Proceedings VCM 2012 50 tổng hợp điện áp điều khiển trong hệ truyền động bám động cơ

Tuyển tập công trình Hội nghị Cơ điện tử toàn quốc lần thứ 6 373
Mã bài: 88
Tổng hợp điện áp điều khiển trong hệ truyền động bám động cơ
một chiều có tính đến giới hạn của các tham số trạng thái
và điện áp phần ứng
A synthesizing controller for tracking system with DC motor
consider saturation of variable states and armature voltage
Nguyễn Thanh Tiên
Học viện KTQS, e-Mail:
Dương Quốc Dũng
Học viện KTQS
Bùi Văn Quảng
Cao đẳng công nghiệp Quảng ninh
Tóm tắt
Bài báo trình bày về phương pháp tổng hợp luật điều khiển điện áp phần ứng, điện áp kích từ của hệ truyền
động điện động cơ một chiều trên cơ sở phương pháp tổng hợp cuốn chiếu kết hợp với điều khiển trong chế độ
trượt hàm bão hòa có tính đến các giới hạn của các tham số trạng thái và điện áp nguồn. Xây dựng mô hình mô
phỏng trong môi trường MATLAB-SIMULINK.
Abstract:
This paper presents a design methodology of synthesizing the controller armature voltage and the excitation
voltage for tracking sysyems with the DC motor based on backstepping sliding mode with saturation function
arctg(x), consider saturation of variable states. Building simulation model in MATLAB-SIMULINK.


1. Phần mở đầu
Động cơ một chiều thường được sử dụng làm cơ
cấu chấp hành trong các hệ truyền động tay máy rô
bốt Trong thực tế kỹ thuật các tham số vật lý đều
tồn tại các giá trị giới hạn: giới hạn về góc, giới
hạn về vận tốc góc, gia tốc góc, giới hạn về điện
áp, dòng điện, độ bền kết cấu của vật liệu sản xuất

động cơ, ổ trục….Bài toán tổng hợp hệ thống điều
khiển có tính đến các giới hạn của các tham số
trạng thái đã được nhiều tác giả quan tâm [4, 5],
tuy nhiên để đưa ra một lý thuyết chung về tổng
hợp hệ thống là rất khó khăn và thậm chí không
thể làm được vì các bài toán khác nhau thì sự giới
hạn khác nhau và cách khắc phục cũng sẽ khác
nhau. Trong bài báo này trình bày phương pháp
tổng hợp cuốn chiếu kết hợp với điều khiển trượt
khi tính đến sự giới hạn của các biến giả định, tín
hiệu điều khiển là điện áp phần ứng của động cơ
và đòng điện kích từ được chọn với dạng hàm bão
hòa với mục đích giảm dao động trên mặt trượt.



2. Nội dung chính
2.1 Mô tả bài toán
Xét mô hình của động cơ một chiều kích từ độc
lập: Khi xét đến tính phi tuyến của dòng điện kích
từ và thành phần ma sát, thì mô hình toán học của
hệ truyền động động cơ một chiều sẽ có dạng:
1 2
x x



2 21 3 4
[ ( ) ]
L ms

x a x x m t f
  


3 32 1 2 4 31 3
( )
x a u x x a x
  

(1)
4 41 2 4
[ ( )]
x a u f x
 


Trong đó:
Các biến trạng thái :
1
x
q

góc quay;
2
x
w

tốc
độ góc;
3

a
x i

dòng điện phần ứng;
4
f
x i

dòng
điện kích từ ;
( )
L
m t
Mô men tải,
1 2
( , )
ms
f x x
Ma sát
tác động lên hệ thống, Các hệ số phụ thuộc tham
số động cơ và đối tượng :
21 22 31 32 41
; ; ; ;
a a a a a
[1].
Trong một số nghiên cứu người ta giả thiết mô
men tải không đổi:
( ) 0
L
m t



, trong bào báo này
374 Nguyễn Thanh Tiên, Dương Quốc Dũng, Bùi Văn Quảng

VCM2012
giả thiết mô men tài là đại lượng biến thiên, thỏa
mãn ( )
L dM
m t S



Nhận xét về mô hình của động cơ một chiều kích
từ độc lập (1): Đây là mô hình có hai đầu vào điều
khiển: điện áp phần ứng
1
u
và điện áp kích từ
2
u
.
Có các mối quan hệ phụ thuộc tích các biến trạng
thái
2 4 3 4
,
x x x x
,
4
( )

f x
thể hiện tính phi tuyến.
Đối với bài toán tổng hợp bộ điều khiển động cơ
một chiều thì các giới hạn đó là:
- Giá trị của góc quay
1
x
biến đổi từ 0 đến 360
0

1 1
x
x S

.
- Giá trị biến thiên của vận tốc góc:
2 2
x
x S

.
- Giá trị biến thiên của dòng điện
3 3
x
x S

,
4 4
x
x S


.
- Giá trị giới hạn của điện áp
1 max
PU
u U

,
2 max
KT
u U

;
- Các tham số giới hạn của quỹ đạo:
1 1
d x d
x S

,
1 2
d x d
x S


,
1 3
d x d
x S



1 4
d x d
x S



Bài toán được đặt ra là tổng hợp tín hiệu điều
khiển u
1
, u
2
để tín hiệu góc quay trên trục động cơ
1
x
bám theo giá trị đặt cho trước
1
d
x
, dòng điện
kích từ
4
x
bám theo giá trị dòng đặt cho trước
4
d
x
.
Giả thiết rằng tín hiệu đo là góc quay của trục
động cơ
1

x
[rad]
1
y x

. Quỹ đạo cho trước là
đường cong trơn, có đạo hàm đến cấp 3 :
1 1 1
, ,
d d d
x x x
  
, Tính đến các giá trị giới hạn của các
tham số.
2.2 Tổng hợp thuật toán điều khiển khi các tham
số trạng thái bị hạn chế
Khi ta chọn các biến điều khiển trung gian giả
định thay vì dạng tuyến tính [7] bằng dạng hàm
bão hòa
( )
arctg x
[5]:
- Hàm có giới hạn trên, giới hạn dưới
( )
2 2
arctg x
p p
  

- Khi

1
x

thì hàm ( )
arctg x x

, khi
1
x

,
( )
2
arctg x
p

- Đạo hàm có dạng
2
1
( )
1
arctg x
x



là hàm luôn
luôn dương
- Khi ta lựa chọn
( )

u Karctg lx

khi giá trị
1
l


thì điều khiển tương đương với dạng
( )
u Ksign x

,
khi ta chọn làm hàm thay thế cho hàm dấu thì có
thể loại bỏ được các trạng thái dao động trên mặt
trượt.
Tương tự như đã trình bày trong [5], [7] ta chuyển
từ hệ ban đầu về hệ theo sai số
1 1 1
d
e x x
 
, bài
toán bám sát trở về bài toán ổn định
1
0
e

sau
khoảng thời gian xác định. Tương ứng với vòng
bám sát vị trí trong tổng hợp truyền động điện

nhiều vòng điều chỉnh.
Bước 1: Vi phân theo thời gian hai vế của phương
trình sai số:
1 1 1
d
e x x
 
  

1 2 1
d
e x x
 
 
(2)
Ta có thể lựa chọn
2
x như là tín hiệu điều khiển
đầu vào tắc động lên (2) để đảm bảo động học quá
trình
1
0
e

theo đúng quá trình mong muốn. Quá
trình hội tụ của
1
0
e


theo dạng:
1 1 1
( )
e k arctg le
 

với hằng số
1
0, 0
k l
 
. Như
vậy biến điều khiển giả định
2
x được lựa chọn có
dạng:
2 1 1 1
( )
chon d
x k arctg le x
  

(3)
Đây là giá trị mong muốn, nhưng thực tế có sự sai
khác giữa giá trị mong muốn lựa chọn
2
chon
x và giá
trị thực
2

x
. Ta ký hiệu một biến mới đó là sai số
giữa giá trị chọn
chon
x
2
và giá trị thực tế
2
x
là
2
e
,
và giá trị của nó là:
2 2 2
chon
e x x
 
. Đây là vòng
bám sát tốc độ.
2 2 1 1 1
( )
d
e x k arctg le x
  

(4)
Với giới hạn của
2
x ta phải thỏa mãn, như thế việc

lựa chọn
1
k không tự do theo yêu cầu động học
mà phải thỏa mãn:
2 1 1 1 2
( )
d x
e k arctg le x S
  


1 2 2 2
2
x x d
k S e S
p
   (5)
với k
1
là hằng số dương có giá trị được lựa chọn
sao cho thỏa mãn quá trình động học mong muốn
của tốc độ hội tụ sai số
1
0
e

và thỏa mãn điều
kiện giới hạn (5) .
thế (3), (4) vào (2), ta nhận được:
1 1 1 2

( )
e k arctg le e
  

(6)
Khi
2
0
e

trước thì
1
0
e

theo quy luật hàm
1 1 1
( )
e k arctg le
 

.
Bước 2: Mục tiêu của bước thứ 2 là đảm bảo quá
trình
2
0
e

.Vi phân (4) ta có:
2 2 1 1 1

2
1
1
1 ( )
d
e x k le x
le
  

   
(7)
Thế (1), (6) vào (7) ta nhận được:
2 21 3 4
1 1 1 2 1
2
1
[ ( ) ]
1
[ ( ) ]
1 ( )
L ms
d
e a x x m t f
k l k arctg le e x
le
   
   




(8)
Tương tự như bước 1 ta cũng có nhận xét như sau:
Ta có thể chọn
3
x là tín hiệu điều khiển đầu vào
giả định của (8) và được chọn sao cho quá trình
Tuyển tập công trình Hội nghị Cơ điện tử toàn quốc lần thứ 6 375

Mã bài: 88
hội tụ của
2
0
e

theo dạng hàm yêu cầu nào đó.
Để đảm bảo điều đó ta chọn:
21 4 3 2 2 21 1
( ) ( ( ) )
chon L ms d
a x x k arctg le a m t f x
    

(9)
Sai khác của giá trị chọn mong muốn và giá trị
thực được định nghĩa bằng biến mới
3
e .
3 21 4 3 3
21 4 3 2 2 21 1
( )

( ) ( ( ) )
chon
L ms d
e a x x x
a x x k arctg le a m t f x
 
    

(10)
Ta nhận được:
2
1
2 1
2
1
1
2 2 3
2
1
( )
1 ( )
( ) ( )
1 ( )
lk
e arctg le
le
lk
k arctg le e
le
  


  



(11)Xét đến các yếu tố giới hạn của dòng điện
3
x
ta tìm giới hạn trên của
3
k .
21 4 3 21 3 4
x x
a x x a S S


3 2 2 21 1 21 3 4
( ) ( ( ) )
L ms d x x
e k arctg le a m t f x a S S

    

3 21 3 4 3 2 2
21 3
( )
2
( ( ) )
x x
L ms x d

k a S S e k arctg le
a m t f S
p
    
  
(12)
Kết hợp bước 1, bước 2 khi 0
3
e ta có:
1 1 1 2
( )
e k arctg le e
  


2
1
2 1
2
1
1
2 2
2
1
( )
1 ( )
( ) ( )
1 ( )
lk
e arctg le

le
lk
k arctg le
le
  

 



Ta có nhận xét là hàm số
2
1
1
1 ( )
le

với biến số là
1
e là hàm số luân dương giá trị cực đại bằng 1 tại
1
0
e

. Động học của quá trình
2
0
e

,

1
0
e

sẽ
chỉ phụ thuộc chủ yếu vào gí trị của
21
,kk .
Bước 3: Tương tự các bước trên, trong bước 3 sẽ
đảm bảo cho
3
0
e

khi lựa chọn điều khiển đầu
vào thỏa mãn.
Xét vi phân của sai số
3
e
trong (10) ta có:
2
3 21 4 3 21 4 3 2
2
2
21 1
1 ( )
( ( ) )
L ms d
k l
e a x x a x x e

le
a m t f x
   

  
   

 
(13)
Thay (1), (6), (11) vào (13):
2
2 1
3 1
2 2
2 1
2 1
2 2
2 2
2 1
2
3 21 1
2
2
21 41 2 4 3 21 4 32 2 4 31 3
21 4 32 1
( )
1 ( ) 1 ( )
( ) ( )
1 ( ) 1 ( )
( ( ) )

1 ( )
[ ( )] [ ( )]
L ms d
k l lk
e arctg le
le le
k l lk
k arctg le
le le
k l
e a m t f x
le
a a u f x x a x a x x a x
a x a u
  
 
  
 
    

    


 

Đặt:
21 41 2 4 3
21 4 32 2 4 31 3
21 1
(.) [ ( )]

[ ( )]
( ( ) )
L ms d
a a u f x x
a x a x x a x
a m t f x
   
  
  

 

21 32 4
b a a x


Với các giá trị giới hạn của
2 2
x
x S

,
3 3
x
x S

,
4 4
x
x S


,
1 1
u
u S

,
2 2
u
u S

,
4
( )
kt
f x F


Ta có thể tính ra được giới hạn của hàm
max
(.)
  
,
min max
0
b b b
  

Ta nhận được:
2

2 1
3 1
2 2
2 1
2 1
2 2
2 2
2 1
2
3 1
2
2
( )
1 ( ) 1 ( )
( ) ( )
1 ( ) 1 ( )
(.)
1 ( )
k l lk
e arctg le
le le
k l lk
k arctg le
le le
k l
e bu
le
  
 
  

 
   


(14)
Trong (14) điều khiển đầu vào là điện áp đặt vào
phần ứng của động cơ, đây là đại lượng vật lý thực
sự, và nó được lựa chọn sao cho đảm bảo quá trình
3
0
e

.
Kết hợp các bước 1, bước 2, bước 3 ta nhận được
hệ mới với biến sai số
1 2 3
, ,
e e e
và đại lượng điều
khiển là điện áp phần ứng động cơ
1
u .
Từ (6), (11), (14) ta có hệ phương trình:
1 1 1 2
( )
e k arctg le e
  


2

1
2 1
2
1
1
2 2 3
2
1
( )
1 ( )
( ) ( )
1 ( )
lk
e arctg le
le
lk
k arctg le e
le
  

  


(15)
2
2 1
3 1
2 2
2 1
2 1

2 2
2 2
2 1
2
3 1
2
2
( )
1 ( ) 1 ( )
( ) ( )
1 ( ) 1 ( )
(.)
1 ( )
k l lk
e arctg le
le le
k l lk
k arctg le
le le
k l
e bu
le
  
 
  
 
   



Bài toán bám sát trở thành bài toán ổn định hệ tọa
độ sai số
1 2 3
, ,
e e e
trên cơ sở lựa chọn điều khiển
điện áp phần ứng động cơ
1
u
. Sự khác biệt với [6]
376 Nguyễn Thanh Tiên, Dương Quốc Dũng, Bùi Văn Quảng

VCM2012
là dạng bão hòa và đã chỉ ra giới hạn trên của các
hệ số.
Như đã phân tích trong [7], điều kiện xuất hiện chế
độ trượt, ưu điểm điều khiển trong chế độ trượt là
bất biến đối với sự thay đổi của tham số, của các
thành phần bất định, nhiễu loạn… và khi xuất hiện
chế độ trượt, bậc của hệ thống sẽ giảm đi. Một hạn
chế của chế độ trượt là sự dao động trên mặt trượt
trong chế độ xác lập. Để khắc phục hạn chế này ta
sử dụng hàm điều khiển dạng bão hòa dạng
Arctang
Khi tạo tín hiệu điều khiển có dạng:
1 3 3
( )
bu k arctg le
 
(16)

Khi đó ta nhận được phương trình:
1 1 1 2
( )
e k arctg le e
  


2
1
2 1
2
1
1
2 2 3
2
1
( )
1 ( )
( ) ( )
1 ( )
lk
e arctg le
le
lk
k arctg le e
le
  

  



(17)
2
2 1
3 1
2 2
2 1
2 1
2 2
2 2
2 1
2
3 3 3
2
2
( )
1 ( ) 1 ( )
( ) ( )
1 ( ) 1 ( )
(.) ( )
1 ( )
k l lk
e arctg le
le le
k l lk
k arctg le
le le
k l
e k arctg le
le

  
 
  
 
   



Mặt trượt
3
0
e

là tổ hợp của các biến số
2
e ,
1
e
theo (10). Việc tổng hợp mặt trượt thông qua các
bước 1, bước 2, và bước 3 trên cơ sở lựa chọn
2
k ,
1
k . Tìm điều kiện xuất hiện chế độ trượt trên
cơ sở xét hàm Lyapunov dưới dạng:
2
3
1
2
V e

 , với
3
0,
V e
 
;
3 3
V e e



;
2
2 1
3 1
2 2
2 1
2 1
2 2
2 2
2 1
2
3 3 3
2
2
[ ( )
1 ( ) 1 ( )
( ) ( )
1 ( ) 1 ( )
(.) ( )]

1 ( )
k l lk
V e arctg le
le le
k l lk
k arctg le
le le
k l
e k arctg le
le
  
 
  
 
   



Để đảm bảo
3
0,
V e
 

tương đương với:
2
2 1
3 1
2 2
2 1

2 1
2 2
2 2
2 1
2
3 3 3 3
2
2
[ ( )
1 ( ) 1 ( )
( ) ( )
1 ( ) 1 ( )
(.) ( )] 0,
1 ( )
k l lk
e arctg le
le le
k l lk
k arctg le
le le
k l
e k arctg le e
le
 
 
  
 
     


Ta có:
1)
2
2 2
2 1
1 2 1
2 2
2 1
( )
2
1 ( ) 1 ( )
k l lk
arctg le k l k
le le
p

 

2)
2 1
2 2 2 2 1
2 2
2 1
( ) ( ) ( )
2
1 ( ) 1 ( )
k l lk
k arctg le k l k lk
le le
p

  
 
3)
2
3 2 3
2
2
1 ( )
k l
e lk e
le



4)
max
(.)
  

Như vậy ta có thể sơ bộ đánh giá hệ số
3
k như
sau:
2 2
3 2 1 2 2 1 2 03 max
2 2
( )k k l k k l k lk lk e
p p
     
(18)

Trong đó
03
e là các giá trị biên độ lớn nhất của
các sai số. Tuy nhiên giá trị
3
k
được lựa chọn còn
phải chịu ràng buộc của giới hạn điện áp điều
khiển
max
U . Khi ta có được đánh giá của hàm
(.)

thì có thể dùng nó để hiệu chỉnh kệ số
3
( )
k t
.
Luật điều khiển khi đó có dạng:
1 3 3
ˆ
( ) ( )
bu k t arctg le
   . Khi chọn luật điều
khiển (16) thỏa mãn điều kiện (18) thì sau khoảng
thời gian
0
tt  sẽ xuất hiện chế độ trượt trên mặt
trượt
3

0
e

và khi đó
3
0
e


; và hệ (17) sẽ trở
thành hệ bậc 2 có dạng:
1 1 1 2
( )
e k arctg le e
  


2
1
2 1
2
1
1
2 2
2
1
( )
1 ( )
( ) ( )
1 ( )

lk
e arctg le
le
lk
k arctg le
le
  

 


(19)
Trên cơ sở đảm bảo động học cho hệ (19) hội tụ ta
sẽ tìm được các giá trị của
21
,kk , và quay lại hiệu
chỉnh giá trị của
3
k .

Hình 1 Đặc tính thay đổi hiệu chỉnh hệ số k
3

Trong quá trình khởi động hệ thống từ trạng thái
dừng chuyển sang trạng thái làm việc thì dòng
điện phần ứng cần phải khống chế sao cho không
vượt quá giá trị cho phép mà vẫn đảm bảo mô men
khởi động của hệ thống.
t t
1

t
2
k
3max

k
3min
k
3
(t)

0
Tuyển tập công trình Hội nghị Cơ điện tử toàn quốc lần thứ 6 377

Mã bài: 88

Hình 2 Vị trí điểm làm việc trong tọa độ pha bị
giới hạn
2.3 Tổng hợp vòng điều chỉnh dòng điện kích từ
Điều khiển dòng điện kích từ
4
x
trong phương
trình (1) để đảm bảo từ thông không đổi trong
vùng vận tốc nhỏ hơn vận tốc định mức của động
cơ, và suy giảm trong vùng tốc độ cao hơn tốc độ
định mức.

Hình 3 Đặc tính suy giảm từ thông kích từ khi tốc
độ lớn hơn tốc độ định mức

Để đơn giản ta giả thiết cần phải ổn định giá trị
4
x

theo một giá trị đặt trước
4
d
x
. Có nghĩa là:
4 4
d
x x

. Xây dựng biến sai số
4 4 4
d
e x x
 
. Giả
thiết rằng
4
d
x
là giá trị liên tục theo thời gian. Xét
vi phân sai số:
4 4 4
d
e x x
 
  

4 41 2 4 4
[ ( )]
d
e a u f x x
  
 

Tìm qui luật của
2
u
để
4
0
e


Khi tổng hợp điều khiển trong chế độ trượt ta
không cần biết chính xác đường cong
4
( )
f x
ta vẫn
đảm bảo
4
0
e

.
Khi đó, ta chọn tín hiệu điều khiển có dạng:

41 2 4 4
( )
a u k arctag le
 
(20)
Tìm điều kiện để xuất hiện chế độ trượt trên mặt
trượt
4
0
e

. Xét
2
4
1
2
V e
 , với :

4 4 4 41 4 4 4 4
[ ( ) ( )]
d
V e e e a f x x k arctg le
    

 

0
V
 


4 41 max 4
2
d
k a F X
p
 
trong đó
4
( )
f x
là dạng đường cong bão hòa có giá
trị cực đại
max
F
, Điện áp cực đại để ta lựa chọn hệ
số :
41 2 41 max
KT
a u a U

;
4 41 max
KT
k a U



Xây dựng mô hình mô phỏng
Đối với mô hình truyền động động cơ một chiều

(1) xây dựng bộ điều khiển theo (16), (20) có thể
xây dựng mô hình mô phỏng trong MATLAB-
SIMULINK như hình 4
Với các tham số mô phỏng nhận dạng theo [6]


Hình 4 Mô hình mô phỏng trong MATLAB-SIMULINK
Ta nhận được kết quả mô phỏng trong hai trường hợp: Khi sử dụng hàm
( )
arctg x
tương ứng với hình (a)
và
( )
sign x
tương ứng với hình (b)
[ ],
i amp M

,
gh gh
i M

gh
w

( 0, (0))
o co c
O M M
w
 

( , ( ))
lv c
C M t
w

[ / ]
vong phut
w

A
B
[ ]
kt
i amp


,
ktdm dm
i


[ / ]
vong phut
w

O

dm


378 Nguyễn Thanh Tiên, Dương Quốc Dũng, Bùi Văn Quảng

VCM2012

a b
Hình 5 Quỹ đạo mong muốn (x1d) và qũy đạo thực (x1), sai số bám sát (e1)

a b
Hình 6 Điện áp điều khiển.

a b
Hình 7 Động học mặt trượt e
3
(t) và hiện tượng dao động trên mặt trượt.
Kết quả mô phỏng trên hình 5 cho thấy khả năng
bám sát theo giá trị góc đặt mong muốn với sai số
bám sát hội tụ theo dạng hàm mũ tuy nhiên trong
trường hợp điều khiển là dạng hàm dấu lý tưởng
cho sai số bám sát nhỏ hơn. Sự khác biệt thể hiện
trên hình 6 là dạng điện áp điều kiển: Trường hợp
điều khiển là hàm dấu lý tưởng của e
3
(b) thì điện
áp phần ứng có dạng điều chế độ rộng xung, ở
vùng chuyển tiếp thì tần số điều chế rất lớn. Còn
trong trường hợp điều khiển là dạng hàm
3
( )
arctg e

(a) thì điện áp điều khiển có dạng liên
tục, vùng chuyển tiếp thì điện áp điều khiển đột
biến không lớn và có giá trị nhỏ hơn. Khác biệt
của hai dạng điều khiển được thể hiện trong hình
dạng của mặt trượt e
3
(t), trường hợp điều khiển là
hàm dấu lý tưởng của e
3
thì mặt trượt có hiện
tượng dao động tần số rất cao, còn trong trường
hợp điều khiển là dạng hàm
3
( )
arctg e
thì mặt trượt
e
3
(t) có dạng liên tục, vùng chuyển tiếp đột biến
không lớn.

3. Kết luận
Trong bài báo đã giải quyết được các vấn đề tổng
hợp điều khiển khi tính đến các giới hạn của tham
số trạng thái, đưa ra một thay thế sử dụng hàm
( )
arctg x
trong chọn điều khiển giả định. Kết quả
mô phỏng cho thấy tính đúng đắn của việc lựa
chọn luật điều khiển.

Tài liệu tham khảo
[1] Anderson, E.P.; Electric motors; New York,
Macmillan,1991
[2] Utkin V., Guldner J, Shi J. Sliding mode control
in electromechanical systems. CRC Press LLC,
1999.
[3] Krstic, M., Kanellakopoulos,I.,Kokotovic,P.V. :
Nonlinear and adaptive control design. Wiley,
New York 1995
Tuyển tập công trình Hội nghị Cơ điện tử toàn quốc lần thứ 6 379

Mã bài: 88
[4] Jing Zhou, Changyun Wen : Adaptive
backstepping control of uncertain systems,
Springer Verlag Berlin Heidelberg 2008
[5] Khoi B Ngo, Robert Mahony, Zhong-Ping, Jiang:
Integrator Backstepping using Barrier
Functions for Systems with Multiple State
Constraints, Proceedings of the 44th IEEE
Conference on Decision and Control, and the
European Control Conference 2005 Seville,
Spain, December 12-15, 2005
[6] Краснова С.А., Нгуен Тхань Тиен. :Блочный
синтез системы yправления электро-
механическими объектами,
функционирующими в условиях
неопределенности. М: Институт проблем
управления им. В.А. Трапезникова РАН.
2008. Труды Института. Том XХVIII. С. 54–

64.
[7] Lê Hồng Phương, Nguyễn Thanh Tiên, :.Tổng
hợp điều khiển truyền động bám góc trên cơ sở
điều khiển trong chế độ trượt, Tạp chí Khoa học
và Kỹ thuật – số 138 (12-2010) Học viện
KTQS.