CHUYÊN đề THỂ TÍCH KHỐI đa DIỆN

Chuyên đề :
THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN


LẠI VĂN LONG TRƯỜNG THPT LÊ HỒN

Thông thường bài toán về hình chóp được phân thành 2 dạng như sau:
Cho hình chóp

Hình chóp có cạnh bên vuông góc với

Hình chóp đều

mp đáy

S
S

A
C

A

O
B

B

- Hình chóp tam giác đều

Đa giác đáy :

− Tam giác vuông
− Tam giác cân
− Tam giác đều
− Hình vuông, chữ nhật

ng 01

C

- Hình chóp tứ giác

Tra


 HỆ THỐNG KIẾN THỨC CƠ BẢN
A.Các Tính Chất :
1. Tam giác thường:
− Diện tích của tam giác
1
2

A
* S∆ABC = . AB. AC.sin µ ;

A

h

1
S ∆ABC = .BC. AH

2
B

2. Các tam giác đặc biệt :
a. Tam giác vuông :

+ Định lý pitago: BC 2 = AB 2 + AC 2
+ Tỷ số lượng giác trong tam giác vng

A

µ
sin B =

b

c

µ
tan B =

C

H

Đối b
=
Kề c

C

a

B

Đối
b
=
Huyền a

µ
; cos B =

Kề
c
= ;
Huyền a

1
2

+ Diện tích tam giác vng: S∆ABC = . AB. AC
A

b. Tam giác cân:
+ Đường cao AH cũng là đường trung tuyến
1

µ
+ Tính đường cao và diện tích : AH = BH .tan B , S∆ABC = .BC. AH

2
B

C

H

c. Tam giác đều:

A

+ Đường cao của tam giác đều : h = AM = AB.
+ Diện tích : S∆ABC = ( AB)2 .

3
4

2. Tứ giác
a. Hình vng
A

3
3
( đường cao h = cạnh x
)
2
2
G
C

B

B

M

+ Diện tích hình vng : S ABCD = ( AB)2 ( Diện tích bằng cạnh

bình phương)
+ Đường chéo hình vuông AC = BD = AB. 2
+ OA = OB = OC = OD ( đường chéo hình vng bằng

O

cạnh x 2 )
D

C

A

B

b. Hình chữ nhật
O
D

C

+ Diện tích hình vng : S ABCD = AB. AD ( Diện tích bằng dài nhân rộng)
+ Đường chéo hình chữa nhật bằng nhau và OA = OB = OC = OD
B. Thể Tích Khối Chóp:

Trang 02
1
3

S

+ Thể tích khối chóp : V = .B.h
Trong đó :B là diện tích đa giác đáy , h : là đường cao của

h

hình chóp
A

C
H
B

 Các khối chóp đặc biệt :
a. Khối tứ diện đều:
+ Tất cả các cạnh đều bằng nhau

A

+ Tất cả các mặt đều là các tam giác đều
+ O là trọng tâm của tam giác đáy Và AO ⊥ (BCD)

D

B

O

S

M
C

b. Khối chóp tứ giác đều
+ Tất cả các cạnh bên bằng nhau
A

B

+ Đa giác đáy là hình vng tâm O
+ SO ⊥ (ABCD)
 LIÊN QUAN ĐẾN GÓC

D

O
C

Trong chương trình Toán phổ thông , Hình học Không gian được phân phối học ở cuối
năm lớp 11 và đầu năm lớp 12, kiến thức về góc ( góc giữa đường thẳng và mặt phẳng ;
góc giữa hai mặt phẳng) được học vào cuối năm lớp 11 và đến đầu năm lớp 12 sẽ được
vận dùng vào bài toán tính thể tích của khối

chóp, khối lăng trụ. Đó là một vấn đề rất khó đối với học sinh lớp 12 khi vận dụng vì đa
số học sinh quên và không biết cách vận dụng


Ở đây, tôi hệ thống lại một số sai lầm mà học sinh thường gặp khi giải bài toán tính thể
tích liên quan đến giả thuyết về góc
Góc

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Góc giữa hai mặt phẳng
S

S

A

C

A

C
O

B

Trang 03

M
B

µ
* ∆ SAB vng tại A có AB= a, B = 450

Xác định Góc giữa SB và (ABC)
Ta có : AB = hc SB
( ABC )

·
·
·
⇒ ( SB, ( ABC )) = ( SB, AB) = SBA

Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có tam giác
ABC vng tại B, AB = a, ·
ACB = 600 , cạnh bên
SA vng góc với mặt phẳng đáy và SB tạo
với mặt đáy một góc bằng 450 .Tính thể tích
khối chóp S.ABC
Giải
 Phân tích cho học sinh hiểu đề bài và
hướng dẫn học sinh vẽ hình:
− Vẽ tam giác đáy, vẽ đường cao
SA ⊥ (ABC) và vẽ thẳng đứng
− Xác định góc giữa SB và (ABC)
là góc giữa SB với hình chiếu
của nó lên (ABC)
 Lời giải:
* Ta có :AB = a , AB = hc SB ⇒
( ABC )

⇒ SA = AB.tan 45o = a
1
1 a2. 3
a3. 3
* VS . ABC = .S ABC .SA = .
.a =
3
3 6
18

Bài 2:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD
là hình vng cạnh a, cạnh bên SA
vng góc với mặt
phẳng đáy và SC tạo với mặt đáy một
góc bằng 600 .Tính thể tích khối chóp
S.ABCD
Giải
Xác định góc giữa (SBC) và (ABC)
Ta coù : (SBC) ∩ (ABC) = BC
SM ⊥ BC, AM ⊥ BC
·
·
·
⇒ (( SBC ), ( ABC )) = ( SM , AM ) = SMA

Trang 04
Chú ý : Xác định hai đường thẳng
S

nằm trong hai mặt phẳng và cùng
vuông góc với giao tuyến tại một điểm

·
·
·
( SB, ( ABC )) = ( SB, AB ) = SBA = 45o

* ∆ ABC vng tại B có AB = a, ·
ACB = 600
⇒ BC =

AB
a
a 3
=
=
0
tan 60
3
3

2
⇒ S∆ABC = 1 BA.BC = 1 .a. a 3 = a . 3
2
2
3
6

A

B
60

D

C


S

A

60

45
B

C


 Phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình:
− Vẽ tam giác đáy, vẽ đường cao SA ⊥ (ABC) và vẽ thẳng đứng
− Xác định góc giữa SC và (ABCD) là góc giữa SC với hình chiếu AC của SC lên
(ABCD)
 Lời giải:
·
·
·
* Ta có : ABCD là hình vng cạnh a , AC = hc SC ⇒ ( SC ,( ABCD)) = (SC , AC ) = SCA = 60o ,

( ABCD )
SABCD = a 2
µ
* ∆ SAC vng tại A có AC= a 2 , C = 600 ⇒ SA = AC.tan 60o = a 6

* VS . ABCD

1
1 2
a3. 6
= .S ABCD .SA = .a .a 6 =
3
3
3

Bài 3:
Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vng tại B, AB = a 3 , BC = a, cạnh bên SA
vuông góc với mặt phẳng đáy ; mặt bên (SBC) tạo với mặt đáy (ABC) một góc bằng 600
.Tính thể tích khối chóp S.ABC
Giải

S

 Sai lầm của học sinh:
− Gọi M là trung điểm BC
− Ta có AM ⊥ BC , SM ⊥ BC

·
·
·

⇒ (( SBC ), ( ABC )) = ( SM , AM ) = SMA = 60o

C
60

A

M
B

h vẽ sai)
 Lời giải đúng:
S

(Hìn

* Ta có : AB = a 3 , (SBC) ∩ (ABC) = BC
AB ⊥ BC ( vì ∆ ABC vng tại B)
·
·
SB ⊥ BC ( vì AB = hc SB ) ⇒ (( SBC ),( ABC )) = (·SB, AB) = SBA = 60o
( ABC )
* ∆ ABC vng tại B có AB = a 3 ,BC =a

A

C

60
B

2
⇒ S∆ABC = 1 BA.BC = 1 .a 3.a = a . 3
2
2
2
µ
* ∆ SAB vng tại A có AB= a, B = 600 ⇒ SA = AB.tan 60o = 3a

1
3

1 a2 . 3
a3 . 3
.3a =
3 2
2

*: VS . ABC = .S ABC .SA = .
 Nhận xét:

− Học sinh khơng lý luận để chỉ ra góc nào bằng 60o , do đó mất 0.25 điểm


− Học sinh xác định góc giữa hai mặt phẳng bị sai vì đa số học sinh khơng nắm rõ cách
xác
định góc và cứ hiểu là góc SMA với M là trung điểm BC
o Nếu đáy là tam giác vuông tại B (hoặc C), hình vng và SA vng góc với đáy thì
góc giữa mặt bên và mặt đáy sẽ là góc được xác định tại một trong hai vị trí đầu
mút của cạnh giao tuyến

Trang 05
o Nếu đáy là một tam giác cân (đều) và SA vng góc với đáy hoặc là hình chóp đều
thì góc giữa mặt bên và mặt đáy là góc ở tại vị trí trung điểm của cạnh giao tuyến.

Bài 4:
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, cạnh BC = a 2 , cạnh bên
SA vng góc với mặt phẳng đáy ; mặt bên (SBC) tạo với mặt đáy (ABC) một góc bằng
450 .Tính thể tích khối chóp S.ABC
Giải
·SBC ), ( ABC )) = SBA = 45o
·
 Sai lầm của học sinh: ⇒ ((
 Lời giải đúng:
S

* Ta có : AB = a 3 , (SBC) ∩ (ABC) = BC
Gọi M là trung điểm BC
AM ⊥ BC ( vì ∆ ABC cân tại A)
AM = hc SM
⊥
BC
(
vì
( ABC )
C SM

· A
·45
·
(( SBC ), ( ABC )) = ( SM , AM ) = SMA = 45o

M
* ∆ ABC vng cân tại A có ,BC = a 2
B
a 2
AM =
2
1
1
a2
⇒ S∆ABC = AB. AC = .a.a =
2
2
2
a 2 ¶
a 2
* ∆ SAM vng tại A có AM=
, M = 450 ⇒ SA = AB.tan 45o =
2
2
1
3

1 a 2 a 2 a3 . 2
.
=
3 2 2
12

* VS . ABC = .S ABC .SA = .

 Nhắc lại cách xác định góc :
1. Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P):
a. Tìm hình chiếu d/ của d lên mặt phẳng (P)
b.

Khi đó góc giữa d và (P) là góc giữa d và d/

⇒
⇒ AB = BC = a và


Bài 5 : Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vng, SA vng góc với (ABCD) và góc
giữa SC với (ABCD) bằng 450. Hãy xác định góc đó.
S

Giải
·
·
·
Ta có : AC = hc( ABCD ) SC ⇒ (SC ,( ABCD )) = (SC , AC ) = SCA = 45o
A

2. Góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) :
c. Xác định giao tuyến d của (P) và (Q)

B

O

D

45
C

d.

Tìm trong (P) đường thẳng a ⊥ (d) , trong mặt phẳng (Q) đường thẳng b ⊥ (d)

e.

Khi đó góc giữa (P) và (Q) là góc giữa hai đường thẳng a và b
Trang 06

S
Bài 6 : Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có ABCD là hình vng, và góc giữa mặt bên với
mặt đáy bằng 600. Hãy xác định góc đó.
Giải
Gọi M là trung điểm BC
Ta có : (SBC) ∩ (ABCD) = BC
A
(ABCD) ⊃ AM ⊥ BC
60
(SBC) ⊃ SM ⊥ BC ( vì AM = hc SM )
( ABCD )
M

O

·
·

·
⇒ (( SBC ), ( ABCD)) = ( SM , AM ) = SMA = 60o

B

C

Bài 7 :
Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại B, AB = a 2 , AC = a 3 , cạnh bên SA
vng góc với mặt phẳng đáy và SB = a 3 .Tính thể tích khối chóp S.ABC
S

Giải
 Phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình:
− Vẽ tam giác đáy, vẽ đường cao SA ⊥ (ABC) và vẽ thẳng đứng
− Sử dụng định lý pitago trong tam giác vng
 Lời giải:
Ta có : AB = a 2 , AC = a 3 ,SB = a 3 .

C

A

1
1
a2. 2
* ∆ ABC vuông tại B nên BC = AC 2 − AB 2 = a ⇒ S∆ABC = BA.BC = .a 2.a =
2

* ∆ SAB vuông tại A có SA = SB 2 − AB 2 = a

* VS . ABC

2

B

2
1
1 a . 2
a3 . 2
= .S ABC .SA = .
.a =
3
3 2
6
2


Bài 8 :
Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông cân tại B, AC = a 2 , cạnh bên SA vng
góc với mặt phẳng đáy và SB = a 3 .Tính thể tích khối chóp S.ABC
Giải
 Phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình:
− Vẽ tam giác đáy, vẽ đường cao SA ⊥ (ABC) và vẽ thẳng đứng
− Tam giác ABC vuông , cân tại B nên BA = BC và sử dụng định lý pitago trong tam
S
giác vuông
 Lời giải:
Ta có : AC = a 2 , SB = a 3 .

* ∆ ABC vuông, cân tại B nên BA = BC =
C

A

AC 2
=a
2

B

Trang 07
⇒ S∆ABC =

2

1
1
a
BA.BC = .a.a =
2
2
2

* ∆ SAB vng tại A có SA = SB 2 − AB 2 = a
* VS . ABC

1
1 a2
a3

= .S ABC .SA = . .a =
3
3 2
6

Bài 9 :
Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC đều cạnh 2a, cạnh bên SA vng góc với mặt
phẳng đáy và
SB = a 5 .Tính thể tích khối chóp S.ABC
Giải
 Phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình:
− Vẽ tam giác đáy, vẽ đường cao SA ⊥ (ABC) và vẽ thẳng đứng
− Tam giác ABC đều có ba góc bằng 600 và sử dụng định lý pitago trong tam giác
vuông SAB
 Lời giải:
S

* ∆ ABC đều cạnh 2a nên AB = AC = BC = 2a
⇒ S∆ABC = 1 BA.BC.sin 600 = 1 .2a.2a. 3 = a 2 . 3
2
2
2
C

A
B


* ∆ SAB vng tại A có SA = SB 2 − AB 2 = a
1

3

1
3

* VS . ABC = .S ABC .SA = .a 2 . 3.a =

a3 . 3
3

Bài 10:
·
Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC cân tại A, BC = 2a 3 , BAC = 1200 ,cạnh bên SA
vng góc với mặt phẳng đáy và SA =2a.Tính thể tích khối chóp S.ABC

Giải
 Phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình:
− Vẽ tam giác đáy, vẽ đường cao SA ⊥ (ABC) và vẽ thẳng đứng
− Tam giác ABC cân tại A và Â = 1200
 Lời giải:
·
 * ∆ ABC cân tại A, BAC = 1200 , BC = 2a 3 ,AB = AC = BC = 2a
S

BM
a 3
=
=a
Xét ∆ AMB vng tại M có BM = a 3 , Â = 600 ⇒ AM =
0

tan 60

⇒ S∆ABC =

*

VS . ABC

1
1
AM .BC = .a.2a 3 = a 2 . 3 , SA = a
2
2
1
1 2
a3. 3
= .S ABC .SA = .a . 3.a =
3
3
3

3

C
A

M
B

Trang 08

Bài 11:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a 2 , cạnh bên SA vng
góc với mặt phẳng đáy và SC = a 5 .Tính thể tích khối chóp S.ABCD
Giải
 Phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình:
− Vẽ đáy là hình vng ( vẽ như hình bình hành), cao SA ⊥ (ABCD) và vẽ thẳng
đứng
− ABCD là hình vng ; sử dụng định lý pitago trong tam giác vng
S
 Lời giải:

Ta có : ABCD là hình vng cạnh a 2 , SC = a 5
* SABCD = ( a 2 ) = 2a 2
2

* Ta có : AC = AB. 2 = a 2. 2 = 2a
∆ SAC vuông tại A ⇒ SA = SC 2 − AC 2 = a

A

D

B

C


* VS . ABCD

1

1 2
2a 3
= .S ABCD .SA = .2a .a =
3
3
3

Bài 12:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng, cạnh bên SA vng góc với mặt
phẳng đáy và
SA= AC = a 2 .Tính thể tích khối chóp S.ABCD
Giải
 Phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình:
− Vẽ đáy là hình vng ( vẽ như hình bình hành), cao SA ⊥ (ABCD) và vẽ thẳng
đứng
− Biết AC và suy ra cạnh của hình vng (Đường chéo hình vng bằng cạnh nhân
với 2 )
 Lời giải:
S
Ta có : SA = AC = a 2
* ABCD là hình vng :AC = AB. 2 ⇒ AB =
1
3

1
3

* VS . ABCD = .S ABCD .SA = .a 2 .a. 2 =

AC

=a
2

; SABCD = a 2 , SA = a 2

a3. 2
3
A

Trang 09

D

B

C

Bài 13:
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a 3 , cạnh bên bằng 2a.Tính thể
tích khối chóp S.ABC
Giải
 Phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình:
− Hình chóp tam giác đều có đáy là tam giác đều tâm O
+ Gọi M là trung điểm BC
+ O là trọng tâm của tam ABC


+ AM là đường cao trong ∆ ABC
− Đường cao của hình chóp là SO ( SO ⊥ (ABC))
 Lời giải:

* S.ABC là hình chóp tam giác đều
Gọi M là trung điểm BC
∆ ABC đều cạnh a 3 , tâm O
SO ⊥ (ABC) , SA=SB=SC = 2a

S

*

A

2
2 3a
AO= . AM = O = a
.
3
3 2
M
B

∆

ABC

đều

cạnh

⇒

a 3

AM

=

a 3.

3 3a
=
2
2

⇒

C
2
⇒ S∆ABC = 1 AB. AC.sin 600 = 1 .a 3.a 3. 3 = 3a . 3
2
2
2
4

* ∆ SAO vng tại A có SO = SA2 − AO 2 = a. 3
* VS . ABC


1
1 3a 2 3
a3 . 3

= .S ABC .SA = .
.a =
3
3
4
4

Nhận xét: học sinh thường làm sai bài tốn trên
− Học sinh vẽ “sai” hình chóp tam giác đều vì
+ khơng xác định được vị trí điểm O
+ khơng hiểu tính chất của hình chóp đều là SO ⊥ (ABC)
+ khơng tính được AM và khơng tính được AO
− Tính tốn sai kết quả thể tích

Bài 14:
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a, cạnh bên bằng a 3 .Tính thể
tích khối chóp S.ABCD
Giải
 Phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình:

S

Trang 10
− Hình chóp tứ giác đều có :
+ đa giác đáy là hình vng ABCD tâm O
+ SO ⊥ (ABCD)

A

D

B

O
C


+ tất cả các cạnh bên bằng nhau
− Đường cao của hình chóp là SO ( SO ⊥ (ABCD))
 Lời giải:
* S.ABCD là hình chóp tứ giác đều
ABCD là hình vuông cạnh 2a , tâm O
SO ⊥ (ABCD) , SA=SB=SC =SD = a 3
* Diện tích hình vng ABCD :
⇒ AC = 2a. 2 ⇒ AO= AC = 2a 2 = a 2
2
2

⇒ SABCD = ( 2a ) = 4a 2
2

* ∆ SAO vng tại O có SO = SA2 − AO 2 = a
1
3

1
3

* VS . ABCD = .S ABCD .SA = .4a 2 .a =

4a 3
3

 Nhận xét: học sinh thường làm sai bài toán trên
− Học sinh vẽ “sai” hình chóp tứ giác đều
+ khơng xác định được tính chất đa giác đáy là hình vng
+ khơng SO ⊥ (ABCD) mà lại vẽ SA ∆ (ABCD)
+ không tính được AC và khơng tính được AO
− Tính tốn sai kết quả thể tích
Bài 15:

Tính thể tích của khối tứ diện đều cạnh a

Giải
 Phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình:
− Tứ diện đều ABCD có các tính chất
+ tất cả các cạnh đều bằng nhau
+ tất cả các mặt là các tam giác đều
+ gọi O là trọng tâm của tam giác đáy
B
⊥ (BCD))
− Đường cao của hình chóp là AO ( AO
 Lời giải:
* ABCD là tứ diện đều cạnh a
Gọi M là trung điểm CD
Ta có : AB=AC=AD = AC=CD=BD = a
∆ BCD đều cạnh a, tâm O ⇒ AO ⊥ (BCD)
Trang 11

A

D
O

M
C


a 3
* ∆ BCD đều cạnh a ⇒ BM =

⇒ BO= 2 .BM = 2 . a 3 = a 3
3
3 2
3

2

2
⇒ S∆BCD = a . 3
4

2

a 3
a 6
* ∆ AOB vng tại O có AO = AB − BO = ( a ) − 
 3 ÷ = 3
÷



2

2

2

1 a 2 3 a 6 a3. 2
.
=
3 4
3
12

1
3

*: VABCD = .S BCD . AO = .

Dạng 3 : TỶ SỐ THỂ TÍCH
- Việc tính thể tích của một khối chóp thường học sinh giải bị nhiều sai sót, Tuy nhiên trong các đề
thi lại yêu cầu học sinh tính thể tích của một khối chóp “nhỏ” của khối chóp đã cho. Khi đó học sinh
có thể thực hiện các cách sau:
+ Cách 1:
o Xác định đa giác đáy
o Xác định đường cao ( phải chứng minh đường cao vuông gới với mặt phẳng
đáy)
o Tính thể tích khối chóp theo cơng thức
+ Cách 2
o Xác định đa giác đáy

o Tình các tỷ số độ dài của đường cao (nếu cùng đa giác đáy) hoặc diện tích
đáy (nếu cùng đường cao) của khối chóp “nhỏ” và khối chóp đã cho và kết
luận thể tích khối cần tìm bằng k lần thể tích khối đã cho
+ Cách 3: Dùng tỷ số thể tích
Hai khối chóp S.MNK và S.ABC có chung đỉnh S và góc ở đỉnh S
Ta có :

VS .MNK SM SN SK
=
.
.
VS . ABC
SA SB SC

A

S

M

K
n
N
C
B


Cả hai chương trình chuẩn và nâng cao đều có đề cập đến tính thể tích của một khối chóp “nhỏ”
liên quan đến dữ kiện của khối chóp lớn.Tuy nhiên
Chương Trình Chuẩn

Chương Trình Nâng Cao
- Khơng trình bày khái niệm tỷ số thể Có trình bày khái niệm tỷ số thể tích
tích của 2 khối chóp

của 2 khối chóp
Trang 12

Bài 16:
Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC đều cạnh 2a, cạnh bên SA vng góc với mặt
phẳng đáy và
SA = a 3 . Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB và AC. Tính thể tích khối chóp
S.AMN
Giải
 Phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình:
Hướng dẫn học sinh tính thể thể tích một khối chóp “nhỏ” dựa trên dữ kiện liên quan đến khối
chóp đã cho
 Lời giải:

S

1
3

Cách 1: (dùng cơng thức thể tích V = .S .h )
* Khối chóp S.AMN có : Đáy là tam giác AMN , đường cao là SA
0

* ∆ AMN có Â = 60 , AM=AN = a

N

A
M

2

⇒ S∆AMN = 1 AM . AN .sin 600 = 1 .a.a. 3 = a . 3 , SA = a 3
2
2
2
4

B

1 a2. 3
a3
.a. 3 =
3 4
4

1
3

* VS . AMN = .S AMN .SA = .

Cách 2 : ( Dùng cơng thức tỷ số thể tích)
Khối chóp S.AMN và S.ABC có chung đỉnh A và góc ở đỉnh A
Do đó theo cơng thức tỷ số thể tích , ta có
VA. SMN AS AM AN
1 1 1
V

1
=
.
.
= 1. . = ⇒ VS . AMN = VA.SMN = .VA.SBC = S . ABC
VA.SBC AS AB AC
2 2 4
4
4
1
3

1 4a 2 . 3
.a. 3 = a 3
3
4

Ta có : VS . ABC = .S ABC .SA = .

Vậy VS . AMN =

VS . ABC a 3
=
4
4

C


 Nhận xét: - Học sinh thường lúng túng khi gặp thể tích của khối chóp “nhỏ” hơn khối chóp

đã cho và khi
đó xác định đa giác đáy và đường cao thường bị sai.
− Trong một số bài tốn thì việc dùng “tỷ số thể tích “ có nhiều thuận lợi hơn.
Bài 17 :
Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC đều cạnh 2a, cạnh bên SA vng góc với mặt
phẳng đáy và
SA = a 3 . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB và SC. Tính thể tích khối chóp S.AMN
S
và A.BCNM
Giải
 Phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình:
N
Hướng dẫn học sinh tính thể thể tích một khối chóp “nhỏ”dựa trên dữ kiện
liên quan
đến khối chóp đã cho
M

 Lời giải:
( Dùng cơng thức tỷ số thể tích)

C

A

Trang 13
B

Khối chóp S.AMN và S.ABC có chung đỉnh S và góc ở đỉnh S
V

SA SM SN

1 1

1

S . AMN
=
.
.
= 1. . =
Do đó theo cơng thức tỷ số thể tích , ta có V
SA SB SC
2 2 4
S . ABC

⇒

VS . AMN

1 2
.a 3.a 3
VS . ABC 3
a3
=
=
=
4
4
4

⇒ VA.BCNM = 3 .VS . ABC = 3a
4
4

3

Bài 18 :
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a, cạnh bên SA vng góc với
mặt phẳng đáy và SA = 2a . Gọi I là trung điểm SC. Tính thể tích khối chóp I.ABCD
Giải
 Phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình:
Hướng dẫn học sinh tính thể thể tích một khối chóp “nhỏ” dựa trên dữ kiện liên quan đến khối
chóp đã cho
S

 Lời giải:
Gọi O là giao điểm AC và BD
Ta có : IO // SA và SA ⊥ (ABCD) ⇒ IO ⊥ (ABCD)
I
A

D

B

O
C

1

⇒ VI . ABCD = .S ABCD .IO
3


SA
=a
2
1
a3
= .a 2 .a =
3
3

Mà : S ABCD = a 2 , IO =
Vậy : VI . ABCD

III. Kết luận :
Trên đây tơi đã trình bày cách giải cũng như những sai lầm mà học sinh thường mắc phải khi
giải bài tốn thể tích khối đa diện , cụ thể là khối chóp , nhưng do thời gian có hạn và chuyên đề
cũng khá dài , nên bài tập tương tự ở đây tôi không nêu ra , tôi sẽ gửi lại cho q thầy cơ sau ,
kính mong q thầy cơ nhiệt tình đóng góp để chun đề được hoàn chỉnh hơn. Xin cám ơn !
Hết
GV thực hiện

Trần Phú Vinh
Trang 14