Bài tập lớn-phương pháp số, đề số 2 tính toán hệ giàn phẳng, đại học Hàng Hải, 2013

BÀI TẬP LỚN: PHƯƠNG PHÁP SỐ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÀNG HẢI VIỆT NAM
KHOA CÔNG TRÌNH THỦY
*******
**
BÀI TẬP LỚN
MÔN: PHƯƠNG PHÁP SỐ
Giáo viên hướng dẫn: Th.s Trần Huy Thanh
Sinh Viên thực hiện : Phùng Văn Hòa
Lớp : XDD 53_ ĐH1
HẢI PHÒNG NGÀY………THÁNG 12 NĂM 2013
Giáo viên hướng dẫn: Th.Sĩ Trần Huy Thanh
Sinh viên thực hiện: Phùng Văn Hòa
Lớp : XDD53-ĐH1
MSV:46154
1
BÀI TẬP LỚN: PHƯƠNG PHÁP SỐ
ĐỀ SỐ 2 : TÍNH TOÁN HỆ GIÀN PHẲNG

1.1.1 Phương án tải trọng: Số 1
1.1.2 P= -60 (kN)
1.1.3 Các đặc trưng hình học, vật liệu:
L
1
= 2.5m = 2500 mm, L
2
= 3 m = 3000 mm
A
1
= 1200 mm
2

, A
2
= 1500 (mm
2
)
∆T = 0°C, α = 0

E = 200 KN/mm
2
1.1.4 Quy cách:
1.1.4.1 Nêu ngắn gọn lý thuyết áp dụng trước khi tính.
1.1.4.2 Các hình vẽ minh họa, bảng biểu, đồ thị phải có tên, đánh số thứ tự.
1.1.4.3 Các công thức phải được đánh số thứ tự.
1.1.4.4 Nếu áp dụng tin học trong tính toán, phải đua vào phụ lục.
1.1.4.5 Thuyết minh khổ A4, bìa nilon, các đồ thị vẽ trên giấy kẻ ly( khuyến khích làm bằng
vi tính) bao gồm các phần theo trình tự sau:
Giáo viên hướng dẫn: Th.Sĩ Trần Huy Thanh
Sinh viên thực hiện: Phùng Văn Hòa
Lớp : XDD53-ĐH1
MSV:46154
2
BÀI TẬP LỚN: PHƯƠNG PHÁP SỐ
-Bìa ngoài ;
-Nhiệm vụ TKMH
-Mục lục;
-Nội dung tính toán;
-Phụ lục tính toán(nếu áp dung tin học);
-Tài liệu tham khảo.
1.2 Thưởng, phạt:
1.2.1 Thưởng

-Áp dụng tin học: ……………………………………………………………
-Nộp sớm: …………………………………………………………………….
-Trình bày đẹp: ………………………………………………………………
-Lý do khác: …………………………………………………………………
1.2.2 Phạt :
-Không áp dụng tin học: ………………………………………………………
-Chậm tiến độ: ………………………………………………………………
-Trình bày xấu, không dúng quy cách………………………………………
-Lý do khác: …………………………………………………………………
1.2.3 Đánh giá của giáo viên hướng dẫn:
……………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
Tổ trưởng bộ môn Giáo viên hướng dẫn
Giáo viên hướng dẫn: Th.Sĩ Trần Huy Thanh
Sinh viên thực hiện: Phùng Văn Hòa
Lớp : XDD53-ĐH1
MSV:46154
3
BÀI TẬP LỚN: PHƯƠNG PHÁP SỐ
TRÌNH TỰ TÍNH TOÁN
Giáo viên hướng dẫn: Th.Sĩ Trần Huy Thanh
Sinh viên thực hiện: Phùng Văn Hòa
Lớp : XDD53-ĐH1
MSV:46154
4
BÀI TẬP LỚN: PHƯƠNG PHÁP SỐ

1.3 Xác định tọa độ nút
-Thiết lập hệ tọa độ tổng thể XOY
-Đánh chỉ số nút và chuyển vị như hình vẽ
Hinh 1.2 Chỉ số nút và chuyển vị của phần tử dàn
-Nhận xét: Hệ có 4 nút, 6 phần tử giàn và 8 chuyển vị.
-Ma trận độ cứng của một phần tử thanh giàn có kích thước 4 x 4
-Thành lập bảng liên kết phần tử:
Phần tử Nút đầu Nút cuối
1 1(u
1
,u
2
) 2(u
3
,u
4
)
2 2(u
3
,u
4
) 3(u
5
,u
6
)
3 3(u
5
,u
6

) 4(u
7
,u
8
)
4 1(u
1
,u
2
) 4(u
7
,u
8
)
5 1(u
1
,u
2
) 3(u
5
,u
6
)
- Thành lập bảng tọa độ nút trong HTĐ tổng thể:
Nút X Y
Giáo viên hướng dẫn: Th.Sĩ Trần Huy Thanh
Sinh viên thực hiện: Phùng Văn Hòa
Lớp : XDD53-ĐH1
MSV:46154
5

BÀI TẬP LỚN: PHƯƠNG PHÁP SỐ
1 0 0
2 3000 0
3 3000 2500
4 0 2500
2.2.Xác định chiều dài của các phần tử
Giả sử có phần tử thanh như hình vẽ sau :

a
Hình 1.3
Tính chiều dài phần tử :
Chiều dài của phần tử được xác định theo công thức sau:
2 2
( ) ( )
c d c d
L X X Y Y= − + −

Từ sơ đồ giàn ta có chiều dài các phần tử như sau :
Lập bảng
Phần tử Chiều dài (mm)
1 3000
2 2500
3 3000
4 2500
5 3900
2.3.Xác định góc nghiêng của phần tử với hệ tọa độ Tổng thể:
Với l = cos
α
; m = sin
α

thì ta có bảng sau
Giáo viên hướng dẫn: Th.Sĩ Trần Huy Thanh
Sinh viên thực hiện: Phùng Văn Hòa
Lớp : XDD53-ĐH1
MSV:46154
6
BÀI TẬP LỚN: PHƯƠNG PHÁP SỐ
cos ; sin
C d C d
X X Y Y
L L
α α
− −
= =

1
α
= 0
o
l
1
= 1 m
1
= 0
2
α
= 90
o
l
2

= 0 m
2
= 1
3
α
= 180
o
l
3
=
−
1 m
3
= 0
4
α
= 90
o
l
4
= 0 m
4
= 1
o
5
α 39.8=
l
5
= 0,77 m
5

= 0,64
Ma trận chuyển hệ tọa độ của phần tử có dạng

[ ]
'
cosα sinα l m
T = =
sinα cosα m l
− −
   
   
   
⇒

[ ]
'
e1
1 0
T =
0 1
 
 
 
;
[ ]
'
e2
0 1
T =
1 0

−
 
 
 
;
[ ]
'
e3
1 0
T =
0 1
 
 
 

[ ]
'
e4
0 1
T =
1 0
−
 
 
 
;
[ ]
'
e5
0,77 0,64

T =
0,64 0,77
−
 
 
 

2.4.Chuyển vị của phần tử và của hệ giàn
Đánh số chuyển vị trong hệ tọa độ tổng thể của các nút (mỗi nút có 2 chuyển vị)
Chuyển vị của các phần tử như sau :
{ }
1
2
e1
3
4
u
u
u =
u
u
 
 
 
 
 
 
 
;
{ }

3
4
e2
5
6
u
u
u =
u
u
 
 
 
 
 
 
 
;
{ }
7
8
e3
5
6
u
u
u =
u
u
 

 
 
 
 
 
 
;
{ }
1
2
e4
7
8
u
u
u =
u
u
 
 
 
 
 
 
 
;
{ }
1
2
e5

5
6
u
u
u =
u
u
 
 
 
 
 
 
 
;
Giáo viên hướng dẫn: Th.Sĩ Trần Huy Thanh
Sinh viên thực hiện: Phùng Văn Hòa
Lớp : XDD53-ĐH1
MSV:46154
7
BÀI TẬP LỚN: PHƯƠNG PHÁP SỐ
» Véctơ chuyển vị của hệ là :
{ }
1
2
3
4
e
5
6

7
8
u
u
u
u
u =
u
u
u
u
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.5.Xác định ma trận độ cứng của phần tử giàn
Ma trận độ cứng của phần tử giàn phẳng có dạng
[ ]
2 2
2 2
e e

2 2
e
e
2 2
l lm l lm
lm m lm m
E .A
K =
l
l lm l lm
lm m lm m
 
− −
 
− −
 
 
− −
 
− −
 
Trong đó:
[ ]
ei
K
:là ma trận độ cứng của phần tử giàn

e
E
: là modun đàn hồi của vật liệu giàn

e
A
: là diện tích tiết diện thanh giàn
e
l
: là chiều dài phần tử e của giàn
Do đó ta có ma trận độ cứng của các phần tử như sau:


1 2 3 4
[ ]
e1
1 0 1 0 80 0 80 0 1
0 0 0 0 0 0 0 0 2
200 1200
K = =
1 0 1 0 80 0 80 0 3
3000
0 0 0 0 0 0 0 0 4
− −
   
   
×
   
   
− −
   
   
Giáo viên hướng dẫn: Th.Sĩ Trần Huy Thanh
Sinh viên thực hiện: Phùng Văn Hòa

Lớp : XDD53-ĐH1
MSV:46154
8
BÀI TẬP LỚN: PHƯƠNG PHÁP SỐ
3 4 5 6
[ ]
e2
0 0 0 0 0 0 0 0 3
0 1 0 -1 0 96 0 -96 4
200 1200
K = =
0 0 0 0 0 0 0 0 5
2500
0 -1 0 1 0 -96 0 96 6
   
   
×
   
   
   
   
5 6 7 8
[ ]
e3
1 0 1 0 80 0 80 0 5
0 0 0 0 0 0 0 0 6
200 1200
K = =
1 0 1 0 80 0 80 0 7
3000

0 0 0 0 0 0 0 0 8
− −
   
   
×
   
   
− −
   
   
1 2 7 8
[ ]
e4
0 0 0 0 0 0 0 0 1
0 1 0 -1 0 96 0 -96 2
200 1200
K = =
0 0 0 0 0 0 0 0 7
2500
0 -1 0 1 0 -96 0 96 8
   
   
×
   
   
   
   
1 2 5 6
[ ]
e5

0.59 0.49 0.59 0.49 45.4 37.7 45.4 37.7 1
0.49 0.41 0.49 0.41 37.7 31.5 37.7 31.5 2
200 1500
K = =
0.59 0.49 0.59 0.49 45.4 37.7 45.4 37.7 5
3900
0.49 0.41 0.49 0.41 37.7 31.5 37.7 31.5 6
− − − −
   
   
− − − −
×
   
   
− − − −
   
− − − −
   
⇒
Ghép nối các ma trận
[ ]
ei
K
, ta được ma trận độ cứng trong hệ tọa độ tổng thể như
sau :
Giáo viên hướng dẫn: Th.Sĩ Trần Huy Thanh
Sinh viên thực hiện: Phùng Văn Hòa
Lớp : XDD53-ĐH1
MSV:46154
9

BÀI TẬP LỚN: PHƯƠNG PHÁP SỐ
1 2 3 4 5 6 7 8
[ ]
125.4 37.7 80 0 45.4 37.7 0 0 1
37.7 127.5 0 0 37.7 31.5 0 96 2
80 0 80 0 0 0 0 0 3
0 0 0 96 0 96 0 0 4
45.4 37.7 0 0 125.4 37.7 80 0 5
37.7 31.5 0 96 37.7 127.5 0 0 6
0 0 0 0 80 0 80 0 7
0 96 0 0 0 0 0 96 8
TT
K
− − −
 
 
− − −
 
 
−
 
−
 
=
 
− − −
 
− − −
 
 

−
 
−
 
 
2.6.Xác định véc tơ tải trọng nút của phần tử
Các véc tơ lực nút của từng phần tử
{ } { } { }
{ } { }
1 2 3
4 5
0 (1) 0 (3) 0 (5)
0 (2) 0 (4) 0 (6)
( ) ; ( ) ; ( )
0 (3) 0 (5) 0 (7)
0 (4) (6) 0 (8)
0 (1) 0 (1)
0 (2) 0 (2)
( ) ; ( )
0 (7) 0 (5)
0 (8) 0 (6)
F kN F k N F kN
P
F kN F kN
     
     
     
= = =
     
     

     
−
     
   
   
   
= =
   
   
   
   
Véc tơ tải trọng nút của toàn hệ
[ ]
TT
0 0
0 0
0 0
0 0
F =
0 0
60
0 0
0 0
P
   
   
   
   
   
   

=
   
   
   
−
   
   
   
   
Giáo viên hướng dẫn: Th.Sĩ Trần Huy Thanh
Sinh viên thực hiện: Phùng Văn Hòa
Lớp : XDD53-ĐH1
MSV:46154
10
BÀI TẬP LỚN: PHƯƠNG PHÁP SỐ
2.7.Xử lý điều kiện biên,tính toán chuyển vị nút
Muốn tìm chuyển vị của các nút ta cần giải hệ phương trình
[ ]
{ } { }
TT
TT
e
K . u = F
Thay số, ta có:
1
2
3
4
5
6

7
8
125.4 37.7 80 0 45.4 37.7 0 0
37.7 127.5 0 0 37.7 31.5 0 96
80 0 80 0 0 0 0 0
0 0 0 96 0 96 0 0
45.4 37.7 0 0 125.4 37.7 80 0
37.7 31.5 0 96 37.7 127.5 0 0
0 0 0 0 80 0 80 0
0 96 0 0 0 0 0 96
u
u
u
u
u
u
u
u
− − −

 

 
− − −

 

 
−


 
−

 
×

 
− − −

 

− − −
 

 
−

 

−
 
 

0
0
0
0
0
60
0

0

 

 

 

 

 
  
=
  
  
  
  
  
  
 

Tuy nhiên, ma trận độ cứng của hệ được lập thành khi chưa tính đến các liên
kết của kết cấu với môi trường, do đó det
[ ]
0
TT
K
=
hay nói cách khác hệ suy biến . Để
giải hệ phương trình này cần đưa các điều kiện biên vào. Đó là chuyển vị bị chặn

( chuyển vị = 0 ) tại các chuyển vị này sẽ có phản lực.
Từ sơ đồ giàn à u
1
= u
2
=u
4
= u
7
= u
8
=0
Từ đó ta xóa cột 1,2,4,7,8 và dòng 1,2,4,7,8 của hệ phương trình trên. Cuối cùng
ta được hệ như sau .
3
5
6
80 0 0 u 0
0 125.4 37.7 u 0
0 37.7 127.5 u 60
     
     
× =
     
     
     
Giáo viên hướng dẫn: Th.Sĩ Trần Huy Thanh
Sinh viên thực hiện: Phùng Văn Hòa
Lớp : XDD53-ĐH1
MSV:46154

11
BÀI TẬP LỚN: PHƯƠNG PHÁP SỐ
Giải hệ phương trình trên ta được các chuyển vị như sau :
3
5
6
u = 0 (mm)
u = -0.155 (mm)
u = 0.516 (mm)






2.8.Tính toán phản lực gối
Ta có các phản lực tại các gối như hình vẽ:
1 2 4 7 8
R ,R ,R ,R ,R .
[ ]
1
2
3
4
i i1 i2 i3 i4 i5 i6 i7 i8 i
5
6
7
8
u

u
u
u
R = K K K K K K K K . F
u
u
u
u
 
 
 
 
 
 
−
 
 
 
 
 
 
 
i
R
: là phản lực tại gối tương ứng liên kết
ij
K
 
 
: là hệ số tương ứng của ma trận độ cứng

{ }
i
u
là véc tơ chuyển vị của hệ giàn
Giáo viên hướng dẫn: Th.Sĩ Trần Huy Thanh
Sinh viên thực hiện: Phùng Văn Hòa
Lớp : XDD53-ĐH1
MSV:46154
12
BÀI TẬP LỚN: PHƯƠNG PHÁP SỐ
i
F
: là lực tác dụng theo phương chuyển vị
[ ]
1
0
R = 80 45.4 37.7 . 0.155 +0 = -12.4162 (kN)
0.516
 
 
− − − −
 
 
 
[ ]
2
0
R = 0 37.7 31.5 . 0.155 +0 = -10.4105 (kN)
0.516
 

 
− − −
 
 
 
[ ]
4
0
R = 0 0 96 . 0.155 +0 = -49.536(kN)
0.516
 
 
− −
 
 
 
[ ]
7
0
R = 0 80 0 . 0.155 +0 = 12.4 (KN)
0.516
 
 
− −
 
 
 
[ ]
8
0

R = 0 0 0 . 0.155 +0 = 0 (kN)
0.516
 
 
−
 
 
 
2.9.Xác định ứng suất trong mỗi phần tử giàn phẳng
Ứng suất trong mỗi phần tử giàn phẳng xác định theo công thức sau :
[ ]
{ }
[ ]
{ }
ei
ei ei ei ei i i i i
ei ei
ei
E
σ =E .ε =E . B . u = . -l -m l m . u
l
Trong đó :
[ ] [ ]
i i i i
ei
1
B = . -l -m l m
l
- là ma trận biến đổi hàm dạng

ei
E
:là môđun đàn hồi của vật liệu

{ }
ei
u
: là ma trận chuyển vị của phần tử giàn phẳng
Do đó ứng suất của các phần tử giàn phằng lần lượt được tính như sau :
Giáo viên hướng dẫn: Th.Sĩ Trần Huy Thanh
Sinh viên thực hiện: Phùng Văn Hòa
Lớp : XDD53-ĐH1
MSV:46154
13
BÀI TẬP LỚN: PHƯƠNG PHÁP SỐ
[ ]
2
e1
0
0
200
σ = . 1 0 1 0 . = 0 (kN/mm )
0
3000
0
 
 
 
−
 

 
 
 
[ ]
2
e2
0
0
200
σ = . 0 1 0 1 . = 0.04128 (kN/mm )
0.155
2500
0.516
 
 
 
−
 
−
 
 
 
[ ]
3 2
e3
0.155
0.516
200
σ = . 1 0 1 0 . = 10.3 10 (kN/mm )
0

3000
0
−
−
 
 
 
− ×
 
 
 
 
[ ]
2
e4
0
0
200
σ = . 0 1 0 1 . = 0 (kN/mm )
0
2500
0
 
 
 
−
 
 
 
 

[ ]
3 2
e5
0
0
200
σ = . 0.77 0.64 0.77 0.64 . = 10.815 10 (kN/mm )
0.155
3900
0.516
−
 
 
 
− − ×
 
−
 
 
 
Giáo viên hướng dẫn: Th.Sĩ Trần Huy Thanh
Sinh viên thực hiện: Phùng Văn Hòa
Lớp : XDD53-ĐH1
MSV:46154
14
BÀI TẬP LỚN: PHƯƠNG PHÁP SỐ
Giáo viên hướng dẫn: Th.Sĩ Trần Huy Thanh
Sinh viên thực hiện: Phùng Văn Hòa
Lớp : XDD53-ĐH1
MSV:46154

15