Khóa luận chuẩn cho sinh viên sư phạm Toán Một số vấn đề cơ bản của chuỗi số

1

MỤC LỤC
Trang
Chương 1 Lý thuyết cơ bản về chuỗi số 5
1.1. Chuỗi số 5
1.2. Các tính chất của chuỗi hội tụ 8
1.3. Chuỗi số dương 9
1.4. Chuỗi đan dấu – chuỗi có dấu bất kì 11
Chương 2 Một số phương pháp xét sự hội tụ của chuỗi số 19
2.1. Sử dụng tiêu chuẩn so sánh 19
2.2. Sử dụng tiêu chuẩn Cauchy 21
2.3. Sử dụng tiêu chuẩn D’Alembert 24
2.4. Sử dụng tiêu chuẩn Raabe 25
2.5. Sử dụng tiêu chuẩn tích phân Cauchy 28
2.6. Sử dụng tiêu chuẩn Leibniz 30
2.7. Sử dụng tiêu chuẩn Dirichlet và tiêu chuẩn Abel 33
Chương 3 Một số vấn đề tổng hữu hạn trong toán THCS 36
3.1. Tổng hữu hạn mà các số hạng của dãy cách đều 36
3.2. Tổng hữu hạn mà trong đó các số hạng của dãy không cách đều 39
3.3. Tổng hữu hạn mà trong đó các số hạng của dãy là phân số 47
Kết luận 56




2

LỜI MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài

Giải tích là một trong những ngành quan trọng của Toán học và có nhiều ứng
dụng trong thực tế cuộc sống. Đó cũng là một bộ môn được áp dụng nhiều trong
Toán THCS nhưng với mức độ thấp và chưa được hiểu sâu. Trong những vấn đề
của giải tích thì vấn đề tổng hữu hạn được áp dụng nhiều trong Toán THCS đặc biệt
là khối 6,7. Hiện nay, tài liệu tham khảo về tổng hữu hạn trong Toán THCS bằng
tiếng Việt còn chưa có nhiều và chưa có hệ thống tổng quát. Vì vậy, tác giả khóa
luận muốn đi tìm hiểu một số vấn đề cơ bản của chuỗi số trong giải tích. Qua để
tổng hợp và đưa ra cho người đọc một cái nhìn tổng quan về những vấn đề cơ bản
của chuỗi số cũng như các dạng toán liên quan đến tổng hữu hạn trong toán THCS.

2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu khóa luận là nêu được các khái niệm, tính chất cơ bản
thường dược sử dụng về chuỗi số, đưa ra các dạng bài tập, phương pháp giải các
bài tập liên quan đến sự hội tụ của chuỗi số. Đồng thời khóa luận cũng hệ thống
được các phương pháp giải các bài toán tính tổng chuỗi số hữu hạn trong Toán
THCS.
Qua đây tôi hi vọng rằng khóa luận sẽ đem lại cho người đọc nhiều điều bổ ích,
giúp các bạn có hứng thú hơn với môn Toán và có thêm kiến thức, tài liệu giảng
dạy trong Toán THCS về vấn đề chuỗi số hữu hạn

3. Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu là các dạng bài tập và các phương pháp giải các bài tập
về chuỗi số, tổng của chuỗi hữu hạn.

3

4. Phạm vi nghiên cứu
Phạm vi đề tài này xoay quanh các kiến thức về chuỗi số trong toán cao cấp và sử
dụng tổng chuỗi số hữu hạn trong Toán THCS.

5. Phương pháp nghiên cứu
Sưu tầm, tham khảo tài liệu, phân tích tài liệu, sắp xếp các nội dung thành hệ
thống logic và tham khảo ý kiến các giảng viên hướng dẫn.

6. Cấu trúc khóa luận

Nội dung gồm 3 chương:

Chương 1: Lý thuyết cơ bản về chuỗi số.
Tổng hợp lại một số kiến thức cơ bản về chuỗi số, các tính chất của chuỗi hội tụ,
chuỗi số dương, chuỗi đan dấu và chuỗi có dấu bất kỳ.

Chương 2: Một số phương pháp xét tính hội tụ chuỗi số.
Phân loại các phương pháp xét sự hội tụ của chuỗi số gồm có phương pháp sử
dụng tiêu chuẩn so sánh, tiêu chuẩn Cauchy, tiêu chuẩn Raabe, tiêu chuẩn
D’Alembert, tiêu chuẩn tích phân Cauchy, tiêu chuẩn Leibniz, tiêu chuẩn
Dirichlet, tiêu chuẩn Abel với các ví dụ điển hình minh họa cho từng phương
pháp.

Chương 3: Một số vấn đề về tổng hữu hạn trong Toán THCS
Phân loại và trình bày các bài toán liên quan đến tổng hữu hạn của chuỗi trong Toán
THCS, áp dụng vấn đề tổng chuỗi số trong các bài toán tính tổng hữu hạn mà trong
đó các số hạng của dãy cách đều, không cách đều và các tổng hữu hạn mà trong đó
số hạng là phân số.
4

Khóa luận này được hoàn thành tại khoa Khoa học tự nhiên và công nghệ
trường ĐH Thủ đô Hà Nội dưới sự hướng dẫn và chỉ bảo tận tình của ThS. Nguyễn
Thị Hồng. Nhân dịp này tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến cô. Cô đã dành
nhiều thời gian hướng dẫn và giải đáp thắc mắc của tôi trong suốt quá trình làm

khóa luận.
Qua đây tôi cũng xin chân thành cảm ơn tới các Thầy cô giáo trong trường Cao
đẳng Sư Phạm Hà Nội, đặc biệt là thầy cô bộ môn toán của trường đã tạo mọi điều
kiện thuận lợi giúp đỡ tôi trong suốt quá trình làm khóa luận.
Cuối cùng tôi xin chân thành cảm ơn gia đình, người thân và bạn bè đã luôn động
viên giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và làm khóa luận. Tuy đã có nhiều cố gắng
nhưng do thời gian và sự hiểu biết còn hạn chế nên trong quá trình viết khóa luận
cũng như viết văn bản chắc chắn không tránh được những thiếu xót nhất định. Tôi
rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của thầy cô và các bạn để khóa luận hoàn
thiện hơn.


Hà Nội, ngày… tháng… năm…
Họ và tên sinh viên:


Lê Minh Huyền







5

CHƯƠNG 1 LÝ THUYẾT CƠ BẢN VỀ CHUỖI SỐ

1.1 . Chuỗi số
Định nghĩa 1.1.1 Chuỗi số

Cho dãy số
123 n
u ,u ,u , ,u ,

Tổng vô hạn
123 n
u u u u 
được gọi là chuỗi số và được ký hiệu là
n
n1
u.




Các số
123 n
u ,u ,u , ,u ,

được gọi là các số hạng của chuỗi số.
n
u
với n tổng quát được gọi là số hạng tổng quát của chuỗi số.
Định nghĩa 1.1.2 Dãy tổng riêng
Đặt
n123 n
S u u u u
được gọi là tổng riêng thứ n của chuỗi số
n
n1

u.




Dãy


n
S với n = 1, 2 … được gọi là dãy tổng riêng của chuỗi số
n
n1
u.




Định nghĩa 1.1.3 Chuỗi hội tụ, chuỗi phân kỳ

Chuỗi số
n
n1
u



được gọi là chuỗi hội tụ nếu tồn tại giới hạn
n
n
limS S



hữu hạn và S
được gọi là tổng của nó. Ta viết
n
n1
uS.





Nếu giới hạn
n
n
limS

không tồn tại hay bằng vô cùng thì chuỗi số
n
n1
u



được gọi là
chuỗi phân kỳ.
Định nghĩa 1.1.4 Phần dư thứ n
Giả sử
n
n1

u



là một chuỗi số hội tụ và S là tổng của nó. Hiệu
nn
rSS

gọi là số dư
thứ n của chuỗi số đã cho.
Hiển nhiên
n
n
lim r 0.



6

Ví dụ 1.1.1 Xét sự hội tụ của chuỗi số
n1 n1
n0
q1q q




 


Lời giải
Ta có tổng riêng
n
n
S1q q   .
Ta có
2n1
n
S 1 q q q ,

  


2n
n
qS q q q . 

Trừ hai đẳng thức trên từng vế một, ta được
n
n
S(1 q) 1 q.


Do đó, xét các trường hợp sau:
a)

q1

Ta có
n1

n
1q
S
1q




, suy ra
n
n
,q 1
limS .
1
,q 1
1q

 








b)
q = 1
Ta có
n

S 1 1 1 n. 

Do đó:
n
n
limS .




c)

q1

Ta có
n
1, n 2k 1
S111 .
0,n 2k



 




Do đó
n
n

limS

không tồn tại.
Vậy chuỗi
n1
n0
1
q
1q






hội tụ nếu q1.


Chuỗi
n1
n0
q




phân kỳ nếu q1.

Ví dụ 1.1.2 Xét sự hội tụ và tính tổng của chuỗi số
n1

1
.
n(n 1)





Lời giải
7

n
111 1
S
1.2 2.3 3.4 n(n 1)





11111 11
1
22334 nn1
 
      
 

 

1
1.
n1



Suy ra
n
n
limS 1.



Vậy chuỗi đã cho hội tụ và có tổng bằng 1.
Định lý 1.1.1 Tiêu chuẩn Cauchy
Điều kiện để chuỗi số
n
n1
u



hội tụ là với mọi
0



cho trước, tìm được số nguyên
dương
o

n
sao cho khi
o
p
qn
ta có
p
pq n
nq1
SS u .





Ví dụ 1.1.3 Dùng tiêu chuẩn Cauchy, chứng tỏ rằng chuỗi số
n1
1
n



phân kỳ.

Lời giải
Giả sử tồn tại
1
3

ta có với mọi số nguyên dương N tồn tại

p2NqNN

sao cho:
p
q2NN
SS S S 
11111 1 111

N1N2NN1N2 2N N1N2N
11 1

N1 N2 2N
11 1

2N 2N 2N
N
2N
11
.
23



  

 





8

Vậy tồn tại
1
3

sao cho với mọi số nguyên dương N tồn tại
p2NqNN
sao cho
pq 2NN
SS S S .  

Vậy chuỗi đã cho phân kỳ.
Định lý 1.1.2 Điều kiện cần để chuỗi hội tụ
Nếu chuỗi số
n
n1
u



hội tụ thì
n
n
lim u 0.



Chứng minh:
Gọi S là tổng của chuỗi số hội tụ

n
n1
u



suy ra
n
S
hội tụ khi n tiến dần ra vô cùng.
Suy ra
nnn1
uSS SS0

 
khi n tiến ra vô cùng.

Hệ quả 1.1.1 Nếu
n
n
lim u 0


thì chuỗi
n
n1
u




phân kỳ.

Ví dụ 1.1.4 Chuỗi số
n1
n
2n 1




phân kỳ vì
n
n1
u0
2n 1 2



khi
n.

Nhận xét:
n
u
dần tới 0 khi n tới vô cùng chỉ là điều kiện cần mà không đủ để chuỗi số
n
n1
u




hội tụ.
Ví dụ 1.1.5 Xét sự hội tụ của chuỗi số
n1
1
.
n




Lời giải

n
11 1 1 1 1 n
S n.
12 n nn n n
       

Mà
n
lim n .

Suy ra
n
n
limS .




Vậy chuỗi
n1
1
n



phân kỳ.
1.2. Các tính chất của chuỗi hội tụ
Tính chất 1.2.1

9

Nếu chuỗi số
n
n1
u



hội tụ có tổng là S, chuỗi số
n
n1
v



hội tụ có tổng là T thì các
chuỗi số

nn
n1
uv




cũng hội tụ có tổng là
ST.


Tính chất 1.2.2
Nếu chuỗi số
n
n1
u



hội tụ có tổng là S thì chuỗi số
n
n1
ku



cũng hội tụ có tổng là kS.
Tính chất 1.2.3
Tính chất hội tụ hay phân kỳ của một chuỗi số không thay đổi khi ta ngắt bỏ đi khỏi
chuỗi số đó một số hữu hạn các số hạng đầu tiên.

1.3 . Chuỗi số dương
Định nghĩa 1.3.1
Chuỗi số dương là chuỗi số
n
n1
u



, mà
n
u0
với mọi
n1.

Định lý 1.3.1
Chuỗi số dương hội tụ khi và chỉ khi dãy
n
(S )
bị chặn trên.
Ví dụ 1.3.1:
Xét sự hội tụ của các chuỗi số dương sau:
a)

2
n1
1
.
n





n1
1
b
).
n




Lời giải
a) Ta có
n
22 2
11 111 1 1
S 22.
12 n11.2 (n1).n n
    


Suy ra
n
S
bị chặn. Vậy chuỗi
2
n1
1

n



hội tụ.
b)
Ta có
n
n1
111 111 1n
S n.
n12 nnn nn





Suy ra
n
S
không bị chặn.
Vậy chuỗi
n1
1
n



phân kỳ.
Định lý 1.3.2 Tiêu chuẩn so sánh

10

Giả sử
n
n1
u



và
n
n1
v



là hai chuỗi số dương thỏa mãn
nn
uv

với n đủ lớn. Khi đó
(i)
Nếu chuỗi
n
n1
v



hội tụ thì chuỗi

n
n1
u



hội tụ.
(ii)
Nếu chuỗi
n
n1
u



phân kỳ thì chuỗi
n
n1
v



phân kỳ.
Ví dụ 1.3.2 Xét sự hội tụ của các chuỗi số sau:
n
n1
1
a) .
2n





b)
n1
1
.
n1





Lời giải

a) Do
n
n
11
2
2n

với mọi n.
Mà chuỗi
n
n1
1
2




hội tụ suy ra chuỗi
n
n1
1
2n



hội tụ.

b) Do

11
nn1


với mọi
n2
.
Mà chuỗi
n1
1
n



phân kỳ nên chuỗi số
n1
1

n1




phân kỳ.
Định lý 1.3.3 Tiêu chuẩn tương đương

Giả sử
n
n1
u



và
n
n1
v



là hai chuỗi số dương thỏa mãn
n
n
n
u
lim k :
v




(i)
Nếu 0kthì hai chuỗi số
n
n1
u



và
n
n1
v



đồng thời hội tụ hoặc phân kỳ.
(ii)
Nếu k = 0 và chuỗi số
n
n1
v



hội tụ thì
n
n1
u




hội tụ.
(iii)
Nếu
k 
và chuỗi số
n
n1
v



phân kỳ thì chuỗi
n
n1
u



phân kỳ.
Ví dụ 1.3.3 Xét sự hội tụ của chuỗi số sau:
n2
n
n1
2n1
.
52n2











Lời giải
11

Ta có
n2
n
n
2n1
u0
52n2



với mọi
n1.

Ta sẽ so sánh
n
u
với chuỗi số
n

n
n1 n1
2
v
5







.
Chuỗi số
n
n
n1 n1
2
v
5







hội tụ.
Dễ thấy rằng
n

n
n
u
lim 1
v


hội tụ, do đó chuỗi số đã cho hội tụ.


Định lý 1.3.4 Tiêu chuẩn D’Alembert
Cho chuỗi số dương
n
n1
u



và
n1
n
n
u
lim l
u



. Khi đó:
(i)

Nếu l < 1 thì chuỗi số
n
n1
u



hội tụ.
(ii)
Nếu l > 1 thì chuỗi số
n
n1
u



phân kỳ.
(iii)
Nếu l = 1 thì chuỗi số
n
n1
u



ta chưa thể kết luận được chuỗi đã cho hội tụ hay
phân kỳ.
Ví dụ 1.3.4 Xét sự hội tụ của các chuỗi số sau:
n
n

n1 n1
(n 1)!
a) u .
2






b)
n
n
n1 n1
n
u.
5






Lời giải
n
n1
n1
nn
n
n

u(n2)!2 n2
a) lim lim . = lim .
u2(n1)!2


 








Suy ra chuỗi số
n
n1
(n 1)!
2




phân kỳ.
n
n1
n1
nn
n
n

u(n1)5n11
b
)lim lim . =lim 1.
u5n5n5


 







12

Suy ra chuỗi
n
n1
n
5



hội tụ.
Ví dụ 1.3.5 Xét sự hội tụ của chuỗi số
n
n
n1
en!

.
n




Lời giải
Ta có:
n1
n1
n1
n
n
n
nn1
n1 n
e(n1)!
u
(n 1)
e(n)!
u
n
ne (n 1)!
(n 1) e (n)!













n
n1
n
n
n(n 1).e
(n 1)
n.e
(n 1)








n
e
n
n1








n
khin
e
1
1
1
.
n








Vì
n
1
1
n




với mọi
n1

nên
n1 n
uu


với mọi
n1.

Đặc biệt
n1
uue
suy ra
n
lim u e.

Vậy chuỗi đã cho phân kỳ.
Định lý 1.3.5 Tiêu chuẩn Cauchy
Cho chuỗi số dương
n
n1
u



. Giả sử
n
n
n
lim u l



. Khi đó:
13

(i) Nếu l < 1 thì
n
n1
u



hội tụ.
(ii)
Nếu l > 1 thì
n
n1
u



phân kỳ.
(iii)
Nếu l = 1 ta chưa thể kết luận được chuỗi hội tụ hay phân kỳ.
Chứng minh:
Giả sử
n
n
n
lim u l.




(i)
Khi l < 1. Lấy r sao cho l < r < 1. Khi đó tồn tại
0
n0
sao cho
n
n
ur
với mọi
0
nn
, nghĩa là
n
n
ur với mọi
0
nn.
Vì chuỗi
0
n
nn
r



hội tụ nên chuỗi
n
n1

u



hội tụ.
(ii)
Khi l > 1, ta có tồn tại
0
n0
sao cho
n
n
u1
với mọi
0
nn,
nghĩa là
n
u1

với mọi
0
nn.
. Do đó
n
u
không tiến về 0 khi
n.

Vậy chuỗi

n
n1
u



phân kỳ.

Ví dụ 1.3.6 Xét sự hội tụ của các chuỗi số:
a)

n
n1
2n 1
3n 1








hội tụ vì
n
n
n
2n 1 2n 1 2
llim 1.
3n 1 3n 1 3









b)

2
n
n1
n1
n







phân kỳ vì
2
nnn
n
nnn
n1 n1 1
l lim lim lim 1 e
nn n

  

  


  
  
> 1.
Định lý 1.3.6 Tiêu chuẩn tích phân Cauchy
Giả sử f là một hàm số liên tục trên khoảng [1,


), f(x)  0 và f giảm với x đủ
lớn.
Đặt
12 n
u f (1),u f (2), ,u f(n),  

Khi đó chuỗi số
n
n1
u



hội tụ tương đương
1
f(x)dx



hội tụ.
14

Ví dụ 1.3.7 Xét sự hội tụ của chuỗi số
n1
1
n




,

là hằng số.
Lời giải

Nếu

< 0 ,
n
1
lim
n


= ∞ ≠ 0. Suy ra chuỗi đã cho phân kỳ.

Nếu

= 0 ,

n
1
lim
n


=1 ≠ 0. Suy ra chuỗi đã cho phân kỳ.
Xét trường hợp α > 0, hàm số f(x) =
1
x

thỏa mãn các giả thiết của quy tắc tích
phân.
Vì
1
dx
x



hội tụ nếu α > 1, phân kỳ nếu α

1nên
n1
1
n





hội tụ nếu α > 1, phân kỳ
nếu α
 1.
Chuỗi
n1
1
n





gọi là chuỗi Reimann.
Định lý 1.3.7 Tiêu chuẩn Raabe
Cho chuỗi số dương
k
k1
u



và
k1
k
k
u
lim k 1 r
u








.
(i)
Nếu r < 1 thì chuỗi phân kỳ.
(ii)
Nếu r > 1 thì chuỗi hội tụ.
(iii)
Nếu r = 1 thì chưa kết luận được chuỗi hội tụ hay phân kỳ.
1.4 . Chuỗi đan dấu – chuỗi có dấu bất kì
Định nghĩa 1.4.1 Chuỗi đan dấu
Chuỗi có dạng sau đây được gọi là chuỗi đan dấu:
n1 n1
n1234 n
n1
( 1) u u u u u ( 1) u ,



  


(1)
trong đó
n
u0,n1.

Định lý 1.4.1 Định lý Leibniz
15

Nếu dãy


n
u là một dãy giảm và
n
u
dần tới 0 khi n tiến dần ra vô cùng thì chuỗi
n1
n
n1
(1) u





hội tụ và có tổng
1
Su.


Chứng minh:
Nếu n là số chẵn. Đặt n = 2m ta có:
2m 1 2 3 4 2m 1 2m
S(uu)(uu) (u u).


 

Do


n
u là một dãy giảm, tổng trong các dấu ngoặc đều dương, nên
2m
S
tăng khi m
tăng.
Mặt khác
2m 1 2 3 2m 2 2m 1 2m
S u (u u ) (u u ) u .


  

Cũng do


n
u là một dãy giảm ta có
2m 1
Su,m1.



Dãy số
2m

{u }
tăng và bị chặn trên nên tồn tại
2m 1
n
lim u S,



với
1
Su.

Nếu n lẻ, đặt n = 2m + 1, ta có:
2m 1 2m 2m 1
SSu.



Do
n
u
tiến dần tới 0 khi n ra vô cực.

Ta có
2m 1 2m
nn
lim u limu S.

 




Vậy chuỗi đan dấu hội tụ và có tổng
1
Su.


Ví dụ 1.4.1 Xét sự hội tụ của chuỗi đan dấu
n1
n1
1
(1) .
n






Lời giải

n
1
u
n

tiến dần tới 0 khi n tiến ra vô cùng và dãy
n
{u }
đơn điệu giảm. Suy ra

n
{u }
hội tụ theo Leibnitz và tổng
1
Su 1.



Chú ý 1.4.1
Nếu chuỗi (1) thỏa mãn định lý Leibnitz và hội tụ về S thì chuỗi
123
(u u u )
hội tụ về

S.
16

Như vậy nếu các giả thiết của định lý Leibniz được thỏa mãn thì chuỗi đan dấu

123
(u u u )
hội tụ và tổng S của nó thỏa mãn
1
Su.


Định lý 1.4.2 Tiêu chuẩn Abel
Giả sử
n
a

là dãy đơn điệu và bị chặn
k
ak

với mọi n. Còn
k
k1
b



là chuỗi hội tụ.
Khi đó
kk
k1
ab



cũng là chuỗi hội tụ.
Định lý 1.4.3 Tiêu chuẩn Dirichlet
Giả sử
n
a
là dãy đơn điệu giảm về 0 tức là
kk1
aa


và

k
k
lima 0.



Còn
n
b
là dãy có tập các tổng riêng bị chặn
12 n
b
b b M

  với mọi n. Khi đó:
kk
k1
ab



cũng là chuỗi hội tụ.
Định lý 1.4.4 Chuỗi có dấu bất kỳ
Nếu chuỗi số
n
n1
u




hội tụ thì
n
n1
u



hội tụ.
Chứng minh:
Gọi
n
S
và
n
S'
lần lượt là tổng riêng thứ n của các chuỗi số
n
n1
u



và
n
n1
u



, nghĩa là

n12 n
Suu u
và
n12 n
S' u u u .
Trong chuỗi
n
n1
u



, ký hiệu:
n
S

là tổng tất cả các số hạng dương trong n số hạng đầu tiên
n
S

là tổng các giá trị tuyệt đối của tất cả các số hạng âm trong n số hạng đầu tiên. Ta
có:
nnn
nnn
SSS.
S' S S .





Rõ ràng
n
(S )

và
n
(S )

là những dãy tăng và
nn
SS'

 ,
nn
SS'.



(1)
17

Theo giả thiết, chuỗi số
n
n1
u



hội tụ suy ra

n
S'
hội tụ về S’ và
n
S' S'
với mọi n. (2)
Từ (1) và (2) suy ra
n
SS'

 ,
n
SS'


với mọi n.
Suy ra
n
(S )

và
n
(S )

đều hội tụ.
Do đó
n
(S )
cũng hội tụ.
Định nghĩa 1.4.2 Chuỗi hội tụ tuyệt đối

Chuỗi số
n
n1
u



được gọi là hội tụ tuyệt đối nếu chuỗi số
n
n1
u



hội tụ.
Ví dụ 1.4.2 Chứng minh
3
n1
sin nx
n



hội tụ tuyệt đối.
Lời giải
Ta có
333
sin nx
sin nx 1
nnn


với mọi n.
Mà chuỗi số
3
n1
1
n



hội tụ ( chuỗi Reimann với
31


).
Vậy
3
n1
sin nx
n



hội tụ tuyệt đối.
Chú ý 1.4.2 Điều kiện
n
n1
u




chỉ là điều kiện đủ chứ không phải điều kiện cần để
chuỗi
n
n1
u



hội tụ. Nghĩa là có trường hợp chuỗi
n
n1
u



hội tụ nhưng chuỗi số
n
n1
u



phân kỳ, ta nói chuỗi
n
n1
u




bán hội tụ.
Chú ý 1.4.3 Nếu chuỗi
n
n1
u



phân kỳ thì chưa kết luận chuỗi
n
n1
u



hội tụ hay phân
kỳ. Tuy nhiên, nếu dùng tiêu chuẩn D’Alembert hay Cauchy mà biết được
n
n1
u



18

phân kỳ thì
n
n1
u




cũng phân kỳ. Trường hợp
n
n1
u



phân kỳ nhưng
n
n1
u



hội tụ thì
chuỗi
n
n1
u



bán hội tụ.
Ví dụ 1.4.3: Xét tính hội tụ của các chuỗi số sau
n1
n1
1
a) ( 1) .

n






2
n
n1
n1
e
b
)(1) .
n!






Lời giải
a) Chuỗi số
n1
n1
1
(1)
n






bán hội tụ vì chuỗi số
n1
n1 n1
11
(1)
nn






là chuỗi điều hòa
phân kỳ.
b)
Áp dụng tiêu chuẩn D’Alembert ta có:
2
2
(n 1)
n1 2n1
n
n
u
en!1
.e.
u (n1)! n1
e







Do đó chuỗi đã cho phân kỳ.















19

CHƯƠNG 2 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÉT SỰ HỘI TỤ CỦA CHUỖI

2.1. Sử dụng tiêu chuẩn so sánh
Nhận xét:
Việc sử dụng tiêu chuẩn so sánh để xét chuỗi hội tụ hay phân kỳ ta cần
phải nắm vững sự hội tụ hay phân kỳ của các chuỗi số cơ bản để có thể vận dụng

linh hoạt khi so sánh ví dụ như:
+ chuỗi điều hòa
n1
1
n



là chuỗi phân kỳ.
+ Chuỗi có dạng
n1
1
.
n





Nếu
01
thì chuỗi
n1
1
n




phân kỳ.

Nếu
1
thì chuỗi
n1
1
n




hội tụ.
Nếu
0
thì chuỗi
n1
1
n




phân kỳ.
Hoặc ta có thể sử dụng tiêu chuẩn tương đương với một số công thức tương đương
được suy ra từ những giới hạn ví dụ như:
+
n
n
e1
lim 1
n




hay
n
e1n 
với n
.

+
n
ln(1 n)
lim 1
n



hay
ln(1 n) n 
với n
.

+
n
n
a1
lim 1
nlna




hay
n
a 1 nlna 
với n
.

+
n0
sin n
lim 1
n


hay
sin n n
với n
0.

+
n0
tan n
lim 1
n


hay
tan n n
với n
.

20

Ví dụ 2.1.1 Xét sự hội tụ của chuỗi số sau:
n2
(2n 3)!!
.
(2n 2)!!






Lời giải
Cần chứng minh
n2
(2n 3)!!
(2n 2)!!





>
1
2n 1

với
n2.

(1)
Thật vậy, với n = 2 suy ra
11
23
.

Giả sử (1) đúng với n = k.
Suy ra
(2k 3)!!
(2k 2)!!


>
1
2k 1



1 3 (2k 3) 1
2 4 (2k 2) 2k 1
.





Với n = k+1.
Suy ra
[2(k 1) 3]!! 1.3 (2k 3)(2k 1) 1 2k 1 1 1 1
.

[2(k 1) 2]!! 2.4 (2k 2)2k 2k 1 2k 2k 2k 1 2(k 1) 1
.
   

    

Suy ra biểu thức (1) đúng.
Do
11
.
2n 1 2n



Lại có
n2
1
2n



là chuỗi điều hòa nên phân kỳ.
Theo dấu hiệu so sánh suy ra chuỗi đã cho phân kỳ.
Ví dụ 2.1.1 Cho chuỗi số sau:
p
n1
1.3.5 (2n 1)
.
2.4.6 2n












Chứng minh rằng chuỗi hội tụ khi và chỉ khi p > 2.
Lời giải
Đặt
p
p
n
1.3.5 (2n 1)
x.
2.4.6 2n






Ta có
2
n
135 2n 1 35 2n 12n 1 1
x . . .1. . . .

2 4 6 2n 2 4 2n 2 2n 2n 1





21

22 2
11 1 11 11
1 1 1 1 1 1 .
2 4 2n 2 4 2n 2n 1
11 11
11 1
2n 1
24 (2n)
  
     
  

  


  






Do
22 2 2
k1
11 1 1 11 1
.2
24 (2n)4k4 2


   

nên
2
n
11
x. .
22n 1



Mà vì
11
.
22n 1


phân kỳ nên theo tiêu chuẩn so sánh ta có
2
n
x


phân kỳ.
Từ đó suy ra:
Nếu
p2
thì
p
2
nn
xx nên
p
n
n1
x



phân kỳ.
Nếu p > 2 ta có:


p
p
2
22
2
nn
p
22 2
2
11 11 1

x x 1 1 1 . .
24 (2n)2n1
2n 1



  

 






Mà

p
n1
2
1
2n 1




hội tụ
p
1
2





nên theo tiêu chuẩn so sánh
p
n
n1
x




hội tụ.
Bài tập áp dụng tương tự
Sử dụng tiêu chuẩn so sánh xét sự hội tụ của các chuỗi số sau:
1.

2
1
n
n1
ne 1.








4.
n
n1
tan .
3n






2.

n1
l1n
ln .
n1
n








5.
4
3

n1
n1 n1
.
n






3.

2
3
n1
sin n
.
n1




6.


3
4
n1
nlnn1
.

n3n3








2.2. Sử dụng tiêu chuẩn Cauchy
22

Nhận xét: Tiêu chuẩn Cauchy trong chuỗi số dương thường được sử dụng khi ta
muốn hạ bậc của các chuỗi số có số mũ cao , giá trị lớn. Vì vậy tiêu chuẩn Cauchy
thường dùng để chứng minh tính hội tụ của các chuỗi số mà số hạng tổng quát của
nó có dạng lũy thừa bậc cao ví dụ như
n

, n


Ví dụ 2.2.1
Xét sự hội tụ của chuỗi số sau:
n
2
n1
b
tan a
n








với 0 < a
2


; b > 0.
Lời giải
Ta có
n
n
2
b
utana .
n




Do đó
n
n
n
lim u tan a.



Theo tiêu chuẩn Cauchy ta có:
Chuỗi đã cho hội tụ khi tan a < 1 tức là a <
4
.


Chuỗi đã cho phân kỳ khi tg a > 1 tức là a >
4
.


Nếu a =
4

ta có:
2
n
n
2
2
b
1tg
b
n
utan .
b
4n
1tg
n









Khi n

thì
n
n
1.u 
Nhưng vì
n
n
1u  , với mọi n nên u
n
không dần tới 0 khi n
.

Vậy chuỗi đã cho phân kỳ.
Ví dụ 2.2.2 Xét sự hội tụ của chuỗi
n
n1
n
.
n1










Lời giải

23

Ta có
1
1
1
nln(1)
n
n
n
n
n
ue.
n1










Khi n

, ta có:
112
11
nln1 n n.
nn
  






Nếu
2
thì
2
n0



khi n
.

Vậy
n

n
u01
khi
n.

Suy ra chuỗi đã cho hội tụ.
Nếu

= 2 thì
2
n


=

1. Vậy
n
n
u
→
1
e
< 1 khi n→∞.
Suy ra chuỗi đã cho hội tụ.
Nếu

< 2 thì
2
n



→0, vậy
n
n
u
→ 1 khi n→∞. Chưa kết luận được điều gì.
Giả sử
v
n
n
ue với
n
v
=
1
nln1 .
n






Áp dụng công thức khai triển Taylo cho hàm ln(1+x). Suy ra
n
v
=
22
11 1
no

n2n n



 







12 2
1
nnon
2
  
  
khi n→∞.
Với

< 1,
n
v
→ 0 khi n→∞, do đó
n
v
n
ue 10


, nên chuỗi số phân kỳ.
Với

= 1,
n
v
→

1 khi n→∞, do đó
n
1
u0
e


, nên chuỗi số phân kỳ.

Với 1 <

< 2, ta có:

22
11
1
non
nn
2
n
e.e ~e
u

 
 



khi
n 
vì

2
0.n



Đặt
2
n
n
we


 ta có:
1
22lnnn
n
nw e 0



 khi

n.

Suy ra tồn tại số nguyên dương
o
n
sao cho
o
nn.

24

2
n
nw 1


n
2
1
w.
n


Vậy chuỗi số
n
n1
w




hội tụ suy ra chuỗi số
n
n1
u



hội tụ.
Bài tập áp dụng tương tự
Sử dụng tiêu chuẩn Cauchy xét sự hội tụ của các chuỗi số sau:
1.

2
2
n1
2n 1
.
3n 2





4.

n
5n 1
n1
n4
.

n1






2.

n
n1
sin .
3n











nn1
n2
n1
5. .
n1











3.

2
n
n1
e.





n
k
n2
k
6.
n




2.3. Sử dụng tiêu chuẩn D’ Alembert
Nhận xét: Tiêu chuẩn D’Alembert thường được sử dụng khi chuỗi số là phân số với
số mũ cao hoặc có tử số, mẫu số là các giai thừa. Khi sử dụng tiêu chuẩn
D’Alembert phân số sẽ được tối giản và có thể dễ dàng hơn khi xét tính hội tụ hay
phân kỳ của chuỗi số.
Ví dụ 2.3.1 Xét sự hội tụ của chuỗi số
n
n1
(n!)
,a R.
n






Lời giải

Ta có

n
nn
1
n1
n1 n
n
(n 1)!
u

n(n1).n 1
.(n1)1.
u (n1) (n!) (n1)(n1) n















Khi
n 
thì
n
11
1.,
ne






do đó
1
n1
n
u
1
(n 1)
ue




. Do đó
Nếu
1
thì
n1
n
n
u
lim .
u



Chuỗi số đã cho phân kỳ.
25

Nếu
1

thì
n1
n
n
u
lim 0.
u



Chuỗi số đã cho hội tụ.
Nếu
1
thì
n1
n
u
1
1
ue


khi
n.
Chuỗi số đã cho hội tụ.
Vậy chuỗi số đã cho hội tụ khi
1


, phân kỳ khi

1


.
Ví dụ 2.3.2 Xét sự hội tụ của chuỗi
n2
n1
4(n!)
.
(2n)!




Lời giải
Ta có

n1 2
n1
n2
n
n1
n
u
4 [(n 1)!] (2n)!
.
u(2n2)!4[n!]
4 [1.2 n.(n 1)][1.2 n.(n 1)][1.2 n.(n+1) 2n]
[1.2 n.(n+1) 2n.(2n 1)(2n 2)]4 (1.2 n)(1.2 n)












2
4(n 1) 2(n 1) 2n 2
.
(2n 1)(2n 2) 2n 1 2n 1



  

n1
n
n
u
lim 1.
u




Theo quy tắc D’ Alembert chưa thể kết luận được gì.

Nhưng
n1
n
u
u

=
2n 2
2n 1


> 1, với mọi n

N.
Do đó u
n+1
> u
n
, với mọi n  N.
Dãy {u
n
} là dãy tăng, u
n
không thể dần tới 0 khi n →∞.
Do đó chuỗi đã cho phân kỳ.
Bài tập áp dụng tương tự:
Áp dụng tiêu chuẩn D’ Alembert xét sự hội tụ của các chuỗi số sau đây:
n
n1
(n 3)!

1) .
n!3




3)



n1
4.7.10 3n 1
.
2.6.10 4n 2




