Đề thi chính thức cuộc thi toán học trẻ quốc tế CIMC 2015

1

ĐÁP SỐ VÀ HƯỚNG DẪN ĐỀ TOÁN HỌC TRẺ QUỐC TẾ CIMC 2015

Đại diện cho Việt Nam dự thi CIMC 2015 là 24 học sinh trường THPT Hà Nội – Amsterdam.
Đội bé gồm 16 em trong đó có 15 em học sinh khối 6, 7 (lứa tuổi 12, 13) và 1 học sinh khối 8
(14 tuổi). Đề thi bằng Tiếng Anh và thời gian làm bài là 90 phút. Kết quả đội bé của Việt Nam
giành được 2 HCV, 7 HCB, 3 HCĐ, 4 giải KK. Theo dõi các ý kiến bạn đọc nhận thấy có một
vài bạn đọc thể hiện trình độ khá cao. Vì thế chúng tôi sẽ đưa ra đáp số 12 bài toán và giải 3 bài
toán hay và khó của đề thi (theo nhận định chủ quan).

1. Tìm số nhỏ nhất có 4 chữ số mà có cùng số ước dương với số 2015.
Đáp số: 1001
2. Mỗi học sinh được yêu cầu xóa đi 3 trong số 21 số nguyên dương đầu tiên (1, 2, 3, …, 21) và
tính tổng của 18 số còn lại. 3 số đã bỏ đi bởi mỗi học sinh bao gồm 2 số liên tiếp, và không có 2
học sinh nào cùng được bỏ đi cả 3 số giống nhau. Hỏi có tối đa bao nhiêu học sinh nhận đúng
được kết quả là 212?
Đáp số: 7
3. ABCD là một ngôi nhà hình chữ nhật. Một hàng rào kéo dài
AB tới E với BE = 80 m. Một hàng rào khác kéo dài BC tới F
với CF = 70 m. Một hàng rào khác nữa kéo dài CD tới G với
DG = 50 m. Một hàng rào nữa kéo dài DA tới H với AH =90 m.
Xây các hàng rào qua E và G và song song với AD, và các hàng
rào qua F và H và song song với AB, từ đó dựng được 4 khu
vườn hình chữ nhật xung quanh một mảnh đất ngôi nhà
hình chữ nhật. Tổng chu vi của các khu vườn là 2016 m. Hỏi chu vi theo mét của ngôi nhà?
Đáp số: 428
4. Một cộng đồng nọ được chia thành các tổ chức, mỗi tổ chức được chia thành các tổ chức con,
mỗi tổ chức con được chia thành các xã hội nhỏ và mỗi xã hội nhỏ được chia thành các câu lạc
bộ. Số câu lạc bộ trong mỗi xã hội nhỏ, số xã hội nhỏ trong mỗi tổ chức con và số tổ chức con
trong mỗi tổ chức là bằng nhau và bằng một số nguyên lớn hơn 1. Cộng đồng này có 1 chủ tịch,

và mỗi tổ chức, tổ chức con, xã hội nhỏ và câu lạc bộ cũng vậy. Nếu tổng cộng có 161 vị trí chủ
tịch, hỏi cộng đồng trên có bao nhiêu tổ chức?
Đáp số: 4
2

5. Mỗi chiếc máy A và B có thể làm được 1 cái chai mỗi phút. Máy A cần nghỉ trong 1 phút sau
khi làm cứ mỗi 3 chai, và máy B cần nghỉ 1,5 phút sau khi làm cứ mỗi 5 chai. Hỏi cần ít nhất
bao nhiêu phút để cả 2 máy này làm được tổng số chai là 2015?
Đáp số: 1326

6. 6 chữ số 1, 2, 3, 4, 5 và 6 được dùng để tạo một số có 1 chữ số, 1 số có 2 chữ số và 1 số có 3
chữ số. Mỗi chữ số được dùng đúng 1 lần và buộc phải dùng cả 6 chữ số. Tổng của số có 1 chữ
số và số có 2 chữ số là 47, còn tổng của số có 2 chữ số và số có 3 chữ số là 358. Tính tổng của
cả 3 số trên.
Đáp số: 363

7. E là một điểm nằm trên cạnh BC của hình vuông ABCD sao cho
BE = 20 cm và CE = 28 cm. P là điểm nằm trên đường chéo BD. Tính
giá trị nhỏ nhất có thể theo cm của PE + PC?
Đáp số: 52 cm

8. Trong một nhóm các số nguyên dương phân biệt, số lớn nhất ít hơn 36 và bằng 3 lần số nhỏ
nhất. Số nhỏ nhất bằng 2/3 của trung bình cộng của các số trong nhóm. Hỏi nhóm này có tối đa
bao nhiêu số?
Giải
Nhóm này có a số, số nhỏ nhất là k và số lớn nhất là 3k (với k  11 và a  3)
Trung bình cộng của các số trong nhóm là


 nên tổng các số là




Loại trừ số lớn nhất và số nhỏ nhất thì tổng của (a – 2) số còn lại là


    
Đây là (a – 2) số nguyên dương phân biệt trong khoảng từ (k + 1) đến (3k – 1) nên tổng của
chúng lớn hơn hoặc bằng



  

    


Suy ra


     



  

    





  

 

  

 

  

  

    

  

  


Suy ra

  

  

 

  


 

      

  


 
Suy ra a = 6, 7, 8. Với a = 8 thì tổng 6 số là


     = 8k.
Tổng 6 số liên tiếp từ k + 1 là 6k + 21 nên k = 11.
8 số trong nhóm là 11, 12, 13, 14, 15, 16, 18, 33.
Vậy a lớn nhất bằng 8.
Đáp số: 8

3

9. Hình vẽ sau biểu diễn hình ảnh nhìn từ trên xuống của một cấu trúc
xây từ 9 chồng các hình lập phương đơn vị. Số các hình lập phương
của mỗi chồng được cho dưới đây. Mỗi chồng được xây từ dưới lên và
không chứa khoảng trống. Toàn bộ diện tích bề mặt ngoài, bao gồm 9
ô vuông 1 × 1 ở đáy, được sơn. Hỏi tổng số ô vuông 1 × 1 được sơn là
bao nhiêu?
Giải
Tổng số hình lập phương đơn vị là 1 + 2 +… + 9 = 45
Tổng số ô vuông 1 × 1 là 270.
Số ô vuông không được sơn do xếp chồng lên nhau ở mỗi chồng là 0, 1, 2, … 8; tổng là 36
Số ô vuông không được sơn do 2 chồng liền kề nhau bằng số hình lập phương của chồng thấp

hơn, theo hình lần lượt là 1, 2, 3, 3, 4, 7, 6, 5; tổng là 31
Vậy số ô vuông được sơn là 270 – 2×36 – 2×31 = 136
Đáp số: 136

10. 4 số phân biệt có 3 chữ số có cùng tổng các chữ số, và tổng của 4 số này là 2015. Tính tổng
tất cả các giá trị có thể của tổng các chữ số của mỗi số trong 4 số này.
Đáp số: 31
11. Có 3 số nguyên dương. Số đầu tiên là một số có 2 chữ số và 2 chữ số này giống nhau. Số
thứ hai là một số có 2 chữ số và 2 chữ số này phân biệt, trong đó chữ số hàng đơn vị của nó
giống chữ số hàng đơn vị của số thứ nhất. Số thứ ba là một số có 1 chữ số và chữ số này giống
với chữ số hàng chục của số thứ hai. Đúng 2 trong 3 số trên là các số nguyên tố. Hỏi có bao
nhiêu cách khác nhau để chọn ra 3 số nguyên dương nói trên?
Đáp số: 11
12. Một số nguyên dương được chia cho 5, thương và số dư được ghi lại. Chính số đó lại được
đem lấy chia cho 3, và thương và số dư được ghi lại. Thương của phép chia thứ nhất bằng với
số dư của phép chia thứ hai còn thương của phép chia thứ hai bằng số dư của phép chia thứ
nhất. Tìm tích tất cả các giá trị có thể của số ban đầu.
Đáp số: 98
13. E là một điểm nằm trên cạnh AB của hình chữ nhật ABCD
sao cho AE = 2 EB, và Z là trung điểm của cạnh BC. M và N lần
4

lượt là các trung điểm của DE và DZ. Nếu diện tích của tam giác
EMN là 5 cm
2
, tính diện tích theo cm
2
của đa giác MEBZN.
Đáp số: 20 cm²
14. Có bao nhiêu cách để chia các số 1, 2, 3, … , 12 thành 4 nhóm, mỗi nhóm chứa 3 số có tổng

chia hết cho 3?
Đáp số: 640 cách chia.

15. Một số trong các số 1, 2, 3, …, 19 được gọi là “theo sau” một số thứ hai cũng trong các số
1, 2, 3, …, 19, nếu như số thứ hai lớn hơn số thứ nhất từ 10 đến 18 đơn vị, hoặc số thứ nhất lớn
hơn số thứ hai từ 1 đến 9 đơn vị. Chẳng hạn 6 là số “theo sau” của các số 16, 17, 18, 19, 1, 2, 3,
4, 5. Có bao nhiêu cách chọn ra 3 số trong các số 1, 2, 3, …, 19 sao cho số đầu tiên “theo sau”
số thứ hai, số thứ hai “theo sau” số thứ ba, và số đầu tiên cũng “theo sau” số thứ ba?
Giải
Gọi số thứ nhất là a, có 9 số được a “theo sau”.
Trong 9 số chọn ra 2 số bất kì b và c. Ta có a “theo sau” b và c.
Nếu b và c cùng lớn hơn hoặc cùng nhỏ hơn a thì hiệu của chúng từ 1 đến 8 nên trong 2 số b và
c thì số lớn “theo sau” số bé.
Nếu b và c có 1 số lớn hơn a và 1 số nhỏ hơn a thì hiệu của chúng từ 11 đến 18 nên trong 2 số b
và c thì số bé “theo sau” số lớn.
Như vậy chọn ra 2 số bất kì trong 9 số mà a “theo sau” thì ta luôn có bộ 3 số thỏa mãn yêu cầu.
Vậy số cách chọn là: 19 × 9 × 8 ÷ 2 = 684 (cách)
Đáp số: 684
BẢNG TÓM TẮT ĐÁP SỐ