PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN LỚP 9

Các dạng toán
ôn thi vào THPT
1
Phần 1: Các bài tốn về biến đổi biểu thức,căn bậc hai và các phép
tính về căn bậc hai
Phương pháp:
- Phân tích đa thức tử và mẫu thành nhân tử;
- Tìm ĐKXĐ (Nếu bài tốn chưa cho ĐKXĐ)
- Rút gọn từng phân thức(nếu được)
- Thực hiện các phép biến đổi đồng nhất như:
+ Quy đồng(đối với phép cộng trừ) ; nhân ,chia.
+ Bỏ ngoặc: bằng cách nhân đơn ; đa thức hoặc dùng hằng đẳng thức
+ Thu gọn: cộng, trừ các hạng tử đồng dạng.
+ Phân tích thành nhân tử – rút gọn
Chú ý: - Trong mỗi bài tốn rút gọn thường có các câu thuộc các loại tốn: Tính giá trị
biểu thức; giải Phương trình; bất Phương trình; tìm giá trị của biến để biểu thức có giá
trị ngun; tìm giá trị nhỏ nhất ,lớn nhất…Do vậy ta phải áp dụng các Phương pháp giải
tương ứng, thích hợp cho từng loại bài.
*Mét sè bµi to¸n ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư cÇn nhí :
Những hằng đẳng thức đáng nhớ:
• 7 hằng đẳng thức :(SGK)
Với A, B là các biểu thức
• (A + B)
2
= A
2
+ 2AB + B
2
• (A – B)
2
= A

2
– 2AB + B
2
• A
2
– B
2
= (A + B)(A – B)
• (A + B)
3
= A
3
+ 3A
2
B +3AB
2
+B
3
• (A – B)
3
= A
3
– 3A
2
B + 3AB
2
- B
3
• A
3

+ B
3
= (A + B) (A
2
– AB + B
2
)
• A
3
– B
3
= (A – B) (A
2
+ AB +B
2
)
• Các hằng đẳng thức liên quan :
• (A + B)
2
= (A –B)
2
+ 4AB
• (A – B)
2
= (A +B)
2
– 4AB
•
( )
2

2 2
2A B A B AB+ = + −

• A
3
+ B
3
= (A + B)
3
– 3AB (A+B)
• A
3
- B
3
= (A – B)
3
+ 3AB (A – B)
• (A + B – C)
2
= A
2
+ B
2
+ C
2
+ 2(AB - AC – BC)
•
( )
2
2

. AAAAA
===
•
2
A
A A
A

= =

−

1. Các hằng đẳng thức thường gặp :
2

( )
( )
( )( )
( )( )
( )( )
2
2
2
2
( ) 2
1 1 2
( ) 2
1 1 2
( )( )
( )( )

1 1 1
1 1 1
a b a ab b
a a a
a b a ab b
a a a
a b a b a b
a a b b a b a ab b
a a b b a b a ab b
a a a a a
a a a a a
+ = + +
+ = + +
− = − +
− = − +
− = − +
+ = + − +
− = − + +
− = − + +
+ = + − +

1) x
2
)1(12 +=+± xx
( víi x
0≥
)
2) x
2
)(.2 yxyyx +=+±

( víi x,y
0≥
)
3) x - y =
( ) ( )
yxyx +− .
( víi x,y
0≥
)
4)x
x
yy±
=
( ) ( )
yyxxyxyx +±=±
33

( víi x,y
0≥
)
5) x
y
y x±
=
( )xy x y±
= (
))( yxyxyx +± 
( víi x,y
0≥
)

6)
1 ( 1)( 1)x x x− = + −
( víi x,y
0≥
)
7)
yxxyx +−=− 2)(
2
8) 1- x
x
= (1-
x
)(1+
x
+ x)
2. C¸c c«ng thøc biÕn ®æi c¨n thøc.
a.
2
A A=
b.
. ( 0; 0)AB A B A B= ≥ ≥
c.
( 0; 0)
A A
A B
B
B
= ≥ >
d.
2

( 0)A B A B B= ≥
e.
2
( 0; 0)A B A B A B= ≥ ≥


2
( 0; 0)A B A B A B= − < ≥

f.
1
( 0; 0)
A
AB AB B
B B
= ≥ ≠
i.
( 0)
A A B
B
B
B
= >
k.
2
2
( )
( 0; )
C C A B
A A B

A B
A B
= ≥ ≠
−
±

m.
2
( )
( 0; 0; )
C C A B
A B A B
A B
A B
= ≥ ≥ ≠
−
±

3
Ví dụ 1 . Cho biểu thức:
1 1 3
: 1
1
x x x x x
A
x x x x x

+
=
ữ ữ

ữ ữ
+ +


a) Rút gọn A.
b) Tính giá trị của biểu thức A khi
526 =x
c) Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức A nhận giá trị nguyên.
d) Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức A bằng -3.
e) Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức A nhỏ hơn -1.
Giải :
a) ĐKXĐ : x > 0 và x
1
1 1 3
: 1
1
x x x x x
A
x x x x x

+
=
ữ ữ
ữ ữ
+ +

+
+








+
+



=
1
)3(1
:
)1(
1
)1(
1
33
x
xx

xx
x
xx
x
A








+
++








+
++


++
=
1

31
:
)1(
1)(1(
)1(
)1)(1(
x
xx
xx
xxx
xx
xxx
A








+

+

++
=
1
22
:
1()1(
x
x
x
xx
x
xx
A
1
)1(2
:
11
+

+++
=
x
x
x
xxxx
A
)1(2

1
.
2

+
=
x
x
x
x
A
1
1

+
=
x
x
A
Vậy
1
1

+
=
x
x
A
b) Ta có :
525

25
5
115
115
15)15()15(526
22
+=

=

+
===== Axx
Vậy với
526 =x
thì
525 +=A
c) Ta có :
1
2
1
1
2
1
1
1
21
1
1

+=

+


=

+
=

+
=
xxx
x
x
x
x
x
A
Để A có giá trị nguyên thì
112 xx
Ư(2) hay
1x
{ }
2;1
+)Với
1x
= -1
0011 ==+= xxx
(loại vì không T/MĐK)
+)Với

1x
= 1
4211 ==+= xxx
(T/MĐK)
+)Với
1x
= -2
112 =+= xx
(loại)
+)Với
1x
= 2
9312 ==+= xxx
(T/MĐK)
Vậy với x
{ }
9;4
thì A có giá trị nguyên.
4
d)Ta cã : A= -3
⇔
1
1
−
+
x
x
= - 3
⇔
1

1
−
+
x
x
+ 3 = 0

⇔
1
1
−
+
x
x
+
0
1
)1(3
=
−
−
x
x

0331 =−++⇒ xx

4
1
2
1

24
=⇔=⇔
=⇔
xx
x
VËy A = -3 Khi
4
1
=x
e) Ta cã : A < -1
⇔
1
1
−
+
x
x
<-1
⇔
1
1
−
+
x
x
+1 < 0

⇔
1
1

−
+
x
x
+
0
1
1
<
−
−
x
x

0
1
11
<
−
−++
⇔
x
xx

1
1
01
0
1
2

<⇔
<⇔
<−⇔
<
−
⇔
x
x
x
x
x
(v× 2
x
>0 do x>0)
KÕt hîp víi §KX§ ta ®îc 0 < x < 1 th× A <-1
VËy A<-1 khi 0 < x < 1
Ví dụ2: Cho biểu thức:
12
1
:
1
11
+−
+









−
+
−
=
aa
a
aaa
P
a/ Rút gọn P.
b/ Tìm giá trị của a để biểu thức P có giá trị nguyên.
Giải: a/ Rút gọn P:
- Phân tích:
2
)1(
1
:
1
1
)1(
1
−
+







−
+
−
=
a
a
aaa
P
- ĐKXĐ:
101
;0
≠⇔≠−
>
aa
a

- Quy đồng:
1
)1(
.
)1(
1
2
+
−
−
+
=
a
a

aa
a
P
- Rút gọn:
.
1
a
a
P
−
=
b/ Tìm giá trị của a để P có giá trị nguyên:
5
- Chia t cho mu ta c:
a
P
1
1=
.
- Lý lun: P nguyờn
a
1

nguyờn
a

l c ca 1 l
1

.

=

=
11
)(1
a
ktm
a
Vy vi a = 1 thỡ biu thc P cú giỏ tr nguyờn.
Bi tp : Dạng 1
Bài 1 Cho biểu thức
x 2 1
A ( ):
x 1 x x x 1
= +

a) Tìm điều kiện xác định, Rút gọn A
b)Tính giá trị của A khi x=3-2
2
Bài giải:
a) ĐKXĐ x > 0; x

1.
Rút gọn
x 2 1 x 2 1
A ( ): ( ):
x 1 x x x 1 x 1 x 1

x( x 1)
= + = +


2
( x) 2 x 1 (x 2)( x 1) x 2
A .
1
x( x 1) x( x 1) x
+ + +
= = =

b. Khi x= 3-2
2
=
2
( 2 1)
Bài 2: Cho
biểu thức
1 1 3
A :
x 3 x 3 x 3

=
ữ
+

a) Tìm điều kiện xác định, rút gọn biểu thức A
b) Với giá trị nào của xthì A >
1

3
c) Tìm x để A đạt giá trị lớn nhất
Bài giải:
a) ĐKXĐ x
0;x 9

( )
( ) ( )
x 3 x 3
1 1 3
A :
x 3 x 3 x 3
x 3 x 3
+

= =
ữ
+

+
.
x 3
3

=
( ) ( )
6
x 3 x 3 +
.
x 3

3

A =
2
x 3+
b) A >
( )
1 2 1 2 1 3 x
0 0
3 3 3
x 3 x 3
3 x 3

> > >
+ +
+
6
( ) ( )
2
5 2 2 2 1
3 2 2 2 5 2 2
A 1 3 2
1
2 1
( 2 1)
+
+
= = = = +

3 x 0 >
( vì 3(
( x 3) 0)+ >

x 9 x 9 < <
Kết quả hợp với ĐKXĐ:
0 x 9
thì A > 1/3.
c)
2
A
x 3
=
+
đạt giá trị lớn nhất khi
x 3+
đạt giá trị nhỏ nhất.
Mà
( )
min
x 3 3 x 3 3 x 0 x 0+ + = = =
lúc đó A
Max
=
2
x 0.
3
=
Bài 3: Cho biểu thức
3 1 1

P :
x 1
x 1 x 1

= +
ữ

+ +

a) Nêu điều kiện xác định và rút gọn biểu thức P
b) Tìm các giá trị của x để P =
5
4
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M
x 12 1
.
P
x 1
+
=

Bài giải:
a) ĐKXĐ x
0;x 1
P =
( ) ( ) ( )
3 1 3 x 1 x 1
.
1
x 1

x 1 x 1 ( x 1) x 1

+ +

+ =

+
+ +

=
( ) ( )
( ) ( )
x 2 x 1
x 2
x 1
x 1 x 1
+ +
+
=

+
b)
( ) ( )
5 x 2 5
P 4 x 2 5 x 1 4 x 8 5 x 5.
4 4
x 1
+
= = + = + =

x 13 x 168 = =
(TMĐK)
c)
x 12 1 x 12 x 1 x 12 x 4 16
M . .
P
x 1 x 1 x 2 x 2 x 2
+ + + +
= = = =
+ + +
=
16 16
x 2 x 2 4
x 2 x 2
+ = + +
+ +
ta có
16
x 2 2 16 2.4 8
x 2
+ + = =
+
min
16
M 8 4 4 M 4 x 2
x 2
= = + =
+

( ) ( ) ( )

( ) ( )
2
x 2 16 x 2 4 x 2 4 0
x 6 x 2 0 x 2 0 x 4(TMDK)
+ = + + + =
+ = = =
Vậy M
min
= 4
x 4 =
.
Dạng 2
Bài 1 :Cho biểu thức:
a 2 a a a
P 1 : 1
a 2 a 1

+
= +
ữ ữ
+

a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn P
b) Tìm a
z
để P nhận giá trị nguyên.
7
Bài giải:
a) ĐKXĐ: a
0;a 1

( ) ( )
( ) ( )
a a 2 a a 1
a 1
P 1 1 a 1 : a 1
a 2 a 1 a 1

+


= + = + =

+ +

b)
a 1 2
P 1
a 1 a 1

= =
+ +

để P nhận giá trị nguyên thì
2
a 1+
nhận giá trị nguyên dơng.
a 1 +
thuộc ớc dơng của
2.
a 1 1 a 0

a 1
a 1 2

+ = =




=
+ =



a=1 (Loại vì không thoả mãi điều kiện)
Vậy P nhận giá trị nguyên khi a = 0
Bài 2: Cho biểu thức
( ) ( )
1 1
B
2 x 3 1 2 x 3 1
=
+ + +
a) Tìm x để B có nghĩa và rút gọn B.
b) Tìm x nguyên để B nhận giá trị nguyên.
Bài giải:
a) ĐKXĐ
x 3;x 2
B =
( ) ( )
( )

( ) ( )
x 3 1 x 3 1
1 1 2 1
2 x 3 1 2 x 2 x 2
2 x 3 1 2 x 3 1
+ + +
= = =
+ + +
+ + +
b) B nhận giá trị nguyên khi
1
x 2+
nhận giá trị nguyên.
x 2 +


Ư(1)
x 2 1 x 1
x 2 1 x 3
+ = =



+ = =

thoả mãn điều kiện
Vậy x= -1; x= -3 thì B nhận giá trị nguyên
Dạng 3
Bài 1: Cho biểu thức:
( )

2
1 1 x 1
P :
x x 1 x
1 x
+

= +
ữ



a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn P
b) Tìm x để P > 0
Bài giải
a) ĐKXĐ x>0; x
1
8
( )
( )
( )
( )
2
2
1 x
1 1 x 1 1 x 1 x
P : .
1 x x 1 x
x 1 x x 1 x
1 x

+ +

= + = =

+



b) P > 0
1 x
0 1 x 0
x

> >
( vì
x 0)>

x 1 x 1. < <
Kết hợp với ĐKXĐ:
0 x 1< <
thì P > 0
Dạng 4
Bài 1 : Cho biểu thức:
x 1 1
A :
x 1 x x x 1

=

ữ


a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn A
b) Tìm tất cả các giá trị của x sao cho A < 0
c) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phơng trình A.
x m x=
có nghiệm.
Bài giải
a) ĐKXĐ: x > 0; x
1
( )
( )
( )
2
x 1 1 x 1 1
A : :
x 1 x x x 1 x 1 x 1
x x 1
x 1
x 1 x 1
.
1
x
x 1 x



= =
ữ

= =

b) A < 0
x 1
0 x 1 0
x

< <
(vì
x 0
<
)
x 1 <
kết hợp với ĐKXĐ 0 <x < 1 thì
A < 0
c) P.t: A.
x 1
x m x . x m x x 1 m x(1)
x

= = =
( )
x 1 m x x x m 1 0(*) = + + =

Đặt
x t=
>0 ta có phơng trình
( ) ( )
2
t t m 1 0 *+ + =
để phơng trình (1) có nghiệm thì ph-
ơng trình (*) phải có nghiệm dơng.
Để phơng trình (*) có nghiệm dơng thì:
( )
( )
1 4 m 1 0
m 1 0
= + +



+ <


5
4m 5 0
m
m 1
4
m 1 0
m 1


+

>

+ >


>

Vậy m>-1 và m
1

thì pt A
x m x=
có
nghiệm.
9
Bài 2: Cho biểu thức:
1 1
P 1 .
x 1 x x

= +
ữ


a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn P
b) Tìm giá trị của P khi x = 25
c) Tìm x để P.

( )
2
5 2 6. x 1 x 2005 2 3.+ = + +
Bài giải:
a) ĐKXĐ x > 0; x
1

( )
1 1 x 1
P 1 .
x 1 x x x 1
x x 1


ữ
= + =
ữ
ữ





( )
2
1
P
x 1
=

b) Khi x= 25
( )
2
1 1
P
16
25 1
= =

c)
( )
( )
( ) ( )
2
2 2
2
P. 5 2 6. x 1
1
x 2005 2 3 . 2 3 . x 1 x 2005 2 3
x 1
+
= + + + = + +


2 3 x 2005 2 3 + = + +

x 2005 =
TMĐK
Vậy x = 2005 thì P.
( )

2
5 2 6 x 1 x 2005 2 3+ = + +
Dạng 5
Bài 1: Cho biểu thức
1 1 1
A . 1
x 1 x 1 x

= + +
ữ ữ
+

a) Tìm ĐKXĐ, và rút gọn A.
b)Tính giá trị của A khi x=
1
4
.
c)Tìm giá trị của x để
A A.>
Bài giải: a) ĐKXĐ x > 0; x
1

.
( ) ( )
1 1 1 x 1 x 1 x 1
A . 1 .
x 1 x 1 x x
x 1 x 1
+ + +

= + + =
ữ ữ
+

+
=
( )
( ) ( )
2 x x 1
2
A
x 1
x 1 x 1 x
+
=

+
b) Khi x =
1 2 2
A 4
1
4
1
1
1
2
4
= = =

c)
2
A 0 0 A 1 0 1.
x 1
> < < < <

10
( )
2
0 x 1 0 x 1 1
x 1
2 2 x 3
1 1 0 0
x 1 x 1 x 1
+ < > >


+ < > >

x 3 0
x 9
x 1 0

>

>

>

Vậy x > 9 thì
A A>
Bài 2: Cho biểu thức:
( )
x 2 x 1
A
x 1
x x 1

=


a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn biểu thức A
b) Tính giá trị của biểu thức A
c) Với giá trị nào của x thì
A A>
Bài giải: a) ĐKXĐ x > 0; x
1
.
( )
( )
( )
( )
( )
2 2
x 2 x 1 x 1
x 2 x 1 x 1
A
x 1 x
x x 1 x x 1 x x 1

+

= = = =


b) Khi x=36
36 1 5
A
6
36

= =
c)
x 1
A A A 0 0 x 1 0
x

> < < <
(vì
x 0>
)
x 1 x 1 < <
Kết hợp với điều kiện xác định 0 < x <1 thì
A A>
Phn 2: Hm s bc nht Phng trỡnh bc nht mt n- H
phng trỡnh bc nht hai n Gii bi toỏn bng cỏch lp h
1.1Hm s bc nht
a. Khỏi nim hm s bc nht
- Hm s bc nht l hm s c cho bi cụng thc y = ax + b. Trong ú a, b l cỏc s
cho trc v a

0
b. Tớnh cht :Hm s bc nht y = ax + b xỏc nh vi mi giỏ tr ca x thuc R v cú
tớnh cht sau:
- ng bin trờn R khi a > 0
- Nghch bin trờn R khi a < 0
c. th ca hm s y = ax + b (a

0)
th ca hm s y = ax + b (a

0) l mt ng thng
- Ct trc tung ti im cú tung bng b
- Song song vi ng thng y = ax, nu b

0, trựng vi ng thng y = ax,
nu b = 0
* Cỏch v th hm s y = ax + b (a

0)
Bc 1. Cho x = 0 thỡ y = b ta c im P(0; b) thuc trc tung Oy.
11
Cho y = 0 thỡ x = ta c im Q( ; 0) thuc trc honh
Bc 2. V ng thng i qua hai im P v Q ta c th hm s y = ax + b
d. V trớ tng i ca hai ng thng
Cho hai ng thng (d): y = ax + b (a

0) v (d): y = ax + b (a

0). Khi ú

+
'
// '
'
a a
d d
b b
=





+
{ }
' ' 'd d A a a
=
+
'
'
'
a a
d d
b b
=



=

+
' . ' 1d d a a
=
e. H s gúc ca ng thng y = ax + b (a

0)
*Gúc to bi ng thng y = ax + b v trc Ox.
- Gúc to bi ng thng y = ax + b v trc Ox l gúc to bi tia Ax v tia AT, trong
ú A l giao im ca ng thng y = ax + b vi trc Ox, T l im thuc ng
thng y = ax + b v cú tung dng
*H s gúc ca ng thng y = ax + b
- H s a trong phng trỡnh y = ax + b c gi l h s gúc ca ng thng
y = ax + b
g) Chú ý :
- Đờng thẳng y = ax + b (a

0) có a gọi là hệ số góc.
- Ta có: tan

=
a
(Trong đó

là góc tạo bởi đờng thẳng y = ax + b (a

0) với chiều d-
ơng trục Ox)
- Nếu a > 0 thì : 0 <

< 90

0
- Nếu a < 0 thì : 90
0
<

< 180
0
Minh Hoạ : y
y
y = ax + b ( a > 0 )



x

x
0 0

y = ax + b ( a <0 )
f. Mt s phng trỡnh ng thng
- ng thng i qua im M
0
(x
0
;y
0
)cú h s gúc k: y = k(x x
0
) + y
0

- ng thng i qua im A(x
0
, 0) v B(0; y
0
) vi x
0
.y
0


0 l
0 0
1
x y
x y
+ =
2.1 Cụng thc tớnh to trung im ca on thng v di on thng
Cho hai im phõn bit A vi B vi A(x
1
, y
1
) v B(x
2
, y
2
). Khi ú
- di on thng AB c tớnh bi cụng thc
2 2
( ) ( )
B A B A

AB x x y y
= +
- Ta trung im M ca AB c tớnh bi cụng thc
12
;
2 2
A B A B
M M
x x y y
x y
+ +
= =
f) im A(x
A
; y
A
) thuc th hm s y = f(x) y
A
= f(x
A
).
1)Bài toán : Xác định hàm số y = ax + b biết :
a) Hệ số góc a và đồ thị của nó đi qua A( x
0
;y
0
)
b) Đồ thị của nó song song với đờng thẳng y = ax + b và đi qua A( x
0
;y

0
)
c) Đồ thị của nó vuông góc với đờng thẳng y = ax + b và đi qua A( x
0
;y
0
)
d) Đồ thị của nó đi qua A( x
0
;y
0
) và B( x
1
;y
1
)
e) Đồ thị của nó đi qua A( x
0
;y
0
) và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng x
1
f) Đồ thị của nó đi qua A( x
0
;y
0
) và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng y
1
Ph ơng pháp giải :
a) Thay hệ số góc vào hàm số ,Vì đồ thị của nó đi qua A( x

0
;y
0
) nên thay x = x
0
; y = y
0
vào hàm số ta tìm đợc b.
b) Vì đồ thị hàm số y = ax + b song song với đờng thẳng y = ax + b nên a = a thay a = a
vào hàm số rồi làm tơng tự phần b.
c) Vì đồ thị hàm số y = ax + b vuông với đờng thẳng y = ax + b nên ta ta có a.a = -1 ta
tìm đợc a = -
'
1
a
,thay a = -
'
1
a
vào hàm số rồi làm tơng tự phần b.
d) Vì đồ thị hàm số y = ax + b đi qua A( x
0
;y
0
) và B( x
1
;y
1
) nên ta có hệ phơng trình :

+=
+=
b ax y
b ax y
11
00
(1) ; Giải hệ phơng trình (1) ta tìm đợc a và b.
e) Đồ thị hàm số y = ax + b đi qua A( x
0
;y
0
) và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng
x
1
tức là đồ thị hàm số y = ax + b đi qua A( x
0
;y
0
) và B ( x
1
;0 ).Sau đó làm tơng tự phần d.
f) Đồ thị hàm số y = ax + b đi qua A( x
0
;y
0
) và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng y
1

tức là đồ thị hàm số y = ax + b đi qua A( x
0
;y
0
) và B ( 0; y
1
) .sau đó làm tơng tự phần d.
2) Ví dụ :
Ví dụ 1: Xác định phơng trình đờng thẳng (d) biết:
a) Đờng thẳng (d) đi qua hai điểm A( -1; 3) và B ( 2; -4)
b) Đờng thẳng (d) đi qua M (-2; 5) và song song với đờng thẳng:
(d): y = -
1
2
x + 3
c) Đờng thẳng (d) đi qua N (-3; 4) và vuông góc với đờng thẳng y = 2x + 7
Giải :
Gọi đờng thẳng (d): y = ax + b ( a, b là các số )
a) Vì (d) đi qua hai điểm A( -1; 3) và B ( 2; -4)
13
nên ta có:



=+
=+
42
3
ba
ba

=

=
3
2
3
7
b
a

Vậy phơng trình đờng thẳng (d): y =
7 2
3 3
x- +
b) Vì (d) song song với đờng thẳng: (d): y = -
1
2
x + 3


7
3

a = -


(d): y =
7
3
x b- +
mà (d) đi qua M (-2; 5) nên ta có: 5 =
14
3
b+


b =
1
3
Vậy phơng trình đờng thẳng (d) : y =
7 1
3 3
x- +

c) Đờng thẳng (d) đi qua N (-3; 4) và vuông góc với đờng thẳng y = 2x + 7
nên ta có: a.2 = -1

a =
1
2
-
và 4 =
3

2
b+


b =
5
2

Vậy phơng trình đờng thẳng (d) : y =
1 5
2 2
x- +
Ví dụ 2 : Cho hàm số y = (m
2
2).x + 3m + 2 Tìm các giá trị của m biết:
a) Đồ thị (d) của hàm số song song với đờng thẳng y = 3x + 2
b) Đồ thị (d) của hàm số vuông góc với đờng thẳng y = -3x -2
c) Đồ thị (d) đi qua điểm A (2; 3)
Giải
a) Vì đồ thị (d) của hàm số song song với đờng thẳng y = 3x + 2
Nên ta có:



+
=
223
32
2
m

m







=
0
5
m
m


5m =
Vậy
5m =
b) Vì đồ thị (d) của hàm số vuông góc với đờng thẳng : y = -3x -2
Nên ta có: (m
2
- 2 ).(- 3) = -1

3m
2
-6 = 1

m
2
=

3
7


5m =
Vậy
5m =
c) Vì đồ thị (d) đi qua điểm A( 2; 3) nên ta có :
3 = 2m
2
- 4 + 3m + 2


2m
2
+3m -5 = 0
Ta có a + b + c = 0 theo hệ quả định lí Viet phơng trình có hai nghiệm :
m
1
= - 1; m
2
=
5
2
-
Vậy m
1
= - 1; m
2
=

5
2
-
Dang 4: Tìm toạ độ giao điểm của hai đờng thẳng, của đờng thẳng và Parabol.
1) Bài toán 1 : Cho hai đờng thẳng y = ax + b (d) và y = ax + b (d) (với a

a ).
Tìm toạ độ giao điểm của (d) và (d).
Ph ơng pháp giải :
- Cách 1 : Vẽ đồ thị hai hàm số y = ax + b (d) và y = ax + b (d) trên cùng một hệ trục toạ
độ Oxy,sau đó tìm toạ độ giao điểm ( nếu có )
- Cách 2 : Hoành độ giao điểm của (d) và (d) là nghiệm của phơng trình :
14
ax + b = ax + b (1)
Giải phơng trình (1) tìm x = x
0
sau đó thay x = x
0
tìm đợc vào (d) hoặc (d) tìm y= y
0
.
Toạ độ giao điểm là A (x
0
; y
0
)
- Cách 3 : Toạ độ giao điểm của y = ax + b (d) và y = ax + b (d) là nghiệm của hệ phơng
trình :

+=
+=
b' x a' y
b ax y
(2)
Giải hệ phơng trình (2) tìm đơc x = x
0
;y = y
0
Toạ độ giao điểm là A (x
0
; y
0
)
2) Bài toán 2:
Cho hai đờng thẳng y = ax + b (d) và parabol y = ax
2
(P) .Tìm toạ độ giao điểm của (d) và
(P).
Ph ơng pháp giải :
Hoành độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của phơng trình :
ax + b = ax
2
(1)
Giải phơng trình (1) tìm x sau đó thay x tìm đợc vào (d) hoặc (P) tìm y tơng ứng, Toạ độ
giao điểm là A (x ; y).
3) Ví dụ :
Cho hai hàm số y= x+3 (d) và hàm số y = 2x + 1 (d

)
a)Vẽ đồ thị hai hàm số trên cùng một hệ trục toạ độ.
b)Tìm toạ độ giao điểm nếu có của hai đồ thị.
*Nhận xét : Gặp dạng toán này học sinh thờng vẽ đồ thị hai hàm số trên rồi tìm toạ độ giao
điểm (x;y) tuy nhiên gặp những bài khi x và y không là số nguyên thì tìm toạ độ bằng đồ
thị sẽ gặp khó khăn khi tìm chính xác giá tri của x; y
Giải:
a) Vẽ đồ thị hai hàm số ( HS tự vẽ )
b) Hoành độ giao điểm là nghiệm của phơng trình:
x + 3 = 2x + 1


2x x = 3 1


x = 2 Thay x = 2 vào y = x + 3 ta đợc y = 3 + 2 = 5
Vậy toạ độ giao điểm của (d) và (d) là A ( 2;5 )
Dang 5: Tìm điều kiện của tham số để 3 đờng thẳng đồng quy :
1)Bài toán : Cho ba đờng thẳng: y = ax+ b (d) ; y = a

x+ b

(d

) và y = a

x+ b

(d

)
Trong đó y = a

x + b

chứa tham số m.
Ph ơng pháp giải :
15
- Toạ độ giao điểm của (d) và (d) là nghiệm của hệ phơng trình



+=
+=
b' x a' y
b ax y
(1)
Giải hệ phơng trình (1) tìm đơc x = x
0
;y = y
0
Toạ độ giao điểm là A (x
0
; y
0
)
- Để 3 đờng thẳng đã cho đồng quy thì (d) phải đi qua A (x
0
; y
0

).
- Thay A (x
0
; y
0
) vào phơng trình đờng thẳng (d) ta đợc phơng trình ẩn m,giải phơng
trình tìm m .
- Kết luận :
2.Ví dụ : Cho 3 đờng thẳng lần lợt có phơng trình:
(d
1
) y = x + 1
(đ
2
) y = - x + 3
(d
3
) y= (m
2
-1)x + m
2
- 5 (với m
1)
Xác định m để 3 đờng thẳng (d
1
) ,(d
2
), (d
3
) đồng quy.

Giải:
- Vì 1

- 1 nên (d
1
) và (d
2
) cắt nhau . Hoành độ giao điểm A của (d
1
) ,(d
2
) là nghiệm của
phơng trình : -x + 3 = x + 1

x = 1
thay x = 1 vào y = x+1

y = 2

A (1;2) để 3 đờng thẳng đồng quy thì (d
3
)
phải đi qua điểm A nên ta thay x = 1 ; y = 2 vào phơng trình (d
3
) ta có:
2 = (m
2
-1)1 + m
2
- 5

m
2
= 4

m =

2
Vậy với m = 2 hoặc m = -2 thì 3 đờng thẳng (d
1
) ,(d
2
), (d
3
) đồng quy.
Dang 6: Tìm điều kiện để hai đờng thẳng cắt nhau tại một điểm trên trục tung, cắt
nhau tại một điểm trên trục hoành.
6.1: Điều kiện để hai đờng thẳng cắt nhau tại một điểm trên trục tung.
Cho (d
1
): y = a
1
x + b
1

và (d
2
): y = a
2
x + b

2
Để (d
1
) cắt (d
2
) tại một điểm trên trục tung thì



=

1 2
1 2
a a (1)
b b (2)
Giải (1)
Giải (2) và chọn những giá trị thoả mãn (1).
6.2: Điều kiện để hai đờng thẳng cắt nhau tại một điểm trên trục hoành.
Cho (d
1
): y = a
1
x + b
1
và (d
2
): y = a
2
x + b
2

Để (d
1
) cắt (d
2
) tại một điểm trên trục hoành thì





=


1 2
1 2
1 2
a a (1)
b b
(2)
a a
1. Khái niệm hệ phơng trình bậc nhất hai ẩn.
- Cho hai phơng trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c và a'x + b'y = c'. Khi đó ta có hệ hai ph-
ơng trình bậc nhất hai ẩn



ax+ by = c
a'x + b'y = c'
(I)
16

2. Nghiệm của hệ phơng trình.
- Nếu hai phơng trình ấy có nghiệm chung (x
0
; y
0
) thì (x
0
; y
0
) đợc gọi là một nghiệm của
hệ phơng trình (I). Nếu hai phơng trình không có nghiệm chung thì ta nói hệ phơng trình (I)
vô nghiệm.
- Chú ý : Nếu một trong hai phơng trình của hệ vô nghiệm thì hệ vô nghiệm.
3. Định nghĩa về giải hệ phơng trình:
- Giải hệ phơng trình là tìm tất cả các nghiệm (tìm tập nghiệm) của nó.
4. Định nghĩa hệ phơng trình tơng đơng.
- Hai hệ phơng trình gọi là tơng đơng với nhau nếu chúng có cùng tập nghiệm.
5.Các phơng pháp giải hệ phơng trình bậc nhất hai ẩn thờng dùng :
- Phơng pháp thế
- phơng pháp cộng đại số
- phơng pháp đặt ẩn phụ

* Giải hệ ph ơng trình bằng ph ơng pháp thế.
a. Qui tắc thế (SGK toán 9 tập 2, trang 16)
b. Tóm tắt cách giải hệ ph ơng trình bằng ph ơng pháp thế.
1) Dùng qui tắc thế biến đổi hệ phơng trình đã cho để đợc một hệ phơng trình mới, trong
đó có một phơng trình một ẩn.
2) Giải phơng trình một ẩn vừa có, rồi suy ra nghiệm của hệ phơng trình đã cho.
* Giải hệ ph ơng trình bằng ph ơng pháp cộng đại số.
a. Qui tắc cộng đại số: (SGK toán 9 tập 2, trang 16)

b.Tóm tắt cách giải hệ ph ơng trình bằng ph ơng pháp cộng đại số.
1) Nhân hai vế của mỗi phơng trình với một số thích hợp (nếu cần) sao cho các hệ số của
một ẩn nào đó trong hai phơng trình của hệ bằng nhau hoặc đối nhau.
2) áp dụng qui tắc cộng đại số để đợc hệ phơng trình mới, trong đó có một phơng trình
một ẩn.
3) Giải phơng trình một ẩn vừa có, rồi suy ra nghiệm của hệ phơng trình đã cho.
6. Giải hệ phơng trình gồm một phơng trình bậc nhất và một phơng trình bậc hai hai
ẩn.
Thờng dùng phơng pháp thế.
7.Một số bài toán liên quan đến hệ phơng trình chứa tham số :
Bài toán : Cho hệ phơng trình



=+
=+
)2('''
)1(
cybxa
cbyax
(I)
a/ Chứng minh hệ luôn có nghiệm
b/Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất
c/Tìm m để hệ vô nghiệm
d/Tìm m để hệ có nghiệm thoả mãn điều kiện cho trớc.
Ph ơng pháp giải :
*Cách 1:
a/ Rút x ( hoặc y ) từ (1) (hoặc (2) ) thế vào phơng trình còn lại ,ta đa về phơng trình (3) là
phơng trình bậc nhất 1 ẩn.Ta chứng minh phơng trình (3) luôn có nghiệm.
17

b/ Rút x ( hoặc y ) từ (1) (hoặc (2) ) thế vào phơng trình còn lại ,ta đa về phơng trình (3) là
phơng trình bậc nhất 1 ẩn.
Hệ (I) có nghiệm duy nhất

phơng trình (3) có nghiệm duy nhất.
c/ Rút x ( hoặc y ) từ (1) (hoặc (2) ) thế vào phơng trình còn lại ,ta đa về phơng trình (3) là
phơng trình bậc nhất 1 ẩn.
Hệ (I) vô nghiệm

phơng trình (3) vô nghiệm.
d/ Dựa vào điều kiện cuẩ đề bài ta có phơng pháp giải phù hợp.
*Cách 2: (Dựa vào vị trí tơng đối của hai đờng thẳng)
ax by c
a' x b' y c'
+ =


+ =

(a, b, c, a , b , c khác 0)
+ Hệ có vô số nghiệm nếu
a b c
a' b' c '
= =
+ Hệ vô nghiệm nếu
a b c
a' b' c '
=
+ Hệ có một nghiệm duy nhất nếu
a b

a' b'

B.Một số ví dụ :
Dạng1: Giải hệ phơng trình bậc nhất hai ẩn.
Bài 1: Giải các HPT sau:

a.
2 3
3 7
x y
x y
=


+ =

b.
2 3 2
5 2 6
x y
x y
+ =


+ =


Giải:

a. Dùng PP thế:

2 3
3 7
x y
x y
=


+ =


2 3 2 3 2 2
3 2 3 7 5 10 2.2 3 1
y x y x x x
x x x y y
= = = =



+ = = = =


Vậy HPT đã cho có nghiệm là:
2
1
x
y
=


=

Dùng PP cộng:
2 3
3 7
x y
x y
=


+ =


5 10 2 2
3 7 3.2 7 1
x x x
x y y y
= = =



+ = + = =

Vậy HPT đã cho có nghiệm là:
2
1
x
y
=

=

-Nhận xét : Để giải loại HPT này ta thờng sử dụng PP cộng cho thuận lợi.

2 3 2
5 2 6
x y
x y
+ =


+ =


10 15 10 11 22 2 2
10 4 12 5 2 6 5 2.( 2 6) 2
x y y y x
x y x y x y
+ = = = =



+ = + = + = =

Vậy HPT có nghiệm là
2
2
x
y

=


=

18
Bài 2 :
a)
2 3 13
2 4
x y
x y
+ =


=

(Đề thi tuyển sinh lớp 10 thpt năm học 2011-2012,Ngày thi : 01/7/2011)
b)
2 3
3 2
x y
x y
=


+ =

(Đề thi tuyển sinh lớp 10 thpt năm học 2010-2011,Ngày thi : 01/7/2010)
c)

=
=+
3
5
yx
yx
(Đề thi tuyển sinh lớp 10 thpt năm học 2009-2010,Ngày thi : 10/7/2009)
Giải:
a)
2 3 13 7 21 3 3
2 4 8 2 2.3 4 2 2 1
x y y y y
x y x x x
+ = = = =



= = = =



Vậy hệ phơng trình đã cho có nghiệm
1
3
x
y
=

=

b)
2 3
3 2
x y
x y
=


+ =


5 5 1 1
3 2 3.1 2 1
x x x
x y y y
= = =



+ = + = =

Vậy hệ phơng trình đã cho có nghiệm
1
1
x
y

=


=

c)



=
=+
3
5
yx
yx

2 8 4 4
5 4 5 1
x x x
x y y y
= = =



+ = + = =

Vậy hệ phơng trình đã cho có nghiệm
4
1
x

y
=


=

Bài 2 : Giải các hệ phơng trình sau :
a/
2 3
1
1
2 5
1
1
x y
x y

+ =

+



+ =

+

+ Cách 1: Sử dụng PP cộng. ĐK:
1, 0x y
.

2 3
1
1
2 5
1
1
x y
x y

+ =

+



+ =

+

2
2
1 1
1 3
1
2 2
2 5 2
2 5
1 4
1 1

1
1 1 1
1
y y
y
x x
y y
x x
x y

=
= =



+ = =



+ = =

= =
+ =
+ +



+

Vậy HPT có nghiệm là
3
2
1
x
y

=



=

+ Cách 2: Sử dụng PP đặt ẩn phụ. ĐK:
1, 0x y
.
19
Đặt
1
1
a
x
=
+
;
1
b
y
=
. HPT đã cho trở thành:

2 3 1 2 5 1 2 5.1 1 2
2 5 1 2 2 1 1
a b a b a a
a b b b b
+ = + = + = =



+ = = = =


1
2
3
1
2
1
1
1
x
x
y
y

=


=
+

=
=



(TMĐK)
Vậy HPT có nghiệm là
3
2
1
x
y

=



=

*L u ý: - Nhiều em còn thiếu ĐK cho những HPT ở dạng này.
- Có thể thử lại nghiệm của HPT vừa giải.
b/

x + y 2
+ = 3
3 3
4x - y x
+ = 1
6 4
.
(I)
H ớng dẫn :
(I)





x + y = 7
11x - 2y = 12
Hệ phơng trình (I) có tập hợp nghiệm là S = {(x; y) = (2; 5)}.
c/



+=+
+=+
)4)(3()7)(4(
)1)(2()2)(5(
yxyx
yxyx

Giải:



+=+
+=+
)4)(3()7)(4(
)1)(2()2)(5(
yxyx
yxyx
2 5 10 2 2
7 4 28 4 3 12
xy x y xy x y
xy x y xy x y
+ = +



+ = +

3 8
3 16
x y
x y
+ =



=

(HS tự giải tiếp)
Dạng2: Hệ phơng trình bậc nhất hai ẩn chứa tham số.
Bài 1: Tìm m sao cho hệ phơng trình:



mx + y = 3
x + my = 3
(I)
a) Vô nghiệm.
b) Có nghiệm duy nhất.
H ớng dẫn :
a/ (I)


( )
( )





2
y = 3- mx
1- m x = 3-3m *
20
(I) vô nghiệm khi và chỉ khi (*) vô nghiệm

m = - 1.
b/ Hệ phơng trình có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi m

1
.
Bài 2: Tìm m sao cho hệ phơng trình:



mx + y = 3
4x + my = -1
(I)
a) Vô nghiệm.
b) Có nghiệm duy nhất.
H ớng dẫn :
a/ (I)


( )
( )





2
y = 3- mx
4- m x =1-3m *
(I) vô nghiệm khi và chỉ khi (*) vô nghiệm

m = 2 hoặc m = - 2.
b/Hệ phơng trình có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi m

2.
Dạng 3. Giải hệ ph ơng trình có ph ơng trình bậc hai hai ẩn.
Bài 1: Giải hệ phơng trình:



2 2
x + y = 5
x + y = 3
H ớng dẫn :



2 2
x + y = 5
x + y = 3
V

2
(x + y) - 2xy = 5
x + y = 3
x + y = 3
xy = 2
x = 2 x =1
y = 1 y = 2
Kết luận: Hệ phơng trình có 2 nghiệm: (x;y) = (1; 2) ; (x;y) = (2; 1)
Bài 2: Giải hệ phơng trình:



x + y - 2xy = - 17
xy - 12 = 0
(I)
H ớng dẫn :
Hệ phơng trình (I) có tập hợp nghiệm là S = {(3; 4); (4; 3)}.

Bài tập áp dụng :
Bài 1: Giải hệ phơng trình:



=+
=+
756
434
,
yx

yx
a




=++
=++
0243
011612
,
yx
yx
b




=
=+
1537
2765
,
yx
yx
c
21
Bµi 2: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh:




=−
=+
335
112
,
yx
yx
a




=+
=−
2325
53
,
yx
yx
b






−=+−+
=
−

−
1)1(7)3(5
2
1
25
15
,
yx
y
x
c

Bµi 3: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh:
a)



−=−
−=−
2331
)2(231
yx
xy
b)



−=+−+
=+−+
6)3(2)2(3

6)3(5)2(7
yxyx
yxyx
c)
3 5 0
3 0
x y
x y
− − =


+ − =

d)





=−
=+
1
32
5
23
yx
yx
e)






−
=
−
+
=
−
+
3
1
2
1
6
2
2
4
3
yx
yyx
f)
0,2 3 2
15 10
x y
x y
− =


− =


g)



+−=+−
−+=−+
)4)(3()7)(4(
)1)(2()2)(5(
yxyx
yxyx
h)
2 4
3 1
x y
x y
+ =


− =

k)
3 2
2 4 2007
x y
x y
= −


+ =


l)
1
3 2 3
x y
x y
− =


+ =

m)
2 5
3 1
x y
x y
+ =


− =

p)
3 2
3 9 6
x y
y x
− =


− + =


; q)
5
2
2 6
y
x
x y

− =



− =

t)
2 3 6
5 5
5
3 2
x y
x y
+ =



+ =


v)

2 5
3 3 15
2 4 2
x y
x y
+ =



+ =


Bµi 4 : Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh:
a)







=
−
−
+
=
−
−
+
3

45
2
21
yxyx
yxyx
b)



−=−
=+
72
134
22
22
yx
yx
Bµi 5: Cho hÖ ph¬ng tr×nh:



=+
=+
ayax
yx
2
1
a. Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh víi a = 3.
b. T×m ®iÒu kiÖn cña a ®Ó hÖ ph¬ng tr×nh cã mét nghiÖm ? cã v« sè nghiÖm.
Bµi 6:Cho hÖ ph¬ng tr×nh :




=−
=+
32
6
byax
bayx
a. Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh víi a = b = 1.
b. T×m a, b ®Ó hÖ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm lµ (x=1; y= 0).
Bµi 7: Cho hÖ ph¬ng tr×nh :



=+
=−
mymx
yx 1
a. Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh víi m = 1.
b. T×m m ®Ó hÖ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm lµ (x = 2; y = 1).
c. T×m m ®Ó hÖ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt.
a) Gi¶i hÖ khi a=3 ; b=-2
b) T×m a;b ®Ó hÖ cã nghiÖm lµ (x;y)=(
)3;2
Bµi 8: Gi¶i c¸c hÖ ph¬ng tr×nh sau :
a.




=+
=+
84
42
22
yx
yx
b.





=+
=+
5
6
13
yx
x
y
y
x
c.



=+
=+
20

6
22
xyyx
yyxx
d.



=+
=++
5
5
22
yx
xyyx

22
2. Bài 2:
a) Tìm giá trị của k để các đờng thẳng sau cắt nhau tại một điểm:
6
4
x
y

=
;
4 5
3
x
y

=
;
và y = kx + k + 1
b) Tìm giá trị của m để các đờng thẳng:
3 4y x= +
;
2 1y x=
; và
( )
2 3y m x m= + +

đồng qui
Giải:
a) Toạ độ giao điểm của hai đờng thẳng
6
4
x
y

=
;
4 5
3
x
y

=
là nghiệm của hệ phơng
trình:

6
4
4 5
3
x
y
x
y


=





=





6
4
6 4 5
4 3
x
y
x x

=





=





6
4
18 3 16 20
x
y
x x


=



=

6
4
19 38
x
y
x


=



=




6
4
2
x
y
x


=



=

6 2
4
2
y
x


=



=




1
2
y
x
=


=

Vậy toạ độ giao điểm của 2 đờng thẳng trên là A
( )
2;1
+) Để các đờng thẳng sau cắt nhau tại một điểm:
6
4
x
y

=
;
4 5
3
x
y

=
; và
( )
2 3y m x m= + +
thì đờng thẳng
( )
2 3y m x m= + +
phải đi qua điểm A
( )
2;1
Ta có: 1 = k.2 + k + 1


3k = 0

k = 0 (không thoả mãn điều kiện k

0)
Vậy không có giá trị nào của k để các đờng thẳng sau cắt nhau tại một điểm:
6
4
x
y

=
;
4 5
3
x
y

=
; và y = kx + k + 1
b) Toạ độ giao điểm của hai đờng thẳng
3 4y x= +
;
2 1y x=
là nghiệm của hệ phơng
trình:
y = -3x+4
2 1y x


=

2 1 = -3x+4
2 1
x
y x



=




2 3 = 4+1
2 1
x x
y x
+


=




5 = 5
2 1

x
y x


=




= 1
2 1
x
y x


=




= 1
2.1 1
x
y


=

= 1
1
x
y


=


Vậy toạ độ giao điểm của 2 đờng thẳng trên là A
( )
1;1
+) Để các đờng thẳng:
3 4y x= +
;
2 1y x=
và
( )
2 3y m x m= + +
đồng qui thì đờng thẳng
( )
2 3y m x m= + +
phải đi qua điểm A
( )
1;1
Ta có:
( )
1 2 .1 3m m= + +

1 2 3m m
= + +



2 2m
=



1m
=
(thoả mãn điều kiện k

-2)
Vậy với m = 1 thì các đờng thẳng
3 4y x= +
;
2 1y x=
và
( )
2 3y m x m= + +
đồng qui.
3. Bài 3: Trong hệ trục toạ độ Oxy cho hàm số y = 2x + m (*)
1) Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số đi qua:
23
a) A (- 1; 3) b) B

( )
2; 5 2
c) C ( 2; - 1)
2) Tìm m để đồ thị hàm số (*) cắt đồ thị hàm số y = 3x 2 trong góc phần t thứ IV
Giải:
1) a) Để đồ thị hàm số y = 2x + m đi qua: A (- 1; 3)

3 = 2.(-1) + m

3 = - 2 + m

m = 5
Vậy với m = 5 thì đồ thị hàm số y = 2x + m đi qua: A (- 1; 3)
b) Để đồ thị hàm số y = 2x + m đi qua: B
( )
2; 5 2



5 2
= 2.
2
+ m

m =
7 2

Vậy với m =
7 2
thì đồ thị hàm số y = 2x + m đi qua: B

( )
2; 5 2

c) Để đồ thị hàm số y = 2x + m đi qua: C ( 2; - 1)

-1 = 2.2+ m

-1 = 4 + m

m = - 5
Vậy với m = -5 thì đồ thị hàm số y = 2x + m đi qua: C ( 2; - 1)
2) Toạ độ giao điểm của đồ thị hàm số y = 2x + m với đồ thị hàm số y = 3x 2 là
nghiệm của hệ phơng trình
y = 2x + m
y = 3x - 2






3x - 2 = 2x + m
y = 3x - 2

3x - 2x = m + 2
y = 3x - 2






( )
x = m + 2
y = 3. m + 2 - 2







x = m + 2
y = 3m + 6 - 2






x = m+ 2
y = 3m +4

Vậy toạ độ giao điểm của đồ thị hàm số y = 2x + m với đồ thị hàm số y = 3x 2 là
( )
m+ 2 ; 3m +4
Để đồ thị hàm số (*) cắt đồ thị hàm số y = 3x 2 trong góc phần t thứ IV
thì
0
0
x
y
>


<



m + 2 > 0
3m + 4 < 0





m > - 2
4
m < -
3

4
- 2 < m < -
3
Vậy với
4
- 2 < m < -
3
thì đồ thị hàm số y = 2x + m cắt đồ thị hàm số y = 3x 2
trong góc phần t thứ IV
3. Bài 3: Cho hệ phơng trình:
' ' '
ax by c
a x b y c
+ =


+ =


a) Chứng minh rằng hệ phơng trình có nghiệm duy nhất


' '
a b

a b


b) Chứng minh rằng hệ phơng trình vô số nghiệm


' ' '
a b c
a b c
=
c) Chứng minh rằng hệ phơng trình vô nghiệm

' ' '
a b c
a b c
= =
Giải:
24
a) Ta có hệ phơng trình:
' ' '
ax by c
a x b y c
+ =


+ =

.
' '
.
' '
a c
y x
b b
a c
y x
b b

= +




= +



( )
( )
1
2


Số giao điểm
của 2 đờng thẳng (1); (2) là số nghiệm của hệ phơng trình
' ' '
ax by c

a x b y c
+ =


+ =

Nếu 2 đờng thẳng (1) ; (2) cắt nhau


'
'
a a
b b




' '
a b
a b

Vậy với
' '
a b
a b

thì hpt có 1 nghiệm duy nhất
b) Nếu 2 đờng thẳng (1) ; (2) song song

'
'
'
'
a a
b b
c c
b b

=










' '
' '
a b
a b
b c
b c

=

' ' '
a b c
a b c
=
Vậy với
' ' '
a b c
a b c
=
thì hpt vô nghiệm.
c) Nếu 2 đờng thẳng (1) ; (2) trùng nhau

'
'
'
'
a a
b b
c c
b b

=

=





' '
' '
a b
a b
b c
b c

=




=




' ' '
a b c
a b c

= =
Vậy với
' ' '
a b c
a b c
= =
thì hpt có vô số nghiệm.
Kết luận: Hệ phơng trình:
' ' '
ax by c
a x b y c
+ =


+ =


+) Hệ phơng trình có nghiệm duy nhất


' '
a b
a b


+) Hệ phơng trình có vô số nghiệm


' ' '
a b c

a b c
=
+) Hệ phơng trình vô nghiệm


' ' '
a b c
a b c
= =
4. Bài 4: Cho hệ phơng trình:
1
1
mx y
x my m
+ =


+ = +


a) Với giá trị nào của m thì hệ phơng trình có nghiệm duy nhất.
b) Với giá trị nào của m thì hệ phơng trình có vô số nghiệm.
c) Với giá trị nào của m thì hệ phơng trình vô nghiệm.
Giải:
a Hệ phơng trình có 1 nghiệm duy nhất


1
1
m

m




2
1m



1m
Vậy với
1m

thì hpt có 1 nghiệm duy nhất
b) Hệ phơng trình vô nghiệm


1 1
1 1
m
m m
=
+


1
1
1 1
1

m
m
m m

=






+


25