Chứng minh quan hệ vuông góc -Tài liệu tự luyện Toán 12 - P2

Khóa h
ọc Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Quan hệ vuông góc


Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1
-


a
a
a
a
O
A
B
D
C
S
O
A
B
D
C
S
H
K
I

Bài 1
: Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình thoi cạnh a, SA = SB = SC = a. Chứng minh rằng:
SB vuông góc SD.
Giải:

+ Gọi O là giao ñiểm của AC và BD. Vì ABCD là hình thoi
nên O là trung ñiểm của AC và BD

0
1
2
90
ABC ASC SO BO BD
BSD SB SD
+ ∆ = ∆ ⇒ = =
⇒ ∠ = ⇔ ⊥







Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD ñáy ABCD là hình vuông, SA vuông góc mặt phẳng (ABCD). Gọi H, K
lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SD.
a. CMR: SC vuông góc mặt phẳng (AHK).
b. Gọi I là giao ñiểm của SC với mặt phẳng (AHK). CMR: HK vuông góc AI.
Giải:

a. Ta có:
( ) (1)
AH SB
AH SBC AH SC
AH BC
⊥

⇒ ⊥ ⇒ ⊥

⊥


( ) (2)
AK SD
AK SDC AK SC
AK DC
⊥

⇒ ⊥ ⇒ ⊥

⊥


Từ (1) và (2) ta suy ra
( )
SC AHK
⊥

b. Ta có:
v v

SAB SAD SH SK
∆ = ∆ ⇒ =

/ /
SH SK
HK BD
SB SD
⇒ = ⇒ ( ðịnh lý Ta lét ñảo)
( )
BD AC
BD SAC
BD SA
⊥

⇒ ⊥

⊥


CHỨNG MINH QUAN HỆ VUÔNG GÓC (Phần 02)

ðÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG
Các bài tập trong tài liệu này ñược biên soạn kèm theo bài giảng Chứng minh quan hệ vuông góc thuộc khóa
học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
tại website Hocmai.vn ñể giúp các Bạn kiểm tra, củng cố lại các kiến
thức ñược giáo viên truyền ñạt trong bài giảng Chứng minh quan hệ vuông góc. ðể sử dụng hiệu quả, Bạn cần
học trước Bài giảng sau ñó làm ñầy ñủ các bài tập trong tài liệu này.

(Tài li
ệ
u dùng chung bài 01+02)

Khóa h
ọc Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Quan hệ vuông góc


Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 2
-


N
K
I
O
D
A
C
B
S
M
/ /
( )
( )
HK BD
HK SAC HK AI

BD SAC

⇒ ⊥ ⇒ ⊥

⊥


Bài 3:
Cho hình chóp S.ABCD ñáy ABCD là hình thoi tâm O, SA = SC, SB = SD.
a. Chứng minh rằng:
( )
SO ABCD
⊥

b. I, K lần lượt là trung ñiểm của BA và BC. Chứng minh rằng IK vuông góc SD.
c. Gọi (P) là mặt phẳng song song với SO chứa IK. Chứng minh BD vuông góc với mặt phẳng (P).

Giải:
a. Ta có:
( )
SO AC
SO ABCD
SO BD
⊥

⇒ ⊥

⊥


b.
( )
( )
IK BD do AC BD
IK SBD IK SD
IK SO
⊥ ⊥

⇒ ⊥ ⇒ ⊥

⊥


c. + Gọi M là giao ñiểm của SB với mặt phẳng (P),
N là giao ñiểm của DB với mặt phẳng (P).
/ /( ), ( )
/ /
( ) ( )
/ /
( )
SO P SO SBD
SO MN
SBD P MN
SO BD
MN BD
MN SO
BD IK
BD P
BD MN
⊂


+ ⇒

∩ =

⊥

+ ⇒ ⊥


⊥

+ ⇒ ⊥

⊥


Bài 4:
Cho lặng trụ ñứng ABCD.A’B’C’D’, ñáy ABC có AB = AD = a và góc

0
60
BAD∠ =
,
3
AA'
2
a
= .
M, N lần lượt là trung ñiểm A’D’ và A’B’. Chứng minh rằng:

' ( ).
AC BDMN
⊥


Giải:
+ Gọi
S BN DM
= ∩ ⇒
M là trung ñiểm SD, N là trung ñiểm SB, A’ là trung ñiểm SA.
+ Gọi O = AC
∩
BD
+
∆
BAD ñều
3
2 3 , '
2
a
AO AC AO a SA CC AO
⇒ = ⇒ = = = =

+ Hai
∆
vuông SOA và ACC’ bằng nhau

AS '
O CAC
⇒ ∠ = ∠

.
Mà
0 0
AS 90 ' 90 '
O SOA CAC SOA AC SO
∠ + ∠ = ⇒ ∠ + ∠ = ⇒ ⊥

+
'
' ( )
'
AC BD
AC BDMN
AC SO
⊥

⇒ ⊥

⊥


Bài 5:
Tứ diện SABC có
(
)
.
SA mp ABC
⊥
Gọi H, K lần lượt là trực tâm của các tam giác ABC và SBC.
a.

Chứng minh SC vuông góc với mp(BHK) và
(
)
(
)
SAC BHK
⊥

b.

Chứng minh
(
)
HK SBC
⊥
và
(
)
(
)
.
SBC BHK
⊥


Giải:

Khóa h
ọc Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương

Quan hệ vuông góc


Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 3
-



a. Vì H là trực tâm tam giác
ABC BH AC
∆ ⇒ ⊥
, theo giả thiết

(
)
SA mp ABC BH SA
⊥ ⇒ ⊥
. Nên
(
)
BH mp SAC SC BH
⊥ ⇒ ⊥

Do K là trực tâm
SBC BK SC
∆ ⇒ ⊥

Từ ñó suy ra

(
)
(
)
(
)
SC mp BHK mp BHK mp SAC
⊥ ⇒ ⊥
(ñpcm)
b. Tương tự như trên ta cũng chứng minh ñược:
(
)
SB mp CHK SB HK
⊥ ⇒ ⊥

Mà
(
)
SC mp BHK SC HK
⊥ ⇒ ⊥
.
Do ñó:
(
)
(
)
(
)
HK mp SBC mp SBC mp BHK
⊥ ⇒ ⊥

Bài 6:
Cho lăng trụ ñứng ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh ñều bằng a. Gọi M là trung ñiểm của AA’. Chứng
minh rằng BM vuông góc với B’C.

Giải:

Gọi I là tâm hình vuông BCC’B’ nên I là trung ñiểm của B’C.
M là trung ñiểm AA’ nên MC=MB’ suy ra tam giác MB’C cân tại M
' ; ' ' ' .
B C MI B C BC B C MB
⇒ ⊥ ⊥ ⇒ ⊥






Bài 7:
Cho hình chóp S.ABCD có ñáy là hình vuông tâm O cạnh a.
( )
SA ABCD
⊥
. Gọi H, I, K lần lượt là
hình chiếu vuông góc của A trên SB, SC, SD và J là hình chiếu của B trên SC. Gọi M, N, P, Q lần lượt là
trung ñiểm của AB, AD, BC, SC. CMR:
1. ( ); 2. ( ); 3. ( ); 4. ( );
BC SAB CD SAD AH SBC AK SCD
⊥ ⊥ ⊥ ⊥

5. ( ); 6. ( ); 7. ( ); 8. ( );
SC AHK OM SAB ON SAD BC OPQ
⊥ ⊥ ⊥ ⊥


9. ; 10. ; 11. ; 12. ;
BC SB CD SD AH SC AK SC
⊥ ⊥ ⊥ ⊥


13.( ) ( ); 14.( ) ( ); 15. ( ) ( ); 16.( ) ( );
SBC SAB SCD SAD AHK SBC AHK SCD
⊥ ⊥ ⊥ ⊥

B

S

C

A
H

K

A

A’

B
B’
C
C’
M

I
Khóa h
ọc Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Quan hệ vuông góc


Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 4
-



17.( ) ( ); 18.( ) ( ); 19.( ) ( ); 20.( ) ( );
AHK SAC OQM SAB OQN SAD OPQ SBC
⊥ ⊥ ⊥ ⊥

Giải:

1.

BC
⊥
AB (giả thiết ABCD là hình vuông)

BC
⊥
SA (do giả thiết SA
⊥
(ABCD))
⇒
BC
⊥
(SAB).
2.

CD
⊥
AD (giả thiết ABCD là hình vuông),
CD
⊥
SA (do giả thiết SA
⊥
(ABCD))

⇒
CD
⊥
(SAD).
3.

AH
⊥
SB (giả thiết),
AH

⊥
BC (do theo câu 1 ta ñã có BC
⊥
(SAB)
mà AH
⊂
(SBC) )
⇒
AH
⊥
(SBC)
4.

AK
⊥
SD (giả thiết)
AK
⊥
CD (do theo câu 2 ta ñã có CD
⊥
(SAD)
mà AK
⊂
(SAD) )
⇒
AK
⊥
(SCD)
5.

AH
⊥
(SBC) (do theo câu 3)
⇒
AH
⊥
SC
AK
⊥
(SCD) (do theo câu 4)
⇒
AK
⊥
SC
Vậy SC
⊥
(AHK)
6.

OM là ñường trung bình của tam giác ABC nên OM//BC, mà BC
⊥
(SAB) (do theo câu 1) nên
OM
⊥
(SAB)

7.

ON là ñường trung bình của tam giác ABD nên ON//AB//CD mà CD
⊥

(SAD) (do theo câu 2)
nên ON
⊥
(SAD).

8.

OP là ñường trung bình của tam giác BDC nên OP//CD mà BC
⊥
CD (giả thiết) nên BC
⊥
OP
(*).
OQ là ñường trung bình của tam giác SAC nên OQ//SA mà SA
⊥
(ABCD) nên OQ
⊥
(ABCD),
⇒
BC
⊥
OQ (**).
Vậy từ (*) và (**) ta có BC
⊥
(OPQ)
9.

Theo câu 1: BC
⊥
(SAB)

⇒
BC
⊥
SB.

10.

Theo câu 2: CD
⊥
(SAD)
⇒
CD
⊥
SD.

11.

Theo câu 3: AH
⊥
(SBC)
⇒
AH
⊥
SC.

12.

Theo câu 4: AK
⊥
(SCD)

⇒
AK
⊥
SC.

13.

Theo câu 1: BC
⊥
(SAB) mà BC
⊂
(SBC)
⇒
(SBC)
⊥
(SAB).

14.

Theo câu 2: CD
⊥
(SAD) mà CD
⊂
(SCD)
⇒
(SCD)
⊥
(SAD).

15.

Theo câu 3: AH
⊥
(SBC) mà AH
⊂
(AHK)
⇒
(AHK)
⊥
(SBC).

Khóa h
ọc Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Quan hệ vuông góc


Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 5
-


16.

Theo câu 4: AK
⊥
(SCD) mà AK
⊂
(AHK)
⇒

(AHK)
⊥
(SCD).

17.

Theo câu 5: SC
⊥
(AHK) mà SC
⊂
(SAC)
⇒
(SAC)
⊥
(AHK).

18.

Theo câu 6: OM
⊥
(SAB) mà OM
⊂
(OMQ)
⇒
(OMQ)
⊥
(SAB).

19.

Theo câu 7: ON
⊥
(SAD) mà ON
⊂
(ONQ)
⇒
(ONQ)
⊥
(SAD).

20.

Theo câu 8: BC
⊥
(OPQ) mà BC
⊂
(SBC)
⇒
(SBC)
⊥
(OPQ).


Giáo viên: Lê Bá Trần Phương
Nguồn :
Hocmai.vn