Nanophotonics - Chương 1-2-Vật lí sóng

Chương I :
VẬT LÝ SÓNG
I. PHƯƠNG TRÌNH SÓNG ĐIỆN TỪ :
1. Các phương trình Maxwell:
Trường điện từ trong chân không vào thời điểm t nào đó được xác đònh bởi vectơ
cường độ điện trường
),( trE


và vectơ cảm ứng từ
),( trB


với
r

là vectơ vò trí tại điểm
đang xét.
Lực tác dung lên điện tích thử Q chuyển động với vận tốc
v

được biểu diễn thông
qua
E

và
B

như sau:
)( BvQEQF





(lực Lorentz)
Nguồn của trường điện từ là các điện tích và dòng điện , để đặc trưng cho các đại
lượng đó người ta dùng mật độ điện tích  và vectơ mật độ dòng điện
j

.
Các phương trình Maxwell biểu diễn mối liên hệ giữa sự biến thiên của trường
điện từ
),( BE

với các nguồn của nó (điện tích, dòng điện) :
o Phương trình Maxwell-Flux (M-) : div
B

= 0 (bảo toàn từ thông)
o Phương trình Maxwell -Faraday (M-F) :
t
B
Erot





(cảm ứng điện từ)
o Phương trình Maxwell -Gauss (M-G) : div
E


=


0
(đònh lý Gauss)
o Phương trình Maxwell-Ampère :
t
E
jBrot








0
00
(đònh lý Ampère)
j

: dòng điện dẫn
t
E





0
: dòng điêïn dòch
ε
0
=
36
1
.10
-9
(F/m) : hằng số điện
µ
0
= 4

.10
-7
H/m : hằng số từ
2. Các phương trình lan truyền sóng:
Thực hiện phép toán rotor đối với phương trình M-F :
)()()( Brot
tt
B
rotErotrot










Mặt khác :
AAdivgradArotrot

 )()(
Từ phương trình M-A, lấy đạo hàm hai vế theo thời gian :
2
2
0
00
)(
t
E
t
j
Brot
t















t
j
grad
t
E
E














0
0
2
2
0
0
)(
(a)

Một cách tương tự, tác dụng toán tử rotor vào hai vế phương trình M-A ta lại có:
)()()(
0
00
0
00
Erot
t
jrot
t
E
rotjrotBrotrot















Lấy đạo hàm theo thời gian phương trình M-F :
2
2

0
0
0
0
)(
t
B
Erot
t











2
2
0
00
)(
t
B
jrotBBdivgrad









jrot
t
B
B






0
2
2
0
0




(b)
(a) và (b) là các phương trình lan truyền của trường
3. Trường hợp không có nguồn : (
)0,0  j



Các phương trình lan truyền của điện trường
E

và từ trường
B

lúc đó có dạng của
phương trình D’Alembert:
0
1
2
2
2




t
E
c
E


;
0
1
2
2
2





t
B
c
B


(c)
Với c
2
= 1/
00

:vận tốc truyền trong chân không.
Toán tử D’Alemert:  =
tc 


2
2
1
 
E

=0 ; 
B


= 0
 Đối với mỗi thành phần của trường
a

có thể biểu diễn dưới dạng 
0a

4. Các thế của trường :
Ta có : div(rot
A

) = 0
Từ phương trình M- :
0Bdiv

=> tồn tại một trường vectơ
A

sao cho :
)(ArotB



Mặt khác,
0)( gradVrot
Từ phương trình M-F :
0)(
)()(














t
A
Erot
t
A
rotArot
tt
B
Erot






=> trường vectơ
t
A
E






là trường xoáy, vậy tồn tại một trường vô hướng V sao
cho :
gradV
t
A
E 





Tóm lại ,trường điện từ
),( BE

có một cặp thế
),( VA

liên hệ với chúng qua biểu thức
:
gradV
t
A
E 





;
ArotB



Nhận xét rằng, nếu
A

là vectơ thế của trường điện từ thì :
A

’ =
A

+ gradf cũng là vectơ thế (f là một hàm số bất kỳ)
Và nếu V là thế vô hướng của trường thì
V’ = V -
t
f


cũng là thế vô hướng.
Trong số những cặp thế của m ột trường điện từ xác đònh , tồn tại một cặp thế thoả
điều kiện chuẩn Lorentz :
0
0
0





t
V
Adiv



Khi đó :
)()(
0
Adiv
t
V
t
A
gradVdivEdiv










0
2

2
00


 



t
V
V
(c)
Và
2
2
0000000000
)()()(
t
A
t
V
gradj
t
E
j
t
E
jArotrotBrot












 







2
2
000
)()(
t
A
AdivgradjAAdivgrad


 




j
t
A
A


0
2
2
00
 



(d)
(c) và (d) là các phương trình lan truyền của các thế.
II. SÓNG ĐIỆN TỪ PHẲNG CHẠY ĐIỀU HOÀ LIÊN TIẾP (OPPH – Ondes
Planes Progressives Harmoniques ) :
1. Mở đầu:
- Mặt sóng : là tập hợp các vò trí mà độ lớn của trường không đổi vào thời điểm xác
đònh.
- Sóng phẳng (OP) là sóng có mặt sóng là một họ các m ặt phẳng vuông góc với
phương truyền sóng xác đònh
)1( uu

- Sóng phẳng liên tiếp (OPP) là sóng phẳng truyền theo phương và chiều xác đònh,
hàm sóng có dạng:
)(),( ctruftMa 

Nghiệm của phương trình D’Alembert là tổ hợp các sóng phẳng liên tiếp theo một

phương
u

nào đó .
- Sóng phẳng điều hoà liên tiếp : là sóng phẳng liên tiếp mà hàm sóng có dạng sin
hoặc cos.
)cos(),(  rktAtra




- Số sóng

2
=k
- Vectơ sóng
ukk



Sóng điện từ phẳng điều hoà liên tiếp là nghiệm của phương trình Maxwell mà 6
thành phần của trường điện từ có cùng tần số góc

và cùng vectơ sóng
k

Có thể biểu diễn trường điện từ dưới dạng phức :
)(
0
rktj

eEE






;
)(
0
rktj
eBB






(
1
2
j
)
Các toán tử đạo hàm tác dụng l ên trường phức tương đương với phép nhân :
j
t



;

kj



2. Cấu trúc của OPPH trong chân không :
Biểu diễn pt Maxwell bằng cách sử dụng toán tử nabla


0
0


B
E


tEB
TBE


/
/
00



Viết dưới dạng phức :
0.  Ekj



(1)
BjEkj



(3)
0.  Bkj


(2)
EjBkj



00

(4)
Từ phương trình (1) ta có
0.0.  EuEk




0)Re(.0).Re(  EuEu




0.  Eu



Một cách tương tự ta cũng có
0. Bu


 Sóng điện từ phẳng đều hoà liên tiếp trong chân không là sóng ngang.
)3(
EukEkB





 .
(3’)
)4(
E
C
Buk


2
ˆ


(4’)
Thế (3’) vào (4’) :
E
C
Eu

k
uk


2
)(.



Mà ta có :
EEuuuEuEuu






 )) () ()(.
=>
2
2
2
c
k


(3’) =>
c
Eu
Eu

k
B








Lấy phần thực :
c
Eu
c
Eu
B








 )Re(
=>
),,( BEu


tạo thành một tam diện thuận

Mặt khác tỷ số giữa trường điện và từ là:
c
tMB
tME

),(
),(
Điện trường và từ trường của OPPH đồng pha. Các tính chất trên cũng đúng với OPP.
3. Sự phân cực của OPPH :
Trong OPPH phương của điện trường
E

trong mặt phẳng vuông góc với phương
truyền sóng
u

chưa được xác đònh. Phương của vectơ
E

được gọi là phương phân cực
của sóng
Xét trong hệ toạ độ Descartes, giả sử sóng truyền theo phương z :
)cos(
0 xx
kztE  
E

=
)cos(
0 yy

kztE  
0
Một khi biết được điện trường
E

ta có thể xác đònh được từ trường nhờ cấu trúc của
OPPH.
Tại một vò trí z = z
0
cố đònh, ta có thể viết sự biến thiên của điện trường như sau :
)cos(
0
tEE
xx

)cos(
0
  tEE
yy
Với
yx
 
: độ trễ pha của E
y
đối với E
x
Đầu mút của vectơ điện trường dòch chuyể n trong mặt phẳng (xOy), trên đường
ellipse có phương trình :

2

00
2
0
2
0
sincos))((2)()( 
y
y
x
x
y
y
x
x
E
E
E
E
E
E
E
E
nội tiếp trong hình chữ nhật có cạnh
x
E
0
2
và
y
E

0
2
Để xác đònh chiều chuyển độn g dọc theo ellipse, ta xét vào thời điểm t = 0, khi đó
xx
EE
0

và :
 sin.)(
00 yt
y
E
dt
dE


 chiều quay được chỉ ra bởi d ấu của sin

.
 Nếu chiều quay thuận chiều kim đồng hồ: sóng phân cực ellipse trái,
sin

> 0
 Nếu chiều quay ngược chiều kim đồng hồ: sóng phân cực ellipse phải,
sin

< 0
 Nếu

= 0 hoặc


=

,đầu mút của
E

dòch chuyển trên đường thẳng
xác đònh, ta có phân cực thẳng
Nói chung một sóng phân cực ellipse có thể xem là tổng của 2 sóng phân cực thẳng
theo hai phương vuông góc với nhau => mọi sóng điện từ trong chân không là sự tổng
hợp của các sóng phẳng điều hoà liên tiếp phân cực thẳng.
 Nếu

=

/2 và E
0x
= E
0y
ta có phân cực tròn.
4. Sự truyền năng lượng của OPPH:
a) Mật độ năng lượng của trường điện từ :
0
2
2
0
.22 

B
E

e 
Đối với OPPH :
c
E
B 
=>
0
2
2
0


B
Ee 
 năng lượng được phân bố đều dưới dạng điện và từ.
Đối với một sóng OPPH truyền theo phương của trục Ox ,trường điện từ có dạng:
)(
0
kxtj
eEE




)(
0
kxtj
x
e
c

Eu
B







Giá trò trung bình của e:
 
2
0
0
*
0
2
0
2
.Re
2
1
EEEEe


 
b) Vectơ Poynting:
Công suất của sóng điện từ đi qua một đơn vò diện tích bằng dòng của vectơ
Poynting:
0


BE




(dòng năng lượng đi qua diệm tích S :


S
Sd


.
)
Đối với OPP
.
)(
2
0
00
uEc
c
EuEBE













Đối với sóng OPPH có tần số

, giá trò trung bình <

> của công suất truyền qua
mặt S :
<

> = <


>.
S

= 1/2Re(
SEcS
BE
.
2
1
).
2
00
0

*







Ghi chú: <
)()( tBtE


> =
)()(Re(
2
1
))()(Re(
2
1
**
tBtEtBtE
m
m


)
)cos(
2
1
)Re(

2
1
21
)(
21




mm
j
mm
BEeBE

c) Vận tốc truyền năng lượng:
Gọi
e
v
là vận tốc truyền năng lượng.
tS  
: năng lượng truyền qua diện tích S vuông góc với phương truyền sóng
trong khoảng thời gian
t
 etvS
e

: năng lượng chứa trong thể tích
tvS
e


tSetvS
e
 
=>



e
v
e
Xét trường hợp của OPPH :
cv
e

zzyy
ukxtEukxtEE


)sin()cos(
00
 
=>
u
c
EE
kxtEkxtE
c
u
u
c

E
zoy
zy





.
2
)sin()(cos
0
2
0
2
2
0
22
0
00
2
















2
)sin()(cos
2
0
2
0
0
2
0
22
00
2
0
zy
zy
EE
kxtEkxtEEe

 
- Vectô Poynting phöùc :
0
*

BE





 
 
rktjEE



 exp.
0
Ñoái vôùi OPPH :
 
 
rktj
c
Eu
B







 exp.
0
 
 

rktj
c
Eu
B







 exp.
*
0
*
=>
u
c
E
u
c
EE
c
Eu
E
BE







.).
.
()(
0
2
0
0
*
00
0
*
0
0
0
*






=>
Sdd


 
Vôùi
u

Ec
u
c
E


2
2
00
0
2





• Chúng tôi đã dịch được một số chương của
một số khóa học thuộc chương trình học
liệu mở của hai trường đại học nổi tiếng thế
giới MIT và Yale.
• Chi tiết xin xem tại:
• />• />y_sinh.html