Tài liệu Chuyên đề:Thể Tích Khối Đa Diện-Mặt TX

8
Năm 2011


Thể tích khối đa diện – Mặt trịn xoay

Tốn HH 12

MỤC LỤC
PHẦN I . THỂ TÍCH KHỐI CHĨP – KHỐI LĂNG TRỤ
1. Thể tích khối chóp, khối lăng trụ2-11Các Sai Lầm và Thiết Sót Khi Tính Giới
Hạn.
2. Kỹ Năng Giải Tốn Trắc Nghiệm Về Giới HạnThể Tích khối chóp, khối lăng trụ
liên quan đến góc................................................................................................12-16
P ( n)

∞

I. Giới hạn dãy có dạng un = Q(n) , Giới hạn hàm số dạng
∞
II. Giới hạn hàm số dạng

……..10 - 11

0
và dạng ∞ − ∞ …………………………....12 - 13
0

3. Một Số Câu Hỏi Trắc Nghiệm Về Giới HạnTỷ số thể tích 16..........17-19
4. Một Số Câu Hỏi Trắc Nghiệm Về Giới HạnDiện tích mặt cầu – Thể tích khối cầu
ngoại tiếp khối chóp 16......................................................................................20-21

Bài tập tự rèn luyện...............................................................................22-23

PHẦN II . MẶT TRỊN XOAY
1. Cơng Thức, Ví dụ .............................................................................24-26
2. Bài tập tự rèn luyện..............................................................................277

PHẦN III . MỘT SỐ ĐỀ THI
Một đề thi học kỳ , tốt nghiệp liên quan đến thể tích.......................................28-308
Phụ lục Đáp số.......................................................................................................318

Giáo viên: Nguyễn Việt Bắc

Trang 2


Thể tích khối đa diện – Mặt trịn xoay

Tốn HH 12

THỂ TÍCH KHỐI CHÓP – KHỐI LĂNG TRỤ

Phần I.

Trong trường phổ thông , Hình học Không gian là một bài toán rất khó đối với học
sinh, do đó học sinh phải đọc thật kỹ đề bài và từ đó xác định giả thuyết bài toán, vẽ
hình rồi tiến hành giải bài toán.
Cả hai chương trình chuẩn và nâng cao đều đề cập đến thể tích của khối đa diện
( thể tích khối chóp, khối lăng trụ).
Thông thường bài toán về hình chóp được phân thành 2 dạng như sau:
Cho hình chóp

Hình chóp có cạnh bên vuông góc với mặt

− Hình chóp đều
S

phẳng đáy
S

A

C
O

C

A

B
B

- Hình chóp tam giác đều

Đa giác đáy :
− Tam giác vuông
− Tam giác cân
− Tam giác đều
− Hình vuông, chữ nhật

- Hình chóp tứ giác đều

Thông thường bài toán về hình lăng trụ:

C1

A1

C1

A1

V = B.h

B1

B1

B: diện tích đáy
h : đường cao
A

C

A
B

Lăng trụ đứng ABC.A1B1C1
A1A ⊥ (ABC)
Giáo viên: Nguyễn Việt Bắc

G

C
H

B
Lăng trụ xiên ABC.A1B1C1

A1G ⊥ (ABC)
Trang 3


Thể tích khối đa diện – Mặt trịn xoay

Tốn HH 12

HỆ THỐNG KIẾN THỨC CƠ BẢN
A. Các Tính Chất :

a. Tam giác :
− Diện tích của tam giác
A

1
2

A
* S ∆ABC = . AB. AC.sin µ
h

1
2

* S ∆ABC = .BC. AH
B

C

H

− Các tam giác đặc biệt :
o Tam giác vuông :

+ Định lý pitago: BC 2 = AB 2 + AC 2
+ Tỷ số lượng giác trong tam giác vng

A
b

c

C

a

B

Đối
b
=

Huyền a
Kề
c
µ
cos B =
=
Huyền a
µ Đối = b
tan B =
Kề c

µ
sin B =

+ Diện tích tam giác vng:
1
S ∆ABC = . AB. AC
2
o Tam giác cân:
A

+ Đường cao AH cũng là đường trung tuyến
+ Tính đường cao và diện tích
µ
AH = BH .tan B
1
S ∆ABC = .BC. AH
2

B

o Tam giác đều

A

H

C

+ Đường cao của tam giác đều
h = AM = AB.
G

B

Giáo viên: Nguyễn Việt Bắc

3
2

3
)
2
3
= ( AB ) 2 .
4

( đường cao h = cạnh x
C
M

+ Diện tích : S ∆ABC

Trang 4


b. Tứ giác
− Hình vng
A

+ Diện tích hình vng :

B

S ABCD = ( AB ) 2

( Diện tích bằng cạnh bình phương)
+ Đường chéo hình vng

O

AC = BD = AB. 2

( đường chéo hình vng bằng cạnh x 2 )
D

C

+ OA = OB = OC = OD

− Hình chữ nhật
A

B

+ Diện tích hình vng :
S ABCD = AB. AD

( Diện tích bằng dài nhân rộng)
O

+ Đường chéo hình chữa nhật bằng nhau và
C
OA = OB = OC = OD

D

B. Thể Tích Khối Chóp:
+ Thể tích khối chóp

S

1
V = .B.h
3

h
C
A

H

Trong đó : B là diện tích đa giác đáy
h : là đường cao của hình chóp

B

Các khối chóp đặc biệt :
− Khối tứ diện đều:

+ Tất cả các cạnh đều bằng nhau

A

+ Tất cả các mặt đều là các tam giác đều
D

B

−

O

+ O là trọng tâm của tam giác đáy
Và AO ⊥ (BCD)

M

S

C

Khối chóp tứ giác đều
+ Tất cả các cạnh bên bằng nhau
+ Đa giác đáy là hình vng tâm O
A

+ SO ⊥ (ABCD)
D

Giáo viên: Nguyễn Việt Bắc

B

O
C

Trang 2


C. Góc:
Cách xác định góc
− Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P):
o Tìm hình chiếu d/ của d lên mặt phẳng (P)
o Khi đó góc giữa d và (P) là góc giữa d và d/

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vng, SA vng góc với (ABCD) và góc
giữa SC với (ABCD) bằng 450. Hãy xác định góc đó.
S

Giải
Ta có : AC = hc( ABCD ) SC
·
·
·
⇒ (SC ,( ABCD )) = (SC , AC ) = SCA = 45o

A

B

O

D

45
C

− Góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) :

o Xác định giao tuyến d của (P) và (Q)
o Tìm trong (P) đường thẳng a ⊥ (d) , trong mặt phẳng (Q) đường thẳng b ⊥ (d)

o Khi đó góc giữa (P) và (Q) là góc giữa hai đường thẳng a và b

Ví dụ 2: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có ABCD là hình vng, và góc giữa mặt bên
với mặt đáy bằng 600. Hãy xác định góc đó.
S

A

B

60

M

O

Giải
Gọi M là trung điểm BC
Ta có :
(SBC) ∩ (ABCD) = BC
(ABCD) ⊃ AM ⊥ BC
(SBC) ⊃ SM ⊥ BC
( vì AM = hc SM )
( ABCD )

·
·
·
⇒ (( SBC ), ( ABCD)) = ( SM , AM ) = SMA = 60o

C

Giáo viên: Nguyễn Việt Bắc

Trang 3

Bài Toán 1.1:
Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại B, AB = a 2 , AC = a 3 ,
cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy và SB = a 3 .Tính thể tích khối chóp
S.ABC
Giải
 Giáo viên phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình:
− Vẽ tam giác đáy, vẽ đường cao SA ⊥ (ABC) và vẽ thẳng đứng
− Sử dụng định lý pitago trong tam giác vng
 Lời giải:
Ta có : AB = a 2 ,
S
AC = a 3
SB = a 3 .
* ∆ ABC vuông tại B nên BC = AC 2 − AB 2 = a
C

A

2
⇒ S∆ABC = 1 BA.BC = 1 .a 2.a = a . 2
2
2
2

* ∆ SAB vng tại A có SA = SB 2 − AB 2 = a
* Thể tích khối chóp S.ABC

B

1

1 a2. 2
a3. 2
VS . ABC = .S ABC .SA = .
.a =
3
3 2
6

Bài Toán 1.2:
Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vng cân tại B, AC = a 2 , cạnh bên
SA vng góc với mặt phẳng đáy và SB = a 3 .Tính thể tích khối chóp S.ABC
Giải
 Giáo viên phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình:
− Vẽ tam giác đáy, vẽ đường cao SA ⊥ (ABC) và vẽ thẳng đứng
− Tam giác ABC vuông , cân tại B nên BA = BC và sử dụng định lý pitago trong
tam giác vng
 Lời giải:
Ta có : AC = a 2 ,
S
SB = a 3 .
* ∆ ABC vuông, cân tại B nên
AC 2
=a
2
1
1
a2
= BA.BC = .a.a =
2
2

2

BA = BC =
C

A

B

⇒ S∆ABC

* ∆ SAB vuông tại A có SA = SB 2 − AB 2 = a
* Thể tích khối chóp S.ABC
1
1 a2
a3
VS . ABC = .S ABC .SA = . .a =
3
3 2
6

Giáo viên: Nguyễn Việt Bắc

Trang 4


Bài Toán 1.3:
Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC đều cạnh 2a, cạnh bên SA vng góc với
mặt phẳng đáy và SB = a 5 .Tính thể tích khối chóp S.ABC
Giải

 Giáo viên phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình:
− Vẽ tam giác đáy, vẽ đường cao SA ⊥ (ABC) và vẽ thẳng đứng
− Tam giác ABC đều có ba góc bằng 600 và sử dụng định lý pitago trong tam giác
vuông SAB
 Lời giải:
* ∆ ABC đều cạnh 2a nên
AB = AC = BC = 2a

S

⇒ S∆ABC = 1 BA.BC.sin 600 = 1 .2a.2a. 3 = a 2 . 3
2
2
2
C
A

* ∆ SAB vng tại A có SA = SB 2 − AB 2 = a
* Thể tích khối chóp S.ABC

B

VS . ABC

1
1 2
a3. 3
= .S ABC .SA = .a . 3.a =
3
3

3

Bài Toán 1.4:
·
Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC cân tại A, BC = 2a 3 , BAC = 1200 ,cạnh
bên SA vng góc với mặt phẳng đáy và SA =2a.Tính thể tích khối chóp S.ABC

Giải
 Giáo viên phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình:
− Vẽ tam giác đáy, vẽ đường cao SA ⊥ (ABC) và vẽ thẳng đứng
− Tam giác ABC cân tại A và Â = 1200
 Lời giải:
·
* ∆ ABC cân tại A, BAC = 1200 , BC = 2a 3
AB = AC = BC = 2a

S

Xét ∆ AMB vng tại M có BM = a 3 , Â = 600
C
A

M
B

BM
a 3
=
=a
0

tan 60
3
1
1
= AM .BC = .a.2a 3 = a 2 . 3
2
2

⇒ AM =
⇒ S∆ABC

* SA = a
* Thể tích khối chóp S.ABC
1
1
a3. 3
VS . ABC = .S ABC .SA = .a 2 . 3.a =
3
3
3

Giáo viên: Nguyễn Việt Bắc

Trang 5


Bài Toán 1.5:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a 2 , cạnh bên SA
vng góc với mặt phẳng đáy và SC = a 5 .Tính thể tích khối chóp S.ABCD
Giải

 Giáo viên phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình:
− Vẽ đáy là hình vng ( vẽ như hình bình hành), cao SA ⊥ (ABCD) và vẽ thẳng
đứng
− ABCD là hình vng ; sử dụng định lý pitago trong tam giác vng
 Lời giải:
Ta có : ABCD là hình vng cạnh a 2
S
SC = a 5 .
* Diện tích ABCD

(

⇒ SABCD = a 2

A

B

)

2

= 2a 2

* Ta có : AC = AB. 2 = a 2. 2 = 2a
∆ SAC vuông tại A
⇒ SA = SC 2 − AC 2 = a

* Thể tích khối chóp S.ABCD

D

C

1
1
2a 3
VS . ABCD = .S ABCD .SA = .2a 2 .a =
3
3
3

Bài Toán 1.6:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng, cạnh bên SA vng góc
với mặt phẳng đáy và SA = AC = a 2 .Tính thể tích khối chóp S.ABCD
Giải
 Giáo viên phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình:
− Vẽ đáy là hình vng ( vẽ như hình bình hành), cao SA ⊥ (ABCD) và vẽ thẳng
đứng
− Biết AC và suy ra cạnh của hình vng (Đường chéo hình vng bằng cạnh
nhân với 2 )
 Lời giải:
S

Ta có : SA = AC = a 2
* ABCD là hình vng
AC = AB. 2 ⇒ AB =

A

B

AC
=a
2

2
Diện tích ABCD : SABCD = a
* SA = a 2

* Thể tích khối chóp S.ABCD
D

Giáo viên: Nguyễn Việt Bắc

C

1
1
a3. 2
VS . ABCD = .S ABCD .SA = .a 2 .a. 2 =
3
3
3

Trang 6


Bài Toán 1.7:
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a 3 , cạnh bên bằng

2a.Tính thể tích khối chóp S.ABC
Giải
Giáo viên phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình:
− Hình chóp tam giác đều có đáy là tam giác đều tâm O
+ Gọi M là trung điểm BC
+ O là trọng tâm của tam ABC
+ AM là đường cao trong ∆ ABC
− Đường cao của hình chóp là SO ( SO ⊥ (ABC))
 Lời giải:


* S.ABC là hình chóp tam giác đều
Gọi M là trung điểm BC
∆ ABC đều cạnh a 3 , tâm O
SO ⊥ (ABC)
SA=SB=SC = 2a

S

A

C
O

* ∆ ABC đều cạnh a 3

M
B

⇒ S∆ABC

⇒ AM = a 3. 3 = 3a
2
2
2
2 3a
⇒ AO= . AM = . = a
3
3 2
1
1
3 3a 2 . 3
0
= AB. AC.sin 60 = .a 3.a 3.
=
2
2
2
4

* ∆ SAO vng tại A có SO = SA2 − AO 2 = a. 3
* Thể tích khối chóp S.ABC
1
1 3a 2 3
a3 . 3
VS . ABC = .S ABC .SA = .
.a =
3
3
4

4


Nhận xét: học sinh thường làm sai bài toán trên
− Học sinh vẽ “sai” hình chóp tam giác đều vì
+ khơng xác định được vị trí điểm O
+ khơng hiểu tính chất của hình chóp đều là SO ⊥ (ABC)
+ khơng tính được AM và khơng tính được AO
− Tính tốn sai kết quả thể tích

Giáo viên: Nguyễn Việt Bắc

Trang 7


Bài Toán 1.8:
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a, cạnh bên bằng a 3
.Tính thể tích khối chóp S.ABCD
Giải


Giáo viên phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình:
− Hình chóp tứ giác đều có
+ đa giác đáy là hình vng ABCD tâm O
+ SO ⊥ (ABCD)
+ tất cả các cạnh bên bằng nhau
− Đường cao của hình chóp là SO ( SO ⊥ (ABCD))



Lời giải:
S

* S.ABCD là hình chóp tứ giác đều
ABCD là hình vng cạnh 2a , tâm O
SO ⊥ (ABCD)
SA=SB=SC =SD = a 3
* Diện tích hình vng ABCD
⇒ AC = 2a. 2

A

B

O

D

C

⇒ AO= AC = 2a 2 = a 2
2
2
2
⇒ SABCD = ( 2a ) = 4a 2

* ∆ SAO vng tại O có SO = SA2 − AO 2 = a
* Thể tích khối chóp S.ABCD
1
1

4a 3
VS . ABCD = .S ABCD .SA = .4a 2 .a =
3
3
3


Nhận xét: học sinh thường làm sai bài tốn trên
− Học sinh vẽ “sai” hình chóp tứ giác đều
+ khơng xác định được tính chất đa giác đáy là hình vng
+ khơng SO ⊥ (ABCD) mà lại vẽ SA ∆ (ABCD)
+ khơng tính được AC và khơng tính được AO
− Tính tốn sai kết quả thể tích

Giáo viên: Nguyễn Việt Bắc

Trang 8


Bài Toán 1.9:

Tính thể tích của khối tứ diện đều cạnh a

Giải
 Giáo viên phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình:
− Tứ diện đều ABCD có các tính chất
+ tất cả các cạnh đều bằng nhau
+ tất cả các mặt là các tam giác đều
+ gọi O là trọng tâm của tam giác đáy
− Đường cao của hình chóp là AO ( AO ⊥ (BCD))

 Lời giải:
* ABCD là tứ diện đều cạnh a
Gọi M là trung điểm CD
Ta có : AB=AC=AD = AC=CD=BD = a
∆ BCD đều cạnh a, tâm O
⇒ AO ⊥ (BCD)

A

D

B
O

* ∆ BCD đều cạnh a
⇒ BM = a 3
2
⇒ BO= 2 .BM = 2 . a 3 = a 3
3
3 2
3
2
⇒ S∆BCD = a . 3
4

M
C

* ∆ AOB vng tại O có

2

a 3
a 6
AO = AB − BO = ( a ) − 
÷ =
 3 ÷
3


2

2

2

* Thể tích khối chóp S.ABC
1
1 a 2 3 a 6 a3 . 2
VABCD = .S BCD . AO = .
.
=
3
3 4
3
12

Bài Toán 1.10:
Cho lăng trụ đứng ABC.A /B/C/ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB=a,
AC=a 3 , cạnh A/B = 2a. Tính thể tích khối lăng trụ

Giải
* Tam giác ABC vuông tại B
C/
A/
⇒ BC =

B/

AC 2 − AB 2 = a 2

2
⇒ S = 1 AB.BC = a 2
ABC
2
2

2a

* Tam giác A/AB vuông tại A
a 3

A
a
B

Giáo viên: Nguyễn Việt Bắc

C

⇒ A / A = A / B 2 − AB 2 = a 3

* VABC . A B C = SABC . A/ A =
/

/

/

a3 6
2

Trang 9


Dạng 2.

THỂ TÍCH KHỐI CHÓP- KHỐI LĂNG TRỤ
LIÊN QUAN ĐẾN GÓC

Trong chương trình Toán phổ thông , Hình học Không gian được phân phối học ở
cuối năm lớp 11 và đầu năm lớp 12, kiến thức về góc ( góc giữa đường thẳng và mặt
phẳng ; góc giữa hai mặt phẳng) được học vào cuối năm lớp 11 và đến đầu năm lớp 12
sẽ được vận dùng vào bài toán tính thể tích của khối chóp, khối lăng trụ. Đó là một vấn
đề rất khó đối với học sinh lớp 12 khi vận dụng vì đa số học sinh quên và không biết
cách vận dụng, từ đó đa số học sinh đều bỏ hoặc làm sai bài toán tính thể tích của khối
chóp , khối lăng trụ trong các kỳ thi học kỳ, thi Tốt nghiệp THPT
Ở đây, tôi hệ thống lại một số sai lầm mà học sinh thường gặp khi giải bài toán
tính thể tích liên quan đến giả thuyết về góc
Góc

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Góc giữa hai mặt phẳng

S

S

C

A

A
B

O

Xác định Góc giữa SB và (ABC)
Ta coù : AB = hc SB
( ABC )
·
·
·
⇒ ( SB, ( ABC )) = ( SB, AB) = SBA

C
M
B

Xác định góc giữa (SBC) và

(ABC)
Ta có : (SBC) ∩ (ABC) = BC
SM ⊥ BC
AM ⊥ BC
⇒

·
·
·
(( SBC ), ( ABC )) = ( SM , AM ) = SMA

Chú ý : Xác định hai đường thẳng
nằm trong hai mặt phẳng và
cùng vuông góc với giao
tuyến tại một điểm
Giáo viên: Nguyễn Việt Bắc

Trang 10


Giáo viên: Nguyễn Việt Bắc

Trang 11


Bài Toán 2.1:

Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại B, AB = a, ·
ACB = 600 , cạnh
bên SA vng góc với mặt phẳng đáy và SB tạo với mặt đáy một góc bằng 45 0 .Tính

thể tích khối chóp S.ABC
Giải
 Giáo viên phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình:
− Vẽ tam giác đáy, vẽ đường cao SA ⊥ (ABC) và vẽ thẳng đứng
− Xác định góc giữa SB và (ABC) là góc giữa SB với hình chiếu của nó lên
(ABC)
 Lời giải:
* Ta có : AB = a ,
AB = hc SB
( ABC )

S

·
·
·
⇒ ( SB, ( ABC )) = ( SB, AB) = SBA = 45o
* ∆ ABC vng tại B có AB = a, ·
ACB = 600
⇒ BC =

A

60

45
B

AB
a

a 3
=
=
0
tan 60
3
3

2
⇒ S∆ABC = 1 BA.BC = 1 .a. a 3 = a . 3
C
2
2
3
6
0
µ
* ∆ SAB vng tại A có AB= a, B = 45
o
⇒ SA = AB.tan 45 = a

* Thể tích khối chóp S.ABC
VS . ABC

Bài Toán 2.2:

1
1 a2. 3
a 3. 3
= .S ABC .SA = .

.a =
3
3 6
18

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a, cạnh bên SA
vng góc với mặt phẳng đáy và SC tạo với mặt đáy một góc bằng 60 0 .Tính thể tích
khối chóp S.ABCD
Giải
 Giáo viên phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình:
− Vẽ tam giác đáy, vẽ đường cao SA ⊥ (ABC) và vẽ thẳng đứng
− Xác định góc giữa SC và (ABCD) là góc giữa SC với hình chiếu AC của SC lên
(ABCD)
 Lời giải:
* Ta có : ABCD là hình vng cạnh a ,
S
AC = hc SC
( ABCD )

·
·
·
⇒ ( SC , ( ABCD)) = ( SC , AC ) = SCA = 60o

* Diện tích hình vng
⇒ SABCD = a 2
µ
* ∆ SAC vng tại A có AC= a 2 , C = 600

A

B

* Thể tích khối chóp S.ABCD

60
D

⇒ SA = AC.tan 60o = a 6

C

Giáo viên: Nguyễn Việt Bắc

1
1
a3. 6
VS . ABCD = .S ABCD .SA = .a 2 .a 6 =
3
3
3

Trang 12


Bài Toán 2.3:
Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại B, AB = a 3 , BC = a, cạnh
bên SA vng góc với mặt phẳng đáy ; mặt bên (SBC) tạo với mặt đáy (ABC) một góc
bằng 600 .Tính thể tích khối chóp S.ABC
Giải

S

Sai lầm của học sinh:
− Gọi M là trung điểm BC
− Ta có AM ⊥ BC
SM ⊥ BC



·
·
·
⇒ (( SBC ), ( ABC )) = ( SM , AM ) = SMA = 60o

C
60

A

M
B

(Hình vẽ sai)
Lời giải đúng:



* Ta có : AB = a 3 ,
(SBC) ∩ (ABC) = BC

AB ⊥ BC ( vì ∆ ABC vng tại B)
SB ⊥ BC ( vì AB = hc SB
( ABC )

S

·
·
·
⇒ (( SBC ), ( ABC )) = ( SB, AB) = SBA = 60o
A

C

60
B

* ∆ ABC vng tại B có AB = a 3 ,BC =a
2
⇒ S∆ABC = 1 BA.BC = 1 .a 3.a = a . 3
2
2
2

µ
* ∆ SAB vng tại A có AB= a, B = 600
⇒ SA = AB.tan 60o = 3a

* Thể tích khối chóp S.ABC
1

1 a2 . 3
a3 . 3
VS . ABC = .S ABC .SA = .
.3a =
3
3 2
2


Nhận xét:
− Học sinh khơng lý luận để chỉ ra góc nào bằng 60o , do đó mất 0.25 điểm
− Học sinh xác định góc giữa hai mặt phẳng bị sai vì đa số học sinh khơng nắm rõ

cách xác định góc và cứ hiểu là góc SMA với M là trung điểm BC

o Nếu đáy là tam giác vuông tại B (hoặc C), hình vng và SA vng góc với đáy

thì góc giữa mặt bên và mặt đáy sẽ là góc được xác định tại một trong hai vị trí
đầu mút của cạnh giao tuyến
o Nếu đáy là một tam giác cân (đều) và SA vng góc với đáy hoặc là hình chóp

đều thì góc giữa mặt bên và mặt đáy là góc ở tại vị trí trung điểm của cạnh giao
tuyến.

Giáo viên: Nguyễn Việt Bắc

Trang 13


Bài Toán 2.4:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, cạnh BC = a 2
, cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy ; mặt bên (SBC) tạo với mặt đáy (ABC)
một góc bằng 450 .Tính thể tích khối chóp S.ABC
Giải


Sai lầm của học sinh:
·
·
⇒ (( SBC ), ( ABC )) = SBA = 45o



Lời giải đúng:
* Ta có : AB = a 3 ,
(SBC) ∩ (ABC) = BC
Gọi M là trung điểm BC
AM ⊥ BC ( vì ∆ ABC cân tại A)
SM
SM ⊥ BC ( vì AM = hcABC )
(

S

·
·
·
⇒ (( SBC ), ( ABC )) = ( SM , AM ) = SMA = 45o
C
45

A

M
B

* ∆ ABC vuông cân tại A có ,BC = a 2
⇒ AB = BC = a và AM = a 2
2
1
1
a2
⇒ S∆ABC = AB. AC = .a.a =
2
2
2
a 2 ¶
, M = 450
2
⇒ SA = AB.tan 45o = a 2
2

* ∆ SAM vng tại A có AM=

* Thể tích khối chóp S.ABC
VS . ABC

Giáo viên: Nguyễn Việt Bắc

1

1 a 2 a 2 a3. 2
= .S ABC .SA = . .
=
3
3 2 2
12

Trang 14


Bài Toán 2.5:
Cho lăng trụ đứng ABC.A/B/C/ có đáy ABC là tam giác vuông tại B,
AB=a, BC = a 2 , mặt bên (A/BC) hợp với mặt đáy (ABC) một góc 30 0 .Tính thể tích
khối lăng trụ.
Giải
* Ta có A/A ⊥ (ABC)

C/

A/
B/

( A / BC ) ∩ ( ABC ) = BC

AB ⊥ BC

2a

/
Mà AB = hc( ABC ) A B nên A/B ⊥ BC

(

A

30 0

a

B

)

·
·
⇒ ( A / BC ),( ABC ) = A / BA = 30 0

C

* Tam giác ABC vuông tại B

a 2

2
⇒ S = 1 AB.BC = a 2
ABC
2
2

a 3

* Tam giác A/AB vuông tại A ⇒ A / A = AB.tan 30 0 =
3

* VABC . A B C = SABC . A/ A =
/

/

/

a3 6
6

Bài Toán 2.6:
Cho lăng trụ ABC.A /B/C/ có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a 3 , hình
chiếu vng góc của A/ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC,
cạnh A/A hợp với mặt đáy (ABC) một góc 300. Tính thể tích khối lăng trụ.
A/

C/
B/

Giải
* Gọi M là trung điểm BC
G là trọng tâm của tam giác ABC
Ta có A/G ⊥ (ABC)
/
GA = hc( ABC ) A A

30 0

A

C

G
2a 3

M
B

* Tam giác ABC đều cạnh 2a 3

A
( · A,( ABC)) = ·A AG = 30
/

⇒

(

/

0

)

2
⇒ S = 2a 3 . 3 = 3a 2 3
ABC
4

2
2
3
* Tam giác A/AG vng tại G có µ = 300 , AG = AM = .2a 3.
A
= 2a
3

3

2

⇒ A / G = AG.tan 300 = 2a 3 .Vậy VABC . A/ B / C / = SABC . A / A = 6a3
3

Giáo viên: Nguyễn Việt Bắc

Trang 15


Dạng 3.

TỶ SỐ THỂ TÍCH

- Việc tính thể tích của một khối chóp thường học sinh giải bị nhiều sai sót, Tuy nhiên
trong các đề thi lại yêu cầu học sinh tính thể tích của một khối chóp “nhỏ” của khối chóp đã
cho. Khi đó học sinh có thể thực hiện các cách sau:
+ Cách 1:
o Xác định đa giác đáy

o Xác định đường cao ( phải chứng minh đường cao vng gới với mặt
phẳng đáy)
o Tính thể tích khối chóp theo cơng thức
+ Cách 2
o Xác định đa giác đáy
o Tình các tỷ số độ dài của đường cao (nếu cùng đa giác đáy) hoặc diện

tích đáy (nếu cùng đường cao) của khối chóp “nhỏ” và khối chóp đã cho
và kết luận thể tích khối cần tìm bằng k lần thể tích khối đã cho
+ Cách 3: dùng tỷ số thể tích
Hai khối chóp S.MNK và S.ABC có chung đỉnh S

S

và góc ở đỉnh S
M

K
n

Ta có :

VS .MNK SM SN SK
=
.
.
VS . ABC
SA SB SC

N

A

C
B

Cả hai chương trình chuẩn và nâng cao đều có đề cập đến tính thể tích của một khối
chóp “nhỏ” liên quan đến dữ kiện của khối chóp lớn.Tuy nhiên
Chương Trình Chuẩn
Chương Trình Nâng Cao
- Khơng trình bày khái niệm tỷ số thể Có trình bày khái niệm tỷ số thể tích của
tích của 2 khối chóp

Giáo viên: Nguyễn Việt Bắc

2 khối chóp

Trang 16


Bài Toán 3.1:
Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC đều cạnh 2a, cạnh bên SA vng góc với
mặt phẳng đáy và SA = a 3 . Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB và AC. Tính thể
tích khối chóp S.AMN
Giải
 Giáo viên phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình:
− Hướng dẫn học sinh tính thể thể tích một khối chóp “nhỏ” dựa trên dữ kiện liên
quan đến khối chóp đã cho
Lời giải:



1
3

S

Cách 1: (dùng cơng thức thể tích V = .S .h )
* Khối chóp S.AMN có
N

C

-Đáy là tam giác AMN
- Đường cao là SA

A
M
B

* ∆ AMN có Â = 600, AM=AN = a
2
⇒ S∆AMN = 1 AM . AN .sin 600 = 1 .a.a. 3 = a . 3
2
2
2
4
* SA = a 3

* Thể tích khối chóp S.ABC

1
1 a2. 3
a3
VS . AMN = .S AMN .SA = .
.a. 3 =
3
3 4
4

Cách 2 : ( Dùng công thức tỷ số thể tích)
Khối chóp S.AMN và S.ABC có chung đỉnh A và góc ở đỉnh A
Do đó theo cơng thức tỷ số thể tích , ta có
VA. SMN AS AM AN
1 1 1
=
.
.
= 1. . =
VA.SBC AS AB AC
2 2 4
V
1
⇒ VS . AMN = VA.SMN = .VA.SBC = S . ABC
4
4
2
1
1 4a . 3
.a. 3 = a 3
Ta có : VS . ABC = .S ABC .SA = .

3
3
4
3
V
a
Vậy VS . AMN = S . ABC =
4
4


Nhận xét:
− Học sinh thường lúng túng khi gặp thể tích của khối chóp “nhỏ” hơn khối chóp đã
cho và khi đó xác định đa giác đáy và đường cao thường bị sai.
− Trong một số bài tốn thì việc dùng “tỷ số thể tích “ có nhiều thuận lợi hơn.

Bài Toán 3.2:
Giáo viên: Nguyễn Việt Bắc

Trang 17


Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC đều cạnh 2a, cạnh bên SA vng góc với
mặt phẳng đáy và SA = a 3 . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB và SC. Tính thể
tích khối chóp S.AMN và A.BCNM
Giải
 Giáo viên phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình:
− Hướng dẫn học sinh tính thể thể tích một khối chóp “nhỏ” dựa trên dữ kiện liên
quan đến khối chóp đã cho
Lời giải:



( Dùng cơng thức tỷ số thể tích)
S

Khối chóp S.AMN và S.ABC có chung đỉnh S và góc ở đỉnh S
Do đó theo cơng thức tỷ số thể tích , ta có
N

M

C

A

VS . AMN SA SM SN
1 1 1
=
.
.
= 1. . =
VS . ABC SA SB SC
2 2 4
1 2
.a 3.a 3
VS . ABC 3
a3
⇒
VS . AMN =

=
=
4
4
4
3
⇒ VA. BCNM = 3 .VS . ABC = 3a
4
4

B

Baøi Toán 3.3:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a, cạnh bên SA vng
góc với mặt phẳng đáy và SA = 2a . Gọi I là trung điểm SC. Tính thể tích khối chóp
I.ABCD
Giải
 Giáo viên phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình:
− Hướng dẫn học sinh tính thể thể tích một khối chóp “nhỏ” dựa trên dữ kiện liên
quan đến khối chóp đã cho


Lời giải:
Gọi O là giao điểm AC và BD
Ta có : IO // SA và SA ⊥ (ABCD)
⇒ IO ⊥ (ABCD)

S

I

A

D

O
C

Giáo viên: Nguyễn Việt Bắc

1
⇒ VI . ABCD = .S ABCD .IO
3
2
Mà : S ABCD = a
B
SA
IO =
=a
2
1
a3
VI . ABCD = .a 2 .a =
Vậy
3
3

Trang 18


Dạng 4.

DIỆN TÍCH MẶT CẦU NGOẠI TIẾP KHỐI CHĨP
THỂ TÍCH KHỐI CẦU NGOẠI TIẾP KHỐI CHĨP

Trong chương trình tốn phổ thơng, u cầu xác định tâm , bán kính của mặt cầu ngoại tiếp
hình chóp và tính diện tích của mặt cầu, thể tích của khối cầu đó.
-

Xác định tâm I và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hinh chóp

-

Cơng thức tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu
S( s ) = 4π R 2

V( s ) =

4π R 3
3

Bài Toán 4.1:
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a, cạnh bên tạo với đáy
một góc bằng 45o .Tính thể tích khối chóp S.ABCD và thể tích của khối cầu ngoại tiếp
khối chóp
Giải


Lời giải:
S

* S.ABCD là hình chóp tứ giác đều
ABCD là hình vng cạnh 2a , tâm O
SO ⊥ (ABCD)
OC = hc SC
( ABCD )

·
·
·
⇒ ( SC , ( ABCD)) = ( SC , OC ) = SCO = 45o
A

D

B

O

* Diện tích hình vuông ABCD
⇒ AC = 2a. 2
⇒ OC=AO= AC = 2a 2 = a 2
2
2
2
2
⇒ SABCD = ( 2a ) = 4a

45
C

·
* ∆ SOC vng tại O có OC = a 2 , SCO = 45o
⇒ SO = OC = a 2

* Thể tích khối chóp S.ABCD
1
1
4a 3 2
VS . ABCD = .S ABCD .SO = .4a 2 .a 2 =
3
3
3

* Thể tích khối cầu ngoại tiếp khối chóp
Ta có OA=OB=OC=OD=OS= a 2
⇒ mặt cầu (S) ngoại tiếp khối chóp S.ABCD có tâm O và bán kính R = a 2
4π R 3 4π (a 2)3 8π a3 . 2
Vậy V( s ) =
=
=
3

Giáo viên: Nguyễn Việt Bắc

3

3

Trang 19

Bài Toán 4.2:
Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên 2a.
1) Tính thể tích của khối chóp.
2) Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp trên.
3) Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu ngoại tiếp khối chóp trên.

Giải
S

M
I
C

B

O
A

D

Gọi O là giao điểm của AC và BD.
Ta có : SO ⊥ (ABCD)
1
V = .SO.dt ( ABCD )
3

0,25

dt(ABCD) = a2

2a 2
a2
7a 2
2
SO = SC = 4a −
=
4
2
2
a 14
⇒ SO =
2
3
a 14
Vậy : V =
6
2

0,25

2

Dựng trục đường tròn ngoại tiếp hình vng ABCD
⇒ SO ⊥ (ABCD)
Dựng trung trực của SA
⇒ d ⊥ SA tại trung điểm M
Xét (SAO) có d cắt SO tại I, ta có :
SI = IA
IA = IB = IC = ID
⇒ IS = IA = IB = IC = ID

⇒ Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD có tâm là I và bán kính r = SI.
∆SIM : ∆SAO ⇒

0,25

0,25

0,25

0,25

SI
SM
SM.SA
=
⇒ SI =
SA
SO
SO

⇒ SI =

2a 14
2a 14
. Vậy : r = SI =
7
7

224π .a 2
49

4
448π a 3 14
V = π r3 =
3
1029

0,25

S = 4π r 2 =

Giáo viên: Nguyễn Việt Bắc

0,25

Trang 20


Bài Tập Về Thể Tích Khối Đa Diện

Bài 1.1 Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA ⊥ ( ABCD ) và
SA = a .Tính thể tích khối chóp S .BCD theo a.
Bài 1.2
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy là a; góc giữa cạnh bên và đáy
0
là 60 . Tính thể tích khối chóp theo a ?
Bài 1.3
Cho khối chóp tam giác đều S.ABC có AB = a , góc giữa cạnh bên và mặt đáy
bằng 600 . Tính thể tích khối chóp theo a.
Bài 1.4
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a 2 , các

cạnh bên bằng a 3 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a ;
SA ⊥ ( ABCD ) . Cạnh bên SB bằng a 3 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.

Bài 1.5

Bài 1.6
Cho hình chóp S.ABC có ABC vng cân tại B, AC = 2a, SA ⊥ ( ABC ) , góc
giữa SB và mặt đáy bằng 600. Tính thể tích khối chóp S.ABC.
Bài 1.7
Cho hình chóp S.ABC có SA vng góc với mặt phẳng (ABC), đáy ABC là
tam giác vuông tại B, AB = a 3,AC = 2a , góc giữa cạnh bên SB và mặt đáy (ABC)
bằng 600 . Tính thể tích khối chóp S.ABC
Bài 1.8
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vng cân tại C, AB = 2a, SA
vng góc với mặt phẳng (ABC), cạnh SB tạo với đáy một góc 30 0. Gọi M là trung
điểm SB. Tính thể tích khối chóp M.ABC
Bài 1.9
Cho khối chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A với BC = 2a ,
biết SA ⊥ (ABC) và mặt (SBC) hợp với đáy một góc 60o . Tính thể tích khối chóp
SABC.
Bài 1.10
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC, gọi M, N, K lần lượt là trung điểm của
AB, BC, CA. Tính tỷ số thể tích của hai khối chóp SMNK và SABC.
·
Cho hình chóp S.ABC có SB = a 2 ,AB=AC = a, BAC = 600 , Hai mặt bên
(SAB) và (SAC) cùng vng góc với (ABC). Tính thể tích khối chóp S.ABC.
Bài 1.12
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AC = a 2 ,

Bài 1.11

cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng (ABC). Mặt bên (SBC) hợp với mặt đáy (ABC)
một góc 600. Tính thể tích khối chóp S.ABC
Bài 1.13
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a, cạnh bên SA
vng góc với mặt đáy và SA= b. Cắt khối chóp bằng mặt phẳng (SBD) ta được hai
khối chóp đỉnh S.
a) Kể tên và so sánh thể tích của hai khối chóp đó.
b) Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình chóp S.ABCD.
c) Tính thể tích của hai khối chóp S.ABC và S.ABCD.
Giáo viên: Nguyễn Việt Bắc

Trang 21


Bài 1.14
Cho khối chóp tứ giác SABCD có tất cả các cạnh bằng a .
a). Chứng minh rằng SABCD là khối chóp tứ giác đều .
b). Tính thể tích của khối chóp SABCD .
c). Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp SABCD .
Bài 1.15

Cho hình chóp S.ABC , có đáy ABC là tam giác đều cạnh 3a , tâm O.Các cạnh

bên SA=SB=SC và cạnh bên SA tạo với mặt đáy một góc 45o.
a).Tính thể tích của khối chóp SABC
b). Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC
Bài 1.16

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều tâm O, cạnh a . Cạnh bên SA
vng góc với mặt phẳng đáy và SA = 2a.

a). Tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a.
b). Xác định tâm I và tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC
Bài 1.17

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O, SA=SB=SC=SD .

·
Biết AB = 3a, BC = 4a và SAO = 450 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.

Bài 1.18

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, AC = a 3 ,

hai mặt bên (SAB) và (SAC) cùng vng góc với mặt phẳng đáy (ABC) và SA = a 2 .
a). Tính thể tích của khối chóp S.ABC
b). Tính diện tích và thể tích của mặt cầu và khối cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC
Bài 1.19

Cho lăng trụ ABC.A/B/C/ có đáy ABC là tam giác vng tại A, A/A=A/B=A/C ,

AB = a, AC = a 3 , cạnh A/A tạo với mặt đáy góc 300 . Tính thể tích khối lăng trụ.
Bài 1.20
Cho tứ diện đều ABCD cạnh a.Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ
diện. Tính diện tích mặt cầu và Tính thể tích khối cầu tương ứng.
Bài 1.21
Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh a, cạnh bên hợp đáy góc 600. Xác định tâm
và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. Tính diện tích mặt cầu và Tính thể tích khối

cầu tương ứng.
Bài 1.22

Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác cân với AB=AC=a và

·
BAC = 120 0 , cạnh AA’= a. Gọi I là trung điểm của CC’.
a) Chứng minh rằng Tam giác AB’I vuông tại A.

b) Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’.
Bài 1.23
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC vng tại B; AB = a, BC = 2a.Cạnh SA ⊥
(ABC) và SA = 2a. Gọi M là trung điểm của SC.Tính thể tích khối chóp S.AMB, và
khoảng cách từ S đến mặt phẳng (AMB).

Giáo viên: Nguyễn Việt Bắc

Trang 22