Chuyên đề nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

Nguyờn hm Tớch phõn & ng dng

Nguyên hàm
1.
BNG NGUYấN HÀM
STT Nguyên hàm các hàm số cơ bản
1
∫ adx = ax + C; a ∈ ¡
2
3
4

∫x

α

dx =

xα +1

α +1

+ C (α ≠ −1)

∫

dx
= ln x + C ( x ≠ 0)
x
dx
1

∫ xα = − ( α − 1) xα−1 + C ( x ≠ 0)

∫

∫

thường gặp với α = 2 → ∫
( x ≠ 0)

α=
5

Nguyên hàm mở rộng (a ≠ 0)

1
→∫
2

∫ e dx = e

dx

x

2

=−

dx

∫ ( ax + b ) α
1

x

+C

dx
= 2 x + C ( x > 0)
x

α +1

( ax + b ) + C ,α ≠ − 1
( ax + b ) dx = 1
a α +1
dx
1
= ln ax + b + C
ax + b a
α

=−

dx

1
1
+C
a ( α − 1) ( ax + b ) α −1

1

1

∫ ( ax + b ) 2 = − a ax + b + C
dx
2
=
ax + b + C
ax + b a

∫

1
dx = e ax +b + C
a

∫e

ax +b

ax
+ C (0 < a ≠ 1)
ln a
∫ cos xdx = sin x + C

∫k

ax +b

8

∫ sin xdx = − cos x + C

∫ sin ( ax + b ) dx =

9

∫ cos

6
7

10

x

x

+C

x
∫ a dx =

dx
2

x

(

)

= ∫ 1 + tan 2 x dx = tan x + C

dx

11
12

1

∫
∫

∫ cot xdx = ln sin x + C

∫

2

∫

−1
cos ( ax + b ) + C
a
dx
1
= tg ( ax + b ) + C

2
( ax + b ) a
cos
dx
−1
= cotg ( ax + b ) + C
2
a
sin ( ax + b )
1
tan ( ax + b ) dx = − ln cos ( ax + b ) + C
a
1
cot ( ax + b ) dx = ln sin ( ax + b ) + C
a

tổng quát :
13

dx

1
k ax +b + C
aln k

∫ cos ( ax + b ) dx = a sin ( ax + b ) + C

∫ sin x = ∫ ( 1 + cot x ) dx = − cot gx + C
∫ tan xdx = − ln cos x + C
2

dx =

∫

u '( x )dx
= ln u ( x) + C
u ( x)

dx

x

1

ax + b
+C
2

dx

1

 ax + b π 
+ ÷+C
2
4

∫ sin x = ln tan 2 + C

∫ sin ( ax + b ) = a ln tan

14

dx
 x π
∫ cos x = ln tan  2 + 4 ÷ + C



∫ cos ( ax + b ) = a ln tan 


15

∫x

2

dx
1
x−a
=
ln
+C
2
2a x + a
−a

dx

1

∫ ( x − a)( x − b) = a − b ∫

∫a

2

dx
1
a+x
=
ln
+C
2
2a a − x
−x

( x − b) − ( x − a) dx
1
x−a
=
ln
+ C , (b < a )
( x − a )( x − b)
a −b x −b
1

Nguyên hàm – Tích phân & Ứng dụng

16

dx

∫

17

2

x +a

∫

2

x +a

2

2

= ln ( x + x 2 + a 2 ) + C

dx =

x
2

2

2

x +a +

a

∫

2

2

ln x +

2

x +a

2

+C

∫

dx
2

x −a
x

2

−

a

2

2

= ln ( x + x 2 − a 2 ) + C

dx =

x
2

2

x −a

2

−

a

2

2

ln x +

2

x −a

2

+C

Công thức đổi biến số (nguyên hàm của hàm số hợp):
1
∫ f ( ax + b) ) dx = a F (ax + b) + C
Các công thức từ 13-17 cần nhớ để định hướng trước kết quả. Có nhiều cách giải nhưng đơn giản
nhất là chứng minh bằng cách lấy đạo hàm.
Chứng minh các công thức (13-17) :
dx
x
dx
x π
= ln tg +C
= ln tg ( + ) +C
13. ∫
14. ∫
sin x
2

cos x
2 4
Chứng minh :
x
x
x
x
sin 2 + cos 2
sin
cos
1
1
2
2=
2 +
2
=
=
13. Ta coù :
x
x
x
x
x
x
sin x 2sin cos
2sin cos
2 cos
2sin
2

2
2
2
2
2
x
x
x
x
sin
cos
d (cos )
d (sin )
1
1
2 dx +
2 dx = −
2 +
2
⇒I= ∫
∫
∫
x
x
2 cos x
2 ∫ sin x
cos
sin
2
2

2
2
x
x
x
= − ln cos + ln sin + C = ln tg + C
2
2
2
π
x π
x π
14. Ta coù :cosx= sin(x+ )= 2sin( + ) cos( + ) ⇒ kết quả
2
2 4
2 4
dx
1
x−a
=
ln
15. ∫ 2
+C
x − a 2 2a x + a
1
1
1  ( x + a) − ( x − a)  1  1
1 
=
+ Ta coù : 2

 ( x − a )( x + a )  = 2a  x − a − x + a 
2
x − a ( x − a )( x + a ) 2a 



1  d ( x − a)
d ( x + a)  1
x+a
Do đó : I=
 ∫ x − a − ∫ x + a  = 2a ln x − a + C
2a 

dx
1  1
1 
1  dx
d( a − x)  1
a+x
+
−∫
ln
+c
+ Ta coù : ∫ 2 2 = ∫ 
÷dx =  ∫
÷=
16. ∫

a −x

dx
x ±a
2

2

2a  a + x

a−x

2a  a + x

a−x 

2a

a −x

= ln x + x 2 ± a 2 +C

Đaët :
t = x + x 2 + a ⇒ dt = (1 +
⇒ dx =

x2 + a
dt ⇒
t

 x + x2 + a
)dx = 


x2 + a
x2 + a


dx
x +a
2

x

=


÷dx
÷


dt
dt
⇒ I = ∫ = ln t + C = ln x + x 2 + a + C
t
t
2


Nguyên hàm – Tích phân & Ứng dụng
2
2
17. ∫ x ± a dx =

C1 : Đaët:

x 2
a2
x ± a2 ±
ln x + x 2 ± a 2 +C
2
2

xdx

u = x 2 + a 2

du =
⇒
x2 + a2

 dv = dx
v = x


x 2 dx
( x 2 + a 2 − a 2 )dx
⇒ I = x x2 + a2 − ∫
=x x 2 + a 2 − ∫
x2 + a2
x2 + a2
dx
= x x 2 + a 2 − ∫ x 2 + a 2 dx + a 2 ∫

x2 + a2
= x x 2 + a 2 − I + a 2 ln x + x 2 + a 2
x 2
a2
2
⇒I =
x + a + ln x + x 2 + a 2 + C
2
2

C2 :
Lấy đạo hàm ta có:

(

2
2
ln x + x 2 + a 2 + c ′ = 1 + x + a


x + x2 + a2

(

)

=

)′

=


1 +
x + x2 + a 2 
1

1
x + x2 + a 2
1

=
ì
=
ữ
x2 + a2 x + x2 + a2
x2 + a 2
x2 + a2
x

3


Nguyên hàm – Tích phân & Ứng dụng

II. CÁC DẠNG TỐN
1. TÌM NGUN HÀM BẰNG ĐỊNH NGHĨA VÀ NGUN HÀM CƠ BẢN
Biến đổi biểu thức hàm số để sử dụng được bảng các nguyên hàm cơ bản.
Chú ý: Để sử dụng phương pháp này cần phải:
– Nắm vững bảng các nguyên hàm;

– Nắm vững phép tính vi phân.
VD1.
2
a) Tính đạo hàm của hàm số F(x)=ln x+ x + 1 + C

b) T ú suy ra

dx



x2 + 1

.

Gii
a) (Đạo hàm có d¹ng lnu). Ta cã :
(x+ x 2 + 1)'

(x)' +

(x 2 + 1)'

1+

x

x2 + 1 + x

1

2 x2 + 1 =
x2 + 1 =
x2 + 1 =
.
2
2
2
2
x+ x + 1
x+ x + 1
x+ x + 1
x+ x + 1
x2 + 1
1
b) Từ kết quả câu 1) ta suy ra F(x) là nguyên hàm của f(x)= 2
.
x +1
dx
2
Vậy ∫ 2
= ln x+ x + 1 + C .
x +1
F (x) =
'

=

VD3.
a)

( x 3 − 1) + 1
1 
x3

dx = ∫  x 2 + x + 1 +
dx = ∫
÷dx
∫ x −1
x −1
x −1 


(

)

= ∫ x 2 + x + 1 dx + ∫
b)

∫x

4 x + 7 dx =

d ( x − 1) 1 3 1 2
= x + x + x + ln x − 1 + c
x −1
3
2

1

( 4 x + 7 ) − 7  4 x + 7 dx

4∫

3
5
3
1
1 
1 2
2


∫ ( 4 x + 7 ) 2 − 7 ( 4 x + 7 ) 2  d ( 4 x + 7 ) =  ( 4 x + 7 ) 2 − 7 × ( 4 x + 7 ) 2  + c
16
16  5
3

dx
1
d ( 2x)
1  1
1 
1
2x
x
=
=
ln
+c

c) ∫
∫
∫ x − x
÷d 2 =
5ln 2 2 x + 5
2 x + 5 ln 2 2 x ( 2 x + 5 ) 5ln 2  2
2 +5
=

( )

d)

cos 5 x
3
2
3
∫ 1 − sin x dx = ∫ cos x ( 1 + sin x ) dx = ∫ [ ( 1 − sin x ) cos x + cos x sin x ] dx
= ∫ ( 1 − sin 2 x ) d ( sin x ) − ∫ cos 3 xd ( cos x ) = sin x −

sin 3 x cos 4 x
−
+c
3
4

BÀI TẬP

4

Nguyên hàm – Tích phân & Ứng dụng

a)

sin x cos x
dx
2
x + cos 2 x

∫ 2sin

b)∫ sin 5 xcosxdx ;
c) ∫ e3sinx cosxdx ;
d)
e)

dx

∫ sin x cos
∫

dx
x+1

3

x

;

f) ∫ ( x +sin2x)dx
g)

∫

dx
2 + sin x − cos x

1
ln 2sin 2 x + cos 2 x + C
2
sin 6 x
Đs :
+C
6
1 3sinx
Đs : e +C
3
1
2
Đs : tan x + ln tan x + C
2
Đs :

Đs : 2 x+1+C
Đs :

2
1

x x- cos2x
3
2

(ĐHBK Hà Nội - 2000)

π
π


h) ∫ tan  x + ÷.cot  x + ÷ (ĐHQG Hà Nội-2001)
dx
3
6


dx
i) ∫
(ĐH Y Thái Bình - 2001)
x 2 -x-1

Đs : −

x π 
cot  + ÷+ C
2
2 8

1

Đs : x +

1
3

ln

1 + 3 tan x
1 − 3 tan x

2
Đs : ln x -x-1+x-

+C

1
+C
2

2. TÌM NGUYÊN HÀM THỎA ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC
Phương pháp :
+ Tìm họ các nguyên hàm của hàm số y=f(x): ∫ f(x)dx = F(x)+C (*)
+ Từ điều kiện cho trước ta tìm được C ;
+ Thay giá trị của C vào (*) ta tìm được nguyên hàm cần tìm
VD1. Cho hàm số y = 1 + cot 2 x . Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số, biết rằng đồ thị của hàm số F(x) đi
π
qua điểm M( ; 0).
6
Giải
Ta có : F(x) = − cotx + C .

π
π
Theo đề bài : F ( ) = 0 ⇔ − cot + C = 0 ⇔ C = 3 ⇒ F (x) = 3 − cot x .
6
6
VD2. Tìm một nguyên hàm G(x) của hm s f(x), bit :

f(x)=cos3xcosxdx và G ữ = 1 .
4
Giải
1
Áp dụng cơng thức: cosa.cosb= [ cos(a+b)+cos(a-b)] , ta có:
2

5


Nguyên hàm – Tích phân & Ứng dụng

11

1



1

∫ cos3xcosxdx= ∫ 2 (cos4x+cos2x)dx= 2  4 ∫ cos4xd(4x)+ 2 ∫ cos2xd(2x) ÷



1  sin4x sin2x 
sin4x sin2x
= 
+
÷+C= 8 + 4 +C.
2 4
2 
sin4x sin2x
⇒ G(x)=F(x)+C=
+
+C
8
4
π
π
sin4
sin 2
π
4+
4 + C =1⇒ 1 + C =1⇒ C = 3.
Tõ G( )=1 ta suy ra
4
8
4
4
4
sin4x sin2x 3
Vậy một nguyên hàm cần tìm là: G(x)=
+
+

8
4
4
BI TẬP
Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) :
x3 +3x 2 +3x-1
1
(TN THPT 2002-2003)
a) f(x)=
biÕt r»ng F(1)=
2
x +2x+1
3
π
b) f(x)=sin5xsin3x biÕt r»ng F  ÷=-1.
4
3. TÌM NGUN HÀM BẰNG CÁCH PHÂN TÍCH
Phân tích biểu thức dưới dấu tích phân thành tổng các biểu thức sao cho các biểu thức đó dễ tìm
ngun hàm. Việc phân tích có thể gặp khó khăn. Hãy xem qua ví dụ minh họa rồi rút ra cho mình
một ý tưởng riêng.
DẠNG :
α
I= ∫ x ( ax + b ) dx;( a ≠ 0)
K =∫

x 2 dx

( ax + b )

α

, (a ≠ 0)

1
1
* Sử dụng đồng nhất thức : x= ax = [ (ax + b) − b ] hoaëc :
a
a
1 2 2 1
1
2
2
2
2
* x = 2 a x = 2 [ (ax + b) − b ] = 2  (ax + b) − 2b(ax + b) + b 


a
a
a
VD1 : Tính I= ∫ x ( 1 − x )

2002

dx

Cách 1. Sử dụng cách đồng nhất thức : x =1-(1-x)
⇒ x(1 − x) 2002 (1 − x) 2002 = [ 1 − (1 − x) ] (1 − x) 2002 = (1 − x) 2002 − (1 − x) 2003
⇒ I = ∫ ( 1− x)

2002

dx − ∫ ( 1 − x )

2003

dx = − ∫ ( 1 − x )

2002

d (1 − x ) + ∫ ( 1 − x )

2003

dx

1
1
2003
2004
(1− x) +
( 1− x) + C
2003
2004
Cách 2. Đổi biến số :
Đặt t=1-x
=−

6

Nguyên hàm – Tích phân & Ứng dụng

⇒ x = 1 − t ⇒ dx = − dt
⇒ I = − ∫ (1 − t )t 2002 dt = − ∫ t 2002 dt + ∫ t 2003dt
1 2003
1 2004
1
1
2003
2004
t
+
t
+C = −
( 1− x) +
( 1− x) + C
2003
2004
2003
2004
dx
VD2 : Tính K= ∫ 2
x − 4x + 3
Giải
C1:
1
1
1  ( x − 1) − ( x − 3)  1  1
1 

=
= 
 = 2  x − 3 − x −1
2
x − 4 x + 3 ( x − 1)( x − 3) 2  ( x − 1)( x − 3) 


=−

⇒K=

1 d ( x − 3) 1 d ( x − 1) 1
1
1 x −3
∫ x − 3 − 2 ∫ x − 1 = 2 ln x − 3 − 2 ln x − 1 = 2 ln x − 1 + C
2

C2:
dx
dx
1 x −3
=∫
= ln
+C
2
x − 4x + 3
( x − 2) −1 2 x − 1

K =∫

2

VD3 : Tính J = ∫

xdx

( 1 + 3x )

3

Giải. Sử dụng đồng nhất thức :

1
x
1  ( 1 + 3 x − 1)  1  1
1
= 
−
= 
( 1 + 3x − 1) ⇒
3
3
2
2 
3
( 1 + 3x ) 3  ( 1 + 3x )  3  (1 + 3x) (1 + 3 x) 


1 d (1 + 3 x) 1 d (1 + 3 x) 1
1

⇒I= ∫
− ∫
= ∫ (1 + 3 x) −2 d (1 + 3 x) − ∫ (1 + 3 x) −3 d (1 + 3 x)
2
3
9 (1 + 3 x)
9 (1 + 3 x)
9
9
1
1
= − (1 + 3x) −1 + (1 + 3x) −2 + C
9
18
dx
VD4 : Tính D= ∫ 7
x + x5
Giải. Sử dụng đồng nhất thức : 1= x2+1-x2
1
x2 + 1 − x2 1
1
1 x2 + 1 − x2 1 1
1
⇒ 5 2
= 5 2
= 5− 3 2
= 5− 3 2
= 5− 3+
x ( x + 1) x
x ( x + 1) x

x ( x + 1) x
x
x ( x 2 + 1)
x x +1
x=

(

)

1 1 x2 + 1 − x2 1 1 1
x
− 3+
= 5− 3+ − 2
5
2
x
x
x( x + 1)
x
x
x ( x + 1)
1
1
1
x
1 1
1
1
⇒ D = ∫ 5 dx − ∫ 3 dx + ∫ dx − ∫ 2

dx = −
+ 2 + ln x − ln x 2 + 1 + C
4
x
x
x
x +1
4x
2x
2
BÀI TẬP
2005
dx . HD : Xem lại Ví dụ 2
1. Tính J = ∫ x ( 1 + x )
=

dx
.
x −x−2
dx
3. Tính H = ∫ 4
x + 4 x2 + 3
2. Tính K= ∫

2

1 x−2
+C
HD : Xem lại Ví dụ 3. Đs : K = ln
3 x +1

1 dx
1
dx
− ∫ 2
HD : H = ∫ 2
2 x +1 2 x + 3

7


Nguyên hàm – Tích phân & Ứng dụng

x 3dx
4. Tính A= ∫
( x − 1)10
x 2 dx
5. Tính B= ∫
39
( 1− x)
6. Tính C =

∫x

7. Tính E = ∫

5

(x

dx

+ x3
x 2001

2

)

+1

1002

HD : A = −

1 1
3 1
3 1
1 1
+
−
+
+C
6
7
8
6 ( x − 1) 7 ( x − 1) 8 ( x − 1) 9 ( x − 1)9

HD : x2= [(1-x)-1]2=(1-x)2-2(1-x)+1
HD : Xem lại Ví dụ 4. Đs : C = −

1 1

1
− ln x + ln x 2 + 1 + C
2
2x
2
1001

dx (ĐHQG HN 2000). E =

1  x2 

÷
2002  x 2 + 1 

+C

4. TÌM NGUN HÀM BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ
• Đổi biến dạng 1. Đặt x = ϕ(t) khi tích phân có dạng :
8


Nguyên hàm – Tích phân & Ứng dụng
b

β

a

α

I = ∫ f ( x)dx = ∫ f [ϕ (t )]ϕ ' (t )dt
x = ϕ (t ) ⇒ dx = ϕ ' (t )dt

•

Đặt

•

I = ∫ f ( x)dx = ∫ f [ϕ (t )]ϕ ' (t )dt

b

β

a

α

Một số dấu hiệu nhận biết và cách đặt:
Dấu hiệu

Cách đặt
π
π
x = a.sint với (− ≤ t ≤ )
2
2
π
π

a
x=
với − ≤ t ≤ ; t ≠ 0
sin x
2
2
π
π
x = a.tant với − < t <
2
2

a2 − x2
x2 − a2
a2 + x2
a+x
hoặc
a−x

a−x
a+x

x = a.cos2t
x = a + (b − a)sin2t

( x − a )(b − x)
VD1. Tìm họ nguyên hàm : I =

1

∫

( 1 − x2 )

3

dx

 π π
Đặt x = sin t , t ∈  − ; ÷ ⇒ dx = cos tdt và 1 − x 2 = 1 − sin 2 t = cos 2 t = cos t
 2 2
cos t dt
dt
sin t
x
=∫
= tan t + C =
+C =
+C
Ta được : I = ∫
3
2
cos t
cos t
cos t
1 − x2
x
+C .
Vậy : I =
1 − x2

I =∫
VD2. Tìm nguyên hàm :

dx

 π π
. Đặt x = tan t , t ∈  - ; ÷ ;
 2 2

(1+ x )

2 3

dt
dx =
= ( 1+ tan 2 t ) dt và
cos2 t

( 1+ x )
2

3

=

(

1+ tan t
2

)

3


=



3

1 
1
÷ =
2 ÷
cos t  cos3t

1
dt
= cost dt = sint + C
1 cos 2 t ∫
.
3
cos t
tant
x
⇒ sint =
Vì x = tant và sint = tant.cost =
2

1+ tan t
1+ x 2
x
+C.
Do đó : I =
2
1+ x
I=∫

BÀI TẬP
1. Tìm nguyên hàm : I = ∫
2. Tìm nguyên hàm : I = ∫

dx
1 − x2
x 2 dx
x2 −1
9


Ngun hàm – Tích phân & Ứng dụng

3. Tìm ngun hàm : I = ∫
•

dx

(1+ x )

2 3

Đổi biến dạng 2. Đặt t = u(x) khi tích phân có dạng :
I = ∫ f [u ( x)].u ' ( x )dx
•
•

Đặt t = u(x) ⇒ dt = u ' ( x)dx
I = ∫ f [u ( x)].u ' ( x )dx = ∫ f (t )dt

Một số dấu hiệu nhận biết và cách đặt:
Dấu hiệu
Hàm có mẫu
1
∫ f ( ln x ) dx
x
∫ f ( sin x ) cos xdx

Cách đặt
Nói chung có thể đặt t là mẫu số
Đặt t = ln x
Đặt t = sin x
Đặt t = cos x

∫ f ( cos x ) sin xdx
1
dx
∫ f ( tan x )
2
cos x
1

∫ f ( cot x ) sin 2 x dx
a sin x + b cos x
∫ c sin x + d cos x + e dx

(

Đặt t = tan x
Đặt t = cot x
Đặt t = tan

)

x
x
với cos ≠ 0
2
2

Đặt t = ϕ ( x)

∫ f x, ϕ ( x) dx
1

 Nếu x + a > 0 và x + b > 0 đặt t = x + a + x + b
 Nếu x + a < 0 và x + b < 0 đặt t = − x − a + − x − b
dx
VD1. Tìm họ nguyên hàm : I = ∫
sin x
x
2dt


2 x 1
2 dx
⇒ dx =
Đặt t = tan ⇒ dt = 1+ tan ÷ dx = ( 1+ t )
22
2
1+ t 2

2

∫ ( x + a ) ( x + b ) dx

2t
1+ t 2
1 2dt
dt
x
I =∫
= ∫ = ln t + C = ln tan + C
2
2t 1 + t
Do đó :
t
2
2
1+ t
x 2 dx
VD3. Tìm ngun hàm I = ∫
1+ x

2
Đặt u = 1 + x ⇒ x = u − 1 và dx = 2udu
Ta lại có: sinx =

I=∫
=

(
5
2

( u 2 -1)

2

.2udu

u

1+ x

)

5

−

(
3
4

2
4
= 2 ∫ ( u 4 - 2u 2 +1) du = u 5 - u 3 + 2u + C =
5
3
1+ x

)

3

+ 2 1+ x + C
10


Nguyên hàm – Tích phân & Ứng dụng

BÀI TẬP

cos x sin 3 x
dx
1 + cos 2 x
x
2. Tìm họ nguyên hàm : I = ∫ x ( 1 + ln x ) dx
1. Tìm họ nguyên hàm: I = ∫

3. Tìm nguyên hàm :

I=∫

4. Tìm nguyên hàm : I = ∫

( x + 1) dx

(

x 1 + xe x

)

=∫

e x ( x + 1) dx

xe x ( 1 + xe x )

dx

( x + 1) ( x + 2 )

5. TÌM NGUYÊN HÀM BẰNG PHƯƠNG PHÁP NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN

∫ udv = uv − ∫ vdu

(với du = u’(x)dx, dv = v’(x)dx)
Một số dấu hiệu nhận biết và cách đặt :
Dấu hiệu

∫ p ( x )e

ax

∫ p ( x)a

dx

bx

dx

ESC

∫ p( x) sin axdx

Cách đặt
u = p( x)

ax
 dv = e dx
u = p( x)

bx
 dv = a dx
u = p( x)

 dv = sin axdx

∫ p( x) cos axdx
∫ p( x) ln axdx

u = ln ax

 dv = p ( x) dx

∫ p( x) log

LN

u = p ( x)

dv = cos axdx

u = log b ax

 dv = p ( x) dx

b

axdx

(U loga – Esc dv)
x ln( x + x 2 + 1)
dx.
VD1. Tính nguyên hàm: I =
x 2 +1
x
2
dx.
Giải: Ta viết lại I dới dạng: I = ln( x + x + 1)

2
x +1
x

1+
u = ln x + x 2 + 1

2
x +1


.dx =
Đặt:
du =
x
x + x2 +1
dx
dv =

x2 +1

v = x 2 + 1


(

)

dx
x2 +1

11


Ngun hàm – Tích phân & Ứng dụng

Khi ®ã:

I =

(

)

x 2 +1 ln x + x 2 +1 − ∫ dx =

(

)

x 2 +1 ln x + x 2 +1 x + C .

x
VD2. Tính nguyên hàm I = ∫ e cos xdx
BiÓu thøc e x cos xdx võa chøa e võa chøa cos nªn ta cã thĨ chän một trong hai để đặt u.
Gii
u = e x
du = e x dx
Đặt
khi đó I = e x cos xdx = uv − ∫ vdu = e x sin x − ∫ sin xe x dx

⇒
 dv = cos xdx v = sin x

TÝnh I1 = ∫ sin xe x dx

u = e x
du = e x dx
Đặt

dv = sin xdx v = cos x

I1 = ∫ e x sin xdx = uv − ∫ vdu = −e x cos x + ∫ cos xe x dx
Thay I1 vào I ta đợc 2I = ex(sinx + cosx) + C
1
VËy I = e x (sin x + cos x) + C .
2
PHƯƠNG PHÁP HỆ SỐ BẤT ĐỊNH :
Dạng ∫ p ( x) sin axdx ; ∫ p ( x) cos axdx :
Nếu bậc của p(x) bằng hoặc lớn hơn 3 ta nên giải theo phương pháp sau:
B1. Ta có : I = ∫ p( x) cos xdx = A( x)sin α x + B( x) cos α x + C , (1)
(A(x) và B(x) cùng bậc với p(x))
B2. Lấy đạo hàm hai vế của (1) :
p ( x) cos x = ( A '( x) + B ( x ) ) sin α + ( A( x) + B '( x) ) cos α
Sử dụng phương pháp hệ số bất định tìm được A(x) và B(x)
B3. Thay A(x) và B(x) vào (1) rồi kết luận.
ax
ax
(Có thể áp dụng cách này cho các dạng ∫ e cos bxdx ; ∫ e sin bxdx )
3
2

VD. Tính I = ∫ ( x − x + 2 x − 3) sin xdx
Giải:
I = ∫ ( x 3 − x 2 + 2 x − 3) sin xdx = (ax 3 + bx 2 + cx + d ) cos x + (a'x 3 + b ' x 2 + c ' x + d ')sin x + C (1)
Lấy đạo hàm hai vế của (1):
( x 3 − x 2 + 2 x − 3)sin x = [a ' x 3 + (3a + b ') x 2 + (2b + c ') x + c + d ']cos x −

[ax 3 − (3a '− b) x 2 − (2b '− c) x + c '+ d ]sin x

(2)

Đồng nhất đẳng thức trên ta được hệ :
a ' = 0
−a ' = 1
3a + b ' = 0
3a '− b = −1


và 

 2b + c ' = 0
 2b '− c = 2
c + d ' = 0
 −c '+ d = −3


a = −1; b = 1; c = 4; d = 1; a ' = 0; b ' = 3; c ' = −2; d ' = −4
Giải hệ trên tìm được :
Vậy I = (− x 3 + x 2 + 4 x + 1) cos x + (3 x 2 − 2 x + 4) s in x + C .
12

Ngun hàm – Tích phân & Ứng dụng

BÀI TẬP
Tìm các nguyên hàm sau đây:
ln ( cos x )
1. I = ∫
Đs : I = ln ( cos x ) tan x + tan x − x + C
dx
cos 2 x
x
2. I = ∫ cos ( ln x ) dx
Đs : I = cos ( ln x ) + sin ( ln x )  + C

2
1 2 x
1
2
3. I = ∫ x sin xdx
Đs : I = x + sin 2 x + cos2 x + C
4
4
8

(ĐHL_1999)

6. TÌM NGUYÊN HÀM BẰNG PHƯƠNG PHÁP LIÊN KẾT
VD1.
TÝnh I =
Giải

cos x

∫ sin x + cos x dx

Chọn nguyên hàm phụ : J =
I+J=

VD2.

. Khi ®ã ta cã:

sin x

∫ sin x + cos x dx + ∫ sin x + cos x dx = ∫ dx = x + c

I–J=
VËy I =

cos x

sin x

∫ sin x + cos x dx

1

cos x

sin x

cos x − sin x

∫ sin x + cos x dx - ∫ sin x + cos x dx = ∫ sin x + cos x dx = ln sin x + cos x + c

2

1
1
ln sin x + cos x + x + C .
2
2
π
2
0

sin 3 x
dx
sin 3 x + cos3 x
π
π
π
π
cos3 x
Chọn J = ∫ 2 3
dx → I + J = và t = − x ⇒ dx = −dt ⇒ I = J =
3
0 sin x + cos x
2
2

4
Tính I = ∫

BÀI TẬP
1
1

1. Tìm nguyên hàm của hàm số : f ( x ) = 2sin 2 x sin 2 x . Đs : F ( x) =  − cos 2 x + cos4 x ÷+ C
2
4

x
1
e
x
−x
2. Tìm nguyên hàm của hàm số : f ( x ) = x − x .
Đs : F ( x) = ln e − e + x + C
2
e −e

(

)

…………………

13

Ngun hàm – Tích phân & Ứng dụng

……………………………………

TÍCH PHÂN
b

b

∫ f ( x )dx = f ( x ) a = F(b) − F(a)
a
I. Phương pháp đổi biến số:
Dạng 1:
Đặt x=u(t) sao cho u(t) là một hàm số có đạo hàm và liên tục trên đoạn [ α; β] , f[u(t)] được xác định trên
đoạn [ α; β] và u(α) =a, u(β) =b.
* Biến đổi f(x)dx=f[u(t)]u’(t)dt=g(t)
* Tìm một nguyên hàm G(t) của g(t)
β

β

* Tính ∫ g(t)dt= G(t) α
α

b

* Kết luận:

∫ f(x)dx= G(t)

β

a

α

Dạng 2:
Đặt t=v(x), v(x) có đạo hàm liên tục
* Biểu thị f(x)dx theo t và dt. Giả sử f(x)dx=g(t)dt
* Tìm một nguyên hàm G(t) của g(t)
v(b)

∫ g(t)dt= G(t)

* Tính

v(b)
v(a)

v(a)

b

* Kết luận: ∫ f(x)dx= G(t) v(a)

v(b)

a

II. Phương pháp tích phân từng phần:

Nếu u(x) và v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn [a; b] thì:
b b

b

∫ u(x)v (x)dx= u(x)v(x) -∫ v(x)u (x)dx
/

a

/

a a

14


Nguyên hàm – Tích phân & Ứng dụng
b

b b

a

a a

hay ∫ udv= uv -∫ vdu

Các dạng toán cơ bản:
Dạng toán 1. Tích phân các hàm hữu tỉ

b

Tích phân các hàm hu t

P(x)

Q(x)dx

(P(x), Q(x) là các đa thức)

a

Phng phỏp: Gi sử bậc của P(x) nhỏ hơn bậc Q(x) (nếu ngược lại ta lấy tử chia cho mẫu).
Phân tích mẫu Q(x) thành tích các nhị thức bậc nhất và tam thức bậc 2 theo từng trường hợp:

1) Q(x)=(x+a1 )(x+a 2 )...(x+a n )
Phân tích thành:

A
A
A
P(x)
= 1 + 2 +...+ n
(x+a1 )(x+a 2 )...(x+a n ) x+a1 x+a 2
x+a n

TÝnh A1 , A 2 ,..., A n bằng ph ơng pháp hệ số bất định.

2) Q(x)=(x+a1 )...(x+a n )(x+b)m
A

A
B
Bm
P(x)
= 1 +...+ n + 1 +...+
m
(x+a1 )...(x+a n )(x+b)
x+a1
x+a n x+b
(x+b)m
TÝnh A1 , A 2 ,..., A n , B1, B 2 ,..., B n bằng ph ơng pháp hệ số bất định.

3) Q(x)=(x+a1 )(x+a 2 )...(x+a n )(x 2 +px+q) (p 2 -4q<0)
A
A
P(x)
Cx+D
= 1 +...+ n + 2
2
(x+a1 )(x+a 2 )...(x+a n )(x +px+q) x+a1
x+a n x +px+q

4) Q(x)=(x 2 +p1x+q1 )(x 2 +p 2x+q 2 )(p i -4q i <0)
C x+D1
C x+D 2
P(x)
= 21
+ 2 2
2
(x +p1x+q1 )(x +p 2 x+q 2 ) x +p1x+q 1 x +p 2x+q 2

2

T×m C1 , D1 , C 2 , D 2 b»ng ph ơng pháp hệ số bất định.
Trong cỏc dng trờn, khi tính tốn ta thường gặp 2 dạng sau:
a
dx
Bài tốn 1: TÝnh I= ∫ 2 2 (a>0) (SGK) .
x +a
0
Giải
 π
Đặt x=a.tant, t ; ữ dx=a(1+tan 2 t)dt
 2 2
Đổi cận:
x
0
a
t
0
π
4
π
4

⇒ I= ∫
0

π
4

π
4

a(1+tan t)dt
a(1+tan t)dt 1
π
=∫ 2
= ∫ dt =
2
2
2
2
a tan t+a
a (tan t+1) a 0
4a
0
2

2

15


Ngun hàm – Tích phân & Ứng dụng
b

Bài tốn 2: Tính tích phân dạng

b

dx
(mx+n)dx
x2 +px+q , x 2 +px+q
a
a

(p 2 -4q<0)

Giải
2

p2
p
 p
BiÕn ®ỉi x 2 +px+q=  x+ ữ +q- . Bằng cách đặt t=x+ ta biến đổi về bài toán 1.
4
2
2
1
dx
Ví dụ 1. Tính tích phân I= ∫ 2
.
x -2x+2
0
Giải.
1
1
dx
dx
I= ∫ 2

=∫
x -2x+2 0 (x-1)2 + 1
0

Đặt x-1=tant, t - ; ữ dx=(1+tan 2 t)dt
 2 2
Đổi cận:
x
0
1
π
t 0
4
0
0
(1+tan 2 t)dt
π
0
⇒ I= ∫
= ∫ dt= t − π = .
2
tan t+1
4
4
π
π
-

−

4

4
0

(2x+2)dx
.
x 2 +4x+8
-2

VÝ dơ 2. TÝnh tÝch ph©n: I= ∫
Giải.
0
0
(2x+2)dx
(2x+2)dx
I= ∫ 2
=∫
x +4x+8 -2 (x+2)2 + 4
-2


Đặt x+2=2tant, t  − ; ÷, ⇒ x=2tant-2 ⇒ dx=2(1+tan 2 t)dt
 2 2
Đổi cận:
x
-2
0
π
t

0
4
π
4

π
4

π
4

π
4

π
4

π
4

(4tant-2)2(1+tan t)dt
sintdt π
d(cost) π
= ∫ (2tant-1)dt=2 ∫ tantdt- ∫ dt=2 ∫
− = −2 ∫
− =
2
4tan t+4
cost 4
cost

4
0
0
0
0
0
0
2

I= ∫

π
4
0

π
1

= 2 ln
= ln 2
4
4
2 4
b
P(x)
Bài toán 3. Tích phân các hàm hữu tỉ
dx (P(x), Q(x) là các đa thức)
Q(x)
a
Gii bng phng phỏp h s bt nh.

= −2 ln cos t

−

Để tính tích phân dạng

dx

∫ (x+a) (x+b)
n

m

trong đó m, n là các số ngun dương, ngồi phương

pháp hệ số bất định, ta cịn có thể sử dụng phép đặt t=

x+a
x+b

để giải.
16


Nguyên hàm – Tích phân & Ứng dụng

Ví dụ 1. Tớnh cỏc tớch phõn sau :
1

I=

dx

(x +3x+2)
2

(ĐH Ngoại th ơng-Khối A, năm 1999)

2

0

Gii.
Ta cú:

1
x 2 +3x+2

=

1
A
B
(A+B)x+2A+B
=
+
=
(x+1)(x+2) x+1 x+2
(x+1)(x+2)

(theo 1))

Nhõn hai vế cho (x+1)(x+2), ta được: 1 = (A+B)x + 2A + B
 A+B=0

A=1

Hai đa thức này đồng nhất với nhau khi và chỉ khi : 2A+B=1 ⇒ B=-1


Từ đó ta thu được cách phân tích sau:
2

1

1

1

1
2

x +3x+2

=

1
1
1
=

−
(x+1)(x+2) x+1 x+2

1

1

1

1

1

1 
dx
dx
dx
1
1
dx
dx
2
 1
⇒ I= 
−
+
−2
=−
−2
+2

= − 4ln2+2ln3.
÷ =
2
2
(x+1)(x+2)
x+1 0 x+2 0
x+1
x+2 3
(x+1)
(x+2)
 x+1 x+2 
0
0
0
0
0
0

∫

∫

∫

∫

∫

∫

BÀI TẬP
3

1) J=

1
1
1
Đs: − ln 2 + ln 3 + .
4
4
8

xdx

∫ (x-1)(x+1)

2

2

1

2) K=

∫ (x+1)(x +1) dx

0
1

3) L=

2x 2 +x+3

Đs : 2ln2+

2

dx

∫ (x-2) (x+3)
2

Đs :

3

0

π
4

1  1135

 288 + 9ln2-3ln3 ÷.
625 


Dạng tốn 2: Tích phân các hàm vơ tỉ : có hai phương pháp

I. Phương pháp hữu tỉ hóa:


ax+b 

ax+b
÷ là hàm vơ tỉ, ta hữu tỉ hóa bằng cách đặt t= n
Dạng 1: Đối với tích phân dạng ∫ f  x; n

cx+d ÷
cx+d


2

Ví dụ 1: Tính tích phân I= ∫ 3
0

x+1
3x+2

dx

(ĐHSP Quy Nhơn - Năm 1999)

Giải.
* Đặt t= 3 3x+2 ⇒ t 3 = 3x+2 . Ta có: 3dx=3t2dt ⇒ dx=t2dt
* Đổi cận:
x
0

2
3
t
2
2
2

* Do đó : I= ∫
3

2

2

t4 + t
1  t5 t2 
1
dt=  + ÷ = (28 − 3 3 4 )
5 2÷
3
3
 3 2 10
3

Ví dụ 2. Tính tích phân

∫

I= x x+1dx
0

Giải.
+ §Ỉt t= x+1 ⇒ t 2 = x+1 ⇒ 2tdt=dx và ta cũng có x=t2-1
+ Đổi cận:
x
0
3
t
1
2
17


Nguyên hàm – Tích phân & Ứng dụng
2

+

2

2

 t5 t3 
116
Do ®ã: I= (t -1).t.2tdt=2 (t -t )dt= 2  − ÷ =
5 3÷
15

1
1

1

∫

∫

2

4

2

Có thể giải trực tiếp như sau:
3

3

∫

3

∫

3

3

∫

1

∫

I= x x+1dx= (x+1)-1 x+1dx= (x+1) 2 dx- (x+1) 2 dx=


0

3

=

∫

0

0

3
3
1
(x+1) 2 d(x+1)- (x+1) 2 d(x+1)=

∫

0

0

0

5

2
(x+1) 2
5

3

0

3

2
− (x+1) 2
3

3

=
0

116
15

BÀI TẬP
5
4

x+1

dx .
x-1

1. Tính tích phân I= ∫
5
3
π
2

Đs : ln 2 − ln 3 −

2. Tính tích phân I= sin2x+sinx dx (TSĐH Khối A-Năm 2005)
∫
1+3cosx

0

∫

Để tính tích phân dạng

asin2x+bsinx
c.cosx+d

dx ,

Đs :

7
12

34
27

ta đổi biến số t= c.cox+d

3. Tính các tích phân sau :
ln2

a) I=

∫

e2x
ex + 1

0
e

b) J=

dx

1+3lnx lnx
dx
x

∫
1

Đs :

(ĐH Khối B-Năm 2004)

Nếu hàm số dưới dấu tích phân có dạng
0

4. Tính tích phân

I=

1- x+1

∫ 1+

3

-1

x+1

116
135

ae x + b , ta có thể đặt t= ae x + b .
Đs: I=

dx

2 2

3

Đs :

(ĐH BK Hà Nội -2000)

199
3π
+3ln270
2

Dạng 2. Tích phân của hàm f(x) chứa các cn dng
n1

ax+b
,
cx+d

n2

ax+b
,...,
cx+d

nm

ax+b
ax+b
, ta đặt t= k
, trong đó k là béi sè chung nhá nhÊt cña n1 , n 2 ,..., n m .

cx+d
cx+d

Dạng 3. Tính tích phân ∫ f(x)dx với các dạng sau :
1) f(x) cã d¹ng
2) f(x) cã dạng

1

, x ax 2 +b hoặc

x ax 2 +b

1
2

(mx+n) ax + bx+c
3

Ví dụ 1. Tính tích phân I= ∫
1

ax 2 +b
đặt ax 2 +b =t
x

đặt mx+n=

1
t

4-x 2
dx
x

Gii.
18


Nguyờn hm Tớch phõn & ng dng
t
* Đặt t= 4-x 2 ⇒ x 2 =4-t 2 ⇒ dx=- dt
x
* §æi cËn: x=1 ⇒ t= 3, x= 3 ⇒ t=1
4-x 2
t(-t)dt
t2
dx= 2 =- 2
x
x
4-t

Ta cã:
1

* I=

-t 2

∫ 4-t

2

1

dt=

3

∫

3

-t 2 +4-4
4-t 2

=1- 3-(ln 2+t -ln 2-t )

1

dt=

∫

1

dt-4

3

1
3

dt

∫ 4-t

=t
2

1

1

3

3

1

(2-t)+(2+t)
1 
 1
dt=1- 3- 
+
dt=
(2-t)(2+t)
2+t 2-t ÷



3
3

∫

∫

=1- 3-  ln3-ln(2+ 3)+ln(2- 3)  =1- 3-ln3+2ln(2+ 3).


1

Ví dụ 2. Tính tích phân I= ∫
0

dx
(x+1) x 2 + 1

Gii.

2


Cỏch 1. * Đặt x=tgt, t  − ;

π
2÷


(xem phần phương pháp lượng giác hóa).

1
dt
Cách 2 : Đặt x+1= dx=- 2
t
t
Đổi cân: x=0 t=1; x=1 ⇒ t=
1
2

⇒ I=-∫
1

1
2

dt
2

t2

1 1 
−1 +1
t t ÷



1
2
1

1 2
dt
=−
∫
2 1  1 2 1
2t 2 − 2t+1
t − 2 ữ + 4


dt

=
1

2

1
1 1
Đặt t- + t ữ + = u (Xem dạng toán 4 trong phần này)
2
2 4

1

t
2
1+
2
1 1

t ữ +
2


 4


2

1
 1 1
dt
du
÷
 t − 2 ÷ + 4 + t- 2
⇒
=
÷


2
u
dt=du
 1 1
÷dt=du ⇒
2
t− ÷ +
 2
 1 1

ữ

4
t 2 ữ + 4
ữ




1
2
1
1
Đổi cận: t=1 u= +
; t= ⇒ u=
2 2
2
2
1
⇒ I=2

1
2

∫

1+ 2
2

du

1
=−
ln u
u
2

Dạng 4 . Tích phân dạng: ∫

1
2
1+ 2
2

=-

1
1
1
ln
=
ln(1+ 2)
2 1+ 2
2

dx
(x+b)2 + a



x+b

dx
dt
Đặt x+b+ (x+b)2 + a = t 1+
=
ữdx=dt ⇒
2
2

t
(x+b) + a ÷
(x+b) + a


dx
dt
2
∫ (x+b)2 + a = ∫ t = ln x + C=ln x+b+ (x+b) + a +C
19


Nguyên hàm – Tích phân & Ứng dụng
1

Ví dụ : Tớnh tớch phõn: I=
0

dx
(x+2)2 + 6

Gii.

2(x+2)
dx
dt
Đặt x+2+ (x+2)2 + 6=t ⇒  1+
÷dx=dt ⇒
=
2
 2 (x+2)2 + 6 ÷
t
(x+2) + 6


x=0 ⇒ t=2+ 10;
3+ 15

I=

dt
= ln t
t
10

∫

2+

x=1 ⇒ t=3+ 15

3+ 15

2+ 10

= ln(3+ 15)-ln(2+ 10) = ln

3+ 15
2+ 10

.

BÀI TẬP
3

2
1) Tính tích phân: J= ∫ x + 4dx

Đs : J=

1

2 3

2)

K=



3

dx

x x +4
2

(ĐH Khối A, năm 2003)

3 13 − 5
3+ 13
+ 2 ln
2
1+ 5

1 5
Đs : K = ln
4 3

II. Phương pháp lượng giác hóa:
Nếu trong biểu thức dưới dấu tích phân có chứa:
 π π
* a 2 -x 2 (a > 0) đặt x=asint, t - ; 
 2 2
a
 π π
* a 2 -b 2 x 2 đặt x= sint, t - ; (hoặc đặt t= a 2 -b 2 x 2 )
b
2 2
a
 π  π

* x 2 -a 2 (a > 0) đặt x=
, t 0; ữ ; π 

cost
 2 2

a
 π  π

* b 2 x 2 -a 2 đặt x=
, t 0; ữ ; π 
bcost
 2 2

 π π
* a 2 +x 2 (a > 0) đặt x=atant, t - ; ÷
 2 2
1
a
 π π
* a 2 +b2 x 2 hc 2 2 2 n (n ∈ N* ) đặt x= tant, t - ; ữ
(a +b x )
b
 2 2
Ví dụ: Tính các tích phân sau:
a
2

a) I= ∫
0

2 3

dx
a2 − x2

(a > 0)

b) L=

∫

2 3
3

dx
x x2 + 4

Gii.

a) Đặt x=asint, t - ;  , ta cã: dx=acostdt
 2 2
a
π
§ỉi cËn: x=0 ⇒ t=0;
x= ⇒ t=
2
6
20


Ngun hàm – Tích phân & Ứng dụng
π

6

Do ®ã: I= ∫
0

π
6

acost
a − a sin t
2

2

2

dt= ∫ dt =
0

π
6

b) C¸ch 1 : Ph ơng pháp hữu tỉ hóa: HD: Đặt x 2 + 4 = t ⇒ x 2 = t 2 -4
tdt
dx
tdt dt
2xdx=2tdt ⇒ dx=
⇒
= 2 = 2
x

x x 2 +4 x t t -4
Cách 2 : Ph ơng pháp l ợng giác hóa
dt
2 3



Đặt x=2tant, t - ; ữ, ta có: dx=2
. Đổi cận: x=
t= ; x=2 3 ⇒ t=
2
cos t
3
6
3
 2 2
2 3

I=

∫

2 3
3

π
3

dx
x x +4

2

=∫
π
6

2dt
2

2

cos t.2tant. 4tan t+4

=

π
3

π
3

1 1
π 

=  − ln 3 − ln  tan ÷ .
2 2
12  


π

3

1
dt
1 dt
1
dt
= ∫
= ∫
∫
2 π cost.sint. 1
2 π sint 4 π sin t .cos t
6
6
6
cost
2
2

t

d  tan ÷
1
dt
1
t
2 1
= ∫
= ∫ 
= ln tan

t
t 2π
t
4 π tan .cos2
2
2
tan
6
6
2
2
2
π
3

π
3

π
3
π
6

=

1 
π
π 

 ln  tan 6 ÷− ln  tan 12 ÷ =

2 




π
π 1 − cos 6 2 − 3
TÝnh tan 2
=
=
12 1+cos π
2+ 3
6

1
1 2− 3
VËy I=- ln 3 − ln
.
4
4 2+ 3
BÀI TẬP
a

1) J= ∫ x 2 a 2 -x 2 dx (a>0)

Đs :

a 4π
.
16

Đs :

2 π
3
 +
÷.
3 33 8 ÷



0

1

2) K= ∫ x 2 4-3x 2 dx
0

2

3) M= ∫
2

dx
x x −1
2

Đs : −

1

dx
(1+3x 2 )2
0

4) N= ∫

Đs :

π
.
12

1 π
3
 +
÷.
2 33 4 ÷



Dạng tốn 3: Tích phân các hàm lượng giác
Phương pháp:
1) Hàm dưới dấu tích phân là hàm lẻ đối với cosx, đặt t = sinx
2) Hàm dưới dấu tích phân là hàm lẻ đối với sinx, đặt t = cosx
3) Hàm dưới dấu tích phân là hàm chẵn đối với sinx, cosx, ta đặt t = tanx
21


Nguyên hàm – Tích phân & Ứng dụng

Ví dụ: Tính tích phân sau:
π
3

I= ∫
π
6

dx
(Học viện Kỹ thuật Mật mã-1999)
sin x.cosx
4

Giải
1) Hàm số d ới dấu tích phân là hàm lẻ đối với cosx. Đặt t=sinx, ta có: dt=cosxdx
Đổi cận: x=

3

Ta cã: I= ∫
π
6

π
1
π
3
⇒ t= ; x= ⇒ t=
6

2
3
2
π
3

cosxdx
cosxdx
=∫ 4
=
4
2
sin x.cos x π sin x.(1-sin 2 x)
6
3

3
2

∫t

4

1
2

dt
=
(1 − t 2 )

3
2

1

∫ t


4

1
2

+

1
1 
+ 2÷
dt=
2
t 1-t 

3

2
14 26
 1 1 2 1
=  - 3 - ÷ +  ln(1 + t ) - ln 1- t  = + ln(2 + 3) - ln 3.

1

2
3 9 3
 3t t  1
2

2

BÀI TẬP
π
4

1) I= ∫
-

π
4

sin 2 xdx
cos4 x(tan 2 x-2tanx+5)

Đs : 2 −

π
2

Đs :

sin 3x
dx
1+cos2 x

0

2) J= ∫

π
3

3) K= ∫
π
4

3π
− ln 2
8

sin 2 x
dx (ĐH Giao thông Vận tải-2000 )
cos6 x

π
−1.
2

Đs :

42 3 8
.
15

Phng phỏp :

4) Tr ờng hợp tổng quát ta đặt t = tan
tanx =

x
2t
1- t 2
và sử dụng nhãm c«ng thøc : sinx =
; cost =
;
2
1+ t 2
1+t 2

2t
ta biến đổi về tích phân hàm h ữ u tØ.
1- t 2

Ví dụ: Tính tích phân:

π
2

dx

∫ 2+cosx
0

Giải

22

Nguyờn hm Tớch phõn & ng dng

2dt
2
x
1
x
1
2dt
dx
2dt
Đặt t=tan , ta cã: dt=  1 + tan 2 ÷dx= (1 + t 2 )dx ⇒ dx=
⇒
= 1+t 2 =
2
2
2
2
2
1+t
2+cosx
1-t
3+t 2
2+
1+t 2
π
§ỉi cËn: x=0 ⇒ t=0; x= ⇒ t=1
2

π
2

1

dx
dt
∫ 2+cosx = 2 3+t 2
0
0


Đặt t= 3tanu, u  - ; ÷, ta cã: dt= 3(1+tan 2 u)du
 2 2
π
§ỉi cËn: t=0 ⇒ u=0; t=1 ⇒ u=
6
1

dt

∫ 3+t

2

0

=

π

6

π
2

3
3π
3π
dx
3π
∫ du = 3 6 = 18 ⇒ ∫ 2+cosx = 9
3 0
0

Phương pháp :
5) Hàm dưới dấu tích phân có dạng sinax.sinbx, sinax.cosbx, cosax.cosbx, ta dùng cơng thức biến
đổi tích thành tổng biến đổi về tổng các tích phân cơ bản.
π
4

π
4

π

1
1  sin4x sin2x  4 1
VÝ dô 1 : ∫ cos3x.cosxdx= ∫ (cos4x+cos2x)dx= 
+
=

20
2 4
2 ÷0 4

0
π
4

π
4

π

1
1  cos4x cos2x  4 1
VÝ dô 2 : ∫ sin3x.cosxdx= ∫ (sin 4x+sin2x)dx= − 
+
=
20
2 4
2 ÷0 2

0
Phương pháp :
b

b

a

a

6) TÝch phân dạng tan n xdx, cot n xdx (n là số nguyê n d ơng không nhỏ hơn 2) tÝnh nhê c«ng thøc sau :
2

d(tanx)=(1+tan x)dx, d(cotx)=-(1+cot 2x)dx, và biến đổi nh sau: tan n x=tan n-2x(1+tan 2x)-tan n-2 x
⇒ ∫ tan n xdx = ∫ tan n-2 xd(tanx)+ ∫ tan n-2 xdx

Ví dụ 1: Tính tích phân:

π
4

∫ tan xdx
3

0

Giải
π
4

π
4

π
4

π
4

π
4

∫ tan xdx = ∫ tanx.tan xdx = ∫ tanx (tan x+1)-1 dx = ∫ tanx(tan x+1)dx − ∫ tanxdx =


3

0

2

0

π
4

2

0

π
4

2

0

0

π

π
d(cosx) tan 2 x 4
1 1
= ∫ tanxd(tanx) + ∫
=
+ ln cosx 04 = − ln 2.
cosx
2 0
2 2
0
0

23


Nguyên hàm – Tích phân & Ứng dụng
π
4

π
4

Ví dụ 2: Tính tích phân: a) tan 6 xdx;
∫

b) ∫ cot 6 xdx .

0

0

Giải
π
4

π
4

0
π
4

0

a) ∫ tan 6 xdx = ∫  tan 4 x(1+tan 2 x)-tan 4 x  dx


π
4

π

π

4
4
1

= ∫ tan 4 xd(tanx) − ∫ tan 4 xdx = tan 5x − ∫  tan 2 x(tan 2 x+1)-tan 2 x  dx =


5
0
0
0
0
π

π

π

π

π

π

4
4
4
4
1 4
1 1
1 1 4
= − ∫ tan 2 xd(tanx) + ∫ tan 2 xdx = − tan 3x + ∫ (tan 2 x+1)-1dx= − + ∫ d(tanx)- ∫ dx



5 0
5 3
5 3 0
0
0
0
0

=

π
π 13 π
1 1
π 1 1
− + tanx 04 − = − + 1 − = − .
4 15 4
5 3
4 5 3

b) Tương tự.
Phương phỏp :
b

7) Tích phân dạng

Asinx+Bcosx

Csinx+Dcosxdx
a

4

Ví dụ :


4

cosx

1
+ ln sinx+cosx
8 2

π
4

1 (cosx+sinx)+(cosx-sinx)
1
1 d(sinx+cosx)
dx= ∫ dx + ∫
=
cosx+sinx
20
2 0 sinx+cosx
0

∫ sinx+cosx dx = 2 ∫
0

=

π
4

π
4
0

=

π 1
+ ln 2.
8 2

1) Trong bài tốn tích phân trên, ta chú ý rằng d(sinx+cosx)=(cosx-sinx)dx, sử dụng
phương pháp hệ số bất định ta phân tích:
cosx=a(sinx+cosx)+b(sinx-cosx)=(a+b)cosx + (a-b)sinx
1
a=
a+b=1 2


Ta có lời giải nh đà trình bày ở trên.
Ta cú:
a-b=0
b= 1
2

(a.sinx+b.cosx)dx

2) Để tính tích phân dạng
ta phân tích nh sau
c.sinx+d.cosx
a.sinx+b.cosx=A(c.cosx-d.sinx)+B(c.sinx+d.cosx)=(Bc-Ad)sinx+(Ac+bd)cosx
Bc-Ad=a
Ta tìm A, B bằng cách giải hệ:
Ac+Bd=b
(a.sinx+b.cosx)dx
(c.cosx-d.sinx)dx
(c.sinx+d.cosx)dx
c.sinx+d.cosx = A c.sinx+d.cosx + B ∫ dx = A ∫ c.sinx+d.cosx + B ∫ dx =
= Aln c.sinx+d.cosx + Bx+C.

24


Nguyên hàm – Tích phân & Ứng dụng

BÀI TẬP
Tính các tích phân sau:
1)

π
2

dx

∫ 1+sin2x (ĐH Cơng đồn - 1999)

0

π
3

2) ∫
π
6

dx
(Học viện Kỹ thuật Mật mã-1999)
sin x.cos x
4

π
2

3
3) ∫ cos xdx (ĐH Cần Thơ - 2000)

π
6

π
3

4
4) ∫ tan dx (ĐH Y Hà Nội - 2000)

π
4

π
4

5) TÝnh tÝch ph©n

2sinx+3cosx
∫ sinx+4cosx dx
0

Đs : −

5
5
7π
[ln 5 − ln 2] +
.
17
2
34

Dạng tốn 4: Tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần
1) Tích phân dạng

∫

x 2 ± a 2 dx
1

2
Ví dụ 1: Tính tích phân I = ∫ x + 1dx

0

Giải

dt
 π π
* Cách 1: Đặt x=tant, t - ; ữ, ta cã: dx=
cos2 t
 2 2
π
§ỉi cËn: x=0 ⇒ t=0; x=1 ⇒ t=
4
π
4

I= ∫ tan 2 t + 1
0

π
4

dt

∫ cos
0

3

t

π
4

dt
dt
=∫
2
cos t 0 cos3 t

có hàm số d ới dấu tích phân là hàm lẻ đối với cosx.

Đặt u=sint du=costdt
2

2

2

dt
du
1
1 1
1 


 1 (1 − u) + (1 + u) 
=
=
3
2 2

 du =  2 (1 − u)(1 + u)  du = 4  1 − u + 1 + u ÷ du
cos t (1 − u )


 (1 − u)(1 + u) 


1 1
1
1
1 
= 
+
+
+
du
2
4  (1 − u) 1 − u 1 + u (1 + u)2 

§ỉi cËn: t=0 ⇒ u=0; t=

π
2
⇒u=
4
2
25