Cực đại cực tiểu của hàm số - Tài liệu tự luyện Toán 12 - Phần 1

Khóa h
ọc Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Cực ñại, cực tiểu của hàm số


Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1
-



Bài 1: Tìm cực trị của hàm số
1:
4 4
2 4
y x x
= − + −
.
Giải
ðiều kiện: 2
≤
x
≤
4.
y’=
3 3
4 4
1 1 1
4
( 2) (4 )

x x
 
−
 
 − − 
 

y’=0 
3 3
4 4
(4 ) ( 2)
x x− = −


4-x = x-2

x = 3.
Bảng biến thiên:
x 2 3 4
y’ + 0 -

y

2
4
2
4
2

Hàm số ñạt cực ñại tại x =3, y

Cð
= y
(3)
= 2.
2: y=
2
2 9 1
x
x
+ −


Giải
TXð: R
y’=
2
2
2 2
9 2 9
2 9. 2 9 1
x
x x
− +
 
+ + −
 
, y’= 0


2

2 9 9
x
+ =

x
2
= 36 => x =
6
±
.
Bảng biến thiên
x -
∞
-6 6 +
∞

y’


-

0 + 0

-

y


3
4

3
4
−


Hàm số ñạt cực ñại tại x = 6, y
Cð
= y
(6)
=
3
4
.
Hàm số ñạt cực tiểu tại x =-6, y
CT
= y
(-6)
=
3
4
−
.
3:
2
2 1
y x x
= + +

CỰC ðẠI, CỰC TIỂU CỦA
HÀM SỐ
ðÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG
Các bài tập trong tài liệu này ñược biên soạn kèm theo bài giảng Cực ñại, cực tiểu của hàm số thuộc khóa học
Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
tại website Hocmai.vn ñể giúp các Bạn kiểm tra, củng cố lại các kiến thức
ñược giáo viên truyền ñạt trong bài giảng Cực ñại, cực tiểu của hàm số. ðể sử dụng hiệu quả, Bạn cần học
trước Bài giảng sau ñó làm ñầy ñủ các bài tập trong tài liệu này.



(Tài li
ệ
u dùng chung bài 0
4
+0
5
)

Khóa h
ọc Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Cực ñại, cực tiểu của hàm số


Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 2
-

Giải
TXð: R
y’= 1+
2
2
2 1
x
x
+
=
2
2
2 1 2
2 1
x x
x
+ +
+

y’= 0


2
2 1 2
x x
+ = −


2 2
2 0
2 1 4
x
x x
− ≥


+ =



0
1
1
2
2
x
x
x
≤


↔ = −

= ±



Bảng biến thiên:

x
-
∞

1
2
−

+
∞

y’ - 0 +
y


1
2


Hàm số ñạt cực tiểu tại x =
1
2
−
, y
CT
= y (
1
2
−
) =

1
2

4.
4
4x
1
y
x
=
+


Giải
TXð: IR
4
4
4 2
4
4(1 3x ) 1
' , ' 0 1 3x 0
( 1)
3
y y x
x
−
= = ↔ − = ↔ = ±
+

Bảng biến thiên:

x
-
∞

-
4
1
3

4
1
3

+
∞

y’

-



0 +


0
-

y

-
4
27

4
27


Hàm số ñạt cực ñại tại x =
4
1
3
, y
Cð
=
4
27
.

Hàm số ñạt cực tiểu tại x = -
4
1
3
, y
CT
= -
4
27

.

5. y = x
4
– 6x
2
– 8x + 18.

Giải
TXð: IR
y’ = 4x
3
– 12x – 8 = 4(x + 1)
2
.(x – 2)
y’ = 0
↔
x = - 1, x = 2.
Bảng biến thiên:
x -
∞
- 1 2 +
∞

y’ -

0 - 0 +
y
- 6

Khóa h
ọc Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Cực ñại, cực tiểu của hàm số


Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 3
-



Hàm số ñạt cực tiểu tại x = 2, y
CT
= -6.

6. y =
2
2
1
1
x x
x
+ −
−


Giải
TXð: D=R\
{

}
1;1
−

y’=
2
2 2
4 1
( 1)
x x
x
− − −
−
, y’=0

-x
2
– 4x – 1=0

x = -2
3
±
.
Bảng biến thiên
x
-
∞

2 3
− −

-1
2 3
− +

1 +
∞

y’ - 0 + + 0 - -
y


3
2


3
2
−



Hàm số ñạt cực tiểu tại x = -2-
3
, y
CT
=
3
2

Hàm số ñạt cực ñại tại x = -2+
3
, y
Cð
=
3
2
−
.
7. y = sin
2
x + cosx ,
(0, )
x
π
∈


Giải
y’= 2 sinx.cosx - sinx = sinx.(2cosx-1)
Vì
(0, )
x
π
∈
=> sinx > 0.
Do ñó: y’= 0

cosx =
1

2

x =
3
π

Bảng biến thiên:
x
0
3
π

π

y’


+ 0
-



y

5
4

1 -1
Hàm số ñạt cực ñại tại x =
3

π
, y
Cð
=
5
4
.
8. y =
2
3 2
x x
− +


Giải
TXð: R
y =
2
3 2
x x
− +
=
2 2
2 2
3 2 3 2 0 1, 2
3 2 3 2 0 1 2
x x neu x x x x
x x neu x x x

− + − + ≥ <=> ≤ ≥



− + − − + 〈 <=> 〈 〈



Khóa h
ọc Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Cực ñại, cực tiểu của hàm số


Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 4
-


y’=
2 3 1, 2
2 3 1 2
x neu x x
x neu x
− ≤ ≥


− + 〈 〈


y’=0


x=
3
2

Bảng biến thiên:
x
-
∞



1
3
2



2 +
∞

y’ - + 0 - +
y
+
∞

1
4

+
∞

0 0

Hàm số ñạt cực tiểu tại
1, 0
CT
x y
= ± =

Hàm số ñạt cực ñại tại
3
;
2
x
= y
Cð
=
1
4

9. Cho hàm số:
1 5
, ;
sin 3 6
y x
x
π π
 
= ∈
 

 


Giải
2
cos
'
sin
x
y
x
= −

' 0 cos 0
2
y x x
π
= ⇔ = ⇔ =

Bảng biến thiên:

x
3
π

2
π

5
6

π

y’ - 0 +
y
2
3
2

1
Hàm số ñạt cực tiểu tại
, 1
2
CT
x y
π
= =

10: Cho hàm số:
(
)
sin cos , ;
y x x x
π π
= + ∈ −


Giải
' cos sin
y x x
= −

" sin cos
y x x
= − −

cos sin 0 tan 1
4
' 0
3
4
x
x x x
y
x x
x
π
π π π π π

=

− = =
 

= ⇔ ⇔ ⇔
  
− < < − < <
 

= −




Khóa h
ọc Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Cực ñại, cực tiểu của hàm số


Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 5
-


" 2 0
4
y
π
 
= − < ⇒
 
 
hàm số ñạt cực ñại tại
4
x
π
=
, y
Cð
=
2

4
y
π
 
=
 
 

3
" 2 0
4
y
π
 
− = > ⇒
 
 
hàm số ñạt cực tiểu tại
3 3
, 2
4 4
CT
x y y
π π
−
 
= − = = −
 
 

11. Cho hàm số:
2 os2 4sin , 0;
2
y c x x x
π
 
= + ∈
 
 


Giải
( )
cos 0
' 2 2 sin 2 4cos 2cos 2 2 2 sin ; ' 0
2
sin
2
x
y x x x x y
x
=


= − + = − = ⇔

=



2
4
x
x
π
π

=

⇔


=



" 4 2 os2 4sin
y c x x
= − −

" 4 2 4 0
2
y
π
 
= − >
 
 
⇒
hàm số ñạt cực tiểu tại

, 4 2
2 2
CT
x y y
π π
 
= = = −
 
 

" 2 2 0
4
y
π
 
= − < ⇒
 
 
hàm số ñạt cực ñại tại
4
x
π
=
, y
Cð
=
2 2
4
y
π

 
=
 
 

Bài 2:
Chứng minh hàm số:
2 2
1
x m
y
x m
− +
=
−
luôn có cực ñại, cực tiểu với mọi m.

Giải
Tập xác ñịnh:
{
}
|
D R m
=

2 2
2 2
2
2 1
' , ' 0 2 1 0 1

( )
x mx m
y y x mx m x m
x m
− + −
= = ⇔ − + − = ⇔ = ±
−

Bảng biến thiên:
x

-
∞
m-1 m
1
m
+
+
∞

y’


+ 0
-

-

0 +

y


2m-2 +
∞
+
∞


-
∞
-
∞
2m+2

Vậy với mọi m, hàm số ñạt cực ñại tại
1;
x m
= −
y
Cð
= 2m-2.
Và ñạt cực tiểu tại
1; 2 2
CT
x m y m
= + = +
.
Bài 3:
Cho hàm số:

3
2 2
( 1) 1
3
x
y mx m m x
= − + − + +
.
Tìm m ñể hàm số ñạt cực ñại tại ñiểm
1
x
=
.

Giải
2 2
' 2 1
y x mx m m
= − + − +

" 2 2
y x m
= −

ðể hàm số ñạt cực ñại tại
1
x
=
, ta phải có:
Khóa h

ọc Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Cực ñại, cực tiểu của hàm số


Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 6
-


2
1
'(1) 0
3 2 0
2
2
"(1) 0
2 2 0
1
m
y
m m
m
m
y
m
m
 =

=


− + =



⇔ ⇔ ⇔ =
=
  

<
− <



>


Bài 4:
Tìm a, b ñể hàm số
2
2
2 5
x ax
y
x b
− +
=
+
ñạt cực ñại tại
1

2
x
=
và y
Cð
= 6.

Giải
ðể hàm số ñạt cực ñại tại
1
2
x
=
và y
Cð
= 6, ta phải có:
1
' 0
2
4
1
" 0
1
2
1
6
2
y
a
y

b
y

 
=
 

 

= −


 
< ⇔
 
 
=
 



 
=

 
 


Giáo viên: Lê Bá Trần Phương
Nguồn :
Hocmai.vn