Luận án tiến sĩ kỹ thuật Điều khiển dự báo phản hồi đầu ra theo nguyên lý tách cho hệ phi tuyến

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI








Đỗ Thị Tú Anh





ĐIỀU KHIỂN DỰ BÁO PHẢN HỒI ĐẦU RA THEO
NGUYÊN LÝ TÁCH CHO HỆ PHI TUYẾN







LUẬN ÁN TIẾN SĨ KỸ THUẬT ĐIỀU KHIỂN VÀ TỰ ĐỘNG HÓA

Hà Nội − 2015


ii

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

Đỗ Thị Tú Anh




ĐIỀU KHIỂN DỰ BÁO PHẢN HỒI ĐẦU RA THEO
NGUYÊN LÝ TÁCH CHO HỆ PHI TUYẾN



Chuyên ngành: Kỹ thuật điều khiển và tự động hóa
Mã số: 62520216





LUẬN ÁN TIẾN SĨ KỸ THUẬT ĐIỀU KHIỂN VÀ TỰ ĐỘNG HÓA




NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
GS.TS. NGUYỄN DOÃN PHƯỚC

Hà Nội − 2015


iii

Lời cam đoan


Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của cá nhân tôi dưới sự hướng dẫn của
tập thể giáo viên hướng dẫn và các nhà khoa học. Tài liệu tham khảo trong luận án được trích
dẫn đầy đủ. Các kết quả nghiên cứu của luận án là trung thực và chưa từng được ai công bố
trong bất kỳ công trình nào khác.

Tập thể hướng dẫn Nghiên cứu sinh


Đỗ Thị Tú Anh






iv

Lời cảm ơn


Trong quá trình làm luận án, tôi đã nhận được rất nhiều góp ý về chuyên môn cũng như
sự ủng hộ về các công tác tổ chức của tập thể cán bộ hướng dẫn, của các nhà khoa học, của
các bạn đồng nghiệp. Tôi xin được gửi tới họ lời cảm ơn sâu sắc.
Tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn đến tập thể cán bộ hướng dẫn đã tâm huyết hướng dẫn tôi
trong suốt thời gian qua.
Tôi cũng xin chân thành cảm ơn các nhà khoa học, các đồng nghiệp, tập thể Bộ môn
Điều khiển Tự động đã có những ý kiến đóng góp quý báu, các Phòng ban của Trường Đại
học Bách Khoa Hà Nội đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình thực hiện đề tài
luận án.

Nghiên cứu sinh


Đỗ Thị Tú Anh





v
MỤC LỤC

Các ký hiệu được sử dụng vii
Danh mục các ký hiệu và chữ viết tắt viii
Danh mục các hình vẽ, đồ thị ix
Danh mục các bảng x
MỞ ĐẦU 1
Tính cấp thiết của đề tài luận án 1
Mục tiêu và nhiệm vụ của luận án 1
Phạm vi và đối tượng nghiên cứu của luận án 2
Cấu trúc và những đóng góp của luận án 2
CHƯƠNG 1: GIỚI THIỆU CHUNG 4
1.1 Động cơ thúc đẩy đề tài 4
1.1.1 Hệ điều khiển dự báo 4
1.1.2 Các hướng nghiên cứu của luận án 6
1.2 Cơ sở lý thuyết 14
1.2.1 Tính ổn định Lyapunov 14
1.2.2 Tính ổn định ISS 15
1.2.3 Quy hoạch động của Bellman 16
CHƯƠNG 2: TỔNG QUAN VỀ ĐIỀU KHIỂN DỰ BÁO PHẢN HỒI ĐẦU RA DỰA
TRÊN QUAN SÁT TRẠNG THÁI 18

2.1 Điều khiển dự báo phản hồi đầu ra dựa trên quan sát trạng thái cho hệ tuyến
tính 18

2.1.1 Điều khiển dự báo bền vững hệ tuyến tính sử dụng bộ quan sát tựa
Luenberger 18

2.1.2 Điều khiển dự báo bền vững hệ tuyến tính sử dụng bộ quan sát Moving
Horizon 22

2.2 Điều khiển dự báo phản hồi đầu ra dựa trên quan sát trạng thái cho hệ phi

tuyến 25

2.2.1 Điều khiển dự báo hệ phi tuyến sử dụng bộ quan sát High Gain 25
2.2.2 Điều khiển dự báo hệ phi tuyến sử dụng bộ quan sát mở rộng 29

vi
2.3 Đánh giá chung 34
2.3.1 Đánh giá các phương pháp điều khiển hiện có 34
2.3.2 Định hướng của luận án 35
CHƯƠNG 3: ĐIỀU KHIỂN DỰ BÁO PHẢN HỒI ĐẦU RA VỚI BỘ QUAN SÁT
TRẠNG THÁI TỐI ƯU CHO HỆ PHI TUYẾN 36

3.1 Điều khiển dự báo phản hồi trạng thái hệ phi tuyến 36
3.1.1 Phản hồi trạng thái với hàm mục tiêu có cấu trúc biến đổi 36
3.1.2 Phân tích tính ổn định 41
3.2 Quan sát trạng thái hệ phi tuyến 45
3.2.1 Các vấn đề chung của quan sát trạng thái 45
3.2.2 Xây dựng bộ quan sát trạng thái tối ưu 47
3.2.3 Cài đặt thuật toán quan sát tối ưu 51
3.3 Tính ổn định của hệ điều khiển dự báo phản hồi đầu ra theo nguyên lý tách
với hàm mục tiêu có cấu trúc biến đổi 57

3.4 Tóm tắt chương 62
CHƯƠNG 4: ĐIỀU KHIỂN DỰ BÁO PHẢN HỒI ĐẦU RA VỚI BỘ QUAN SÁT
TRẠNG THÁI TỐI ƯU CHO HỆ SONG TUYẾN 63

4.1 Điều khiển dự báo phản hồi trạng thái hệ song tuyến 63
4.1.1 Thiết kế bộ điều khiển dự báo phản hồi trạng thái cho hệ song tuyến với
hàm mục tiêu có tham số biến đổi 63

4.1.2 Tính ổn định của hệ điều khiển dự báo phản hồi trạng thái 70
4.2 Quan sát trạng thái hệ song tuyến 76
4.2.1 Kiểm tra tính quan sát đều của hệ song tuyến 76
4.2.2 Thiết kế bộ quan sát trạng thái tối ưu cho hệ song tuyến 78
4.3 Tính ổn định của hệ song tuyến phản hồi đầu ra theo nguyên lý tách 86
4.4 Tóm tắt chương và các mở rộng về khả năng ứng dụng 91
4.4.1 Tóm tắt chương 91
4.4.2 Các mở rộng trong ứng dụng 91
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 97
Những vấn đề đã được giải quyết 97
Những vấn đề còn tồn tại và kiến nghị 97
TÀI LIỆU THAM KHẢO 99
DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ CỦA LUẬN ÁN 102


vii
Các ký hiệu được sử dụng

(
)
11
,, ,
kk kN
col
++−
…vv v
Vector cột có các phần tử là các vector
11
,, ,
kk kN++−

…vv v
()diag M

Ma trận đường chéo có các phần tử trên đường chéo chính
là
M

()
T
i
Chuyển vị của
(
)
i
M
Chuẩn của ma trận
M
0M >
M là ma trận xác định dương, tức là 0>
T
Mxx ,
0∀≠x

0≥M
M là ma trận bán xác định dương, tức là 0≥
T
Mxx ,
∀
x
k

∞
v Chuẩn vô cùng của vector
k
v

k
v
Độ lớn của vector
k
v
∂
∂
f
x

Đạo hàm Jacobi của
f
theo
x

K
Lớp các hàm thực
(
)
r
γ
, 0r ≥ đơn điệu tăng với
(
)
00

γ
=

∞
K
Lớp các hàm
γ
∈
K
và không bị chặn
L
Lớp các hàm thực
(
)
k
β
, 0k ≥ đơn điệu giảm với
(
)
lim 0
k
k
β
→∞
=

KL
Lớp các hàm thực, liên tục
(
)

,rk
β
, ,0rk≥ với
(
)
,k
β
∈
Ki và
(
)
,r
β
∈
Li
UV⊕
Tổng Minkowski theo nghĩa nếu
n
U ⊂ R và
n
V ⊂ R thì
{
}
, UV U V⊕+∈∈ uvu v .
hf Hàm hợp (ánh xạ tích) của hai hàm h và
f
, tức là
(
)
(

)
⋅
hf
1
0
{}
N
ki
−
+
v
Dãy có các phần tử là các vector
11
,, ,
kk kN
+
+−
…vv v



viii
Danh mục các ký hiệu và chữ viết tắt

Co
Convex hull
CLF
Control Lyapunov Function
DMC Dynamic Matrix Control
FTO Finite Time Observer

GPC Generalized Predictive Control
ISS Input-to-State Stability
LF Lyapunov Function
LMI Linear Matrix Inequality
LQR Linear Quadratic Regulator
LRPC Long Range Predictive Control
LRQP Long Range Quadratic Programming
MAC Model Algorithmic Control
MPC Model Predictive Control
QP
Quadratic Programming
SQP
Sequential Quadratic Programming



ix
Danh mục các hình vẽ, đồ thị

Hình 1.1 Nguyên lý làm việc của bộ điều khiển dự báo 4
Hình 1.2
Tín hiệu ra
y khi
const
k
R
=
và biến đổi
12
Hình 1.3

Tín hiệu điều khiển
u khi const
k
R
=
và biến đổi
12
Hình 1.4
Tín hiệu ra
y ứng với cửa sổ dự báo khác nhau
13
Hình 1.5
Tín hiệu điều khiển
u
khi
k
R và cửa sổ dự báo thay đổi
13
Hình 3.1 Minh họa định lý 3.2 43
Hình 3.2 Nguyên tắc làm việc của bộ quan sát tối ưu 48
Hình 3.3

Đáp ứng thời gian của bộ quan sát trạng thái tối ưu ứng với
2M = khi
hệ có và không có nhiễu đo
55
Hình 3.4

Đáp ứng thời gian của bộ quan sát trạng thái tối ưu ứng với các giá trị
khác nhau của

M
55
Hình 3.5

Đáp ứng thời gian của bộ quan sát trạng thái tối ưu ứng với
2M = sử
dụng thuật toán Levenberg-Marquardt và Gauss-Newton
56
Hình 3.6 Cấu trúc hệ điều khiển dự báo phản hồi đầu ra theo nguyên lý tách 57
Hình 3.7 Nguyên tắc làm việc của bộ điều khiển dự báo phản hồi đầu ra theo
nguyên lý tách
58
Hình 3.8 Minh họa nội dung định lý 3.4 62
Hình 4.1
Đáp ứng thời gian của các biến trạng thái
1
x
và
2
x
cho ví dụ 4.1
74
Hình 4.2 Tín hiệu điều khiển
u
cho ví dụ 4.1 74
Hình 4.3
Giá trị nhỏ nhất của hàm mục tiêu
k
J biểu diễn theo k
75

Hình 4.4

Trạng thái quan sát được so với trạng thái thực của hệ khi không có
nhiễu đo
83
Hình 4.5

Trạng thái quan sát được so với trạng thái thực của hệ khi có nhiễu
đo với kỳ vọng bằng không
83
Hình 4.6

Sai lệch trạng thái của
1
x khi nhiễu có kỳ vọng bằng không so
với nhiễu có kỳ vọng bằng 0.1
84
Hình 4.7

Trạng thái quan sát được so với trạng thái thực của hệ không ổn
định
85
Hình 4.8
Đáp ứng thời gian của biến trạng thái
1
x
cho ví dụ 4.3
89
Hình 4.9
Đáp ứng thời gian của biến trạng thái

2
x cho ví dụ 4.3
90
Hình 4.10 Tín hiệu điều khiển
u cho ví dụ 4.3 90
Hình 4.11
Minh họa việc áp dụng thuật toán đề xuất cho hệ song tuyến liên
tục
96


x
Danh mục các bảng

Bảng 3.1 Số các vòng lặp của thuật toán Levenberg-Marquardt và Gauss-
Newton với các giá trị khác nhau của
M

56
Bảng 4.1
Các giá trị riêng của ma trận
0
L tại một số thời điểm k
73
Bảng 4.2 Chỉ số sai lệch quan sát khi tăng cửa sổ quan sát 85

1
MỞ ĐẦU

Tính cấp thiết của đề tài luận án
Ba thập kỉ qua đã chứng kiến sự phát triển nhanh chóng của lĩnh vực điều khiển dự báo
trên cả khía cạnh nghiên cứu lý thuyết và ứng dụng thực tế. Hơn 30 năm qua, điều khiển dự
báo cho các hệ tuyến tính đã được áp dụng rộng rãi, đặc biệt là trong lĩnh vực điều khiển quá
trình. Tuy nhiên, các ứng dụng hiện nay thường yêu cầu các quá trình vận hành trong một dả
i
làm việc lớn và gần với các điều kiện biên, đồng thời phải thỏa mãn các ràng buộc cũng như
phải đạt được chất lượng gần tối ưu. Kết quả là các phương pháp điều khiển tuyến tính không
phải lúc nào cũng đem lại chất lượng như mong muốn và do đó dẫn đến việc phải áp dụng các
phương pháp điều khiển phi tuyến.
Đây là một trong những lí do mà điều khiển dự báo phi
tuyến được quan tâm đặc biệt trong những năm gần đây với rất nhiều bước tiến ở cả lĩnh vực
lý thuyết và ứng dụng. Ngoài ra, năng lực ngày càng tăng của các máy tính hiện có cũng như
sự phát triển không ngừng của các phương pháp giải số dành riêng cho điều khiển dự báo phi
tuyến đã mang đến khả
năng ứng dụng của nó cả cho các hệ động học biến đổi nhanh. Điều
này dẫn đến một loạt các sự phát triển mới đầy hấp dẫn, bên cạnh các thách thức mới trong
lĩnh vực điều khiển dự báo hệ phi tuyến, trong đó phải tính tới cả việc đưa ra được lời chứng
minh tính thỏa mãn nguyên lý tách của hệ kín phản hồi đầu ra khi ghép chung bộ
điều khiển
dự báo phản hồi trạng thái phi tuyến với bộ quan sát trạng thái, cũng như phải xây dựng được
thuật toán để giải bài toán tối ưu khi có ràng buộc về tín hiệu điều khiển, …. Các thách thức
này cũng chính là động cơ thúc đẩy đề tài nghiên cứu của luận án.
Mục tiêu và nhiệm vụ của luận án

Mục tiêu của luận án là giải quyết bài toán "Điều khiển dự báo phản hồi đầu ra theo
nguyên lý tách cho hệ phi tuyến
". Để thực hiện được mục tiêu này, luận án đặt ra hai nhiệm vụ
chính, bao gồm:
− Sử dụng hàm mục tiêu có cấu trúc biến đổi trong việc xây dựng bộ điều khiển dự báo
phản hồi trạng thái nhằm mở rộng tính linh hoạt của bộ điều khiển và hơn nữa là có thể
chuyển được bài toán điều khiển có điều kiện ràng buộc cho tín hiệu điều khiển cũng
như trạng thái về thành bài toán không ràng buộc.
− Xây dựng bộ quan sát trạng thái và từ đó là bộ điều khiển dự báo phản hồi đầu ra cho
hệ phi tuyến trên cơ sở sử dụng bộ quan sát trạng thái, cũng như khảo sát tính ổn định
của hệ kín thu được.

2
Phạm vi và đối tượng nghiên cứu của luận án
Phạm vi của luận án là nghiên cứu và đưa ra các kết quả cho điều khiển dự báo hệ phi
tuyến nói chung và hệ song tuyến (lớp hệ phi tuyến đặc biệt và phổ biến trong công nghiệp)
nói riêng. Các bài toán rất phổ biến hiện nay trong điều khiển dự báo, chẳng hạn như bài toán
ước lượng trạng thái hay bài toán ổn định hóa và bám ổn định quỹ đạo đặt cũng sẽ được giải
quyế
t. Tính ổn định của hệ điều khiển dự báo phản hồi trạng thái và phản hồi đầu ra được luận
án chứng minh dựa trên lý thuyết ổn định Lyapunov và ổn định ISS (
Input-to-State Stability).
Đặc biệt, với hệ song tuyến, khi được coi là vô số các hệ tuyến tính tham số hằng, thì lời giải
của bài toán tối ưu trong điều khiển dự báo có xét đến điều kiện ràng buộc của tín hiệu điều
khiển lại có thể được phát triển từ các kết quả quen thuộc của bài toán LQR (
Linear
Quadratic Regulator
) hay phương pháp quy hoạch động của Bellman nhờ việc sử dụng hàm
mục tiêu có tham số biến đổi.
Cấu trúc và những đóng góp của luận án

Luận án được bố cục với 4 chương chính. Sau phần giới thiệu chung về điều khiển dự
báo và những khái niệm lý thuyết cơ bản trong chương 1, chương 2 sẽ trình bày tổng quan về
các kết quả đã có của điều khiển dự báo phản hồi đầu ra dựa trên quan sát trạng thái, để từ đó
làm rõ hơn được những kết quả chính của luận án ở các chươ
ng sau. Các kết quả lý thuyết
phát triển thêm của luận án được trình bày ở hai chương 3 và 4. Cụ thể, chương 3 khảo sát
tính ổn định của hệ điều khiển dự báo phản hồi trạng thái với hàm mục tiêu của bộ điều khiển
có cấu trúc biến đổi và đề xuất sử dụng bộ quan sát tối ưu, từ đó phân tích tính ổn định theo
nguyên lý tách của hệ đi
ều khiển dự báo phản hồi đầu ra với bộ quan sát trạng thái tối ưu cho
hệ phi tuyến tổng quát. Các kết quả ở chương 3 sẽ được áp dụng cho riêng các hệ song tuyến
và được trình bày ở chương 4. Ngoài ra, trong chương 4 luận án cũng đưa ra một thuật toán
điều khiển dự báo phản hồi trạng thái cho hệ song tuyến mà có thể kết hợp với bộ quan sát
trạng thái tối ưu
để tạo thành hệ phản hồi đầu ra ổn định theo nguyên lý tách. Để làm rõ hơn
cho các đóng góp của luận án, một số ví dụ mô phỏng cũng sẽ được trình bày ở các chương 1,
3 và 4. Cuối cùng là các kết luận về kết quả đạt được của luận án và hướng phát triển tiếp
theo.
Luận án đã có các đóng góp cụ thể như sau:
− Phát biểu được một tiêu chuẩn ổn định cho hệ điều khiển dự báo phản hồi trạng thái hệ
phi tuyến mà ở đó hàm mục tiêu có cấu trúc biến đổi trong cửa sổ dự báo cũng như
theo sự dịch chuyển của cửa sổ dự báo trên trục thời gian.
− Xây dựng được bộ điều khiển dự báo phản hồi trạng thái cho hệ song tuyến và chứng
minh được tính ổn định tiệm cận của hệ kín thu được.
− Xây dựng được thuật toán quan sát trạng thái tối ưu cho hệ phi tuyến và điều kiện đủ để
bộ quan sát đó trở thành bộ quan sát có khoảng thời gian quan sát hữu hạn FTO (
Finite
Time Observer
).

3
− Phát biểu được điều kiện cần và đủ để hệ song tuyến là quan sát đều và xây dựng thuật
toán quan sát trạng thái tối ưu cho hệ song tuyến.
− Đưa ra điều kiện đủ để bộ điều khiển dự báo phản hồi đầu ra, xây dựng trên nền nguyên
lý tách, làm hệ phi tuyến nói chung và hệ song tuyến nói riêng là ổn định tiệm cận (với
bộ quan sát FTO) và ổn định ISS (khi luôn tồn tại sai lệch quan sát).



4
CHƯƠNG 1: GIỚI THIỆU CHUNG

1.1 Động cơ thúc đẩy đề tài
1.1.1 Hệ điều khiển dự báo
Điều khiển dự báo dựa theo mô hình (Model Predictive Control - MPC), hay gọi tắt là
điều khiển dự báo, đề cập đến một họ các phương pháp điều khiển sử dụng một mô hình toán
học để dự báo tín hiệu ra của đối tượng (quá trình) trong tương lai. Tại mỗi thời điểm trích
mẫu, thuật toán điều khiển dự báo sẽ tối ưu đáp ứng của hệ bằng cách tính toán ra dãy tín hiệu
điều khiển t
ương lai. Chỉ có thành phần đầu tiên của dãy tín hiệu điều khiển tối ưu này được
đưa tới đối tượng và toàn bộ chu trình tính toán sẽ được lặp lại tại các thời điểm trích mẫu tiếp
theo [12,33,48]. Nhờ khả năng xử lý trực tiếp các điều kiện ràng buộc của trạng thái và tín
hiệu vào/ra trong bài toán tối ưu nên điều khiển dự báo đã được áp dụng thành công trong rấ
t
nhiều lĩnh vực trên thực tế [43,45].

Hình 1.1: Nguyên lý làm việc của bộ điều khiển dự báo.

Hình 1.1 mô tả cấu trúc bên trong (hình 1.1a) và nguyên lý hoạt động (hình 1.1b) của hệ
điều khiển dự báo. Như vậy bộ điều khiển dự báo gồm có ba khâu chính:
− Khâu mô hình dự báo. Khâu này có nhiệm vụ xác định được dãy các giá trị đầu ra
tương lai thuộc cửa sổ dự báo hiện tại, tức là cửa sổ dự báo
[
)
,kk N+
tính từ thời điểm
hiện tại
k . Kết quả đầu ra của khâu dự báo này là giá trị đầu ra tương lai
, 0,1, , 1
ki
iN
+
=−…y dưới dạng các hàm phụ thuộc tín hiệu đầu vào tương lai trong
cùng cửa sổ dự báo , 0,1, , 1
ki
iN
+
=
−…u :
Khoảng dự báo tiếp theo
Khoảng dự báo hiện tại

Bộ điều khiển dự báo
ki+
y
{ }
k
w
k
y
*
k
u
ki+
e
k 1k + 1kN+−
t
Thời điểm hiện tại
b)a)
Mô hình
dự báo
Đối tượng
điều khiển
Tối ưu
hóa
Hàm mục
tiêu

5
11
(, , , ).
++ + +−

= …
ki ki k k kN
yyuu u
(1.1)
−
Khâu hàm mục tiêu. Đây là khâu xây dựng hàm mục tiêu:
()
J U với
(
)
11
,, ,
kk kN
col
+
+−
=U …uu u

cho bài toán tối ưu hóa, phục vụ việc xác định tín hiệu điều khiển tối ưu
*
k
u
. Nguyên
tắc xây dựng hàm mục tiêu này là khi có được nghiệm tối ưu của:
*
arg min ( ),
∈
=
N
U

J
U
UU
(1.2)
thì chất lượng điều khiển mong muốn sẽ được thỏa mãn, trong đó
N
U là tập các giá trị
tín hiệu điều khiển thích hợp. Chẳng hạn khi chất lượng điều khiển mong muốn là hệ
phải có tín hiệu ra
k
y
bám theo được dãy giá trị tín hiệu mẫu đặt
k
w
đặt trước, thì một
trong các hàm mục tiêu thích hợp sẽ là:
1
0
() ,
−
++ + +
=
∑
⎡⎤
=+
⎣⎦
N
TT
ki ki ki ki
i

JQRU ee uu (1.3)
trong đó
ki ki ki+++
=−ewy
và ,QR là các ma trận đối xứng xác định dương tùy chọn.
− Khâu tối ưu hóa là khâu thực thi bài toán tối ưu (1.2) nhờ một phương pháp tối ưu hóa
cụ thể. Trong số các giá trị tín hiệu điều khiển tối ưu tìm được trong cửa sổ dự báo hiện
tại:
()
*** *
11
,, , ,
++−
= …
kk kN
colU uu u

thì chỉ có phần tử đầu tiên của nó:
(
)
**
,, ,
k
I= ΘΘU…u
được sử dụng, trong đó I là ký hiệu của ma trận đơn vị và
Θ
là ma trận có tất cả các
phần tử bằng 0. Tại thời điểm 1k
+
tiếp theo, chu trình trên được thực hiện lặp lại (hình

1.1b).
Nếu bài toán điều khiển dự báo nêu trên có thêm điều kiện ràng buộc cho tín hiệu điều
khiển
k
u , tức là bài toán tối ưu (1.2) có ràng buộc U , thì người ta gọi đó là điều khiển dự báo
bị ràng buộc
, ngược lại nó sẽ được gọi là bài toán điều khiển không ràng buộc.
Bên cạnh đó, người ta còn phân biệt thêm giữa
điều khiển dự báo tuyến tính và điều
khiển dự báo phi tuyến
. Với điều khiển dự báo tuyến tính thì mô hình toán học được sử dụng
để dự báo động học của đối tượng là tuyến tính cũng như các điều kiện ràng buộc về trạng
thái và tín hiệu vào/ra là các tập lồi, thường cho dưới dạng các bất đẳng thức tuyến tính; đồng
thời hàm mục tiêu cần được tối thiểu hóa là hàm toàn phương. Nếu một trong các giả thiết
trên không đượ
c thỏa mãn thì ta gọi đó là bài toán điều khiển dự báo phi tuyến [17].
Với ưu điểm nổi trội là điều khiển được những hệ thống (quá trình) có các ràng buộc về
tín hiệu điều khiển (và còn có thể cả về trạng thái) nên ngay sau khi xuất hiện bộ điều khiển
dự báo đầu tiên do các kỹ sư công ty dầu khí Shell giới thiệu năm 1977, điều khiển dự
báo đã

6
được nghiên cứu, phát triển rất nhanh. Điểm qua ta có thể thấy chỉ trong một thời gian rất
ngắn, đã có khá nhiều phiên bản khác nhau của điều khiển dự báo được ra đời [43], chẳng hạn
như thuật toán điều khiển theo mô hình (
Model Algorithmic Control - MAC), phương pháp
ma trận động học điều khiển (
Dynamic Matrix Control - DMC), phương pháp điều khiển dự
báo tổng quát (
Generalized Predictive Control - GPC), điều khiển dự báo thích nghi khoảng

rộng (
Long Range Predictive Control - LRPC) của De Keyser năm 1988, bộ điều khiển dự
báo bền vững của Garcia năm 1989, điều khiển dự báo khoảng trượt với cực tiểu hóa hàm
mục tiêu toàn phương (
receding horizon predictive control) của Scattolini và Clarke năm
1991, điều khiển dự báo khoảng rộng toàn phương (
Long Range Quadratic Programming -
LRQP) của Sandoz năm 2000, điều khiển dự báo có ràng buộc (constrained predictive
control
) của Grim năm 2003, hay điều khiển dự báo nhiều chiều có ràng buộc cho tín hiệu đầu
vào của Warren và Marlin năm 2006, Một tổng quan tương đối đầy đủ về các phương pháp
điều khiển dự báo tuyến tính này đã được nghiên cứu sinh trình bày trong tài liệu [3].
Tuy nhiên, có thể thấy các phương pháp điều khiển dự báo nêu trên đều tập trung chủ
yếu cho bài toán điều khiển dự báo tuyến tính, trong khi các đối tượng trong thự
c tế đều ít
nhiều mang tính phi tuyến và hàm mục tiêu thường không ở dạng toàn phương cũng như các
ràng buộc thường gặp là phi tuyến. Bởi vậy, điều khiển dự báo hệ phi tuyến đã được đặc biệt
quan tâm và nghiên cứu nhiều trong những năm gần đây. Đó cũng chính là một trong những
động cơ thúc đẩy nghiên cứu đề tài "
Điều khiển dự báo phản hồi đầu ra theo nguyên lý tách
cho hệ phi tuyến
" của luận án.
1.1.2 Các hướng nghiên cứu của luận án
Để thực hiện đề tài "Điều khiển dự báo phản hồi đầu ra theo nguyên lý tách cho hệ phi
tuyến
", luận án đã đặt ra hai hướng nghiên cứu chính, gồm:
−
Xây dựng bộ điều khiển dự báo phản hồi đầu ra cho hệ phi tuyến trên cơ sở sử dụng bộ
quan sát trạng thái và khảo sát tính ổn định của hệ thu được.
−

Sử dụng hàm mục tiêu có cấu trúc biến đổi trong việc xây dựng bộ điều khiển dự báo
phản hồi trạng thái nhằm mở rộng tính linh hoạt của bộ điều khiển và hơn nữa là có thể
chuyển được bài toán điều khiển có điều kiện ràng buộc cho tín hiệu điều khiển cũng
như trạng thái về thành bài toán không ràng buộc.
A) Về phản hồi đầu ra
Thứ nhất là về hướng điều khiển phản hồi đầu ra. Mặc dù phát triển nhanh, song phần
lớn các đóng góp mang tính lý thuyết của điều khiển dự báo hệ phi tuyến đều dựa trên giả
thiết phải có đầy đủ thông tin về trạng thái bên trong của hệ. Giả thiết này thường không được
thỏa mãn trong thực tế, do không thể đo được tất cả các biến trạng thái củ
a đối tượng [17, 36].
Một giải pháp cho vấn đề này là sử dụng một bộ quan sát trạng thái để ước lượng các biến
trạng thái của đối tượng từ các tín hiệu vào/ra đo được rồi sau đó áp dụng các phương pháp
điều khiển dự báo phản hồi trạng thái đã có, hay nói cách khác là chuyển bài toán phản hồi

7
trạng thái thành bài toán phản hồi đầu ra [5]. Tất nhiên, vẫn có những công trình nghiên cứu
về điều khiển dự báo sử dụng phản hồi đầu ra trực tiếp mà không cần đến thông tin về trạng
thái bên trong của hệ, chẳng hạn [21, 41], song các phương pháp hiện có vẫn bộc lộ những
hạn chế về phương pháp luận và phạm vi ứng dụng.
Với những lý do trên, luận án sẽ tập trung gi
ải quyết bài toán quan sát trạng thái và bài
toán điều khiển dự báo phản hồi đầu ra dựa trên quan sát trạng thái cho hệ phi tuyến
.
Hơn thế nữa, các phương pháp điều khiển phản hồi đầu ra dựa trên quan sát trạng thái
cho các hệ phi tuyến nói chung và các hệ điều khiển dự báo nói riêng đều phải chỉ ra tính ổn
định của hệ kín dựa trên nguyên lý tách. Thậm chí, các phương pháp điều khiển dự báo hệ
tuyến tính cũng không đương nhiên thỏa mãn nguyên lý tách do sự có mặt của các điều kiện
ràng buộc [17].
Theo các tài liệu [17, 46] thì tính thỏa mãn nguyên lý tách có thể
được chứng minh dựa

trên ba xu hướng thiết kế sau:
1. Tách (
separation): Với xu hướng này, bộ điều khiển dự báo phản hồi trạng thái tĩnh vả bộ
quan sát trạng thái được thiết kế độc lập với nhau và việc ghép chung bộ điều khiển và bộ
quan sát này sẽ đảm bảo cho hệ kín ổn định.
2. Bộ điều khiển tách (
controller separation): Bộ điều khiển dự báo phản hồi trạng thái tĩnh
được thiết kế trước. Sau đó chọn một bộ quan sát thích hợp để khi ghép chung nó với bộ
điều khiển đã có thì hệ kín sẽ ổn định.
3. Bộ quan sát tách (
observer separation): Bộ quan sát trạng thái được thiết kế trước. Sau đó
chọn một bộ điều khiển dự báo phản hồi trạng thái tĩnh thích hợp sao cho khi ghép chung
nó với bộ quan sát đã có thì hệ kín sẽ ổn định.
Việc lựa chọn một trong ba xu hướng thiết kế nêu trên nhằm tạo ra
tính ổn định cho hệ
thống điều khiển dự báo phản hồi đầu ra theo nguyên lý tách
cũng chính là một trong những
động cơ thúc đẩy đề tài.
B) Về hàm mục tiêu có cấu trúc biến đổi
Thứ hai là về khả năng chuyển bài toán điều khiển dự báo có ràng buộc thành bài toán
điều khiển dự báo không ràng buộc nhờ sử dụng hàm mục tiêu có cấu trúc biến đổi.
Xét lại hàm mục tiêu (1.3), nay được viết lại thành:

,()=+
TT
J UEEUUQR (1.4)
với

(
)

11
( ), ( ), , , , .
+−
=== …
kk N
diag Q diag R colEQR ee e
Khi đó có thể nhận thấy với mô hình dự báo phi tuyến, do
E là hàm phi tuyến của U , nên
hàm mục tiêu (1.4) này không còn ở dạng toàn phương theo
U , thậm chí không phải là hàm
lồi, do đó chưa thể khẳng định được nghiệm
*
U của bài toán tối ưu (1.2) tìm được nhờ các
phương pháp tối ưu hóa sẽ là nghiệm toàn cục. Nói cách khác, khi áp dụng những phương

8
pháp quy hoạch phi tuyến, thì nghiệm
*
U
có thể chỉ mới là điểm cực trị của ()J U , chứ chưa
phải nghiệm đúng của (1.2).
Để tìm nghiệm toàn cục của (1.2), ta cần tới phương pháp điều khiển tối ưu, chẳng hạn
như phương pháp biến phân, hoặc quy hoạch động của Bellman [2], song các công thức tường
minh xác định
*
U
theo phương pháp điều khiển tối ưu này lại mới chỉ dừng lại cho trường
hợp không ràng buộc, do đó không thể áp dụng được khi bài toán điều khiển dự báo có thêm
các điều kiện ràng buộc cho tín hiệu điều khiển
k

u hoặc trạng thái
k
x .
Tuy nhiên, nếu nhìn lại cấu trúc hàm mục tiêu (1.4) ta sẽ thấy:
−
Khi R càng lớn, sự tham gia của thành phần
T
UUR
trong hàm mục tiêu ( )J U càng
cao, kéo theo khi có được ( ) minJ →
U , giá trị của U sẽ càng giảm. Điều đó đồng
nghĩa với việc càng tăng
R
, điều kiện ràng buộc:
maxk
u≤u (1.5)
càng dễ được thỏa mãn.
−
Nhưng nếu càng tăng R , gián tiếp sẽ càng làm cho sự tham gia của thành phần thứ
hai là
T
EEQ trong ( )J U lại càng giảm, kéo theo càng khó có được
0→E
, tức là chất
lượng bám tín hiệu mẫu
k
w đặt ở đầu vào càng xấu.
Tất nhiên ta càng không thể vừa tăng
R vừa tăng Q , vì như vậy tương quan về sự
tham gia của hai thành phần

T
UUR và
T
EEQ trong ( )J U sẽ không thay đổi.
Bởi vậy một ý tưởng dung hòa xuất hiện ở đây là ngay ban đầu (khi
k
nhỏ) ta chọn
R

đủ lớn để có
U đủ nhỏ sao cho với nó có được điều kiện ràng buộc (1.5). Khi điều kiện ràng
buộc (1.5) đã được thỏa mãn, ta sẽ giảm
R để thông qua đó làm tăng thêm sự tham gia của
thành phần sai lệch bám
T
EEQ trong ( )J U nhằm làm giảm sai lệch bám sau này. Tương tự ta
cũng có thể chọn
Q đủ nhỏ ban đầu, sau đó tăng dần Q theo k .
Với hai trường hợp thay đổi hai ma trận
R
hay Q theo thời gian k như trên, hàm mục
tiêu gốc ban đầu (1.4) trở thành:

,()=+
TT
kk
J UEEU UQR (1.6)
và ta sẽ gọi hàm mục tiêu "linh hoạt" này là
hàm mục tiêu có tham số biến đổi. Mở rộng hơn
nữa, ta có thể thay (1.6) bởi

hàm mục tiêu có cấu trúc biến đổi như sau:

1
0
() ( , ).
−
++ +
=
∑
=
N
ki ki ki
i
JgU eu (1.7)

9
Với hàm mục tiêu (1.7) có cấu trúc hàm
(, )
ki ki ki
g
+
++
eu
dưới dấu tổng thay đổi theo
k
một
cách thích hợp, thì thay vì tìm nghiệm bài toán tối ưu có ràng buộc (1.2), nghiệm bài toán tối
ưu không ràng buộc:

*

argmin ( )= JUU

được tìm nhờ các phương pháp điều khiển tối ưu (chẳng hạn nhờ các công thức nghiệm tường
minh của biến phân hay quy hoạch động) cũng sẽ vẫn thỏa mãn điều kiện ràng buộc (1.5) của
bài toán điều khiển dự báo.
Cuối cùng ta cũng cần lý giải cho việc sử dụng hàm mục tiêu có cấu trúc biến đổi (1.7)
thay cho hàm mục tiêu cố định (1.3) có làm mất đi tính tối
ưu của bài toán hay không. Câu trả
lời ở đây là mục đích của điều khiển dự báo luôn là đảm bảo chất lượng điều khiển đặt ra
(chẳng hạn điều khiển bám với ràng buộc cho trước), chứ không phải là điều khiển tối ưu, tức
là ở điều khiển dự báo ta có thể sử dụng nhiều hàm mục tiêu khác nhau, miễn rằng chúng
đảm
bảo được chỉ tiêu chất lượng ban đầu. Do đó việc sử dụng hàm mục tiêu có cấu trúc biến đổi
(1.7), tuy rằng không còn là bài toán tối ưu thuần túy, song lại đáp ứng được yêu cầu chất
lượng của điều khiển dự báo. Bởi vậy việc sử dụng hàm mục tiêu có cấu trúc biến đổi không
ảnh hưởng tới nhiệm vụ của điều khiển d
ự báo.
Như vậy, với việc sử dụng hàm mục tiêu có cấu trúc biến đổi (1.7), luận án đặt ra nhiệm
vụ là cần phải xác định những giả thiết cần thiết cho hàm ( , )
ki ki ki
g
+
++
eu dưới dấu tổng, sao
cho những kết quả đã có của điều khiển dự báo với hàm mục tiêu cố định vẫn đúng khi sử
dụng hàm mục tiêu có cấu trúc biến đổi (1.7). Nói cách khác, luận án đặt ra nhiệm vụ là
phải
xác định điều kiện đủ cho tính ổn định của hệ điều khiển dự báo phản hồi trạng thái có hàm
mục tiêu có cấu trúc biến đổi
.

Để minh họa ý nghĩa việc thay thế hàm mục tiêu cố định (1.4) bằng hàm mục tiêu có
tham số biến đổi (1.6) hoặc có cấu trúc biến đổi (1.7), nhằm chuyển bài toán điều khiển dự
báo có ràng buộc thành bài toán không bị ràng buộc, từ đó sử dụng được các phương pháp tối
ưu động thay vì quy hoạch phi tuyến, ta xét ví dụ ứng dụng sau. Đây cũng là một ứng dụng
thực tế của phương pháp đề xuất trong luận án đã được nghiên cứu sinh trình bày trong công
trình [CT5].
Ví dụ 1.1: Xét hệ truyền động qua một cặp bánh răng, mô tả bởi mô hình liên tục:

22
11 1 1 12 2 1
22
22 2 2 211 2
cos ( )
cos ( )
LL dms
LL cms
Jcr i MM
Jcr i MM
ϕαϕϕ
ϕαϕϕ
⎧
++=−
⎪
⎨
−+=−
⎪
⎩





(1.8)
trong đó:
−

L
α
góc ăn khớp của hai bánh răng, và cũng là đại lượng đánh giá khe hở giữa các bánh
răng. Khi hai bánh răng tiêu chuẩn và không có độ dịch tâm, thì góc ăn khớp
0
20
L
αα
== . Với hệ có khe hở thì 18° ≤
α
L
≤ 25°,

10
−

c
là đại lượng đánh giá độ cứng của bánh răng. Giá trị
c
càng nhỏ, độ mềm dẻo của
bánh răng càng lớn và
0
c
c
⎧

=
⎨
⎩

ë chÕ ®é ¨n khíp
ë chÕ ®é khe hë,


−
12
,,
d
JJJ lần lượt là moment quán tính của động cơ, bánh răng 1 và bánh răng 2 và
11
,=+
d
JJJ
−
c
M là moment cản, bao gồm cả moment tải,
d
M là moment đặt ở đầu vào,
−
12
,
ms ms
MM là moment ma sát trong các ổ trục bánh răng,
−
12
,

LL
rr là bán kính lăn tương ứng của hai bánh răng (bán kính ngoài),
−
112 2
,
ω
ϕω ϕ
==

là vận tốc góc tương ứng của hai bánh răng,
−
12
i
là tỷ số truyền từ bánh răng 1 sang bánh răng 2, tức là
2211
i
ϕ
ϕ
=
,
1
21 12
ii
−
= .
Dưới một số giả thiết bổ sung, mô hình trên sẽ chuyển được về thành:

1
,
T

kkk
kk
Au
y
+
=+
⎧
⎪
⎨
=
⎪
⎩
xxb
cx

và mô hình này sẽ được ta sử dụng làm mô hình dự báo, trong đó:

222 2
col( , , ), , ,
ϕ
ϕϕ ϕ
===
   
d
uMyx

0
,
a
a

T
AT
At
Ae e dt
∫
==



bb với
a
T là chu kỳ trích mẫu, và

123
111 2 22
22 1 2 2
11 2 2 32241222
14 112
14 13 112
13 13
14 13
010 0 1
001, 0, 0,
0
, ,
cos , cos , , ,
11
,
θ
ϕϕ

θαθ αθθθθ
θθ
θθ θθθ
θθ
θθ
−
⎛⎞
⎛⎞
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
===
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎝⎠
⎝⎠
=−=−
====
−
⎛
==− +−
+





g
ms c ms
LL L L
gf
A
aaa
MbMM b
cr cr J i b
bi
bJi
JJ
Jb
bc
1
2
3
.
⎞⎛⎞
⎜⎟⎜⎟
=
⎜⎟⎜⎟
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
a
a
a

Từ mô hình dự báo trên và hàm mục tiêu có tham số biến đổi tương ứng (1.6), lúc này

được viết lại thành:

()()
()
,
()
2
=+
=− − +
−+
T
T
kk
TT TT
kk kk
J UU UUU
UU U
AQ A R
QQA AQAR
υυ
υυυ

trong đó:

11

()
11 1122
,, , , ( , , , ),
(), (),

T
T
k k kN k k k k kN kN
kkkk
uu u w y w y w y
diag Q diag R
++− ++++ ++
==−−−
==
UE
QR
……


1
12
,
00
0
,
+
+
−−
⎛⎞
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
=−
⎜⎟
⎜⎟

⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎝⎠
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
=
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠





T
T
T
TT
TT T
k
k
N
kN
NN
wA
w
A

A
AA
A
c
x
c
cb
cb cb
cbcb cb
υ

có ,
kk
QR∈∈RR được chọn sao cho điều kiện bị chặn cho trước:

30
k
u ≤
được thỏa mãn.
Từ đây ta có ngay tín hiệu điều khiển tối ưu là:

()
()
*
arg min ( )
arg min 2
1
.
=
⎡⎤

=+−
⎣⎦
−
=+
k
TT T
kk k
TT
kk k
JUU
UAQARU QAU
AQA R AQ
υ
υ

Các hình từ hình 1.2 đến hình 1.5 là kết quả mô phỏng tín hiệu đầu ra và tín hiệu điều
khiển thu được với tín hiện đặt 1,
k
wk
=
∀ , chu kỳ trích mẫu 0.2
a
T
=
, các tham số
2
11a
=
− ,
13

6, 1
g
aa
θ
==− = và 10
k
Q = cho các trường hợp khác nhau về cửa sổ dự báo
5, 50NN==, cũng như các tham số
2
42
10
{ 3.10 , 10 , }
2
k
k
R
−
−−
∈ của hàm mục tiêu.
Những kết quả mô phỏng ở các hình 1.2 và hình 1.3 một lần nữa cho thấy khi
k
R giảm
dần (đường nét liền), tín hiệu ra bám được theo tín hiệu đặt mà vẫn đảm bảo thỏa mãn điều
kiện ràng buộc của tín hiệu điều khiển
30
k
u
≤
. Trong khi đó nếu giữ nguyên const
k

R
=

(đường nét gạch) thì
k
R phải được chọn đủ nhỏ nhằm tạo ra tín hiệu điều khiển đủ lớn mới có
thể đưa hệ thống bám được tín hiệu đặt. Điều này dẫn đến việc ở những thời điểm đầu tiên,
điều kiện ràng buộc của
k
u bị vi phạm.

12
0 1 2 3 4 5 6 7 8
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
Time, sec
Output


R=0.01(0.5)
k
R=0.0003

Hình 1.2: Tín hiệu ra

y
khi
const
k
R =
và biến đổi.
0 1 2 3 4 5 6 7 8
-40
-20
0
20
40
60
80
100
Time, sec
Control


R=0.01(0.5)
k
R=0.0003
constraint

Hình 1.3: Tín hiệu điều khiển u khi const
k
R = và biến đổi.

13
0 1 2 3 4 5 6 7 8

0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
Time, sec
Output


R=0.01(0.5)
k
, N=5
R=0.01, N=5
R=0.01, N=50

Hình 1.4: Tín hiệu ra y ứng với của sổ dự báo khác nhau.
0 1 2 3 4 5 6 7 8
-10
0
10
20
30
Control


R=0.01(0.5)
k

, N=5
0 1 2 3 4 5 6 7 8
-10
0
10
20
30
Control


R=0.01, N=5
0 1 2 3 4 5 6 7 8
-10
0
10
20
30
Control
Time, sec


R=0.01, N=50

Hình 1.5: Tín hiệu điều khiển u khi
k
R và cửa sổ dự báo thay đổi.

Ngoài ra, ưu điểm của việc sử dụng hàm mục tiêu có tham số biến đổi so với hàm mục
tiêu có tham số cố định còn được thể hiện qua kết quả mô phỏng ở các hình 1.4 và hình 1.5.
Để không vi phạm điều kiện ràng buộc của

k
u thì việc giữ nguyên const
k
R = lại không thể
đem lại chất lượng bám tốt, kể cả khi tăng cửa sổ dự báo. Cụ thể, ở hình 1.4 sai lệch bám của
hệ thống ứng với
2
10 ,
k
R
−
= 50N
=
(đường chấm gạch) tuy nhỏ hơn sai lệch bám ứng với
2
10 ,
k
R
−
= 5N =
(đường nét gạch) nhưng vẫn không thể tốt bằng trường hợp
2
10 2
k
k
R
−
=

và

5N =
(đường nét liền). Mặt khác, hạn chế của việc tăng N là làm tăng khối lượng tính
toán của bộ điều khiển trong một chu kỳ trích mẫu.

14
Nói cách khác, kết quả mô phỏng trên đã xác nhận một lần nữa khẳng định là thông qua
việc thay đổi tham số
,
kk
QR
của hàm mục tiêu một cách thích hợp ta hoàn toàn vẫn có thể
giữ nguyên được chất lượng điều khiển đặt ra ban đầu, song lại có thể chuyển bài toán thiết kế
bộ điều khiển dự báo có ràng buộc thành bài toán không bị ràng buộc.
1.2 Cơ sở lý thuyết
Như được đề cập ở mục 1.1, luận án đặt ra nhiệm vụ là phải xác định điều kiện đủ cho
tính ổn định của hệ điều khiển dự báo phản hồi trạng thái và phản hồi đầu ra. Do đó, trong
mục này, các kết quả lý thuyết về tính ổn định Lyapunov và ổn định ISS (
Input-to-State
Stability
) cho hệ thống phi tuyến không liên tục sẽ được nhắc lại.
1.2.1 Tính ổn định Lyapunov
Nói đến phân tích chất lượng động học hệ phi tuyến không thể không nhắc tới lý thuyết
Lyapunov mà nền tảng của nó là khái niệm ổn định, ổn định tiệm cận Lyapunov cũng như tiêu
chuẩn kiểm tra tính ổn định của hệ.
Định nghĩa 1.1: Xét hệ phi tuyến tự trị (không bị kích thích), không dừng, cân bằng tại gốc
tọa độ và có mô hình không bị kích thích
:

1
(,)

kk
k
+
=xfx với ( , ) ,k
=
00
f

0.
∀
≥k
(1.9)
Khi đó hệ sẽ được gọi là:
a)
Ổn định tại
0
k , nếu với mọi 0
ε
> bao giờ cũng tồn tại
(
)
0
,k
δε
sao cho quỹ đạo
trạng thái tự do
(
)
0
,

k
k=Φ
f
xx của nó, tức là nghiệm của (1.9), với điều kiện đầu
0
∈Ox
, trong đó
O
là một miền hở nào đó chứa gốc tọa độ, thỏa mãn:
(
)
00
,k
δε
<x ⇒
k
ε
<
x ,
0
.
∀
≥kk
b)
Ổn định tiệm cận tại
0
k
, nếu nó ổn định và còn có
lim
k

k→∞
=
0x
.
Trước khi đưa ra điều kiện đủ để hệ (1.9) ổn định, ta cần có một số khái niệm sau.
Định nghĩa 1.2:
a) Một hàm thực
(
)
r
γ
với 0r ≥ được gọi là thuộc lớp K nếu nó đơn điệu tăng và
(
)
00.
γ
= Nếu còn có
(
)
lim
r
r
γ
→∞
=
∞ thì hàm
(
)
r
γ

được gọi là thuộc lớp
∞
K .
b) Một hàm thực
()
k
δ
với 0k ≥ được gọi là thuộc lớp L nếu nó đơn điệu giảm và
(
)
lim 0.
k
k
δ
→∞
=
c)
Một hàm thực, liên tục
(
)
,rk
β
với ,0rk≥ được gọi là thuộc lớp
KL
nếu khi k cố
định thì nó thuộc lớp
K còn khi r cố định thì nó thuộc lớp L .

15
Định lý sau đây phát biểu tiêu chuẩn ổn định Lyapunov.

Định lý 1.1 [23]: Xét hệ phi tuyến không bị kích thích và cân bằng tại gốc mô tả bởi (1.9). Ký
hiệu
(
)
,Vkx là hàm trơn thỏa mãn:

(
)
(
)
(
)
12
,
kk k
Vk
γγ
≤≤xx x
với
12
,
γ
γ
∈
K
,
0
,
∀
≥kk

và
O
là một miền hở nào đó chứa gốc tọa độ, cũng như:

(
)
(
)
(
)
1
,1 , ,.
+
Δ= +− ≤−
kkk
VV k V k W kxxx
a)
Nếu
(
)
,0
k
Wk≥x
,
k
∀∈Ox
và
0
kk

∀
≥
thì hệ sẽ ổn định tại
0
.k

b)
Nếu
(
)
(
)
3
,
kk
Wk
γ
≥xx,
k
∀
∈Ox ,
0
kk
∀
≥ và
3
γ
∈
K thì hệ sẽ ổn định tiệm cận
tại

0
k với miền ổn định O và khi đó
(
)
,
k
Vkx sẽ được gọi là hàm Lyapunov
(Lyapunov function - LF)
.
c)
Nếu hệ ổn định hoặc ổn định tiệm cận thì cũng sẽ có
(
)
lim , 0
k
k
Wk
→∞
=x .
1.2.2 Tính ổn định ISS
Khái niệm ổn định ISS liên quan tới hệ bất định, có mô hình không bị kích thích:

1
(,,),
+
=
kkk
kxfxd (1.10)
trong đó
k

d là tín hiệu bất định, tác động không mong muốn vào hệ. Khái niệm này được
hiểu như sau:
Định nghĩa 1.3: Xét hệ phi tuyến không dừng (1.10) cân bằng tại gốc, tức là:
(,,) , 0.
=∀≥00 0kk
f

Hệ sẽ được gọi là ổn định ISS nếu tồn tại một hàm
(
)
,zk
β
thuộc lớp KL và một hàm
()
z
γ
thuộc lớp
K
sao cho với mọi tín hiệu bất định
k
d thỏa mãn
k
∞
<∞d và mọi trạng
thái đầu
0
x tùy ý, được hiểu là giá trị trạng thái của hệ khi
0
kk
=

, luôn có:

(
)
(
)
(
)
000
,, , .
βγ
∞
≤−+
kk k
kkkxxd x d
Với định nghĩa như trên thì khi hệ bất định (1.10) là ổn định ISS, mọi quỹ đạo trạng thái
tự do của hệ, không phụ thuộc vào thành phần bất định
k
∞
<
∞d tác động vào hệ, luôn tiến
về được một lân cận của gốc tọa độ
O
có kích thước (bán kính) là
(
)
k
γ
∞
d . Như vậy, ta có

thể thấy ngay được rằng trong trường hợp
k
d không phải là tín hiệu bất định, mà lại là tín
hiệu vào
k
u của hệ, tức là:

1
(,,),
+
=
kkk
kxfxu (1.11)