Đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ - phần 4 - ViettelStudy

PHẦN I: HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG
CHƯƠNG I: ĐƯỜNG THẲNG
I) CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN:
Bài1: Cho véctơ
m
= (1; 2)
n
= (-2; 3)
1) Tìm góc giữa các cặp véctơ sau:
m
và
n
; 3
m
+
n
và
m
- 2
n

2) Tìm a và b sao cho a
m
+ b
n

n

Bài2: Cho ba điểm A(0; 1) B(-1; -1) C(-1; 2)

1) Chứng minh rằng: Ba điểm A, B, C không thẳng hàng.
2) Tính chu vi và diện tích của ABC.
3) Tìm toạ độ trọng tâm, trực tâm, tâm đƣờng tròn ngoại tiếp của ABC.
II) PHƢƠNG TRÌNH ĐƢỜNG THẲNG:
Bài1: Viết phƣơng trình đƣờng thẳng d trong các trƣờng hợp sau:
1) Đi qua điểm A(1; 1) có hệ số góc k = 2.
2) Đi qua điểm B(1; 2) và tạo với hƣớng dƣơng của trục Ox 1 góc 30
0
.
3) Đi qua C(3; 4) và tạo với trục Ox một góc 45
0
.
Bài2: Viết phƣơng trình các cạnh và đƣờng trung trực của ABC biết trung điểm của 3 cạnh AB, AC, BC
theo thứ tự là M(2; 3) N(4; -1) P(-3; 5).
Bài3: Cho ABC với trực tâm H. Biết phƣơng trình cạnh AB là: x + y - 9 = 0, các đƣờng cao qua đỉnh A và
B lần lƣợt là (d
1
): x + 2y - 13 = 0 và (d
2
): 7x + 5y - 49 = 0.
1) Xác định toạ độ trực tâm H và phƣơng trình CH.
2) Viết phƣơng trình cạnh BC.
3) Tính diện tích của tam giác giới hạn bởi các đƣờng thẳng AB, AC và Oy.
Bài4: Lập phƣơng trình các cạnh của ABC. Biết đỉnh C(3; 5) đƣờng cao và đƣờng trung tuyến kẻ từ đỉnh A
có phƣơng trình là: (d
1
): 5x + 4y - 1 = 0 (d
2
): 8x + y - 7 = 0
Bài5: Phƣơng trình hai cạnh của một tam giác là: 3x - y + 24 = 0 ; 3x + 4y - 96 = 0. Viết phƣơng trình

cạnh thứ 3 của tam giác biết trực tâm H






3
32
0;
.
Bài6: Cho đƣờng thẳng d có phƣơng trình: 3x + 4y - 12 = 0.
1) Xác định toạ độ các giao điểm A, B của d lần lƣợt với Ox, Oy.
2) Tìm toạ độ hình chiếu H của gốc O trên đƣờng thẳng d.
3) Viết phƣơng trình đƣờng thẳng d' đối xứng với d qua O.


Bài7: Cho ABC với A(2 ; 2) B(-1; 6) C(-5; 3).
1) Viết phƣơng trình các cạnh ABC.
2) Viết phƣơng trình đƣờng thẳng chứa đƣờng cao AH của ABC.
3) CMR: ABC là tam giác vuông cân.
Bài8: Cho ABC với A(1; -1) B(-2; 1) C(3; 5).
1) Viết phƣơng trình đƣờng thẳng chứa trung tuyến BI của ABC.
2) Lập phƣơng trình đƣờng thẳng qua A và  BI.
III) CHÙM ĐƢỜNG THẲNG:
Bài1: Viết phƣơng trình đƣờng thẳng d đi qua giao điểm của hai đƣờng thẳng (d
1
): x + 3y - 9 = 0 và (d
2
): 3x -

2y - 5 = 0 đồng thời đi qua điểm A(2; 4).
Bài2: Viết phƣơng trình đƣờng thẳng (d) đi qua giao điểm của hai đƣờng thẳng (d
1
): 3x + y - 0 = 0 và (d
2
):
3x + 2y - 5 = 0 và đồng thời song song với đƣờng thẳng (d
3
): x - y + 4 =0
Bài3: Viết phƣơng trình đƣờng thẳng () đi qua giao điểm của hai đƣờng thẳng (d
1
): x+ y - 2 = 0 và (d
2
): 3x -
4y + 1 = 0 đồng thời chắn trên hai trục toạ độ những đoạn bằng nhau.
Bài4: Cho ABC có phƣơng trình cạnh AB là: x + y - 9 = 0 đƣờng cao qua đỉnh A và B lần lƣợt là (d
1
): x +
2y - 13 = 0 và (d
2
): 7x + 5y - 49 = 0. Lập phƣơng trình AC, BC và đƣờng cao thứ ba.
IV) GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH:
Bài1: Viết phƣơng trình đƣờng thẳng () qua điểm M(5; 1) và tạo thành một góc 45
0
với đƣờng thẳng (d) có
phƣơng trình: y = 2x + 1.
Bài2: Cho 2 đƣờng thẳng (d
1
): x + 2y + 1 = 0 ; (d
2

): x + 3y + 3 = 0.
1) Tính khoảng cách từ giao điểm của (d
1
) và (d
2
) đến gốc toạ độ.
2) Xác định góc giữa (d
1
) và (d
2
).
3) Viết phƣơng trình đƣờng phân giác của các góc hợp bởi (d
1
) và (d
2
).
Bài3: Cho ABC, các cạnh có phƣơng trình: x + 2y - 5 = 0; 2x + y + 5 = 0; 2x - y - 5 = 0.
1) Tính các góc của ABC.
2) Tìm phƣơng trình đƣờng phân giác trong của các góc A và B.
3) Tìm toạ độ tâm, bán kính các đƣờng tròn nội tiếp và ngoại tiếp ABC.
Bài4: Cho 2 điểm A(1; 3) và B(3; 1). Lập phƣơng trình đƣờng thẳng qua A sao cho khoảng cách từ B tới
đƣờng thẳng đó bằng 1.
Bài5: Cho P(1; 1) và 2 đƣờng thẳng (d
1
): x + y = 0; (d
2
): x - y + 1 = 0. Gọi (d) là đƣờng thẳng qua P cắt (d
1
),
(d

2
) lần lƣợt tại A, B. Viết phƣơng trình của (d) biết 2PA = PB.


Bài6: Cho 2 đƣờng thẳng (d
1
) và (d
2
) có phƣơng trình (d
1
): 2x + y + 1 = 0; (d
2
): x + 2y - 7 = 0. Lập phƣơng
trình đƣờng thẳng (d) đi qua gốc toạ độ sao cho đƣờng thẳng (d) tạo với (d
1
) và (d
2
) một tam giác cân có đỉnh
là giao điểm của (d
1
) và (d
2
). Tính diện tích tam giác cân đó.

V) ĐIỂM LIÊN QUAN ĐẾN ĐƢỜNG THẲNG VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÁC:
Bài1: Cho ABC. A(4; 3) B(2; 7) C(-3; -8)
a) Tìm toạ độ trọng tâm G, trực tâm H và tâm I của đƣờng tròn ngoại tiếp ABC.
b) CMR: I, G, H thẳng hàng.
c) Tính diện tích ABC.
Bài2: Tìm trên (d): x + y = 0 điểm P sao cho tổng khoảng cách từ P tới các điểm A và B là nhỏ nhất với:

1) A(1; 1) B(-2; 4) 2) A(1; 1) B(3; -2)
Bài3: Cho ABC có M(-2; 2) là trung điểm BC, cạnh AB, AC có phƣơng trình: x - 2y - 2 = 0, 2x + 5y + 3 =
0. Hãy xác định toạ độ các đỉnh ABC.
Bài4: Trong mặt phẳng Oxy cho A(3; 1).
1) Tìm toạ độ điểm B và C sao cho OABC là hình vuông và B thuộc góc phần tƣ thứ nhất.
2) Viết phƣơng trình 2 đƣờng chéo và tâm của hình vuông.
3) Tìm toạ độ điểm B và C sao cho OBAC là hình vuông.
Bài5: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Đềcác vuông góc Oxy cho hình chữ nhật ABCD có tâm I






0
2
1
;
,
phƣơng trình đƣờng thẳng AB là x - 2y + 2 = 0 và AB = 2AD. Tìm toạ độ các đỉnh A, B, C, D biết rằng đỉnh
A có hoành độ âm.
Bài6: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Đềcác vuông góc Oxy xét ABC vuông tại A, phƣơng trình đƣờng
thẳng BC là:
033  yx
, các đỉnh A và B thuộc trục hoành và bán kính đƣờng tròn nội tiếp bằng 2.
Tìm toạ độ trọng tâm G của ABC.
CHƯƠNG II: ĐƯỜNG BẬC HAI
I) ĐƢỜNG TRÕN:
Bài1: Lập phƣơng trình đƣờng tròn trong các trƣờng hợp sau:
1) Đi qua A(3; 4) và tâm là gốc toạ độ.

2) Đi qua A(3; 1) B(5; 5) và tâm I nằm trên trục tung.
3) Đi qua A(1; 2) B(2; 1) và tâm I nằm trên đƣờng thẳng (d): 3x + 4y + 7 = 0
4) Đi qua A(-2; 4) B(6; -2) C(5; 5).
5) Tâm I(-1; 2) và tiếp xúc với đƣờng thẳng (d): x - 2y - 2 = 0.
6) Đƣờng kính AB với A(1; 1) B(3; 3).


Bài2: Lập phƣơng trình đƣờng tròn tiếp xúc với hai trục toạ độ và đi qua A(4; 2).
Bài3: Viết phƣơng trình đƣờng tròn ngoại tiếp ABC. Biết AB: 2x - y + 4 = 0
BC: x + y - 1 = 0 AC: x + 4y + 2 = 0
Bài4: Lập phƣơng trình đƣờng tròn có tâm thuộc đƣờng thẳng (d): 2x + y + 2 = 0 và vuông góc với hai tiếp
tuyến của đƣờng tròn (C
1
): x
2
+ y
2
- 4 x = 0 (C
2
): x
2
+ y
2
+ 2y = 0 tại giao điểm của (d) với (C
1
) (C
2
).
Bài5: 1) Lập phƣơng trình đƣờng tròn đi qua điểm A(1; -2) và các giao của đƣờng thẳng (d): x - 7y + 10 = 0
với đƣờng tròn (S): x

2
+ y
2
- 2x + 4y - 20 = 0.
2) Viết phƣơng trình đƣờng tròn qua giao điểm của hai đƣờng tròn (C
1
): x
2
+ y
2
- 2x + 4y - 4 = 0 và
(C
2
): x
2
+ y
2
+ 2x - 2y - 14 = 0 và đi qua M(0; 1)
3) Lập phƣơng trình đƣờng tròn qua giao điểm của hai đƣờng tròn (C
1
): x
2
+ y
2
- 2x + 2y - 2 = 0 (C
2
):
x
2
+ y

2
- 6y = 0 và tiếp xúc với đƣờng thẳng d: x + y + 1 = 0
II) TIẾP TUYẾN ĐƢỜNG TRÕN:
Bài1: Viết phƣơng trình tiếp tuyến của đƣờng tròn (C): x
2
+ y
2
- 2x - 6y - 6 = 0 biết:
1) Tiếp tuyến đi qua M(1; -1).
2) Tiếp tuyến đi qua M(4; -1)
Bài2: Viết phƣơng trình tiếp tuyến của (C): x
2
+ y
2
- 2x - 2y + 1 = 0 biết:
1) Tiếp tuyến // (d): x + y = 0.
2) Tiếp tuyến  (d): x + y = 0
3) Tiếp tuyến tạo với (d): x + y = 0 một góc 60
0

Bài3: Viết phƣơng trình tiếp tuyến chung của hai đƣờng tròn sau:
1) (C
1
): x
2
+ y
2
- 1 = 0 (C
2
): x

2
+ y
2
- 4x - 4y - 1 = 0
2) (C
1
): x
2
+ y
2
- 6x + 5 = 0 (C
2
): x
2
+ y
2
- 12x - 6y + 44 = 0
Bài4: Cho đƣờng tròn (C): x
2
+ y
2
= 4 và một điểm M(2; 4). Từ M kẻ 2 tiếp tuyến MT
1
, MT
2
với đƣờng tròn,
trong đó T
1
, T
2

là tiếp điểm.
1) Viết phƣơng trình đƣờng thẳng T
1
T
2
.
2) Viết phƣơng trình các tiếp tuyến của (C) song song với T
1
T
2
.
III) ELÍP:
1) LẬP PHƢƠNG TRÌNH ELÍP
Bài1: Cho (E) có phƣơng trình: 9x
2
+ 4y
2
= 36.
1) Tìm toạ độ các đỉnh, toạ độ các tiêu điểm, tìm tâm sai của (E) đó.
2) Cho M(1; 1). Lập phƣơng trình đƣờng thẳng qua M cắt (E) tại 2 điểm A, B sao cho MA = MB.
Bài2: Lập phƣơng trình chính tắc của (E) biết:
1) Trục lớn thuộc Ox có độ dài bằng 6, trục nhỏ thuộc Oy có độ dài bằng 4.


2) Trục lớn thuộc Oy có độ dài bằng 6. Tiêu cự e = 4.
3) Độ dài trục lớn bằng 16, tâm sai e =
8
5
, hai tiêu điểm thuộc Ox.
4) Đi qua M

 
233 ;
và N
 
323;
. Tìm M  (E) sao cho MF
2
= 2MF
1

2) TIẾP TUYẾN CỦA ELÍP, QUỸ TÍCH ĐIỂM
Bài1: Cho (E):
1
49
2
2

y
x
. Viết phƣơng trình các tiếp tuyến của (E) biết:
1) Đi qua A(3; 0)
2) Tiếp tuyến đi qua B(4; 2)
3) Tiếp tuyến song song (): x - y + 6 = 0
4) Tiếp tuyến vuông góc (): 2x - y + 2 = 0
5) Tiếp tuyến với (d): x + 2y = 0 một góc 45
0
.
Bài2: Viết phƣơng trình tiếp tuyến chung của:
(E
1

):
1
45
2
2

y
x
(E
2
):
1
54
2
2

y
x

Bài3: Biết (E):
1
2
2
2
2

b
y
a
x

nhận các đƣờng thẳng (d
1
): x - 2y - 4 = 0 và (d
2
): 2x +
3
y - 5 = 0 làm tiếp
tuyến.
1) Xác định a
2
và b
2
, từ đó tìm toạ độ các tiêu điểm của (E).
2) Viết phƣơng trình tiếp tuyến của (E) đi qua A(2; 0).
3) Viết phƣơng trình tiếp tuyến của (E) đi qua B(0; 4).
Bài4: Cho (E):
1
1224
2
2

y
x
. Viết phƣơng trình các cạnh của hình vuông ngoại tiếp (E).
Bài5: Cho (E
1
):
1
36
2

2

y
x
(E
2
):
1
4
2
2

y
x

Viết phƣơng trình đƣờng tròn đi qua giao điểm của hai Elíp.
Bài6: CMR: tích các khoảng cách từ các tiêu điểm tới một tiếp tuyến bất kỳ của một Elíp bằng bình phƣơng
nửa độ dài trục nhỏ của Elíp.
Bài7: Cho hai điểm M, N trên một tiếp tuyến của Elíp (E):
1
2
2
2
2

b
y
a
x
, sao cho mỗi tiêu điểm F

1
, F
2
của
(E) nhìn đoạn MN dƣới một góc vuông. Hãy xác định vị trí của M, N trên tiếp tuyến ấy.


Bài8: Cho Elíp (E):
1
2
2
2
2

b
y
a
x
. Tìm tập hợp các điểm từ đó kẻ đƣợc hai tiếp tuyến vuông góc với nhau
tới (E).
Bài9: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ đề các vuông góc Oxy cho Elíp (E) có phƣơng trình:
1
916
2
2

y
x
.
Xét điểm M chuyển động trên tia Ox và điểm N chuyển động trên tia Oy sao cho đƣờng thẳng MN luôn tiếp

xúc với (E). Xác định toạ độ của M, N để đoạn MN có độ dài nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất đó.
Bài10: Trên mặt phẳng toạ độ với hệ toạ độ Đềcác vuông góc Oxy, cho elip có phƣơng trình: 4x
2
+ 3y
2
- 12
= 0. Tìm điểm trên elip sao cho tiếp tuyến của elip tại điểm đó cùng với các trục toạ độ tạo thành tam giác có
diện tích nhỏ nhất.
Bài11: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcac Oxy cho elip (E):
1
49
2
2

y
x
và đƣờng thẳng d
m
: mx - y - 1
= 0.
1) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đƣờng thẳng d
m
luôn cắt elíp (E) tại hai điểm phân biệt.
2) Viết phƣơng trình tiếp tuyến của (E), biết rằng tiếp tuyến đó đi qua điểm N(1;-3)
Bài12: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcac Oxy cho elip (E):
1
14
2
2


y
x
, M(-2; 3), N(5; n). Viết
phƣơng trình các đƣờng thẳng d
1
, d
2
qua M và tiếp xúc với (E). Tìm n để trong số các tiếp tuyến của (E) đi
qua N và có một tiếp tuyến song song với d
1
hoặc d
2

Bài13: Cho elip (E) có hai tiêu điểm là F
1
(
03;
);
 
03
2
;F
và một đƣờng chuẩn có phƣơng trình: x =
3
4
.
1) Viết phƣơng trình chính tắc của (E).
2) M là điểm thuộc (E). Tính giá trị của biểu thức:
P =
MF.MFOMMFMF

21
22
2
2
1
3 

3) Viết phƣơng trình đƣờng thẳng (d) song song với trục hoành và cắt (E) tại hai điểm A, B sao cho
OA  OB.
Bài14: Cho Elíp (E):
1
14
2
2

y
x
; Trục lớn AA' = 2a. Hai tiêu điểm là F và F'. D là một tiếp tuyến
chuyển động của elíp. D cắt các tiếp tuyến của elíp tại A và A' ở M và M'.
1) Chứng minh: AM.A'M' không đổi.
2) Chứng minh tích các khoảng cách từ F và F' tới D không đổi.
3) Tìm quỹ tích giao điểm N của A'M và AM'.


4) Chứng minh rằng khi D chuyển động đƣờng tròn đƣờng kính MM' luôn đi qua các tiêu điểm F và F'.

IV) HYPEBOL:
1) LẬP PHƢƠNG TRÌNH HYPEBOL
Bài1: Cho Hypebol (H): 25x
2

- 20y
2
= 100.
1) Tìm toạ độ các đỉnh, toạ độ các tiêu điểm, tính tâm sai của Hypebol đó.
2) Tìm tung độ của điểm thuộc Hypebolcó hoành độ x =
8
và tính khoảng cách từ điểm đó đến hai
tiêu điểm.
3) Tìm các giá trị của b để đƣờng thẳng (d): y = x + b có điểm chung với Hypebol trên.
Bài2: Cho Hypebol (H): 18x
2
- 9y
2
= -144.
1) Tìm toạ độ các đỉnh, toạ độ các tiêu điểm, tính tâm sai của Hypebol đó.
2) Lập phƣơng trình đƣờng tròn (C) đƣờng kính F
1
F
2
và tìm giao điểm của (C) và (H).
3) Viết phƣơng trình chính tắc của Elíp (E) có tiêu điểm trùng với tiêu điểm của (H) và ngoại tiếp hình
chữ nhật cơ sở của (H).
Bài3: Lập phƣơng trình chính tắc của Hypebol biết:
1) Trục thực thuộc Ox có độ dài bằng 8, trục ảo thuộc Oy có độ dài bằng 6.
2) Độ dài trục thực bằng 6, tâm sai e =
3
4
.
3) Cá các tiêu điểm trên Ox, độ dài tiêu cự là 12 và một đƣờng tiệm cận có phƣơng trình: x + 2y = 0.
4) Có các tiêu điểm trên Oy, độ dài trục thực bằng 8 và hai đƣờng tiệm cận vuông góc với nhau

2) TIẾP TUYẾN CỦA HYPEBOL, QUỸ TÍCH ĐIỂM
Bài1: Cho (H):
1
49
2
2

y
x
. Viết phƣơng trình các tiếp tuyến của (H) biết:
1) Tiết tuyến đi qua điểm A(3; 0).
2) Tiếp tuyến đi qua B(2; 2).
3) Tiếp tuyến song song với đƣờng thẳng (): x - y + 6 = 0.
4) Tiếp tuyến vuông góc (): 2x - y + 2 = 0
Bài2: Viết phƣơng trình tiếp tuyến của Hypebol (H):
1
169
2
2

y
x
biết tiếp tuyến tạo với đƣờng thẳng (d):
x + 2y = 0 một góc 45
0
.
Bài3: Viết phƣơng trình các tiếp tuyến chung của hai Hypebol:


(H

1
):
1
45
2
2

y
x
(H
2
)
1
54
2
2

y
x

Bài4: Biết rằng Hypebol (H):
1
2
2
2
2

b
y
a

x
nhận các đƣờng thẳng (d
1
): x - 2y - 4 = 0 và (d
2
): 2x +
3
y - 5
= 0 là tiếp tuyến.
1) Xác định a
2
và b
2
, từ đó tìm toạ độ các tiêu điểm của (H).
2) Viết phƣơng trình các tiếp tuyến của (H) đi qua A(2; 0).
3) Viết phƣơng trình các tiếp tuyến của (H) đi qua B(0; 4)
Bài5: Cho Hepebol (H):
1
2
2
2
2

b
y
a
x
.
1) Tiếp tuyến với (H) tại điểm M
0

(x
0
; y
0
) nào đó nằm trên (H) cắt hai đƣờng tiệm cận tại A và B. Tính
toạ độ của A và B.
2) CMR: M
0
là trung điểm của AB.
3) CMR: diện tích OAB không phụ thuộc vào vị trí điểm M
0
.
V) PARABOL:
Bài1: Cho (P): y
2
= 8x. Viết phƣơng trình các tiếp tuyến của (P), biết tiếp tuyến ấy.
1) Vuông góc với đƣờng thẳng (
1
): x - 2y + 6 = 0.
2) Song song với đƣờng thẳng (
2
): x - y + 3 = 0.
3) Đi qua điểm M(2; 2).
Bài2: Viết phƣơng trình tiếp tuyến chung của:
1) Parabol (P
1
): y = x
2
+ 2x + 2 và (P
2

): y = -x
2
+ 4x - 5
2) Parabol (P
1
): y
2
= 2px và (P
2
): x
2
= 2qy
3) Elíp (E):
1
49
2
2

y
x
và Parabol (P): y
2
= 2x
4) Elíp (E):
1
94
2
2

y

x
và Parabol (P): y
2
= 8x
5) Hypebol (H):
1
94
2
2

y
x
và Parabol (P): y
2
= 8x
Bài3: Cho Parabol (P): y = x
2
- 2x + 2 và đƣờng thẳng (d) là đƣờng thẳng cùng phƣơng với đƣờng thẳng (d
1
):
y = x sao cho (d) cắt (P) tại hai điểm A, B phân biệt.
1) Viết phƣơng trình của (d) khi hai tiếp tuyến của (P) tại A và B vuông góc với nhau.


2) Viết phƣơng trình của (d) khi độ dài AB = 4.

I) MỞ ĐẦU VÀ CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN:
Bài1: Cho ba véctơ

a

= (1; -2; 3),
b

= (-4; 1; 7)
c

= (3; 0; 5). Tính tọa độ của véctơ
u

= 4

a
- 5
b

+ 3
c


Bài2: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ biết: A(5; 0; -2) B(7; 1; 0) C’(2; 0; 9). Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của
hình hộp
Bài3: Chứng minh rằng ABC có A(2; 1; 4) B(3; 6; 7) C(9; 5; -1) là tam giác nhọn
Bài4: Tìm điểm M trên mặt phẳng (Oyz) cách đều ba điểm A(0; 1; 1) B(-1; 0; 2) C(2; 3; 0)
Bài5: Cho các điểm A(2; 9; 0) B(10; 7; 4), C(0; 9; -1). Tính diện tích ABC, suy ra độ dài đƣờng cao hạ từ B
của tam giác
Bài6: (phương pháp tọa độ hóa). Cho hình lập phƣơng ABCDA’B’C’D’. Gọi M, N lần lƣợt là trung điểm của
AD, BB’. Chứng minh rằng MN  A’C
Bài7: Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác Oxyz cho A(1; 2; 2) , B(-1; 2; -1), C(1; 6; -1) D(-1; 6; 2).
1) Chứng minh rằng ABCD là hình tứ diện.
2) Tính thể tích tứ diện ABCD.

3) Tính diện tích BCD và đƣờng cao của tứ diện ABCD xuất phát từ đỉnh A.
BTVN:
Câu 1: Cho ba véctơ

a
= (2; -5; 3)
b

= (0; 2; -1)
c

= (1; 7; 2). Tính tọa độ của các véctơ sau:
a)
u

= 4

a
-
1
3
b

+ 3
c

b)
v

= 5


a
- 2
b

+ 7
c

c)
w

= 12

a
+ 19
b

- 3
c


Câu 2: Hãy biểu diễn

a
theo các véctơ
u

,
v


,
w

.
a)

a
= (3; 7; -7),
u

= (2; 1; 0),
v

= (1; -1; 2)
w

= (2; 2; -1)
b)

a
= (8; 9; -1),
u

= (1; 0; 1),
v

= (0; -1; 1)
w

= (1; 1; 0)

Câu 3: Cho

a
= (1; -3; 4)
a) Tìm y và z để
b

= (2; y; z) cùng phƣơng với

a

b) Tìm tọa độ của véctơ
c

biết rằng

a
và
c

ngƣợc hƣớng và
c 2 a


Câu 4: Bộ ba điểm nào sau đây thẳng hàng
a) A(1; 3; 1), B(0; 1; 2), C(0; 0; 1) b) A(1; 1; 1), B(-4; 3; 1), C(-9; 5; 1)
Câu 5: Chứng minh rằng 4 điểm A(3; -1; 2) B(1; 2; -1) C(1; 2; -1) D(3; -5; 3) là bốn đỉnh của một hình thang


Câu 6: Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn AB, trọng tâm G của ABC, trọng tâm J của tứ diện ABCD khi biết

tọa độ các đỉnh A, B, C, D
a) A(1; 2; -3), B(0; 3; 7), C(12; 5; 0), D(9; -6; 7)
b) A(0; 13; 21), B(11; -23; 17), C(1; 0; 19), D(-2; 5; 5)
Câu 7:Cho A(3; -4; 7), B(-5; 3; -2), C(1; 2; -3)
a) Xác định D sao cho ABCD là hình bình hành
b) Tìm tọa độ giao điểm hai đƣờng chéo
Câu 8: Cho hình hộp ABCDA’B’C’D’ có A(3; -1; 6) B(-1; 7; -2) D’(5; 1; 6). Xác định tọa độ
a) Tâm của hình hộp b) Đỉnh C’
Câu 9:Tìm
u

biết rằng
a)
u

thỏa mãn đồng thời 3 phƣơng trình:

a
.
u

= -5;
u

.
b

= -11;
u


.
c

= 20 biết

a
= (2; -1; 3),
b

= (1; -3; 2),
c

= (3; 2; -4)
b)
u

vuông góc với cả hai véctơ

a
= (2; 3; -1)
b

= (1; -2; 3) và thỏa mãn:
u

.
c

= -6 với
c


= (2; -1;
1)
Câu 10: a) Tìm điểm E trên trục Oy cách đều hai điểm A(3; 1; 0), B(-2; 4; 1)
b) Tìm điểm F trên trục Ox cách đều hai điểm M(1; -2; 1) N(11; 0; -7)
Câu 11: Tìm điểm M cách đều ba điểm A, B, C. Nếu biết
a) M  (Oxz) và A(1; 1; 1), B(-1; 1; 0), C(3; 1; -1)
b) M  (Oxy) và A(-3; 2; 4), B(0; 0; 7), C(-5; 3; 3)
Câu 12: Tính góc tạo thành bởi các cặp cạnh đối của tứ diện ABCD biết: A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1), D(-
2; 1; -1)
Câu 13: Chứng minh rằng ABC có A(4; 1; 4) B(0; 7; -4), C(3; 1; -2) là tam giác tù
Câu 14: Cho hình lập phƣơng ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Gọi M, N, P, Q lần lƣợt là trung điểm của các cạnh
A’D’, D’C’, CC', A’A. Chứng minh rằng bốn điểm M, N, P, Q cùng thuộc một mặt phẳng. Tính chu vi của tứ
giác MNPQ theo a
Câu 15: Cho hình lập phƣơng ABCD.A’B’C’D’ cạnh bằng 1. Trên các cạnh BB’ CD, A’D’ lần lƣợt lấy các
điểm M, N, P sao cho B’M = CN = D’P = x (0 < x < 1). Chứng minh rằng AC’ vuông góc với mặt phẳng
(MNP)
Câu 16: Cho ABC biết A(1; 0; 2) B(-2; 1; 1) C(1; -3; -2). Gọi D là điểm chia đoạn AB theo tỷ số -2 và E là
điểm chia đoạn BC theo tỷ số 2.
a) Tìm tọa độ các điểm D, E
b) Tìm coossin của góc giữa hai véctơ
AD

và
AE


Câu 17: Cho A(1; -1; -3), B(2; 1; -2), C(-5; 2; -6). Tính độ dài phân giác ngoài góc A của ABC

Câu 18: Tính:
ab;



,
 
a 3b b;



  
trong các trƣờng hợp sau:
a)

a
= (6; -2; 3),
b

= (5; 0; -3)

Câu 19
Câu 20
Câu 21
Câu 22
II) PHƢƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG:
Bài1: Lập phƣơng trình mặt phẳng (P) qua A(1; 1; 1) và
1) // Ox và Oy 2) // Ox và Oz 3) // Oy và Oz
Bài2: Viết phƣơng trình mặt phẳng (P) qua A(1; -1; 1) B(2; 1; 1) và // Ox
Bài3: Cho (P): 3x + 2y + z - 6 = 0 Hãy chỉ ra một cặp VTCP của (P)

Bài4: Viết phƣơng trình mặt phẳng qua AB và // CD
A(5; 1; 3) B(1; 6; 2) C(5; 0; 4) D(4; 0; 6)
Bài5: Cho A(-1; 2; 3) (P): x - 2 = 0 (Q): y - z -1 = 0
Viết phƣơng trình mặt phẳng (R) qua A và  (P); (Q)
III) ĐƢỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN:
Bài1: Tính khoảng cách từ M(1; 1; 2) đến đƣờng thẳng (d):
1
3
32
2





 z
y
x

Bài2: Xét vị trí tƣơng đối của đƣờng thẳng (d) và mặt phẳng (P) biết:
a) (d):





05
010632
zyx
zyx

(P): y + 4z + 17 = 0
b) (d):








tz
ty
tx
1
39
412
(P): y + 4z + 17 = 0
c) (d):





01
03
y
zyx
(P): x + y - 2 = 0
Bài3: Lập phƣơng trình đƣờng thẳng d qua A(1; 2; 3) và  với (d
1

):





032
022
zx
yx



(d
2
):





0642
0104
zyx
zyx

Bài4: Cho (d):






0732
0143
zyx
zyx
(P): x + y + z + 1 = 0
Viết phƣơng trình đƣờng thẳng () qua A(1; 1; 1) song song (P) và  (d).
Bài5: Cho A(-2; 4; 3) và mặt phẳng (P): 2x - 3y + 6z + 19 = 0. Hạ AH  (P). Viết phƣơng trình tham số của
đƣờng thẳng AH và tìm tọa độ của H
Bài6: Tính góc hợp bởi các đƣờng thẳng d
1
:
x 9t
y 5t
z 3 t






  

và d
2
:
2x 3y 3z 9 0
x 2y z 3 0
   



   


Bài7: Cho d:
x 1 y 1 z 3
1 2 2
  


và (P): 2x - 2y + z - 3 = 0. Tìm tọa độ giao điểm A của d và (P). Tính
góc giữa đƣờng thẳng d và mặt phẳng (P)
Bài8: Chứng minh rằng hai đƣờng thẳng d
1
:
x y 2z 0
x y z 1 0
  


   

và d
2
:
x 2 2t
yt
z 2 t
  








chéo nhau
Bài9: Chứng minh rằng hai đƣờng thẳng sau song song và viết phƣơng trình mặt phẳng chứa hai đƣờng
thẳng đó. d
1
:
x 5 2t
y 1 t
z 5 t








và d
2
:
x 3 2t
y 3 t
z 1 t
'

'
'



  





Bài10: Viết phƣơng trình cho A(1; 2; 1) và đƣờng thẳng d:
x y 1 z 3
3 4 1


.
1. Viết phƣơng trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A và vuông góc với đƣờng thẳng d.
2. Tính khoảng cách từ điểm A đến đƣờng thẳng d
Bài11: Cho đƣờng thẳng d:
x 1 2t
y 2 t
z 3t









và mặt phẳng (P): 2x - y - 2z + 1 = 0
1. Tìm tọa độ điểm K đối xứng với điểm I(2; -1; 3) qua đƣờng thẳng d
2. Tìm tọa độ các điểm thuộc đƣờng thẳng d sao cho khoảng cách từ mỗi điểm đó đến mặt phẳng (P)
bằng 1
Bài12: Cho A(4; 1; 4), B(3; 3; 1) C(1; 5; 5) và D(1; 1; 1). Tìm hình chiếu vuông góc của D lên mặt phẳng
(ABC) và suy ra tọa độ điểm K đối xứng với D qua (ABC)


Bài13: Viết phƣơng trình đƣờng thẳng qua A(1; 5; 0) và cắt cả hai đƣờng thẳng
(d
1
):





01
012
yx
zx
(d
2
):






02
023
zy
yx

Bài14: Viết phƣơng trình đƣờng thẳng (d) qua A(0; 1; 1) và vuông góc với (d
1
) và (d
2
)
(d
1
):
z
y
x




1
2
8
1
(d
2
):






01
02
x
zyx

Bài15: Viết phƣơng trình đƣờng thẳng qua M(0; 1; 1) và vuông góc với d
1
và cắt đƣờng thẳng d
2

d
1
:
zy
x


2
3
1
d
2
:






01
02
x
zyx

Bài16: Viết phƣơng trình đƣờng thẳng d  (P): x + y + z - 2 = 0 và cắt cả hai đƣờng thẳng: (d
1
):








tz
ty
tx
2
1
2

(t  R) (d
2
):






03
022
y
zx

Bài17: Cho (d
1
):








tz
ty
tx
5
1
25
(d
2
):









1
1
1
1
3
23
tz
ty
tx
(t,
1
t
 R)
CMR: (d
1
) // (d
2
). Viết phƣơng trình mặt phẳng chứa (d
1
) và (d
2
). Tính khoảng cách giữa (d
1
) và (d
2
)

Bài18: Cho hai đƣờng thẳng (d
1
):





01
012
zyx
yx
(d
2
):





012
033
yx
zyx

1) CMR: (d
1
) cắt (d
2

). Xác định toạ độ giao điểm I của chúng.
2) Viết phƣơng trình mặt phẳng (P) đi qua (d
1
) và (d
2
)
Bài19: Cho hai đƣờng thẳng (d
1
):








tz
ty
tx
2
23
31
(t  R) (d
2
):






01225
0823
zx
yx

Viết phƣơng trình đƣờng vuông góc chung của (d
1
) và (d
2
).
Bài20: Cho hai đƣờng thẳng (d
1
):





0104
0238
zy
zx
(d
2
):






022
032
zy
zx

1) CMR: (d
1
) chéo (d
2
)
2) Tính khoảng cách giữa (d
1
) và (d
2
)


3) Viết pt mặt phẳng (P) chứa (d
1
), mặt phẳng (Q) chứa (d
2
) sao cho (P) // (Q)
4) Viết phƣơng trình đƣờng thẳng (d) // Oz và cắt (d
1
) và (d
2
).
Bài21: Cho (d):






01523
05
zyx
zyx
(P): -2x - 3y + z - 4 = 0
Hãy viết phƣơng trình hình chiếu  của (d) lên (P)
Bài22: Cho O(0; 0; 0) A(6; 3; 0) B(-2; 9; 1) S(0; 5; 8)
1) CM: SB  OA.
2) CMR: hình chiếu vuông góc của SB lên mặt phẳng (OAB)  OA. Gọi K là giao điểm của hình
chiếu đó với OA. Hãy xác định toạ độ điểm K.
3) Gọi P, Q lần lƣợt là trung điểm của các cạnh SO, AB. Tìm toạ độ của điểm M trên SB sao cho PQ
và KM cắt nhau.
Bài23: Tìm hình chiếu vuông góc của A(-2; 4; 3) lên mặt phẳng (P): 2x - 3y + 6z + 19 = 0
Bài24: Cho A(1; 2; 1) B(2; 1; 3) (P): x - 3y + 2z - 6 = 0
1) Viết phƣơng trình mặt phẳng (Q) đi qua A, B và  (P).
2) Viết phƣơng trình chính tắc của giao tuyến giữa (P) và (Q). Tìm toạ độ điểm K đối xứng với A qua
(P).
Bài25: Cho A(a; 0; 0) B(0; b; 0) C(0; 0; c) (a, b, c > 0)
Dựng hình hộp chữ nhật nhận O, A, B, C làm bốn đỉnh và gọi D là đỉnh đối diện với đỉnh O của hình
hộp đó.
1) Tính khoảng cách Từ C đến (ABD)
2) Tính toạ độ hình chiếu  của C xuống (ABD). Tìm điều kiện đối với a, b, c để hình chiếu đó nằm
trên mặt phẳng xOy.
Bài26: Cho (d):






017322
0322
zyx
zyx
(P): x - 2y + z - 3 = 0
1) Tìm điểm đối xứng của A(3; -1; 2) qua d.
2) Viết phƣơng trình hình chiếu vuông góc của (d) trên mặt phẳng (P).
Bài27: Cho A(-1; 3; 2) ; B(4; 0; -3) ; C(5; -1; 4) ; D(0; 6; 1)
1) Viết phƣơng trình tham số của BC. Hạ AH  BC. Tìm toạ độ điểm H.
2) Viết phƣơng trình tổng quát của (BCD). Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD).
Bài28: Cho A(2; 3; -1) (d):
1
3
42


z
y
x

Lập phƣơng trình đƣờng thẳng qua A  (d) cắt (d).


Bài29: Cho A(-1; 3; -2) ; B(-9; 4; 9) và mặt phẳng (P): 2x - y + z + 1 = 0.
Tìm điểm M  (P) sao cho: AM + BM đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài30: Cho A(1; 1; 0) ; B(3; -1; 4) ; (d):
2

2
1
1
1
1 




 z
y
x

Tìm điểm M  (d) sao cho: MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất.
V) MẶT CẦU:
Bài1: Cho tứ diện ABCD với A(3; 2; 6) ; B(3; -1; 0) ; C(0; -7; 3) ; D(-2; 1; -1).
1) CMR: tứ diện ABCD có các cặp đối vuông góc với nhau.
2) Tính góc giữa đƣờng thẳng AD và mặt phẳng (ABC).
3) Thiếp lập phƣơng trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
Bài2: Cho mặt phẳng (P): 16x - 15y - 12z + 75 = 0
1) Viết phƣơng trình mặt cầu (S) có tâm là gốc toạ độ tiếp xúc với mặt phẳng (P).
2) Tìm toạ độ tiếp điểm H của mặt phẳng (P) với mặt cầu (S).
3) Tìm điểm đối xứng của gốc toạ độ O qua mặt phẳng (P).
Bài3: Cho hình lập phƣơng ABCD.A'B'C'D': A  O ; B(1; 0; 0) ; D(0; 1; 0) ; A'(0; 0; 1). Gọi M là trung điểm
của AB và N là tâm hình vuông ADD'A'.
1) Viết phƣơng trình của mặt cầu (S) đi qua các điểm C, D', M, N.
2) Tính bán kính đƣờng tròn giao của (S) với mặt cầu đi qua các điểm A' , B, C, D.
3) Tính diện tích thiết diện của hình lập phƣơng ABCD.A'B'C'D' cắt bới mặt phẳng (CMN).
Bài4: Cho (S): x
2

+ y
2
+ z
2
- 2x - 4y - 6z - 67 = 0
(d):





032
0823
yx
zyx
(Q): 5x + 2y + 2z - 7 = 0
1) Viết phƣơng trình mặt phẳng chứa (d) và tiếp xúc với (S).
2) Viết phƣơng trình hình chiếu vuông góc của (d) lên (Q).

VI) PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH GIẢI CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN:
Bài1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = 2a và vuông góc với đáy.
1) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC), từ C đến mặt phẳng (SBD).
2) M, N lần lƣợt là trung điểm của AB, AD. CMR: MN // (SBD) và tính khoảng cách từ MN đến
(SBD).
Bài2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA  (ABCD). Biết rằng số đo góc nhị
diện (B, SC, D) bằng 150
0
.

1) Tính SA.
2) Tính số đo của các góc phẳng nhị diện: (S, BC, A) ; (S, BD, A) và (SAB, SCD).
3) Tính khoảng cách giữa SC và BD.
4) Tính khoảng cách giữa AC và SD.
Bài3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = SA = a, AD = 2a; SA  (ABCD).
1) Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBD) và khoảng cách từ trung điểm I của cạnh SC đến
mặt phẳng (SBD).
2) Gọi M là trung điểm của CD, tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBM).
Bài4: Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a, I là trung điểm của AB. Dựng IS vuông góc với mặt phẳng
(ABCD) và IS =
2
3a
. Gọi M, N, P theo thứ tự là trung điểm của các cạnh BC, SD, SB. Tính độ dài đoạn
vuông góc chung của:
1) NP và AC 2) MN và AP
Bài5: Cho hình thoi ABCD cạnh a, tâm O, OB =
3
3a
, SO =
3
6a
và vuông góc với mặt phẳng (ABCD).
1) CMR: ASC vuông.
2) CMR: (B, SA, D) là nhị diện vuông.
3) Tính số đo góc phẳng nhị diện (S, BC, A).
Bài6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D với AB = 2a, AD = DC = a, SA
= a
2
và vuông góc với đáy. Tính góc giữa hai mặt phẳng:
1) (SBC) và (ABC) 2) (SBC) và (SAB) 3) (SBC) và (SCD)

Bài7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D với DC = 2a, AB = AD = a, SD
= a và vuông góc với đáy.
1) CMR: SBC vuông và tính diện tích của tam giác đó.
2) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC).
Bài8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp đƣờng tròn đƣờng kính AB = 2a,
SA = a
6
và vuông góc với đáy.
1) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAD) và (SBC).
2) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (SBC).
3) Tính khoảng cách từ A, D đến mặt phẳng (SBC).
4) Tính khoảng cách từ đƣờng thẳng AB đến mặt phẳng (SCD).


5) Tính diện tích thiết diện của hình chóp S.ABCD với mặt phẳng  song song với mặt phẳng (SAB)
và cách (SAB) một khoảng bằng
4
3a
.
Bài9: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a, SA = a và vuông góc với đáy. Gọi M,
N theo thứ tự là trung điểm của AB và AC.
1) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC).
2) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SMN) và (SBC).
3) Tính khoảng cách giữa AM và SC.
4) Tính khoảng cách giữa SM và BC.
Bài10: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cận tại B với AB = a, SA = a
2
và vuông góc
với đáy. Gọi M là trung điểm AB. tính độ dài đoạn vuông góc chung của SM và BC.
Bài11: Cho ABC có đƣờng cao AH = a

3
, đáy BC = 3a, BC chứa trong mặt phẳng (P). Gọi O là hình
chiếu của A lên mặt phẳng (P). Khi OBC vuông tại O, tính góc giữa mặt phẳng (P) và (ABC).
Bài12: Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có các mặt bên đều là các hình vuông cạnh a. Gọi D, E, F lần lƣợt là
trung điểm các cạnh BC, A'C', B'C'. Tính khoảng cách giữa:
1) A'B và B'C 2) A'B và B'C' 3) DE và AB' 4) DE và A'F
Bài13: Cho hình lăng trụ đều ABCD.A'B'C'D' cạnh đáy bằng a. Góc giữa AC' và đáy bằng 60
0
. Tính thể tích
và diện tích xung quanh hình lăng trụ.
Bài14: Trong mặt phẳng  cho ABC vuông tại A có BC = 2a, góc ACB = 60
0
. Dựng hai đoạn BB' = a, CC'
= 2a cùng vuông góc với  và cùng một phía đối với . Tính khoảng cách từ:
1) A đến mặt phẳng (A'BC). 2) A' đến mặt phẳng (ABC').
3) B' đến mặt phẳng (ABC'). 4) C' đến mặt phẳng (ABB').
5) Trung điểm của B'C đến mặt phẳng (ACC').
6) Trung điểm của BC đến mặt phẳng (AB'C').