Bài tập đại số tuyến tính

NGUYỄN DUY THUẬN
TS. NGUYỄN
DUY
THUẬN
BÀI TẬP
ĐẠI SÔ TUYẾN TÍNH
(Sách dùng cho các trường Cao đẳng và
Đại
học)
DẠI
HỌC
THAI
NGUYÊN
TRUNG TÂMHỌC LIÊU
NHÀ XUẤT BẢN
ĐẠI
HỌC sư PHẠM
Mục lục
Trang
Lòi
nói đầu 5
Kí
hiệu 7
Chương I. ĐỊNH THỨC 11
§1.
Phép thế li
§2.
Định
nghĩa

và tính
chất
của
định
thức
15
§3.
Khai
triển
định
thức
22
§4.
Phương pháp tính
định
thức
28
§5.
Hệ
phương trình
Cramer
37
Chương li. KHÔNG GIAN VECTƠ 42
§1.
Định
nghĩa
và các tính
chất
đơn
giản 42

§2.
Không
gian
con -
Không
gian
thương 46
§3.
Sự
độc
lập tuyến tính - Sự phụ
thuộc
tuyến tính 52
§4.
Cơ sở của không
gian
vectơ 58
§5.
Số chiều của không
gian
vectơ 62
§6.
Toa độ của một vectơ 67
§7.
Hạng
của hệ vectơ -
Hạng
của ma trận 73
Chướng IM. ÁNH XẠ TUYÊN TÍNH 83
§1.

Định
nghĩa
ánh xạ tuyến tính -
Sự
xác
định
một ánh xạ tuyến tính 83
§2.
Ảnh, hạt nhân của một ánh xạ tuyến tính 88
§3.
Các phép toán trẽn các ánh xạ tuyến tính 91.
§4.
Không
gian
đối
ngẫu
99
Chương IV. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYÊN TÍNH 101
§1.
Hệ
phương trình tuyến tính - Phương pháp
Gauss
101
§2.
Điều
kiện
để hệ phương-trình tuyến tinh có
nghiệm
108
§3.

Hệ
phương trình tuyến tính
thuần
nhất
118
3
Chương
V.
MA
TRẬN
125
§1.
Ma
trận
của
một ánh xạ
tuyến
tính
125
§2.
Các phép toán trên các ma trận
130
§3.
Đại
số
cấc
ma trận vuông
cấp
n
Mat„(K)

140
§4.
Sự
thay
đổi
của
ma trận
của
một
ánh xạ
tuyến
tính
khi
thay
đổi
cơ
sở
-
Ma
trận
đồng
dạng 148
§5.
Vectơ riêng
-
Giá
trị riêng
151
§6.
Chéo

hoa
ma trận
158
Chương VI. DẠNG SONG TUYÊN TÍNH - DẠNG TOÀN PHƯƠNG 165
§1.
Dạng
tuyến
tinh và
dạng
song
tuyến
tính
165
§2.
Dạng
toàn phương
172
§3.
Đưa
dạng
toàn phương về
dạng
chính
tắc 176
§4.
Không
gian
vectơ ơclit
178
§5.

Sơ
lược
về
không
gian unita 192
Lài giải - hướng dẫn - trả lời 195
4
Lòi nói đầu
Trong
các môn toán ở
truồng
đại học thì Đại số tuyến tính không phải
là môn học khó
nhất.
Tuy vậy, đối vói
sinh
viên thì nó
cũng
là một môn khó
vì thường
sinh
viên được học môn này ở năm thứ
nhất,
khi mà họ vừa mới
bưóc chân từ
truồng
trung
học vào trường đại học, phải bắt đầu làm
quen
vói

những
môn học mới lạ với
khối
lượng
kiến
thức
đồ sộ và vói
những
phương pháp tính toán và tư duy hoàn toàn mới mẻ. Họ không
những
phải
làm
những
phép tính
cồng
kềnh, với
những
phường pháp tính toán đòi hỏi
nhiều kĩ
thuật
mà còn phải tập luyện một phương pháp tư duy
chặt
chẽ và
tinh tế, một phương pháp học tập, nghiên cứu một cách
khoa
học và sáng
tạo. Những cuốn sách bài tập tốt sẽ giúp đỡ họ rất nhiều để vượt qua
những
khó khăn
trong

học tập,
trong
việc tiếp
nhận,
đào sâu,
củng
cố
kiến
thức
và
trong
việc rèn luyện óc tư duy sáng tạo của họ.
Mục tiêu biên
soạn
cuốn sách này là như thê. Nội
dung
cuốn sách này
được biên
soạn
sát vối nội
dung
kiến
thức
về Đại số tuyên tính mà
sinh
viên được học ở các trường đại học và cao đẳng hiện nay, đặc biệt là các
trưòng đại học và cao đẳng sư
phạm.
Trong
cuốn sách có 520 bài tập đáp ứng tất cả các nội

dung
về Đại số
tuyến tính. Các bài tập rất đa
dạng,
bao gồm đủ các thế
loại:
có
những
bài
tập về rèn luyện kĩ năng tính toán và
cũng
có nhiều bài có tính lí thuyết
giúp học
sinh
rèn luyện khả năng vận
dụng
kiến
thức
và rèn luyện tư duy
sáng tạo.
Việc
sắp xếp thứ tự các bài tập
cũng
được cân
nhắc
một cách kĩ lưỡng:
từ dễ đến khó, từ
những
bài tập
củng

cố đến
những
bài tập đào sâu
kiến
thức
rồi đến
những
bài tập rèn luyện tư duy sáng tạo, rất
thuận
tiện
cho
việc sử
dụng
của nhiều đối tượng
sinh
viên.
Trong
sô các bài tập có nhiêu bài tập nâng cao
nhằm
giúp các
sinh
viên có khả năng có thể có một tư
liệu
học tập tốt.
Đối
với
sinh
viên, cuốn sách này có thể giúp các bạn từng bưốc nâng
cao trình độ của mình.
5

Đối
với các thầy cô giáo, cuốn sách này có thể là một tư
liệu
tốt giúp
các bạn
chuẩn
bị bài giảng. Các bạn có thể dùng nó để thiết kế
những
bài
tập lổn và
cũng
có
thể khai thác ỏ đây
những
đề tài luận văn tốt nghiệp.
Phần
"Lời
giải - Hướng dẫn - Trả lời" có đưa ra
những
huống
dẫn
bổ ích giúp bạn đọc tìm ra phương hướng
giải
quyết bài toán, đồng thòi
có nhiều phân tích giúp bạn đọc
trau
dồi được kinh nghiệm, biết cách
suy
nghĩ
để vận

dụng
kiến
thức
và phát
triển
khả năng tư duy. Đối vối
những
bài tập khó tác giả có đưa ra
những
phương pháp
giải
cùng với
những
lí
giải
giúp bạn đọc hiểu rằng cần suy
nghĩ
như thế nào để đưa ra
cách
giải
ấy.
Cuối cùng xin lưu ý rằng
trong
cuốn sách này chỉ xét không
gian
vectơ
trên các trường số. Chữ K dùng để kí hiệu
chung
cho trường số hữu tỉ Q,
truồng số thực R và truồng số phức c.

Tác giả hi vọng rằng cuốn sách thực sự hữu ích đối vối một đối tượng
rộng lớn các bạn đọc.
Tuy đã có nhiều cố
gắng
trong
việc biên
soạn,
song
không sao tránh
được mọi sai sót. Rất
mong
nhận
được
những
lời chỉ bảo quý báu của bạn
đọc. Tác giả xin chân thành cảm ơn.
TÁC GIẢ
6
Các
kí
hiệu
x„
' Ì 2 n
ơ
=
,0*1)
ơ(2)
ơ(n)
s„
sgn(ơ)

n
n
1
=
1
A = nì
A = (a
s
)„
Mat„(K)
•A
À-'
|A|
ì
Mij
Au
Tập
hợp {Ì, 2, , n} gồm n số tự
nhiên
từ
Ì
đến
n
Phép thế ơ biến phần tử i thành ơ(i)
Tập hợp các phép thế trên tập x„
Dấu
của
phép thế ơ
Tổng
a,

+
a
2
+
+ a
n
Tổng các số a,, vối j thuộc tập chỉ số J
Tích
a,a
2
a
n
Tích các thừa soa,, vối j thuộc tập chỉ số J
Ma trận A có m dòng, n cột, với các
thành
phần
ở
dòng
thứ
i,
cột
thứ
j.
Ma trận vuông
cấp n
Tập
hợp các ma
trận vuông
cấp n
với

các
thành
phần thuộc
trường K
Ma trận
chuyển vị của ma
trận
A
Ma trận
nghịch đảo của ma
trận
A
Định
thức của ma
trận A
Ma trận
đơn vị
Định
thức con bù của
thành
phần a,j
trong ma
trận vuông
(a,j)
Phần bù
đại
số của
thành
phần a„
Mi'

ị'
- í -ì,
Mi, ,,
Ki
hạng(A)
A
+
B
AB
ã
-ã
õ
A=
{ã,,
ă
2
, ,
ã J
hạng(A)
(E)
=
{ẽ
„ Ẽ
2
, , sj
dim
K
V
f:
V-> w

f(X)
Imf
f-'00
Kerfhay
f-'(0)
Hom
K
(V, W)
f+g
g.f
ă|
Síp
H1G
Định
thức
con xác
định
bồi
các dòng
i,, , i,
và
các cột j
r
Đinh thức con bù của đinh thức con Mí ~ị
1,-1,
Phần
bù đại số của
định
thức
con M* f

Hạng của ma trận
A
Tổng của hai ma trận
A
và B
Tích của hai ma trận
A
và B
Vectó, là một
phần
tử của không
gian
vectđ
Vectơ
đối
của ã
Vectơ không
Hệ
vectơ gồm các vectơ ã,, ă
2
ã
Hạng của hệ vectơ
A
Cơ sỏ (é) của không
gian
vectd
Số
chiều của
K
- không

gian
vectơ
V
Anh xạ tuyên tính từ không
gian
V
đến không
gian
w
Anh của tập
X
qua ánh xạ tuyến tính f
Ánh của không
gian
V
hay ảnh của ánh xạ
tuyên tính
f
Anh ngược của tập
Y
"
Hạt nhân của ánh xạ tuyến tính f
Tập hợp các ánh xạ tuyến tính từ
V
đến w
Tông của hai ánh xạ tuyến tính f và g
Tích của hai ánh xạ tuyến tính f và g
Tích vô hướng của hai vectơ
ã
trực

giao
vói p
Không
gian
H
trực
giao
vài không
gian
G
Chuẩn
của ã
Hình chiếu của ã lên không
gian
w.
Môđun của số
phức
z
Số
phức
liên hợp của số
phức
z
Chứng
minh điều
kiện
cần
Chứng
minh điều
kiện

đủ
Chương Ì
ĐỊNH
THỨC
§1.
PHÉP THÊ
1.1. Định
nghĩa
phép thế
• Cho tập X
n
= li, 2, ni. Một
song
ánh
or
x„
->X
n
được gọi
là một
phép thế. Nó
được
biểu diễn như sau:
(1).
Ì 2 3 n
{cs(l) ơ(2) ơ(3) ơ(n)J
Tập hợp các phép thê trên tập X
n
được kí hiệu bởi s„ và gồm nỉ

phần tử.
• Một phép thế
T
trên tập X
m
(n > 1),
được
gọi là một chuyển trí hai
phần tử
i,
j
thuộc
X
n
nếu
ĩ(i)
=
j,
ĩ(j) =
ivà ĩ(k) = k,
với
mọi k e x„ k
* ì,
k *ị.
Nó
còn được
kí hiệu
bởi (í,
j).
• Phép thể p trẽn tập x„ (n >

1), được
gọi là một chu trình (hay một
vòng
xích) r phần tử, nếu nó
có
dạng:
p =
nói cách khác:
pd,) = i
2
,
pti-ỷ
= í* pdr-n
= i„ (XỤ
=
i„ p(ij)
=
ij với
mọi
j
e li, 2, ri.
Khi
đó phép thế này còn
được
kí hiệu bởi
(i,,
i
2
, i
r

_,,
i
r
).
Mỗi
sối,,
i
2
, ,
i,-1,
i
r
được
gọi là một
phần
tử của vòng xích.
Hai vòng xích
được
gọi là độc lập nếu chúng không có
phần
tử
chung.
Ta quy ước gọi phép thế
đồng
nhất
là vòng xích Ì
phần
tử.
Một
chuyển

trí là một vòng xích 2
phần
tử.
li
Ví
dụ: 1) p
phần tử,
'1
2345678 9
,1
27534689
là vòng xích
5
p
=
(3, 7, 6, 4, 5).
2)
p
= (3,
Ì, 8,
5)
là
một vòng xích 4
phần
tử
và
p(3) =
Ì,
p(l) = 8, p(8) = 5, p(5) =
3.

1.2.
Nghịch
thế
-
Phép thế
chẵn,
phép thế
lẻ
• Giả
sử a
là
một phép thế trên tập
X
n
.
Với
í,
j e x„ i *j, ta
nói cặp
(a(i),a(j))
là một nghịch thế của ơnếu
í <j
nhưng
a(i) > aỢ).
•
Ta
gọi phép
thế ơ là
một phép
thế

chẵn
nếu nó có một số
chẵn
nghịch thế.
ơđược gọi là
phép thếlẻ
nếu nó có
một số lẻ nghịch thế.
Ta gán cho mỗi phép thế
chẩn
một giá
trị
bằng
+1,
mỗi phép thế
lè
một giá
trị
bằng
-1.
Giá
trị
này của phép thế ơ
được
gọi
là
dấu của
G và được
kí
hiệu bởi

sgn(ơ).
Ì
nếu a
chẵn,
Như
vậy, theo
định nghĩa,
sgn(à) •
-Ì
nêu ơ lẻ
>
Mọi
phép
chuyển
trí
đều là
phép thểu.
>
sgn(ơụ)
=
sgn(ơ)sgn(ụ).
BÀI TẬP
Trong
các bài
tập
dưới
đây
ta
viết
gọn

ơ(X„) =
<ơ(l),
ơ(2),
,o(n)>;
1
2 3 4'
1
4 2 3 ,
chẳng
hạn ơ
:
được
viết
gọn là ơ(X
4
)
=
<
Ì,
4, 2 3 >
12
1.
Hãy biểu diễn các phép thế
X,
n, ơ sau đây đuôi
dạng
(1), biết rằng:
a) \(X
7
) = < Ì, 3, 5, 6, 4, 7,

2
>;
b) n(X
7
) = < 4, 7, 2, 6, 5, Ì,
3
>;
c) ơ(X
7
) = < 2, 5, Ì, 3, 7, 6,
4
>.
2.
Với
các phép thế X, ịi, ơ đã cho
trong
bài tập Ì, hãy biểu diễn các phép
thế
Xu,
Xa, a\, ơn, ịiX, \ụa
đuối
dạng
(1).
3. Hâỵ biểu diễn mỗi tích
những
vòng xích sau đây
dưới
dạng
(1):
a) (Ì, 4, 5)(2, 6, 8)(3, 7);

b) (2, 4, 6)(5, 3, 8, 1)(7)(9);
c) (3, 2, 1)(6, 5, 4) (3k, 3k - Ì, 3k - 2).
4. Ánh xạ ngược của phép thế ơ được kí hiệu bởi ơ"
1
. Cho hai vòng xích
ơ
=
(b, a, d), ịi = (c, a, e).
Chứng
tỏ rằng ữ~
l
ịi~
l
G\x = (a, b, c).
5. Cho các phép thế
1 2 3 4 5 6^1 (1 2 3 4 5
>n
=
4 2 6 5 Ì 3j ụ 2 6 3 5
' (Ì 2 3 4 5 6
N
p
=
1^4 2 5 Ì 3 6j
hãy tìm phép thế ơ
trong
mỗi trương hợp sau:
a) Xaịi - p;
b) ịíX = ơp;
c) pịxa = Ằ;

ả) aX = vĩ.
6 Mót phép thế có thể phân tích thành tích của
những
vòng xích độc
lập.
Chảng
hạn, phép thế
'Ì 2 3 4 5Ì
4 1 5 2 3;
(3, 5)(1, 4, 2).
13
Hãy
chứng
minh rằng mỗi phép thế trên tập x„ đều là tích của
nhũng
vòng xích độc lập.
7. Hãy phân tích các phép thế
trong
bài tập Ì thành tích của
những
vòng xích độc lập.
8.
Chứng
minh rằng mọi phép thế đều phân tích được thành tích của
những
chuyển
trí.
9. Tính số
nghịch
thế của các phép thế

X,
m ơ
trong
bài tập 1. Phân tích
mỗi
phép thế thành tích của
những
chuyển
trí.
10. Tính số
nghịch
thế của các phép thế
trong
bài tập 2.
Kiểm
tra các
đẳng
thức:
sgn(X(i) =
sgn(X)sgn(n),
sgn(A-ơ) = sgn(A.)sgn(ơ)
sgn(^ơ) = sgn(X)sgn(n)sgn(ơ).
li.
Tính số
nghịch
thế của phép thế ơ biết rằng ơ(X„) = (n, n - Ì, n - 2,
2, 1).
12. Xác định dấu của các phép thế
X,
ịi, p, ơ, biết rằng chúng được biểu

diễn
bởi
những
vòng xích như sau:
a)MX
6
) = (l,3, 2, 6, 4, 5);
b) (1(X,) = (4, 7, 2, 1)(6, 5, 7, 3);
c) p(X
5
) = (5, 4, 3X2, 1);
d) ơ(X
8
) = (l,3, 5)(8, 6, 4, 2);
13.
Biết
rằng ơ(X„) = (i„i
2
, i„_„ i„),
|i(X
n
)
= (i„, i„_„
i
2
,
i,).
Hãy tính
sgn(n)
theo

sgn(ơ).
14.
Chứng
minh rằng một phép thế là
chẵn
(lẻ) khi và chỉ khi nó là tích
của một số
chẵn
(lẻ)
chuyển
trí.
14
§2.
ĐỊNH
NGHĨA
VÀ
TÍNH
CHẤT
CỦA
ĐỊNH
THỨC
2.1.
Ma trận
• Một
bảng
gồm mn số
được
viết thành m
dòng,
n

cột
như sau
a
;i
a„ a
K
(1)
được
gọi là một ma trận kiểu (m, ri).
Mỗi số
(ly được
gọi là một thành phần của ma trận. Nó nằm ở dòng
thứ
i
và
cột
thứ j.
Ta
thuồng
kí hiệu ma trận bôi các chữ in hoa
A, B,
Có thê
viết
ma trận (1) một cách đơn giản bởi
A
=
(aij)(
m
.
n

,
hoặc
A = (a;j)
Nếu
m = n thì ma trận
được
gọi là ma trận vuông cấp n và
viết
là
A =
(a^„.
• Ta gọi ma trận
1
U
Q
21

c
u
.
Vin
a
2n
a
in
a
inn )
là ma trận chuyển vị của ma trận (1) và kí hiệu là 'A.
15
2.2. Định

thức
•
Với
ma trận vuông
a
n
a
i2
a
ij
a
in
A
=
a., a„ a
:
a
;
li
i2 ij "
ta gọi
tống
D
= X sgn(a)a
lơ(1)
a
2(
,
(2)
a

ic
,
(i)
a
n
„
(
„
)
là định
thức
của ma trận A và kí
hiệu bởi
a
ii
a
i2
a
u
a
„
a„,
a_, a_, a.
(2)
(3)
hay |A|, /lay det(A).
Trong
cách kí hiệu này ta
cũng
nói mỗi ày là một thành

phần,
các
thành
phần
au,
ai2, ,
a
in
tạo
thành dòng thứ
i,
các thành
phần
a,j, a
2
j,a„j
tạo thành cột thứ
j
của định
thức.
Khi
ma trận
A
có cấp n ta
cũng
nói |A| là một định
thức
cấp n.
Tính chất
1.

Nếu định thức
16
mà mọi thành phần ở
dòng
thứ ì đều
có
dạng
a
s
=
ajj
+
a-j
thì
an
•
V
a,„
an
a
12
. .
••
a
U"
••
am
D
=
ai,

a
a
-
a
r

•a'
m
+
a»
a*2-
•
a
i •
••
aL
a
n2
•
•
a„n
a
n.
a„2"
•
Ky
TínA
c/ỉấí
2.
ATếu

mọi thành phần
ở dòng
thứ í của định thức
có
thừa
số chung
c
thì
có
thể đặt
c
ra
ngoài
dấu định thức.
Tính chất
3.
Trong định thức nếu
đổi
chỗ
hai
dòng cho nhau
thì
định thức đổi
dấu.
Tính chất 4. Nếu định thức
có
hai
dòng
giống nhau thì định thức ấy
bằng 0.

Tính chất
5. Nếu
định thức có
hai
dòng
mà
các thành phần (cùng
cột),
tương ứng
tỉ
lệ
thì
định thức ấy bằng 0.
Tính chất 6. Nếu nhân mỗi thành phần
ở dòng
thứ
i với
cùng một sốc
rồi cộng vào thành phần cùng cột ở dòng thứ k
thì
được
một định thức mới.
bằng định thức đã cho.
Tính chất 7. Với
'A
là ma trận chuyển vị của ma trận
A
ta
có:
'A

=|A|
BÃI TẬP
15. Xét xem mỗi tích sau có phải là một hạng tử của một định thức cấp 5
hay không, nếu phải hãy xác
định
dấu
của
nó:
a)
aníÌ24
a
35
a
-li
a
52!
b)
ai5
a
24
a
3i
a
42
a
53
ỉ
c)
a
13

a24a35a44a
5
2;
d)
a
14
a
22
a
3
3a
25
a
51
e) a
11
a
2
2334
a
45
a
53-
ĐẠIHỌCTHÁỈ
NGUYÊN
TRUNG
TẤM
HÓC
mu
17

16.
Xác
định
ị,
k
để
mỗi
tích
sau
là một hạng tử của một định thức cấp
5:
a)
Ễll2
a
2j
a
35
a
4k
a
5lỉ
b) an
a
22
a
3j
a
44
a
5kí

c)
a,5a
2j
a
3k
a
41
a
52
;
d)
aijâ24a3
5
a
4Ị
a
5
i
t
.
17. Xác định
í, k
để
mỗi tích trong bài
tập 16
là
một hạng
tử
của
một

định thức cấp
5
và:
a)
ai
2
a
2j
a3
5
a
4t
a
51
với
dấu +;
b)
a
11
a
22
a
3j
a
44
a
5t
với
dấu
-

;
c)
ai
5
a
2j
a3
k
a
41
a
52
vối
dấu
-
;
d)
a
lj
a
2
4a
35
a
41
a
5k
với
dấu +,
18. Trong mỗi trường hợp

sau
hãy điền vào chỗ trống những phần
tử a,,
thích
hợp để được những hạng tử của một định thức cấp
5:
a) a
2
3ỄỈ3iâ42"- ĩ
b)
a
13
a
32

a
51
;
*
c
)
a
i5
a
22 -"
a
44
•••>
d)
a

ì
I&23
a
35
19. Xác định
dấu
của hai
hạng
tử a
n
a
2
2
a„„
và
a
nl
a„.
trong định thức cấp
n.
20. Dùng định
nghĩa
của định thức để chứng minh:
1.2
•••
a
2,
n
-
l^ln

a)
0
a,
^2,
n-1
"2,
n
0
0
0 0
a
u
a
2
2
•••
a
0
-1.n-1
18
n(p-l)
=
(~1)
2 a
nl
a
n-l,2 •••
a
2.n-l
a

Áp
dụng bài tập 20 để tính các định thức sau:
3
1
5
-2 8
4
2
7
li
9
0 -
-4
6
0
li
0
3
7 8
0
Ũ
0
2
9
0
;
b)
0
0
-9

2
6
0
0
0
-8
13
0
0
0
4
15
ũ
0
0
ũ
-1
ũ
ũ
0
0
2
4
5
7
0
3
0 3
8
10

-2
7
3 -4
0
7 5
0
4
4 12
-2
0 0
;
d)
0
9 -
5
0
-7 5
0 0
0
15
1
0
0
2
0
0 0
0
4
0
0

0
Dùng
định
nghĩa
của định thức để tính định thức:
a
il
a
i2
a
i3
a
u
a
21
a
22
a
23
a
2J
a
31
a
32
0 0
a„
a
J2
0 0

a
51
a
52
0 0
b)
•M.n-l
"Lu
a.
0 0
n-t.
Ì
0-1,2
a
nil
0 0 0
a,5
a
25
0
0
0
23. Cho D là định
thức
của ma trận vuông A =
(a^,,.
Trong mỗi trường
hợp sau đây định
thức
thay

đổi
như thế nào nếu:
a) Chuyển dòng thứ
nhất
thành dòng cuối cùng?
b) Chuyển dòng thứ i thành dòng thứ
nhất?
c) Chuyển dòng thứ i thành dòng cuối cùng; tiếp tục chuyển cột thứ ị
của định
thức
vừa được thành cột cuối cùng?
d) Nhân dòng thứ i
với
số
c
rồi
chuyển nó thành dòng thứ k?
24. Chứng minh rằng định thức không đổi nếu ta cộng các thành phần
của dòng thứ i vào các thành phần cùng cột của dòng thứ i - Ì, với
mọi
i e
{2,
3,
n}
(n là cấp của định thức).
25. Chứng minh rằng định thức không đổi nếu ta lấy các thành phần của
cột thứ ị trừ đi các thành phần cùng dòng của cột thứ j + Ì, vối mọi
j
6 {Ì, 2, 3,
ri

-
1}
(n là cấp của định thức).
26. Trong định thức cấp n viết dưối dạng (3), đường chéo có hai đầu mút
là a
n
và a„„ được gọi là đường chéo chính, đưòng chéo còn lại gọi là
đường chéo phụ.
a) Định
thức
thay
đổi như thế nào nếu ta
thay
mỗi thành phần của
định
thức
bởi thành phần
đối
xứng
với
nó qua đường chéo chính?
b) Định
thức
thay
đôi như thế nào nếu ta
thay
mỗi thành phần của
định
thức
bởi thành phần

đối
xứng
vối
nó qua đường chéo
phụ?
27. Chứng minh rằng:
b
+
c
c
+
a a
+
b
a
b
c
b, +c, c, +a,
a,+b,
=
2
a.
C
1
b
2
+c
2
c
2

+
a
2
a
2
+
b
2
a
2
\
C
2
20
28.
29.
30.
Biết
rằng 95, 380, 133,
171
chia hết cho 19. Chứng
minh
rằng:
12 48 80 -45
a)
120 49 131
150 19 -86
45 -7 75
9 0 5 0
0 3 8 0

13 0 3
0 0 7 1
Chứng minh rằng:
a
b
80
50
58
chia hết cho 19.
b)
chia hết cho 19.
b
c
d
a+b b+c c+d
d
a
b
d
+
a
0.
Không
tính,
dùng tính
chất của định thức chứng tỏ
các
định thức sau
bằng
0:

a)
c)
3 0 7 9 6
1
9 12
5
4 -3 2
5
79
8
1
;
b)
8
1
15 37 30 -4
li
25
2
4 -10
-7
48
-10 4
26
7
4
8
-5
6 -3
-10

5
3
2
-7
li
0
9
10
7
;
d)
-6 0 2 8 12 -6 15 3
-48 -18 3
6
7
2
-5
10
21
e)
a b b
c d e
ĩ e g
a b b
e c d
f
g g
a b b
đéc
f

g g
§3.
KHAI
TRIỂN
ĐỊNH
THỨC
3.1.
Định
thức
con -
Phần
bù đại số
Cho
định
thức
D
cấp
n.
1)
Nếu chọn r dòng
Ì,, ,
í, và r cột//, ,
j„
(r
< rì),
thì
các
thành phần
nằm ở giao của r dòng và r cột ấy lập thành một định thức kí hiệu bởi
M''

' nà
gọi
là một định
thức con cấp
r
của
D.
2)
Nếu xoa đì r dòng và r
cột
ấy thì
các
thành phần
còn
lại lập thành
một định thức kí hiệu bởi
Mj"j
và gọi là định thức con bù của định thức
Mị-ị .
3)
<-ir-
được gọi
là phần bù đại số của M;' .
Chú ý.
Mỗi
thành
phần
ày của một
định
thức

D là một
định
thức
con
cấp một của D. Đê đơn giản cách
viết,
định
thức
con bù và
phần
bù đại số
của ày
được
kí hiệu lần lượt bởi
Mij
và Áy.
Ví dụ: Cho
định
thức
8 3 5 -1
D
2 0-2
0 4 Ì
-6 Ì 0
22
Nếu
chọn dòng thứ ba, cột thứ hai thì a
32
=
4,

là một định
thức
con cấp
một của D,
là định
thức
con bù của a
3
8 5 -1
M32 =
2 -2
9
-6 0
7
A
32
=(-l)
34
1Y±
32
=
(-
•Ì)
3
*
2
là
phần
bù
đại

số của
8 5-1
2-2 9
-6 0 7
Nếu
chọn hai dòng: thứ
nhất
và thứ ba, hai cột: thứ hai và thứ ba thì:
3 5
Mí,
=
Mí
4 Ì
2 9
-6 7
:(_ !)!•>•«
là một định
thức
con cấp hai của D;
là định thức con bù của M " ;
2 9
-6 7
là
phần
bù đại số của M".
3.2. Khai
triển
định
thức
theo

một dòng
hoặc
một cột
•
Cho
định thức D
cấp
n
có
các
thành phần là dự
Với
mỗi ie li,
2, ,
ni,
ta đều
có:
n
D = a,
A,
+
a
i2
Ai2
+ -
+
a, A»
=
X ^iAi
•

i-1
Ta nói đó là cách khai triển định thức
theo
dòng thứ í.
• Cho định thức D cấp n
với các
thành phần
dịp
ta
có:
aiẠ
hl
+ + aiẠ
kj
+
+ a,„A
t
„
=
0
nếu k *i.
(viết
gọn
là: ^a^A^ = ớ, nếu k *i).
23