HKD-06) (2)
Phõn tớch: Tng t nh trờn ,ta thy x=1 l mt nghim ca phng trỡnh .
Li gii: k
1

2
x

.Vit li phng trỡnh nh sau :
( )
2
2( 1) 2
( 2 1 1) 3 2 0 ( 1)( 2) 0 1 2 0
2 1 1 2 1 1
1
2
2 0(*)
2 1 1
x
x x x x x x x
x x
x
x
x
-
ổ ử
- - + - + = + - - = - + - =
ỗ ữ
- + - +
ố ứ
=
ộ
ờ

ờ

+ - =
ờ
- +
ở

t t=
2 1 0
x
-
, (*)
2
2 1 0 2 1 2 2
t t t x + - = = - ị = - - .
Vy nghim ca phng trỡnh l x=1,
2 2
x = -
MATHVN.COM | www.mathvn.com

www.MATHVN.com & Nguyễn Văn Cường 2

Cách 2:Biến đổi
2
2 1 (2 1) 0
x x x x
- + - - - =
,Đặt t =
2 1 0
x
- ³
ta có x

2
- t
2
= x-t
Cách 3: biến đổi tương đương

Ví dụ 3 Giải phương trình :
(
)
3 2 2 2 6
x x x
+ - = + +
(3) (HVKTQS 2000)
Phân tích :
Nhận thấy x=3 là một nghiệm của nghiệm của phương trình .Ta sẽ đưa (2) về dạng
(x-3)f(x)=0 như sau
Lời giải: Viết lại phương trình (2):
2(x-3) +
8( 3)
( 6 3 2) 0 2( 3) 0
6 3 2
x
x x x
x x
-
+ - - = Û - - =
+ + -

3
3 0

3
8
11 3 5
2 0
6 3 2 4
6 3 2
2
x
x
x
x x
x
x x
=
- =
é
é
=
é
ê
ê
Û Û Û
ê
-
ê
ê
- =
+ + - =
=
ë

ê
ê
+ + -
ë
ë

Ví dụ 4 :Giải phưng trình
2
2
1 2
1
x x x
x x
- +
=
+
(4)
Phân tích: Ta thấy phương trình có nghiệm x=
1
2
,ta phân tích như sau
Lời giải:
Đk
0 1
x
< £
,(3)
(
)
(

)
(
)
(
)
2 2 2
1 1 2 1 1 2 0
x x x x x x x x x x x
Û + - = + Û - - + - - =

(
)
( )
2
3 2 2
1 2
1 4 2 1
0 1 2 0
1 1 2 1 1 2
x x
x x x x x
x
x x x x x x x x x x
-
æ ö
- - + +
Û + = Û - + =
ç ÷
- + - + - + - +
è ø

2 2
2 1
0(*)
1 1 2
1
2
x x x
x x x x x
x
é
+ +
+ =
ê
- + - +
ê
Û
ê
=
ê
ë

Nhận thấy (*) vô nghiệm với
0 1
x
< £
.Vậy
1
2
x

=
là nghiệm dụy nhất .
Ví dụ 5:Giải phương trình :
(
)
9 4 1 3 2 3
x x x
+ - - = +
(5) (HSG k12 Hà Nội -2010)
Lời giải: Đk
2
3
x
³
,Nhận thấy x=6 là một nghiệm của phương trình ,ta phân tích như sau
(5)
( ) ( )
36( 6) 27( 6)
9 4 1 5 4 3 2 6 6
4 1 5 4 3 2
x x
x x x x
x x
- -
é ù
é ù
Û + - + - - = - Û - = -
ê ú
ë û
+ + + -

ë û

6
36 27
( 6) 1 0
36 27
1 0(*)
4 1 5 4 3 2
4 1 5 4 3 2
x
x
x x
x x
=
é
é ù
ê
Û - - - = Û
ê ú
ê
- - =
+ + + -
ë û
ê
+ + + -
ë

Rễ thấy phương trình (*) vô nghiệm.
Cách khác :
3

(5) 9 3 9 4 1 3 2
4 1 3 2
x
x x x
x x
+
æ ö
Û = + Û = + + -
ç ÷
+ + -
è ø

Bình phương hai vế ta cũng thu được x=6
Ví dụ 6 Giải phương trình :
2 2
12 5 3 5
x x x
+ + = + +
(6)
MATHVN.COM | www.mathvn.com

www.MATHVN.com & Nguyn Vn Cng 3

Phan tớch: phng trỡnh cú nghim thỡ :
2 2
5
12 5 3 5 0
3
x x x x
+ - + = - > >

Ta nhn thy : x=2 l nghim ca phng trỡnh .
Li gii:
( )
( )
2 2
2 2
2 2
2 2
4 4
(6) 12 4 3 6 5 3 3 2
12 4 5 3
2 2
2 3 0 2
12 4 5 3
x x
x x x x
x x
x x
x x
x x
- -
+ - = - + + - = - +
+ + + +
ổ ử
+ +
- - - = =
ỗ ữ
+ + + +
ố ứ

(D dng chng minh c :
2 2
2 2 5
3 0,
3
12 4 5 3
x x
x
x x
+ +
- - < " >
+ + + +
)
Vớ d 7. Gii phng trỡnh :
2 3
3
1 1
x x x
- + = -
(7)
Li gii : k
3
2
x
Nhn thy x=3 l nghim ca phng trỡnh , nờn ta bin i phng trỡnh
( )
( )
( )
( )

2
2 33
2 3
2 23
3
3 3 9
3
1 2 3 2 5 3 1
2 5
1 2 1 4
x x x
x
x x x x
x
x x
ộ ự
- + +
+
ờ ỳ
- - + - = - - - + =
ờ ỳ
- +
- + - +
ờ ỳ
ở ỷ

Ta chng minh :
( )
(
)

2
2
3 3
2 2 2
3
3 3
1 1 2
1 2 1 4 1 1 3
x x
x x x
+ +
+ = + <
- + - + - + +
2
3
3 9
2 5
x x
x
+ +
<
- +

Vy pt cú nghim dy nht x=3
Vớ d 8 Gii phng trỡnh
2
2 4 2 5 1
x x x x
- + - = - -
(8) (THTT)

Li gii: k:
2 4
x
Ê Ê

(7)
2
3 3
( 2 1) ( 4 1) 2 5 3 ( 3)(2 1)
2 1 4 1
x x
x x x x x x
x x
- -
- - + - - = - - - = - +
- + - +

3
1 1
2 1(*)
2 1 4 1
x
x
x x
=
ộ
ờ

ờ
- = +

ờ
- + - +
ở

Nhn xột
1
1
2 1
x
Ê
- +
;
1 1 1 1
2 1 2 2
4 1 2 1 2 1 4 1x x x
= - ị - Ê -
- + + - + - +

Li cú 2x+1
5

vi mi x tha
2 4
x
Ê Ê
.Vy (*) vụ nghim .(7) cú nghim x=3.
Vớ d 9 Gii phng trỡnh
3 32 2
3 3
2 1 2 2 1

x x x x
+ + + = + +
(9)
Phõn tớch :
VP
1 1 1
VT x
ị ị -
.Nhn thy nu 2x
2
= x+1 thỡ hai v ca pt bng nhau gi cho ta ngh
n vic phõn tớch ra tha s chung l 2x
2
-x 1
Li gii: (8)
3 3
2 2
3 3
( 2 1 2) ( 2 1) 0
x x x x
+ - + + - + =

2 2
3
2 2 2 2 4 2 2
3 3 3 3 3
2 1 2 1
(2 1) (2 1)( 2) ( 2) 4 2 ( 1) ( 1)
x x x x
x x x x x x x x

- - - -
+
+ + + + + + + + + +
=0
MATHVN.COM | www.mathvn.com

www.MATHVN.com & Nguyễn Văn Cường 4

2
32 2 2 2 4 2 2
3 3 3 3 3
2 1 0
1 1
0(*)
(2 1) (2 1)( 2) ( 2) 4 2 ( 1) ( 1)
x x
x x x x x x x x
é
- - =
ê
Û
ê
+ =
ê
+ + + + + + + + + +
ë

1
1;
2

(*)
x x
vn
é
= - = -
ê
Û
ê
ë
(Chú ý có thể dùng phương pháp hàm số)
Ví dụ 10 Giải phương trình :
3
24 12 6
x x
+ + - =
(10)
Lời giải: Đk:
12
x
£

(10)
3
2
3
3
3 3
( 24 3) ( 12 3) 0 0
12 3
( 24) 3 ( 24) 9

x x
x x
x
x x
- -
Û + - + - - = Û + =
- +
+ + + +

2
3
3
3
12 ( 24) 3 ( 24) 6 0(*)
x
x x x
=
é
Û
ê
- - + - + - =
ê
ë

Thay
3
6 24 12
x x
= + + -
vào (*) ta có

2
3
3
( 24) 4 ( 24) 0 24; 88
x x x x
+ + + = Û = - = -

Thử lại ta thấy hai nghiệm này đều thỏa mãn (9).
Vậy nghiệm của (9) :x=2;x=-24;x=-88.
Nhận xét: Một số phương trình vô tỷ được giải nhờ vào sự quan sát tinh tế, lựa
chọn hợp lý biểu thức liên hợp trong mỗi phương trình.Ta xét Ví dụ sau
Ví dụ 11 Giải phương trình
(
)
(
)
1 1 1 2 5
x x x x
+ + + + - =
(11)
Lời giải: Đk x
1
³ -
. Nhận xét rằng x=0 không là nghiệm của phương trình ,nhân cả hai
vế của phương trình trên với
1 1 0
x
+ - ¹
ta có

(
)
(
)
1 2 5 1 1 1 2 5 1 1 2
x x x x x x x x x
+ + - = + - Û + + - = + - Û =

Nhận xét: Qua lời giải trên cho thấy vai trò và tầm quan trọng của việc sử dụng biểu thức liên hợp
.Bạn hãy giải theo hướng khác để thấy được tầm quan trọng của phương pháp này .
Ví dụ 12 Giải phương trình :
2 2
2 3 5 2 3 5 3
x x x x x
+ + + - + =
(12)
Lời giải: Từ vế trái của phương trình dương,suy ra phương trình có nghiệm khi x >0
Nhân cả hai vế của phương trình với
2 2
2 3 5 2 3 5 0
x x x x
+ + - - + ¹

(12)
Û
(
)
2 2 2 2
6 3 2 3 5 2 3 5 2 3 5 2 3 5 2
x x x x x x x x x x

= + + - - + Û + + - - + =
(*)
Lấy (*) cộng với (12) theo vế ta có
2
2 2 3 5 2 3 4
x x x x
+ + = + Û =

Thử lại ta thấy x=4 là nghiệm của phương trình đã cho.
Ví dụ 13 Giải phương trình
2 3 2 6
x x x
- - = -

Lời giải:Đk
3
2
x
³
,pt tương đương
( 2 3 )( 2 3 )
2( 3)
2 3
x x x x
x
x x
- - - +
= -
- +

3 1
2( 3) ( 3) 2 0
2 3 2 3
x
x x
x x x x
-
é ù
Û = - Û - - =
ê ú
- + - +
ë û
,
1
2
2 3
x x
-
- +
>0
Ví dụ 14: Giải phương trình
2
9 20 2 3 10
x x x
+ + = +

Lời Giải: ĐK
10
3
x

³ -
,pt
( )( )
(
)
(
)
( )
2 3 10 1 3 10 1
3 6
3 10 1
x x
x x
x
+ - + +
Û + + = Û
+ +

MATHVN.COM | www.mathvn.com

www.MATHVN.com & Nguyễn Văn Cường 5

( )( )
( )
( )
( )
6( 3) 6
3 6 3 ( 6) 0
3 10 1 3 10 1
x

x x x x
x x
é ù
+
ê ú
+ + = Û + + - =
ê ú
+ + + +
ë û
Û
( )
6
( 6)
3 10 1
x
x
+ -
+ +
=
0(*)
Hoặc x=-3.Mặt khác x>-3 và
10
3
3
x
- £ £ -
phương trình (*) vô nghiệm
Ví dụ 15 Giải phương trình
2
3

2 11 21 3 4 4
x x x
- + = -

Lời giải: pt tương đương
( )
(
)
( ) ( )
(
)
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
2
3
3 3
2 2
3 3
3 3
3 4 4 2 4 4 2 4 4 4
12( 3)
( 3)(2 5) ( 3)(2 5)
4 4 2 4 4 4 4 4 2 4 4 4
x x x
x
x x x x
x x x x
- - - + - +

-
- - = Û - - =
- + - + - + - +

x=3 hoặc
( )
3
2
12
2 5 0, 4 4
2 4
x t x
t t
- - = = -
+ +
.x>3 ,2x-5>1 ,
2
12
2 4
t t
+ +
<1,cmtt x<3 ptvn
Ví dụ 16: Giải phương trình
2
6 4
2 4 2 2
4
x
x x
x

-
+ - - =
+

Lời giải : Đk x
Î
[
]
2;2
-
, Phương trình tương đương
2
2(3 2) 2(3 2)
2 4 2 2
4
x x
x x
x
- -
=
+ + -
+

x=3 hoặc 2 4 2 2
x x
+ + -
=
2
4
x

+
( )( ) ( )( )
4 2 2 2 2 4 0
x x x x
Û + - + - + =

( )
(
)
2 4 2(2 ) 4 2 0 2
x x x x x
Û - + + + - = Û =

Ví dụ 17 GPT: x-1+
2
1 2 2
x x x+ + - = + (1)
+) ĐK: x
Î
[-1;2]
2
(1) ( ) ( 2 2 ) (1 1) 0 ( 1) 0
2 2 1 1
0
1 1
1 0(2)
2 2 1 1
x x
PT x x x x x x
x x

x
x
x x
Û - + - - + - + = Û - + - =
+ - + +
=
é
ê
Û
ê
- + - =
ê
+ - + +
ë

+) Giải (2):
1 1
( 1 2) (1 2 )
1 2 1 2
(2) ( 1) 0 ( 1) 0
( 2 2 )(1 1) ( 2 2 )(1 1)
1 1
1 2 1 2
( 1)[1 ] 0 1.Vay PT(1) có 2 nghiem x=0, x=1.
( 2 2 )(1 1)
x x
x x
x x
PT x x
x x x x

x x
x x
x x
- -
+
+ - + - -
+ + + -
Û - + = Û - + =
+ - + + + - + +
+
+ + + -
Û - + = Û =
+ - + +

Ví dụ 18:Tìm a để bất phương tình sau có nghiệm
(
)
3
3 2
3 1 1
x x a x x
+ - = - -
(13)
Lời giải: Đk
1
x
³
;(13)
( )
( )

( )
3 2
3
3 2
3
3 1
3 1 1
1
x x
a x x x x a
x x
+ -
Û = Û + - + - =
- -

Xét hàm số g(x) =
3 2
3 1
x x
+ -
>0 , đồng biến trên
[
)
1;
+¥

h(x) =
(
)
3

1
x x
+ -
>0, đồng biến trên
[
)
1;
+¥

MATHVN.COM | www.mathvn.com

www.MATHVN.com & Nguyễn Văn Cường 6

suy ra hàm f(x) =
( )
(
)
3
3 2
3 1 1
x x x x
+ - + -
đồng biến trên
[
)
1;
+¥

nên f(x)
(1) 3

f
³ =
.Vậy a
3
³
thì phương trình có nghiệm .