lý thuyết phóng xạ dịch chuyển gamma

LÝ THUYẾT PHÓNG XẠ GAMMA
Để mô tả đầy đủ về phóng thích hay hấp thu photon của nhân nguyên tử đòi hỏi
đến lý thuyết lượng tử của sự phát bức xạ. Lý thuyết bức xạ lượng tử vay mượn một
số biểu diễn cổ điển bằng cách xem nguồn bức xạ như là một dao động momen điện
hoặc từ với sự phân bố điện tích và dòng thay đổi theo thời gian.
Chúng ta sẽ dựa trên quy tắc của Fermi để tính xác suất chuyển biến trong đơn
vị thời gian từ trạng thái đầu i đến trạng thái cuối f.
fi
λ
(
E
i
=E
f
) (2.1)
f
2
fifi
V
2
ρ
π
=λ
h
: là ma trận biến đổi
fi
V
: mật độ trạng thái cuối
f
ρ
Do bảo toàn năng lượng, ta có:

E
i
=E
f
.
A) Phần tử ma trận dịch chuyển
Vấn đề khó khăn là chọn toán tử tương tác, trạng thái đầu và cuối mà chúng có
liên quan đến cấu trúc hạt nhân. Ta nhận thấy:
- Trạng thái đầu i chỉ bao gồm trạng thái kích thích.
- Trạng thái cuối f bao gồm trạng thái kích thích hoặc cơ bản và photon γ.
Theo cổ điển, thế năng tương tác có dạng:
(2.2)
∑
−=
jjj
v)t,r(AqV
r
r
r
Trong đó:

j
q
là điện tích của vi hạt thứ j
: vị trí
j
r
r
: vận tốc
j

v
r
và là thế vectơ của trường bức xạ tại vị trí của vi hạt j, thoả:
)t,r(A
j
r
r

0Adiv =
r
(2.3)
hay
0A)
t
c
1
(
2
2
=
∂
∂
−Δ (2.4)

Do đó phần tử của ma trận dịch chuyển khi đó có thể viết:

)A j 1(
m
p
)A j 1()r(A.rd rd rd qV

i
j
j
j
*
A
3
j
3
1
3
jfi
f
*
ΦΦ−=
∑
∫∫
r
r
r
(2.5)
Với
)r(A
j
*
r
r
là phần liên hiệp phức theo biến không gian của
)t,r(A
j

r
r
. Đó
chính là hàm sóng của photon phóng thích ra.
là hàm sóng trạng thái của hệ ở trạng thái đầu và cuối.
fi
,ΦΦ
toán tử xung lượng.
jj
ip ∇−≡
r
h
r
Nếu đặc trưng trạng thái photon bằng năng lượng
ω
h và động lượng
k
r
h của nó,
ta có:

π
ν=ω 2 ;
ν
=λ
λ
=
c
;
1

k
; /k/k
r
=
Suy ra
ck
=
ω
(2.6)
Hàm sóng của photon - nghiệm của (2.4) khi đó là sóng phẳng đơn sắc:

ti
e)r(A)t,r(A
ω−
=
r
r
r
r
(2.7)
Mà phần không gian trong (2.5) là

rki
0
eA)r(A
r
r
r
r
r

ε=
(2.8)
Với là hằng số chuẩn hoá;
0
A
ε
r
là véc tơ đơn vị định hướng sự phân cực của
photon.
Điều kiện (2.3) cho thấy tính sóng ngang của bức xạ γ. Thật vậy (2.3) suy ra:

0kkk
zzyyxx
=
ε
+
ε
+
ε

Hay
0k. =ε
r
r

Vậy véc tơ phân cực
ε
r
vuông góc với phương truyền của . Do đó trong mặt sóng
phẳng chỉ có hai phương độc lập tuyến tính mà ta chọn vuông góc với nhau

γ
1
ε
r
,
2
ε
r

(hình 2.1).






Hình 2.1
Hằng số được chuẩn hoá trong không gian là thể tích của nhân. Khi đó năng
lượng của photon . Thật vậy từ
0
A
0
A=ωh
AxB;
t
A
E)t,r(A
r
rr
r

r
r
r
∇=
∂
∂
=→
ta suy ra:
Năng lượng của điện từ trường

V
V
d)B
1
E(
2
1
2
0
2
o
r
r
h
μ
+ε=ω
∫
(2.9)
Nếu ta chuẩn hoá hàm sóng photon sao cho năng lượng điện từ chứa trong thể
tích chuẩn V đúng bằng năng lượng

ω
h thì ta tìm được:

Vωε
=
0
0
2
A
h
(2.10)
Ở đây V là thể tích chuẩn hoá (bằng thể tích nhân)


B. Mật độ các trạng thái cuối:

Trạng thái đầu được tạo bởi nhân hiện hữu ở trong những trạng thái kích thích
năng lượng và không có photon. Năng lượng toàn phần không nhiễu loạn của hệ
là
i
E

E
i
i
E
=
trong trạng thái đầu
Trong trạng thái cuối, ta có nhân ở trạng thái kích thích ( hoặc không) ở mức
năng lượng và một photon năng lượng

f
E
ω
h
, véc tơ sóng
k
r
. Năng lượng toàn phần
không nhiễu loạn của hệ là

E
f
ω
+
=
h
f
E (2.11)
(bỏ qua năng lượng nhân giật lùi)
Sự bảo toàn năng lượng cho:
E
f
=E
i
(2.12)
Vậy:
fi
EE
−
=

ω
h
(2.13)
Đo năng lượng của photon sẽ biết được năng lượng kích thích của nhân. Số
trạng thái cuối là số trạng thái của photon.
ωh
f
n
Nếu giả sử photon có một sự phân cực xác định, theo véc tơ sóng ta có:

V
V
V
Ω
π
=
π
π
Ωπ
=
π
=
d
)2(
dkk
)2(
.
4
dkdk4
)2(

kd
dn
3
2
3
2
3
3
f
(2.14)
Vì d
E
cdkdckd
f
=
ω
⇒
=
ω
ω
= ,h

Nên d
E
cdk
f
h
=
(2.15)
Mật độ trạng thái cuối

Ω
ω
π
==ρ d)
c
(
c
1
)2(
d
dn
2
3
f
f
f
h
V
E
(2.16)
Để tính dùng bảo toàn năng lượng (2.13):
f
ρ

h
fi
EE −
=ω
(2.17)

C. Gần đúng đối với photon bước sóng dài:

Do tính chất phân bố mật độ của hạch tử trong nhân phần chính yếu đóng góp
vào (2.5) là những giá trị của
Rr
j
≤
r
(bán kính nhân nguyên tử) và nếu photon được
phóng thích ra có bước sóng
λ đủ lớn sao cho:

1
R
kR <<=
D
(2.18)
thì ta có thể viết:

rki1e
j
j
rki
+−=
−
r
r
r
r
(2.19)

Ví dụ: với nhân A=123, photon được phóng thích ra cở 0.1Mev, R=1.1 A
1/3
fm.
Ta có:
(2.20)
3
10x7.2kR
−
≈
Sự gần đúng càng tốt khi nhân càng nhỏ và năng lượng photon càng nhỏ.
1. Gần đúng cấp 1:
Lấy . Suy ra
1e
j
rki
≈
−
r
r
ε=
r
r
r
0j
*
A)r(A
(2.21)
Và

)A, j, ,1(

m
p
eA
)A j, ,1(
m
p
)A, j,1(rd rd rd eAV
i
z
1j
j
f0
i
Z
1j
j
A
3
j
3
1
3
0
)1(
fi
f
*
ΦΦε−=
ΦΦε−≈
∑

∑
∫∫
=
=
r
r
r
r
(2.22)
Và đã tính toán được:

if0fi
ˆ
iAV ΦΦωε= D
r
(2.23)
Với là momen lưỡng cực điện của nhân có khi
∑
=
=
Z
1j
j
r
ˆ
e
ˆ
r
D
fi

Φ≠
Φ

Để tính (2.23), ta phải biết
fi
,
Φ
Φ
dựa vào lý thuyết mẫu hạt nhân. Ở đây dùng
mẫu lớp đơn hạt.
Vì đây không phải là trung bình của momen lưỡng cực điện của nhân,
fi
Φ
≠
Φ

nên phần tử ma trận không nhất thiết phải triệt tiêu. Vậy khi (2.23) khác không, nó là
yếu tố quan trọng thúc đẩy cho dịch chuyển của photon từ .
fi →
2. Gần đúng cấp 2:

Khi , ta phải xét đến số hạng gần đúng cấp 2, đó là .
0V
fi
)1(
= ε−
rr
r
0j
Arki

Gần đúng cấp 2 của phần tử ma trận dịch chuyển có dạng

)A, j, ,1(p
ˆ
r
ˆ
)A, j, ,1(
f
*
m
e
rd rd rd kiAV
ij
Z
1j
jA
3
j
3
1
3
,
0
)2(
fi
ΦΦε=
β
=
α
βα

βα
∑
∫∫
∑

(2.24)
Trong đó số hạng có thể phân tích thành hai tenxơ phản xứng và đối
xứng đối với
β
=
α
∑
j
Z
1j
j
pr
β
α, :
Tenxơ phản xứng:

)prpr(
2
1
O
ˆ
jjj
Z
1j
j

)a(
αββ
=
α
−=
∑
(2.25a)
Tenxơ đối xứng

)prpr(
2
1
O
ˆ
jjj
Z
1j
j
)a(
αββ
=
α
+=
∑
(2.25b)
Xét sự tham gia của số hạng tenxơ phản xứng ta thấy:
là thành phần của
αββα
−
jjjj

prpr
)pxr(
jj
r
r
tức chính là thành phần của
j
l
r

(momen góc quỹ đạo của vi hạt j). Do đó ta có thể viết:

∑∑∑
=
αβ
=
βααββ
=
α
μ==−=
Z
1j
orbj
Z
1j
,jjjj
Z
1j
j
)a(

)
ˆ
()l
ˆ
(
m2
e
)prpr(
m2
e
O
ˆ
m2
e
(2.26)
: được gọi momen lưỡng cực từ của vi hạt j
orbj
ˆ
μ
: là toán tử momen từ quỹ đạo của nhân
orb
ˆ
μ
Khi đó phần tử ma trận dịch chuyển ứng với thành phần của lưỡng cực từ là

iorbf0
ˆ
)xu(
c
iAV

fi
M)2(
ΦμΦε
ω
=
r
r
(2.27)
Các dịch chuyển tương ứng với phần tử ma trận này gọi là chuyển biến lưỡng
cực từ. Và bức xạ
γ
được phóng thích ra được gọi là bức xạ lưỡng cực từ.
Một cách tổng quát, momen từ của nhân là

∑
=
μρ+ρ=μ
Z
1j
Nj
j
Sjlj
)S
ˆ
l
ˆ
(
ˆ
r
r

(2.28)
Với là magneton nhân,
N
μ
⎩
⎨
⎧
=ρ
neutron0
proton1
l
vôùiñoái
vôùiñoái
Và phần tử ma trận tương ứng là:

if
ˆ
ΦμΦ
(2.29)
Cũng với cách tính tương tự, sự tham gia của số hạng đối xứng đưa đến:
)S(
O
ˆ

if
,
2
0
Q
ˆ

u
c
A
6
1
fi
E)2(
V ΦΦε
ω
=
αββ
βα
α
∑
(2.30)
Trong đó:
if
Q
ˆ
ΦΦ
αβ
là phần tử của ma trận của toán tử momen tứ cực điện
giữa trạng thái đầu và cuối. Nó là một tenxơ hạng 2 đối xứng:
(2.31)
)rrr3(qQ
ˆ
Z
1j
jjj
j

2
∑
=
αββααβ
δ−=
Các chuyển biến liên kết với toán tử này gọi là chuyển biến tứ cực điện. Và bức
xạ
γ
được phóng thích ra được gọi là bức xạ tứ cực điện.
Nếu các phần tử ma trận chuyển tương ứng với 2 gần đúng đầu tiên triệt tiêu , ta
sẽ xét số hạng gần đúng bậc 3 kế tiếp.
D. Xác suất biến chuyển:

1. Tính xác suất biến chuyển của lưỡng cực điện:
Từ (2.1),(2.10),(2.16),(2.23)

)EE(/V/
2
ifffifi
−ρ
π
=λ
h
(2.1)

Vωε
=
0
0
2

A
h
(2.10)

Ω
ω
π
==ρ d)
c
(
c
1
)2(
d
dn
2
3
f
f
f
h
V
E
(2.16)

if0fi
ˆ
iAV ΦΦωε= D
r
(2.23)

Ta suy ra:
e
e
1
ˆ
iA
ˆ
iAV
if0if0
)1(
fi
ΦΦωε=ΦΦωε= DD
rr

Trong đó:
i
Z
1j
jfif
i
f
r
e
1
ˆ
d ΦΦ=ΦΦ=
∑
=
r
r

D
(2.32)
Xác suất của biến chuyển lưỡng cực điện

π
Ω
ε
ω
πε
=λ
2
d
/d/
c
)
c4
e
(
2
fi
2
3
0
2
r
r
h
fi
lcñ
(2.33)

Trong đó
)
c4
e
(
0
2
hπε
=α
là hằng số cấu trúc thanh.
Biểu thức (2.33) cho biết xác suất biến chuyển từ trạng thái đầu i sang trạng thái
cuối f của nhân và một trạng thái của photon ( được xác định bởi vec tơ
k
r
r
và hướng
phân cực ). Nếu ta không biê`t hướng phân cực thì phải lấy tổng xác suất (2.33)
theo 2 phương phân cực độc lập tuyến tính.
ε
Nếu ta không phát hiện cả phương truyền của photon và nếu ta lấy tổng xác suất
theo mọi phương truyền thì ta sẽ được xác suất toàn phần
λ
-xác suất biến chuyển từ
trạng thái đầu sang trạng thái cuối của nhân do bức xạ lưỡng cực điện.

∫
∑
∫
π
θθθ

ω
α=Ωλ=λ
0
22
fi
2
3
dsinsin/d/
c
d
phaâncöïc
lcñ
fi
lcñ
(2.34)

2
fi
2
3
/d/
c
3
4 ω
α=λ
lcñ
(2.35)

i
Z

1j
jf
i
f
rd ΦΦ=
∑
=
r
r
(2.36)
Cũng với cách tính tương tự nhưng phức tạp hơn ta có được xác suất biến chuyển
của lưỡng cực từ và tứ cực điện…
2. Áp dụng tính toán các xác suất biến chuyển:
Về phương diện hạt nhân, các xác suất biến chuyển lưỡng cực điện, lưỡng cực từ
và tứ cực điện lần lượt được xác định bởi các phần tử ma trận:

iffi
ˆ
ΦΦ= DD
r
(2.37)

iffi
ΦμΦ=μ
r
(2.38)

if
Q
ˆ

Q ΦΦ=
αβαβ
(2.39)
Các phần tử ma trận có thể được tính từ các hàm sóng cho bởi các mẫu hạt nhân.
Đặc biệt đối với mẫu hạt độc lập:

)A() 2().1()A, ,2,1(
A
n
2
n
1
n
Φ
Φ
Φ
=
Φ
(2.40)
Với
)t()s()r(mljm
l
nlm
l
m
l
2
1
nljm
τσ

σ
θχϕσ=Φ
∑
r

Hay đối với mẫu quay:

)'z,'y,'x(),(Y)'z,'y,'x,,(
int
J
M
J
M
ϕϕθ=ϕθΨ
Trong đó là hàm sóng nội tại riêng tượng trưng chuyển động nội tại
của vi hạt ở toạ độ .
)'z,'y,'x(
int
ϕ
z,'y,'x( )'
 Biến chuyển lưỡng cực điện
1
E :
Với nhân A lẻ trong khuôn khổ mẫu tầng, khi đó trạng thái đầu và cuối của nhân
chỉ khác nhau do trạng thái của chỉ một nucleon lẻ đôi chịu sự biến chuyển. Suy ra
phần tử ma trận hạt nhân thu về phần tử ma trận liên quan đến chỉ một nucleon với
hàm sóng thuộc dạng

)r(
l

),(Y)r(
n
l
l
m
l
nlm
Rϕθ=Ψ
r
Trong đó: )z,y,x(r
r
có thành phần là
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
=
−−=
+−=
−
+
zr
)y.ix(
2
1

r
)y.ix(
2
1
r
0

Các thành phần của
r
r
tỉ lệ với hàm liện hợp cầu , phần góc của phần tử ma
trận là tích phân của tích 3 hàm liên hợp cầu:
1
m
Y
fi
d
0l00llxmlmmll
)1l2(
)1l2)(1l2(
d),(Y),(Y),(YmlYml
132113232
1
32
3311
3
l
3
m
2

l
2
m
1
l
*
1
m
2
l
2
m
+
++
=
Ωϕθϕθϕθ=
∫

Giả sử các hệ số này vào khoảng đơn vị thì độ lớn của các phần tử ma trận cho
bởi:

)r(r)r(
i
n
i
l
f
n
f
l

RR

Với giả thiết đơn giản hoá rằng hàm sóng không khác nhau nhiều và
một cách gần đúng được xem như không thay đổi ở trong nhân và triệt tiêu ở ngoài
nhân, người ta tính được:
i
n
i
l
,
f
n
f
l
RR

R
4
3
)r(r)r(
i
n
i
l
f
n
f
l
≈RR
(2.41)

Với là bán kính nhân.
3/1
0
ArR =
Như vậy (2.42)
Rd
fi
≈
Mà
D
12
c
=
λ
π
=
ω

Ta có:
DD
c
)
R
(
3
4
2
)
1
E(

α≈λ
(2.43)
Ví dụ với nhân A trung bình vào khoảng 100, suy ra fm5R
≈
và năng lượng biến
chuyển . Ta tính được
Kev100=ωh

113
)
1
E(
s10
−
≈λ
Hay thời gian sống trung bình
(2.44)
s13
)
1
E(
10
−
≈τ
Ta cũng nhận thấy xác suất biến chuyển:
tỉ lệ thuận với (2.45)
)
1
E(
λ

3
)( ωh
Trong phạm vi mẫu tầng
tỉ lệ thuận với (2.46)
)
1
E(
λ
3/2
A

 Biến chuyển lưỡng cực từ
1
M
So sánh (2.23) với (2.27) ta thấy với sai biệt một thừa số nhân, giả sử cở đơn vị,
ta có thể lấy độ lớn của xác suất biến chuyển như sau
1
M

2
fi
2
3
)
1
M(
c
1
)
c

( μ
ω
α≈λ
r
(2.47)
với
fi
μ
cho bởi (2.38).
Trong phạm vi mẫu tầng ta chấp nhận độ lớn của
fi
μ
là:

)(
m2
e
Nfi
μ=≈μ
h
r
, m là khối lượng của 1 nucleon. (2.48)
Và do đó:

DD
D
c
)(
2
c

)
1
M(
α≈λ
(2.49)

fm10x1.2
mc
1
c
−
≈=
h
D
(2.50)
là bước sóng Compton của photon
γ
.
Nếu năng lượng biến chuyển
keV100
=
ω
h
ta có:

110
)
1
M(
s10

−
≈λ
Hay (2.51)
s10
10
)
1
M(
−
≈τ
Cũng giống như đối với phóng thích bức xạ lưỡng cực điện, ta có
tỉ lệ thuận với
)
1
M(
λ
ω
h
(2.52)
Nhưng trong khuôn khổ mẫu tầng xác suất biến chuyển không phụ thuộc vào
A.
1
M
 Biến chuyển tứ cực điện
2
E
Để đánh giá sự tham gia quan trọng của tứ cực điện ta cần phải có ý niệm về độ
lớn của phần tử ma trận .Giả sử ta cũng dùng mẫu tầng và cũng giống trường
hợp của phần tử ma trận
fi

)Q(
αβ
fi
d
r
ta để những hằng số qua một bên và khi đó ta tìm được:

22
fi
RR
5
3
)Q( ∝≈
αβ
(2.53)
Do đó xác suất liên quan đến biến chuyển tứ cực điện là:

DD
c
)
R
(R
c
44
4
5
)
2
E(
α=

ω
α≈λ
(2.54)
Với , ta có
keV100,fm5R =ω= h
hay (2.55)
18
)
2
E(
s10
−
≈λ
s10
8
)
2
E(
−
≈τ
Các xác suất đối với biến chuyển có độ lớn xấp xỉ xác suất đối với biến
chuyển và trở thành cạnh tranh nhau khi cả hai đều có thể xảy ra.
2
E
1
M
Ngoài ra sự phụ thuộc của vào năng lượng biến chuyển lại độc lập đối
với mẫu và đều là
)
2

E(
λ
ωh
tỉ lệ với (2.60)
)
2
E(
λ
5
)( ωh
Xem hình 2.4.

Hình 4. Xác suất biến chuyển tính từ mẫu tầng với A=100
Phân tích các kết quả có được ở trên cho phép ta suy ra các tính chất:
• Toán tử của biến chuyển
1
E là
D
ˆ
r
biến đổi như hàm sóng momen động
lượng lượng L=1 trong phép quay và có tính lẽ.
• Toán tử của biến chuyển
1
M là
μ
ˆ
r
biến đổi như hàm sóng momen động
lượng lượng L=1 trong phép quay và có tính chẳn.

• Toán tử của biến chuyển
2
E là
αβ
Q
ˆ
biến đổi như hàm sóng momen
động lượng lượng L=2 trong phép quay và có tính chẳn.
Một cách tổng quát
• Toán tử biến chuyển đa cực điện 2L là
)E(
ˆ
L
O
biến đổi như hàm sóng L
và có tính chẳn lẻ (-1)
L
.
• Toán tử biến chuyển đa cực từ 2L là
)M(
ˆ
L
O
biến đổi như hàm sóng L
và có tính chẳn lẻ(-1)
L+1
.
• Các biến chuyển và các bức xạ liên kết là những bức xạ 2L điện hoặc từ
• Những kết quả (2.45), (2.52), (2.60) được suy rộng tổng quát
và tỉ lệ với (2.61)

)
L
E(
λ
)
L
M(
λ
1L2
)(
+
ωh
• Cũng vậy đối với cũng một giá trị của năng lượng biến chuyển
ω
h ta có:
100 lần (2.62)
⎩
⎨
⎧
λ<<λ
λ<<λ
+
+
)
L
M()
1L
M(
)
L

E()
1L
E(
(2.63)
)
L
E()
L
M(
λ<λ
• Trong khuôn khổ của mẫu tầng với nucleon đơn lẻ, sự phụ thuộc của xác
suất biến chuyển vào bán kính hạt nhân được tổng quát hóa thành

3/L2L2
)
L
E(
AR ≈∝λ
(2.64)
3/)1L(2)1L(2
)
L
M(
AR
−−
≈∝λ
E. Các quy tắc lọc lựa

Các xác suất biến chuyển tỉ lệ với bình phương modul các phần tử ma
trận

)
L
M()
L
E(
,λλ

iLf
)E(
ˆ
ΦΦ O

iLf
)M(
ˆ
ΦΦ O
Gọi và là spin và tính chẳn lẽ của trạng thái đầu
i
i
J
π
f
f
J
π
i
Φ
và cuối . Các quy
tắc cộng momen động và các định luật bảo toàn tính chẳn lẽ cho phép xác định các
điều kiện về sự không triệt tiêu của các ma trận này.

f
Φ
Ta có quy tắc sau:

fifi
JJLJJJ +≤≤−≡Δ
Với
⎩
⎨
⎧
−=ππ
−=ππ
+
L
1L
fi
L
L
fi
Mbc)1(
Ebc)1(
Những trường hợp không thoả thì bị cấm. Vì đây là sóng ngang , nên không
có biến chuyển tức không phóng thích . Tuy nhiên các biến chuyển điện từ
có thể xảy ra để tạo hiện tượng biến đổi nội tại hay nếu năng lượng đủ lớn thì tạo
hiệu ứng tạo cặp nội tại.
0L ≠
)00( → γ
III) CÁC ÁP DỤNG
Khảo sát thực nghiệm phát xạ
liên quan đến các mẫu hạt nhân:

Ví dụ xét nhân
, ta biết

Thực nghiệm cho biết
. Ta tìm hiểu xem trạng thái kích thích đầu tiên có
phải là
với tính chẵn lẻ và momen bao nhiêu ?
Nhận thấy Z=50 là số magic, Số neutron N=39 nên hạch tử lẻ đôi nằm ở 2
(mẫu
tầng) phù hợp với
;
Vậy dùng mẫu tầng để tìm hiểu
.
Ta có


Ta dự đoán L=4 (Xem hình 4)
Theo quy tắc lọc lựa


Chọn L nhỏ nhất
=>
?
?
Trong sơ đồ mẫu tầng:

Trạng thái kích thích của hạch tử lẻ đôi đầu tiên với dự đoán L=4 có thể là 1
hoặc
1

Nếu 1

1

Vì đây là mức kích thích đầu tiên (mức năng lượng thấp nhất) nên
là thích hợp.
Mẫu tấng thích hợp cho những nhân lẻ , A lớn, và chuyển biến lớn. Ví dụ đặc
trưng trên minh họa một cách khá hệ thống các xác suất biến chuyển
trùng hợp
với những suy đoán về mẫu tầng đối với những nhân có số hạch tử lẻ trong khoảng
39
49 (số magic 50) hay từ 65 81 (trước số magic 82) hay 115 125 (trước số
magic 126). Sự trùng hợp này là một xác nhận đối với sự vững chắc của mẫu tầng vì
nó bao hàm hai mức hạch tử gần nhau, có tính chẵn lẻ đối nhau và j rất khác nhau, có
thể phóng thích photon
cấp đa cực cao và do đó tương ứng với thời gian sống dài.
Sự trùng hợp của những giá trị xác suất biến chuyển đo được với trị suy đoán từ mẫu
tầng ít khi được tốt như trong ví dụ trên. Ví dụ biến chuyển
bao hàm thay đổi tính
chẵn lẻ nên ít nhất phải thay đổi tầng đối với 1 hạch tử đơn lẻ. Sự hiện hữu các trạng
thái có tính chẵn lẻ đối nhau không làm giảm bớt khó khăn này, vì các trị của j rất
khác xa nhau và không phù hợp với L=1, ngoại trừ trong trường hợp của những nhân
rất nhẹ, những biến chuyển
của trạng thái kích thích không thể chỉ là biến chuyển
của một hạch tử.
Tương tự đối với biến chuyển
, sự trùng hợp của giá trị tính toán đơn giản hóa
54 của mẫu tầng và thực nghiệm chỉ là bán định lượng ở lân cận ở tầng magic. Xác
suất
của biến chuyển theo mẫu tầng luôn luôn thấp hơn giá trị thực nghiệm thừa

số
xấp xỉ giá trị F (ở phần c biến chuyển tứ cực điện).
Những khó khăn để có được sự trùng hợp định lượng giữa giá trị thực nghiệm và trị
suy đoán lý thuyết đối với các xác suất phóng thích
với những mẫu đơn giản chứng
tỏ các giá trị lý thuyết bị chi phối quan trọng bởi hàm sóng hạt nhân.
IV. HIỆN TƯỢNG BIẾN ĐỔI NỘI TẠI
Đó là hiện tượng truyền năng lượng trực tiếp của nhân do trạng thái điện từ cho một
trong các electron nguyên tử (tầng, K, L, M,…)
Gọi
, là năng lượng trạng thái đầu và cuối.
, T là năng lượng buộc của ở trạng thái đầu và động năng của ở trạng thái cuối
Nếu bỏ qua năng lượng giật lùi.



Nếu thiết bị phát hiện electron có độ phân giải năng lượng cao, ta có thể phân
biệt nguồn gốc electron bằng cách đo T. Sự bức e tầng K chẳng hạn thường kích ion
tương ứng, tiếp theo là sự khữ kích thích hay xếp đặt lại của electron làm phát ra bức
xạ điện từ X mà năng lượng sẽ đặc trưng cho lỗ hỏng tạo ra bởi bức xạ điện từ trong
hiện tượng biến đổi nội tại. Vậy ta có những biện pháp tốt để xác định trạng thái đầu
của electron.
a). Các hệ số biến đổi nội tại:
Gọi λ
γ
, λ
e
là xác suất khử kích thích của nhân với phóng thích γ và biến đổi
nội tại. Để nhân từ trạng thài đầu sang trạng thái cuối, xác suất chung để khử kích
thích của nhân là:

: số electron và số phóng thích trong 1 đv tg của bức xạ hạt nhận.
Nếu ta phân biệt electron của các tầng khác nhau K,L,M ta có xác suất riêng
phần tương ứng
và khi đó ta có các hệ số biến đổi nội tại
b) Tính chất của các hệ số biến đổi nội tại:
Thế năng nhiễu loạn V gây ra các biến chuyển thông thường là thế năng tương
tác Coulomb giữa những proton và electron phóng thích ra.
Thế tạo ra tại M:

e
-



M

O
Hình 5
Trong đó:


Suy ra:

2
2
23
11

0
11 1 1
() ( ) . 23
42
ZZ
jj
jj
rr
rZeer rr
rrr r r
ϕ
πε
==
⎧⎫
⎡⎤
⎪⎪
⎛⎞ ⎛ ⎞
=+ + −
⎢⎥
⎨⎬
⎜⎟ ⎜ ⎟
⎝⎠ ⎝ ⎠
⎢⎥
⎪⎪
⎣⎦
⎩⎭
∑∑
j
+
r

r
rrr

Điện thế năng toàn phần:
().(er)
ϕ
−
r

Thế tương tác thặng dư:

22
1
00
1
44
Z
j
j
eZe
V
r
rr
π
επ
=
⎛⎞
=− − −
⎜
−

⎝⎠
∑
rr
ε
⎟
(71)
Nếu ta gọi:
(1,2, , , )
i
j
AΦ và
(1 )
f
f
A
Φ
là hàm sóng đầu và cuối của nhân.

()
i
r
ϕ
r
và
()
f
r
ϕ
r
là hàm sóng đầu và cuối của e

-
, thì phần tử biến chuyển là:

2
33 3 * *
1
1
0
1
(1 ) ( ). ( ) (1, , )
4
Z
fi j A f f i i
j
j
e
VdrdrdrArr
rr
ϕϕ
πε
=
=− Φ Φ
−
∑
∫∫
rr
rr
A

(72)

Số hạng thứ hai trong (71) biến mất vì nó độc lập với tọa độ r
j
của proton và tính trực
giao của hàm sóng Φ
i
, ϕ
i.
Để tính (72) người ta dung một gần đúng tương tự
j
rR
<
r
r
. Sự gần đúng này dựa
trên cơ sở là vùng trong đó hàm sóng hạt nhân có giá trị không thể bỏ qua lại rất nhỏ
hơn trong vùng ở đó hiện hữu hàm sóng electron.
Trong điều kiện như vậy, một cách trung bình ta có r
j
< r,
j
∀
do đó ta có thể áp dụng
khai triển gần đúng trên:

2
11
11

ZZ
j

jj
j
Zr
r
rrr
rr
==
⎛⎞
=
+
⎜⎟
−
⎝⎠
∑
+
∑
r
r
rr
(73)
Và số hạng thứ nhất bị loại giống như (71). Trong các gần đúng liên tiếp của các
phần tử ma trận biến chuyển, người ta có thể viết thành tích số của các phần tử ma
trận hạt nhân với phần tử ma trận e
-
khi tách biến của hàm sóng trong (73). Số hạng
đầu tiên trong (72) xuất phát từ số hạng lưỡng cực của (73) hay:

1
2
()

*
dnt
3
0
() ()
4
E
fi b i f i
er
Vdfr
r
ϕϕ
πε
=−
∫
3
rdr
r
r
rr
(74)
Trong đó
i
d
f
r
là phần tử ma trận hạt nhân của biến chuyển lưỡng cực điện (39).

1
Z

ifj
j
df r
=
i
=
〈Φ Φ 〉
∑
r
r

Nếu sự tham gia của số hạng lưỡng cực trong (73) triệt tiêu, ta phải tính đến
sự tham gia của số hạng kế tiếp.
Phần tử ma trận được viết dưới dạng tích để làm xuất hiện dưới dạng thừa số ma trận
hạt nhân
ˆ
()
f
i
O
αβ
của biến chuyển E
2
(40).
Để có những biến chuyển từ, cần phải thêm vào trong (71) tương tác giữa dòng e
-
với
thế vector tạo nên bởi các nucleon. Các thừa số tìm thấy trong (74) được tổng quát
hóa và dẫn đến nhiều tính chất của biến đổi nội tại như:
-Phần tử ma trận biến chuyển ở cấp cho sẵn tỷ lệ thuận với phương trình ma trận hạt

nhân biến chuyển gamma, các quy tắc chọn lựa của biến đổi nội tại cũng giống hệt
của các quy tắc lọc lựa của biến đổi hạt nhân trừ trường hợp biến đổi nội tại đơn cực.
Điều này dẫn tới cách sắp xếp các hệ số biến đổi nội tại theo các cấp của đa cực điện
và từ.
- Các hệ số biến đổi nội tại không phụ thuộc vào các phần tử biến đổi nội tại của
nhân và có thể tính được độc lập với cấu trúc hạt nhân với độ chính xác cao. Đây là
một bài toán nguyên tử hơn là một bài toán hạt nhân. Để có được độ chính xác cao
cần phải tính các phương trình ma trận electron với các hàm sóng có kể đến trạng
thái xoắn Coulomb trên trạng thái cuối của electron cũng như hiệu ứng tương đối đối
với Z lớn.
Giá trị của hệ số biến đổi nội tại được tính và cho trong phụ lục của các tài liệu về
gamma. Từ đó khảo sát sự biến thiên của α
K
theo năng lượng biến chuyển
if
EE
−
,
theo Z và theo cấp đa cực của bức xạ (xem hình 6, 7).
Từ kết quả khảo sát nhận thấy hệ số biến đổi nội tại (75)
+ Tăng theo Z
+ Tăng theo cấp đa cực L
+ Giảm khi ΔE tăng
+ Có giá trị lớn hơn đối với một biến chuyển từ so với biến chuyển điện cùng cấp
+ Có trị α thỏa

KLM
α
αα
>>

Giải thích:
+ Tăng theo Z vì hàm sóng e
-
ở tầng K.

0
3
3
0
() .
Z
r
a
i
Z
re
a
ϕ
π
−

(76)
Giảm nhanh khi r tăng. Chú ý bán kính Bohr
0
a
Z
=

-Dựa vào hệ số biến đổi nội tại ta xác định được đa cực của bức xạ điện từ. Hệ số

biến đổi nội tại ảnh hưởng quan trọng đến thời gian sống của mức kích thích:

11 1
(1 ) (1 )
γ
γ
ττ
λ
λα α
== =
++
(77)


Hình 6: Sự phụ thuộc






theo đối với biến chuyển đa cực điện


Hình 7: Sự phụ thuộc
theo đối với biến chuyển lưỡng cực từ

Trong ví dụ ở trạng thái kích thích
89
39 50

Y
9
2
+
mức năng lượng 0.91 MeV, hệ số
biến đổi nội tại α= 10
-2
. Không ảnh hưởng đáng kể đến thời gian sống của mức kích
thích, trái lại với nhân , khi khử kích thích do biến chuyển M4, năng lượng
biến chuyển khoảng 104 keV, hệ số biến đổi nội tại vào khoảng α= 270. Do đó thời
gian sống kích thích trung bình của mức
91
Nb
41
9
2
+
là 62 ngày sẽ là 46 năm nếu trong cùng
trạng thái kích thích đó với cùng loại biến chuyển và nếu chỉ có phóng thích γ là khả
hữu.
C/ Biến đổi nội tại đơn cực:
Ta đã thấy không có biến chuyển J
i
= 0 → J
f
= 0 đối với phóng thích photon γ. Tuy
nhiên các biến chuyển J
i
= 0 → J
f

= 0 vẫn có thể xảy ra với e
-
được phóng thích ra dù
rằng không có số hạng đơn cực trong khai triển (71).
Chính sự gần đúng r
j
< r đã dẫn đến trường hợp này và chỉ xét đến những tham gia
vào phương trình ma trận (72) sự hiện hữu của e
-
trong nhân khi r < r
j
. Khi tính
những giá trị tham gia này, người ta tìm thấy đối với L ≥ 1, chúng không đáng kể so
với trị tương ứng khi e
-
ở ngoài nhân và những giá trị sau này triệt tiêu khi r= 0.
Với r ≤ r
j
, ta có thể viết:

3
111
.
11

ZZZ
j
jjj
jj
j

rr
rr
rr
===
=
+
−
∑∑∑
+
r
r
r
rr
(78)
Trong đó chỉ có số hạng thứ nhất là tương ứng biến chuyển đơn cực L=0. Do đó
phương trình ma trận tương ứng là:

2
33 3* * 3
0, 0 1
1
0
1
. ( ) ( ) ( ) ( )
4
j
Z
fi j Af i f i
j
j

rr
e
Vdrdrdrjjr
r
φφϕϕ
πε
=
<
=−
∑
∫∫ ∫
rr
rdr

(79)
Vì các hàm sóng e
-
biến thiên chậm bên trong nhân ta có thể gấn đúng thay thế chúng
tại tâm O của nhân: (r < r
j
)

() (0)
ff
r
ϕ
ϕ
≈
r

() (0)
ii
r
ϕ
ϕ
≈
r

Và ta có:

*3*
4
() () (0) (0)
3
3
f
ifi
rrdr r
j
ϕ
ϕϕϕ
∫
rr

π

Như vậy ta có thể suy ra:
2
*33*2

0, 0 1
1
0
4
(0) (0) ( ) ( )
43
Z
fi f i Af ji
j
e
Vdrdrj
πϕ ϕ φ φ
πε
=
=−
∑
∫∫
rj
(80)
Giả sử e
-
bắn ra là
K
e và động năng T của nó đủ lớn và có thể viết:

ifnif
TEE EE E
ε
=− − − =Δ
(81)

Và lấy hàm sóng cuối của nó là hàm sóng phẳng:


1
()
ikr
f
re
V
ϕ
=
r
r
r

V là thể tích chuẩn hóa trong đó tồn tại e
-
.
Và hàm sóng đầu ở trạng thái (76):

0
3
3
0
() .
Z
r
a
i
Z

re
a
ϕ
π
−
=
r
(82)
Nếu chỉ để ý đến độ lớn tương tự như kết quả đã có trong (42) hay (93), ta có:

2
1
Z
fji
j
r
φφ
=
〈〉
∑
2
R

nếu Π
I
= Π
f
(vì Π
I
.Π

f
= (-1)
0
= 1)
Quy tắc lọc lựa: