Chuyên đề tích phân luyện thi đại học, luyên thi quốc gia và ôn thi học sinh giỏi môn toán
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (480.43 KB, 62 trang )
CHUYÊN ĐỀ : TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
I. TÍCH PHÂN SỬ DỤNG BẢNG NGUYÊN HÀM
Bài 1. Tính các tích phân sau :
( )
2
2
1
. 2 1a x x dx+ +
∫
2
2 3 1
1
3
.
x
b x e dx
x
+
+ +
÷
∫
2
2
1
1
.
x
c dx
x
−
∫
2
2
1
.
2
x
d dx
x
−
+
∫
( )
2
4
1
2
2
4
.
x
e dx
x
−
−
+
∫
2
2
1
1 1
.
e
f x x dx
x x
+ + +
÷
∫
( ) ( )
2
1
. 1 1g x x x dx+ − +
∫
( )
2
2
3
1
.h x x x x dx+ +
∫
( )
4
3
4
1
. 2 4i x x x dx+ −
∫
2
2
3
1
2
.
x x
k dx
x
−
∫
2
1
2 5 7
.
e
x x
l dx
x
+ −
∫
8
3 2
1
1
. 4
3
m x dx
x
−
÷
∫
GIẢI
( )
2
2 3 2
1
2
1 8 1 19
. 2 1 4 2 1 1
1
3 3 3 3
a x x dx x x x
+ + = + + = + + − + + =
÷ ÷ ÷
∫
2
2
7 4
2 3 1 3 3 1 7 4
1
1
3 1 1 8 1 1 7 3
. 3ln 3ln 2 3ln 2
3 3 3 3 3 3 3
x x
e e
b x e dx x x e e e
x
+ +
−
+ + = + + = + + − + = + +
÷ ÷ ÷ ÷
∫
2
2 2
2 2
1
1 1
1 1 1 1 1 1
. ln ln 2 1 ln 2
2 2
x
c dx dx x
x x x x
−
= − = + = + − = −
÷ ÷
∫ ∫
( )
( )
2
2 2
2
2
2 2
1
1 1
2
1 1 1 1 1
. ln 2 ln 6 ln3 ln 2
2 2 2 2 2 2 2
d x
x
d dx x
x x
−
− −
+
= = + = − =
+ +
∫ ∫
( )
2
4
1
1 1 1
8 4
6 2 7 3
2 2 2
2
2 2 2
4
8 16 16 1
. 8 4 16ln
7
x
x x
e dx dx x x dx x x x
x x x
−
− − −
−
− − −
+
+ +
= = + + = + + =
÷ ÷
∫ ∫ ∫
3
2 2 3 2
2
1
1
1 1 1 1 1 2
. ln
3 3 3
e
e
e
f x x dx x x x e
x x x e
+ + + = + − + = + − +
÷ ÷
∫
( ) ( )
(
)
2
2 2
5
3
2
1 1
1
2 8 2 3
. 1 1 1
5 5
g x x x dx x dx x x
+
+ − + = + = + =
÷
∫ ∫
( )
2
2 2
1 4
3 5
3
2 2 3
3
3 32 2
1 1
1
1 2 3 71 8 2 9 3
.
3 5 4 60 5 4
h x x x x dx x x x dx x x x
+ + = + + = + + = + +
÷ ÷
∫ ∫
( )
4
4 4
1 4
1 1 3 5
3
4
3 32 4 2 4
1 1
1
2 3 16
. 2 4 2 4 2.
3 4 5
i x x x dx x x x dx x x x
+ − = + − = + − =
÷ ÷
∫ ∫
2
2 2
2
3 2
1 11
2 1 2 2
. ln ln 2 3
x x
k dx dx x
x x x x
−
= − = + = −
÷ ÷
∫ ∫
Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 02403833608
1
CHUYÊN ĐỀ : TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
( )
2
1
1 1
2 5 7 2 5
. 7 4 5ln 7 4 7 8
e e
e
x x
l dx dx x x x e e
x x
x
+ −
= + − = + − = − +
÷
∫ ∫
8 8
2 1
2
3 3
3 2
1 1
1 1 1
. 4 4 2 125
3 3
3
m x dx x x dx x x
x
−
− = − = − =
÷
÷ ÷
∫ ∫
Bài 2. Tính các tích phân sau
2
1
. 1a x dx+
∫
5
2
.
2 2
dx
b
x x+ − −
∫
( )
2
2
3
1
.c x x x x dx+ +
∫
2
2
0
.
1
xdx
d
x−
∫
2
2
3 3
0
.
x
e dx
x
∫
4
2
0
. 9f x x dx+
∫
GIẢI
( ) ( ) ( )
( )
2 2
1 3
2
2 2
1
1 1
2 2
. 1 1 1 1 3 3 2 2
3 3
a x dx x d x x+ = + + = + = −
∫ ∫
( )
( ) ( )
( )
5
5 5
3 3
2 2
2
2 2
1 1 2 1
. 2 2 2 2 7 7 3 3 8
4 4 3 6
2 2
dx
b x x dx x x
x x
= + + − = + + − = + −
+ − −
∫ ∫
( )
2
2 2
1 4
3 5
2 2 3
3
3
3 32 2
1 1
1
1 2 3 7 7 8 2 3
. 2
3 5 4 3 20 5 2
c x x x x dx x x x dx x x x
+ + = + + = + + = − + +
÷ ÷
∫ ∫
(
)
(
)
1 1
1
2 2
2
0
0 0
. 1 1 1
1
xdx
d d x x
x
= − − = − − =
−
∫ ∫
(
)
(
)
2 2
2
3
22
3 3 33 3 3
3 3
0
0 0
1 9 1
. 1 1 1
2 2
1
x
e dx x d x x
x
−
= + + = + =
+
∫ ∫
( )
(
)
(
)
4 4
34
2 2 2 2
0
0 0
1 2
. 9 9 9 9
3 3
f x x dx x d x x+ = + + = + =
∫ ∫
Bài 3. Tính các tích phân sau
0
. sin 2
6
a x dx
π
π
+
÷
∫
( )
2
3
. 2sin 3cosb x x x dx
π
π
+ +
∫
( )
6
0
. sin 3 os2xc x c dx
π
+
∫
4
2
0
t anx
.
cos
d dx
x
π
∫
3
2
4
. 3tane xdx
π
π
∫
( )
4
2
6
. 2cot 5f x dx
π
π
+
∫
2
0
.
1 sinx
dx
g
π
+
∫
2
0
1 osx
.
1+cosx
c
h dx
π
−
∫
2
2 2
0
. sin cosi x xdx
π
∫
( )
3
6
. t anx-cotxk dx
π
π
−
∫
2
2
sin
4
.
sin
4
x
l dx
x
π
π
π
π
−
−
÷
+
÷
∫
3
4
0
. osm c xdx
π
∫
Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 02403833608
2
CHUYÊN ĐỀ : TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
GIẢI
( )
0
0
1 1
. sin 2 os 2 3 3 0
6 2 6 2
a x dx c x
π
π
π π
+ = − + = − − =
÷ ÷
∫
( )
2
2
2
2
3
3
1 3 3
. 2sin 3cos 2cos 3sin 6
2 2 18
b x x x dx x x x
π
π
π
π
π
+ + = − + + = − +
÷
∫
( )
6
6
0
0
1 1 2 3
. sin 3 os2x os3x+ sin 2
3 2 4
c x c dx c x
π
π
+
+ = − =
÷
∫
( ) ( ) ( )
4 4
1 3
2 2 4
2
0
0 0
t anx 2 2
. t anx t anx t anx
cos 3 3
d dx d
x
π π
π
= = =
∫ ∫
( )
3 3
2
3
2
4
4 4
1
. 3tan 3 1 3 t anx-x 3 3 3
os 4
e xdx dx
c x
π π
π
π
π π
π
= − = = − −
÷
∫ ∫
( )
( )
4 4 4
2
4
2 2
6
6 6 6
1 2
. 2cot 5 2 1 5 3 3 cot 3 1
sin sin 4
f x dx dx dx x x
x x
π π π
π
π
π π π
π
−
+ = − + = − = − = + −
÷ ÷
÷
∫ ∫ ∫
2
2 2
2
0 0
0
1 2
. = . tan 1
x
1 sinx 2
x
1 tan
1 tan
2
2
dx x
g d
π
π π
÷
= − =
÷
÷
+
÷
+
+
÷
∫ ∫
2
2 2 2
2
2 2
0
0 0 0
2sin
1 osx 1 4
2
. 1 2tan
1+cosx 2 2
2cos os
2 2
x
c x
h dx dx dx x
x x
c
π π π
π
π
÷
− −
= = − = − =
÷
÷
÷
∫ ∫ ∫
2 2 2
2
2 2 2
0
0 0 0
1 1 1 os4x 1 1 1 1
. sin cos sin 2 sin 4
4 4 2 8 4 8 2 4
c
i x xdx xdx dx x x
π π π
π
π
−
= = = − = +
÷ ÷ ÷
∫ ∫ ∫
( )
( )
3 3 3
3
6
6 6 6
sin 2
2 os2x
. t anx-cotx ln sin 2 0
sin 2 sin 2
d x
c
k dx dx x
x x
π π π
π
π
π π π
−
− − −
−
= − = = − =
∫ ∫ ∫
( )
2 2 2
2
2
2 2 2
sin
osx+sinx
osx-sinx
4
. ln osx+sinx ln 2
osx+sinx osx+sinx
sin
4
x
d c
c
l dx dx c
c c
x
π π π
π
π
π π π
π
π
−
− − −
−
÷
= = = = −
÷
+
÷
∫ ∫ ∫
( ) ( )
3 4
4
4
0
0 0
1 1 1 1 3 1 1
. os 3 4cos2 os4x 3 2sin 2 sin 4 2 3 7
8 8 4 8 4 4 32
m c xdx x c dx x x x
π
π
π
π
π
= + + = + + = + − = +
÷ ÷
∫ ∫
Bài 4. Tính các tích phân sau :
Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 02403833608
3
CHUYÊN ĐỀ : TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
( )
1 1
2
1
0
0 0
1
. ln ln
2
x x
x x
x x
x x x x
d e e
e e e
a dx e e
e e e e e
−
−
−
− −
+
− +
= = + =
+ +
∫ ∫
( )
( )
2
2 2 2
2
1 1 1
1
1
ln
1
. ln ln ln 2 ln 2
ln ln ln
x
d x x
x
x
b dx dx x x
x x x x x x x
+
+
+
= = = + = +
+ + +
∫ ∫ ∫
( ) ( )
( ) ( )
1 1 1
2
1
0
0 0 0
2 2
4
. 2 2 3
2 2
x x
x
x x
x x
e e
e
c dx dx e dx e x e
e e
− +
−
= = − = − = −
+ +
∫ ∫ ∫
( )
ln 2 ln2
ln2
0
0 0
1
. ln 1 ln3 ln 2
1 1
x
x
x
x x
d e
e
d dx e
e e
+
= = + = −
+ +
∫ ∫
( )
2 2
2
2
1
1 1
1
. 1 ln ln 2
x
x x x
e
e e dx e dx e x e e
x x
−
− = − = − = − −
÷
÷
∫ ∫
1
1 1
0 0
0
. 1
2 2 2 2
x x
x
x
e e e e
f dx dx
= = = −
÷ ÷
∫ ∫
( )
( )
2 2
osx osx osx
2
0
0 0
. sinxdx=- osx 1
c c c
g e e d c e e
π π
π
= − = −
∫ ∫
( ) ( )
( )
4 4
4
2
1
1 1
. 2 2 2
x
x x
e
h dx d e e e e
x
= = = −
∫ ∫
( ) ( ) ( )
( )
1 3
2 2
1
1 1
1 ln 2 2
. 1 ln ln 1 1 ln 2 2 1
3 3
e e
e
x
i dx x d x x
x
+
= + + = + = −
∫ ∫
( )
( )
2
1
1 1
ln 1 1
. ln ln ln
2 2
e e
e
x
k dx xd x x
x
= = =
∫ ∫
( )
( )
2 2
1
1
0
0
1 1
. 1
2 2
x x
l xe dx e e= = −
∫
( )
( )
1 1 1
1
0
0 0 0
1
1 2
. 1 ln 1 1 ln 1 ln 2 1 ln
1 1 1 1
x x
x
x
x x x
e e
e
m dx dx dx x e e
e e e e
+ −
= = − = − + = − + + = +
÷
+ + + +
∫ ∫ ∫
II. TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ
1. Dạng 1 .( Đặt ẩn phụ )
Bài 1. Tính các tích phân sau
( ) ( )
1
1 1
19
19 20 21
0
0 0
1 1 1 1 1
. 1 1
20 21 20 21 420
a x x dx x x dx x x
− = − = − = − =
÷
∫ ∫
( )
1
3
3
2
0
.
1
x
b dx
x+
∫
. Đặt :
( )
( )
2
1 2
2
2
3
3 2
2
1
0 1
1
1 1 1 1 7
1 2
2 2 2 16
1
t
x xdx
t x dt xdx dt
t t t
x
−
= + ⇒ = ⇔ = = + = −
÷
+
∫ ∫
Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 02403833608
4
CHUYÊN ĐỀ : TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
1 1
5 4
2 2
0 0
.
1 1
x x xdx
c dx
x x
=
+ +
∫ ∫
. Đặt :
( )
2 2
2
2
2 2
2
1
1 1
1 2 ; 1.
1
1 1 1 1 2ln 2 1
2 2 ln
2 2 2 2 4
x t dt xdx x t
t dt
t dt t t t
t t
+ = ⇒ = = −
−
−
⇔ = − + = − + =
÷ ÷
∫ ∫
1
0
.
2 1
xdx
d
x +
∫
. Đặt :
2
1 1
2 1 . 1 1; 1 3
2
2 1
t
t x dt dx x x t x t
x
−
= + ⇒ = ∨ = = → = = → =
+
Do đó :
( )
2
3
1 3
3
1
0 1
1
1 1 1
.
2 2 3 3
2 1
t
xdx
d dt t t
x
−
= = − =
÷
+
∫ ∫
1
2
0
. 1e x x dx−
∫
. Đặt :
2 2 2
1 1 ; 0 1; 1 0t x x t xdx tdt x t x t= − ⇒ = − ⇔ = − = → = = → =
Do đó :
1
1 0 1
2 2 2 3
0
0 1 0
1 1
. 1
3 3
e x x dx t dt t dt t
− = − = = =
÷
∫ ∫ ∫
1
3 2
0
. 1f x x dx−
∫
. Đặt :
2 2 2
1 1 ; 0 1; 1 0t x x t xdx tdt x t x t= − ⇒ = − ⇔ = − = → = = → =
Vậy :
( ) ( )
1
1 1 0 1
3 2 2 2 2 3 2 4
0
0 0 1 0
1 1 1
1 1 1
2 4 4
x x dx x x xdx t tdt t t dt t t
− = − = − − = − = − =
÷
∫ ∫ ∫ ∫
2 3 2 3
2 2 2
5 5
.
4 4
dx xdx
g
x x x x
=
+ +
∫ ∫
. Đặt :
2 2 2
4 4; ; 5 3; 2 3 4t x x t xdx tdt x t x t= + ⇒ = − ⇔ = = → = = → =
Vậy :
( )
4
2 3 4 4
2
2 2
3
3 3
5
1 1 1 1 1 1 3 2 1 9
ln ln ln ln
2 1 1 2 1 2 5 3 2 10
1
4
xdx tdt t
dt
t t t
t t
x x
−
= = − = = − =
÷ ÷
− + +
−
+
∫ ∫ ∫
3
5 3
2
0
2
.
1
x x
h dx
x
+
+
∫
. Đặt :
2 2 2
1 1; . 0 1; 3 2t x x t xdx tdt x t x t= + → = − ∨ = = → = = → =
Vậy :
( ) ( ) ( )
2
2 2 2 2
3 3 2 2
5 3
3 4
2 2
0 0 1 1
1
2 1 1
2 1 1 15
ln ln 2
4 4
1 1
x x xdx t t
x x
dx dt t dt t t
t t
x x
+ − +
+
= = = − = − = −
÷ ÷
+ +
∫ ∫ ∫ ∫
( )
ln2 ln2
ln2
0
0 0
1
. ln 1 ln3 ln 2
1 1
x
x
x
x x
d e
e
i dx e
e e
+
=¬ = + = −
+ +
∫ ∫
( )
( ) ( ) ( )
ln3
ln3 ln3
1 1
2 2
3
0 0
0
. 1 1 2 1 4 2 2
1
x
x x x
x
e dx
k e d e e
e
−
+ + = + = −
+
∫ ∫
1
2 ln
.
2
e
x
l dx
x
+
∫
. Đặt :
2
2 ln 2 ln ; 2 ; 1 2, 3
dx
t x t x tdt x t x e t
x
= + → − = ⇒ = = → = = → =
Vậy :
3
3
3
2
1
2
2 ln 1 3 3 2 2
.
2 3 3
e
x
dx t tdt t
x
+ −
= = =
÷
∫ ∫
1
1 3ln
. ln
e
x
m xdx
x
+
∫
. Đặt :
2
3
1 3ln 1 3ln ;2 ; 1 1; 2
dx
t x t x tdt x t x e t
x
= + ↔ − = = = → = = → =
Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 02403833608
5
CHUYÊN ĐỀ : TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
Vậy :
( )
2
2 2
2
4 2 5 3
1
1 1 1 1
1 3ln 1 2 2 2 1 1 116
ln ln . 1 3ln .
3 3 9 9 5 3 135
e e
x dx t
xdx x x t tdt t t dt t t
x x
+ −
= + = = − = − =
÷
∫ ∫ ∫ ∫
2
2 2
0
sin 2
.
os 4sin
x
n dx
c x x
π
+
∫
. Đặt :
2 2 2 2 2
os 4sin os 4sin ; 2 3sin 2 ; 0
0; 2
2
t c x x t c x x tdt xdx x
x x t
π
= + ⇒ = + ⇔ = =
→ = = → =
Vậy :
2
2 2
2
2 2
0
0 0 1
sin 2 2 1 2 2 4
.
3 3 3 3
os 4sin
x
dx tdt dt t
t
c x x
π
= = = =
÷
+
∫ ∫ ∫
3
2
2
0
osxsin
.
1 sin
c x
o dx
x
π
+
∫
. Đặt :
2 2
1 sin sin 2 ;sin 1; 0 1; 2
2
t x dt xdx x t x t x t
π
= + ⇒ = = − = → = = → =
Vậy :
( )
( )
2
2 2
3 2
2 2
2 2
0 0 1 1
1
1
osxsin 1 sin .sin 2 1 1 1 1 1 ln 2
1 ln
1 sin 2 1 sin 2 2 2 2
t dt
c x x xdx
dx dt t t
x x t t
π π
−
−
= = = − = − =
÷
+ +
∫ ∫ ∫ ∫
6
2 2
0
sin 2
.
2sin os
xdx
p
x c x
π
+
∫
. Đặt :
2 2
5
2sin os sin 2 ; 0 1;
6 4
t x c x dt xdx x t x t
π
= + ⇒ = = → = = → =
Vậy :
5
6 4
5
4
2 2
1
0 1
sin 2 5
ln ln
2sin os 4
xdx dt
t
x c x t
π
= = =
+
∫ ∫
2.Dạng 2.
Bài 2. Tính các tích phân sau bằng phương pháp dổi biến số dạng 2
1
2
2
0
.
1
dx
a
x−
∫
. Đặt :
2 2
1
sin ostdt;x=0 t=0;x= ; 1 1 sin ost
2 6
x t dx c t x t c
π
= ⇒ = → → = − = − =
.( Do
( )
1
6 6
2
6
0
2
0 0 0
ostdt
0;
6 cost 6
1
dx c
t dt t
x
π π
π
π π
∈ ⇔ = = = =
−
∫ ∫ ∫
.
1
3
2
0
.
4
x
b dx
x−
∫
Đặt :
2
2sin 2cos ; 0 0; 1 ; 4 2cos
6
x t dx tdt x t x t x t
π
= ⇒ = = → = = → = − =
( )
( )
( )
3
1
3
6 6 6
6
2 2 3
2
0
0 0 0 0
2sin .2cos
1 2
8 sin sin 8 1 os ost 8 os cos 3 3
2cos 3 3
4
t tdt
x
dx t tdt c t d c c t t
t
x
π π π
π
⇔ = = = − − = − = −
÷
−
∫ ∫ ∫ ∫
2
2 2
1
. 4c x x dx−
∫
.
• Đặt :
2
2sin 2cos ; 1 ; 2 ; 4 2cos
6 2
x t dx tdt x t x t x t
π π
= ⇒ = = → = = → = − =
Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 02403833608
6
CHUYÊN ĐỀ : TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
• Vậy :
( )
2
2 2 2
2
2 2 2 2
1
6
6 6 6
1 2 3
4 4sin .2cos .2cos 4sin 2 2 1 os4t 2 sin 4
2 3 2
x x dx t t tdt tdt c dt t t
π π π
π
π
π π π
π
− = = = − = − = −
÷
∫ ∫ ∫ ∫
3
2
0
.
3
dx
d
x +
∫
• Đặt :
( )
2 2
2
1
3 tan 3 ; 0 0; 3 ; 3 3 1 tan
os 3
x t dx dt x t x t x t
c t
π
= ⇒ = = → = = → = + = +
•
( )
3
3 3
3
2
2 2
0 0 0
0
3 3 3 3
3 3 3 9
os 3 1 tan
dx dt
dt t
x
c t t
π π
π
π
= = = =
÷
÷
+
+
∫ ∫ ∫
( ) ( )
( )
1 1
2 2
2 2
0 0
1 1
. 1
1 2
1 2
dx
e dx I J
x x
x x
= − = −
÷
+ +
+ +
∫ ∫
• Tính :
1
2
0
1
dx
I
x
=
+
∫
. Đặt :
( )
( )
2 2
2
4 4
4
0
2 2
0 0
1
tan ; 0 0, 1 ;1 1 tan
os 4
4
os 1 tan
x t dx dt x t x t x t
c t
dt
J dt dt t
c t t
π π
π
π
π
= ⇒ = = → = = → = + = +
⇒ = = = =
+
∫ ∫
• Tính :
1
2
0
3
dx
J
x
=
+
∫
. Đặt :
2
3 tan 3 . 0 0; 3
os 3
dt
x t dx x t x t
c t
π
= ⇒ = = → = = → =
• Vậy :
( )
1
3 3
3
2
2 2
0 0 0
0
3 3 3 3
3 3 3 9
os 3 1 tan
dx dt
I dt t
x
c t t
π π
π
π
= = = = =
÷
÷
+
+
∫ ∫ ∫
• Do đó : I-J=
3
4 9
π π
−
1
4 2
0
f.
1
xdx
x x+ +
∫
.
• Đặt :
1 1
2
4 2 2
0 0
1 1
2 ; 0 0; 1 1
1 2 1 2
xdx dt
x t dt xdx x t x t I
x x t t
= ⇒ = = → = = → = ⇒ = =
+ + + +
∫ ∫
• Tính :
1
2
2
0
1
1 3
2 2
I dt
t
=
+ +
÷
÷
∫
. Đặt :
2
1 3 3
tan
2 2 2 os
t u dt du
c u
+ = ⇒ =
•
( )
2
2
2
1 3 3
1 tan ; 0 ; 1
2 2 4 6 3
t u t u t u
π π
⇔ + + = + = → = = → =
÷
÷
÷
Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 02403833608
7
CHUYÊN ĐỀ : TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
•
( )
3 3
3
2 2
6
6 6
3 2 3 2 3 3
3
3 3 9
2 os 1 tan
4
I du du u
c u u
π π
π
π
π π
π
= = = =
÷
÷
+
∫ ∫
0
2
1
.
2 2
dx
g
x x
−
+ +
∫
.
• Ta có :
( )
2
2
2
2 2 1 1 1 tan ; 1 0; 0
os 4
dt
x x x x t dx x t x t
c t
π
+ + = + + ⇒ + = → = = − → = = → =
• Vậy :
0
4 4 4
2 2 2
2
2
1 0 0 0
1 1
ost
2 2 os 1 tan
os
1 tan
2
2
dx dt dt
dt
t
t
c
x x c t t
c
π π π
−
= = =
+ + +
−
÷
∫ ∫ ∫ ∫
•
4
4
0
0
tan 1
tan 1
1 1
8
2
2 tan 2ln 2ln 2ln tan 0
2 4
tan 1 tan 1 tan 1 tan 1
2 2 2 8
t
t
d
t t t
π
π
π
π
π
+
+
÷
⇔ − − = = = =
÷
÷
÷
− + − −
∫
2
2
3
1
1
.
x
h dx
x
−
∫
• Đặt :
2
2
1
1 ost ost
2
; 1
sin sin sint
2
4
x t
c c
x dx dt x
t t
x t
π
π
= → =
= ⇒ = − → − =
= → =
.
; sin , ost>0
4 2
t t c
π π
∈ ⇒
• Vậy :
2
2
2 2
2
3
3 2
1
3
4 4
1 ost 1 ost 1 os2t 1 1 2
. . sin 2
sint sin 2 2 2 8
1
sin
x c c c
dx dt dt t t
x t
t
π π
π
π
π π
π
− + +
= − = − = − − =
÷
÷
∫ ∫ ∫
( )
1
3
2
0
.
1
dx
i
x+
∫
• Đặt :
( )
3
2
2 3
0 0
1
tan ; 1
os os
1
4
x t
dt
x t dx x
c t c t
x t
π
= → =
= → = → + =
= → =
•
( )
( )
1
4 4
4
2
0
3
2
0 0 0
3
1 2
. ost sin
1
os 2
1
os
dx dt
c dt t
c t
x
c t
π π
π
⇒ = = = =
+
∫ ∫ ∫
2
3
2
2
.
1
dx
k
x x −
∫
• Đặt :
2
2
2
1 ost ost
6
; ; 1
2
sin sin sint
3
3
x t
c c
x dx dt x
t t
x t
π
π
= → =
= → = − → − =
= → =
Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 02403833608
8
CHUYÊN ĐỀ : TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
• Vậy :
( )
2
3
3 3
3
2
2
6
2
6 6
1 ost
1 ost
sin 3 6 6
1
.
sin sint
dx c
dt dt t
c
t
x x
t
π π
π
π
π π
π π π
= − = − = − = − − = −
÷
−
∫ ∫ ∫
2
2
2
2
0
.
1
x
l dx
x−
∫
.
• Đặt :
2
x=0 t=0
sin ostdt ; 1 ost
2
x=
2 4
x t dx c x c
t
π
→
= ⇒ = ⇔ − =
→ =
• Vậy :
2
2 2
2 4 4
4
2
0
0 0 0
sin 1 os2t 1 1 2
ostdt= sin 2
ost 2 2 2 8
1
x t c
dx c dt t t
c
x
π π
π
π
− −
= = − =
÷
−
∫ ∫ ∫
( )
2 2
2
2
0 0
. 2 1 1m x x x dx x x dx− = − −
∫ ∫
• Đặt :
2
0
1 sin
2
1 sin ; 2 ost
ostdt
2
2
x t
x t
x t x x c
dx c
x t
π
π
= → = −
= +
− = ⇒ ⇔ → − =
=
= → =
•
( ) ( ) ( )
2
2 2
2
2
2 3
0
-
2
2 2
1 os2t 1 1 1 2
1 1 1 sin ost.costdt= os ost sin 2 os
2 2 2 3 3
c
x x dx t c c td c t t c t
π π
π
π
π π
−
−
+
− − = + − + − =
÷ ÷
∫ ∫ ∫
III. PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
Bài 1. Tính các tích phân sau
4
0
. sin 2a x xdx
π
∫
( )
2
2
0
. sin osxdxb x x c
π
+
∫
2
2
0
. osxdxc x c
π
∫
2
4
0
. os xd xc dx
π
∫
3
2
4
. tane x xdx
π
π
∫
( )
1
2
0
. 2
x
f x e dx−
∫
ln 2
0
.
x
g xe dx
∫
1
. ln
e
h x xdx
∫
( )
3
2
2
. lni x x dx−
∫
2
3
0
. sin 5
x
k e xdx
π
∫
2
osx
0
. sin 2
c
l e xdx
π
∫
3
1
. ln
e
m xdx
∫
3 2
1
. ln
e
o x xdx
∫
2
1
ln
.
e
e
x
p dx
x
∫
( )
0
2
3
1
. 1
x
q x e x dx
−
+ +
∫
Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 02403833608
9
CHUYÊN ĐỀ : TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
GIẢI
4
0
. sin 2a x xdx
π
∫
• Đặt :
4 4
4
0
0 0
1 1 1 1
sin 2 os2x os2xdx= sin 2
4
1
2 2 4 4
sin 2 os2x
0
2
u x du dx
x xdx xc c x
dv xdx v c
π π
π
π
= → =
→ = − + =
= → = −
∫ ∫
( )
( )
2 2 2
2 2 3
0 0 0
1 1
. sin osxdx cos sin osxdx=I+ sin 1
2
3 3
0
b x x c x xdx xc x I
π π π
π
+ = + = +
∫ ∫ ∫
Ta có :
( )
2 2 2
0 0 0
cos sinx sin sinxdx= osx 1
2 2
2 2
0 0
I x xdx xd x x c
π π π
π π
π π
= = = − + = −
∫ ∫ ∫
Thay vào (1) :
( )
2
2
0
1 2
sin osxdx 1
2 3 2 3
x x c
π
π π
+ = − + = −
∫
2
2
0
. osxdxc x c
π
∫
( ) ( )
2 2 2 2 2
2 2 2
0 0 0 0 0
2 2
osxdx sinx sinx 2 sin 2 osx 2 cos osxdx
0 0
x c x d x x xdx xd c x x c
π π π π π
π π
= = − = = −
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
[ ]
2
2 2 sinx 2 2 0 4
0
π
π π π
= − = − =
2
4
0
. os xd xc dx
π
∫
• Đặt :
2
1
2 . 0 0;
4 2
2
t x dt dx tdt dx x t x t
x
π π
= → = → = = → = = → =
• Vậy :
( )
2
2 2
4 2 2 2
2 2 2
0 0 0 0
os x 2 ostdt= 2 sin 2 sin 4 sin sin (1)
2
2 2 2
0
xc dx t c t d t t t t tdt J J
π π π π
π
π π π
= = − = − = −
∫ ∫ ∫ ∫
• Tính :
( )
2 2 2
0 0 0
4 sin 4 ost 4 cos ostdt 4 0 sin 4
2 2
0 0
J t tdt td c t t c t
π π π
π π
= = − = − + = − + = −
∫ ∫ ∫
• Vậy thay vào (1) ta có :
2
2
4
0
os x 4
2
xc dx
π
π
= +
∫
Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 02403833608
10
CHUYÊN ĐỀ : TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
3
2
4
. tane x xdx
π
π
∫
• Đặt :
( ) ( )
3 3
2
2
4 4
3
3
tan t anx-x t anx-x (1)
4
tan tanx-x
4
u x du dx
x xdx x dx J
dv xdx v
π π
π π
π
π
π
= → =
→ = − = −
= → =
∫ ∫
• Tính
( )
( )
3 3 3 3
2
4 4 4 4
osx
1
3 3
t anx-x t anxdx- tan
osx 2
4 4
d c
dx xdx x x x
c
π π π π
π π π π
π π
π π
= = − − −
∫ ∫ ∫ ∫
( )
2 2 2
1 1
3
3 ln osx 3 ln 2
4 2 3 4 4 24 2
4
c
π
π π π π π
π π
π
= − − − + = − − +
÷
Vậy thay vào (1) thì :
2
3
2
4
3 1
tan 3 ln 2
4 4 24 2
x xdx
π
π
π π π
π
= − − − +
÷
∫
( ) ( )
( )
( )
1 1 1
2 2 2 2 2 2
0 0 0
1 1
1 1 1 1
. 2 2 2 2
0 0
2 2 2 2
x x x x x
f x e dx x d e x e e dx e e
−
− = − = − − = − −
∫ ∫ ∫
( )
2
2
2 2
1 1 5 1
1 1
2 4 4 2 4
e
e
e e
= − − − = − −
( )
ln 2 ln2 ln 2
0 0 0
ln 2 ln 2
. 2ln 2 2ln 2 2 1 2ln 2 1
0 0
x x x x x
g xe dx xd e xe e dx e= = − = − = − + = −
∫ ∫ ∫
( )
2
2 2 2 2 2
1 1 1
1 1 1 1 1 1
. ln ln ln
1 1
2 2 2 2 4
e e e
e e
e
h x xdx xd x x x x dx e x
x
+
= = − = − =
∫ ∫ ∫
2
3
0
. sin 5
x
k e xdx
π
∫
• Đặt :
3 3
2
3x 3
0
3
1 3 1
os5x.e os5x= (1)
2
1
5 5 5
sin 5 os5x
0
5
x x
x
u e du e
I c e c J
dv xdx v c
π
π
= → =
→ = − + +
= → = −
∫
• Đặt :
3 3
2
3
3 3
2
0
' ' 3
1 3 1
sin 5 sin 5 (2)
2
1
5 5 5
' os5 ' sin5
0
5
x x
x x
u e du e
J e x e xdx e I
dv c xdx v x
π
π
π
= → =
→ = − = −
= → =
∫
• Từ (1) và (2) ta có hệ :
3
2
3
2
1
1
5
10
1
5
I J
e
I
I J e
π
π
− =
+
→ =
+ =
Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 02403833608
11
CHUYÊN ĐỀ : TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
2 2
osx osx
0 0
. sin 2 2 sinx.cosxdx
c c
l e xdx e
π π
=
∫ ∫
• Đặt :
2
osx cosx osx
osx osx
0
osx sinx
2 osx 2 sinxe 2 2 2
2 2
sinx
0 0
c c
c c
u c du dx
I e c dx e e
dv e dx v e
π
π π
= → = −
→ = − − = + =
= → = −
∫
3
1
. ln
e
m xdx
∫
• Đặt :
2
3
3 2
1
3ln
ln
ln 3 ln 3 (1)
1
e
x
e
u x du dx
I x x xdx e J
x
dv dx v x
= → =
→ = − = −
= → =
∫
• Đặt :
2
2
1
2ln
' ln '
ln 2 ln 2 (2)
1
' '
e
x
e
u x du dx
J x x xdx e K
x
dv dx v x
= → =
= − = −
= → =
∫
• Đặt :
1
'' ln ''
ln 1
1 1
'' ''
e
dx
e e
u x u
K x x dx e x
x
dv dx v x
= → =
→ = − = − =
= → =
∫
• Thay các kết quả vào (1) ta có :
( )
3 2.1 6 2I e e e= − − = −
3 2
1
. ln
e
o x xdx
∫
• Đặt :
2
4
4 2 3
3 4
1
2ln
ln
1 1 1
ln ln (1)
1
1
4 2 4 2
4
e
x
u x du dx
e
e
x
I x x x xdx J
dv x dx v x
= → =
→ = − = −
= → =
∫
• Đặt :
( )
4 4 4
4 3 4 4
3 4
1
' ln '
1 1 1 1 1 3 1
ln . 1
1 1
1
4 4 4 4 4 4 16 16
' '
4
e
dx
u x du
e e
e e e
x
J x x x dx x e
dv x dx v x
= → =
+
→ = − = − = − − =
= → =
∫
• Thay các kết quả vào (1) ta có :
4 4 4
1 3 1 1
4 2 16 32
e e e
I
+ −
= − =
÷
2
1
ln
.
e
e
x
p dx
x
∫
• Đặt :
2
1
2
ln
1 1 1 1 2
ln
1 1
1
e
dx
e e
u x du
x
I x dx e
dx
x x e x e
dv v
e e
x x
= → =
→ = − − − = − + − = −
÷
= → = −
∫
( )
0 0 0
2 2
3 3
1 1 1
. 1 1 (1)
x x
q x e x dx xe dx x x dx I K
− − −
+ + = + + = +
∫ ∫ ∫
Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 02403833608
12
CHUYÊN ĐỀ : TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
• Đặt :
( )
0
2
2 2 2
2 2 2
2 2
1
0 0
1 1 1 1 1 1 1 1
1 2
1
1 1
2 2 2 4 2 4 4
2
x x x
x x
u x u dx
e
I xe e dx e
e e e
dv e dx v e
−
= → =
+
→ = − = − − = − − − = −
÷
− −
= → =
∫
• Đặt :
3
3
3
2
1
1 1 ; 1 0; 0 1
3
x t
x t t x x t x t
dx t dt
= −
+ = → = + → = − → = = → =
=
• Vậy :
( ) ( )
1 1
3 2 6 3 7 4
0 0
1
1 1 1 1 9
1 .3 3 3 3
0
7 4 7 4 28
I t t t dt t t dt t t
= − = − = − = − = −
÷ ÷
∫ ∫
IV. TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ CÓ CHỨA DẤU TRỊ TUYỆT ĐỐI
Bài 1. Tính các tích phân sau
2
0
. 2a x dx−
∫
2
3
0
.b x x dx−
∫
2
2
0
. 2 3c x x dx+ −
∫
3
2
3
. 1d x dx
−
−
∫
( )
5
2
. 2 2e x x dx
−
+ − −
∫
3
0
. 2 4
x
f dx−
∫
4
2
1
. 6 9g x x dx− +
∫
3
3 2
0
. 4 4h x x dx− +
∫
1
1
. 4i x dx
−
−
∫
GIẢI
Bài 1.
2
0
. 2a x dx−
∫
. Do :
[ ]
0;2 2 0, 2 2x x x x∈ ⇒ − < ⇔ − = −
• Vậy :
( )
2
2
0
2
1
2 2 4 2 2
0
2
I x dx x x
= − = − = − =
÷
∫
2
3
0
.b x x dx−
∫
. Do :
( )
3 2
( ) 1 0 0, 1; 1f x x x x x x x x= − = − = ↔ = = − =
•
[ ] [ ]
( ) 0 1;2 ; ( ) 0 0;1f x x f x x⇒ > ∀ ∈ < ∀ ∈
• Vậy :
( ) ( )
2
1 2
3 3 2 4 4
0 1
1 2
1 1 1 1 5
0 1
2 4 4 2 2
I x x dx x x dx x x x
= − + − = − + − =
÷
÷
∫ ∫
2
2
0
. 2 3c x x dx+ −
∫
. Vì :
[ ] [ ]
2
( ) 2 3 0 1, 3 ( ) 0 1;2 ; ( ) 0 0;1f x x x x x f x x f x x= + − = → = = − ⇒ > ∀ ∈ < ∀ ∈
( ) ( )
1 2 1 2
2 2
0 1 0 1
( ) ( ) 3 2 2 3I f x dx f x dx x x dx x x dx⇒ = − + = − − + + −
∫ ∫ ∫ ∫
2 3 3 2
1 2
1 1 1 8 1
3 3 3 1 4 6 1 3 5
0 1
3 3 3 3 3
x x x x x x
= − − + + − = − − + + − − + − =
÷ ÷ ÷ ÷ ÷
Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 02403833608
13
CHUYÊN ĐỀ : TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
3
2
3
. 1d x dx
−
−
∫
.
- Vì :
[ ] [ ] [ ]
2
( ) 1 0 1; 1 ( ) 0 3; 1 1;3 ; ( ) 0 1;1f x x x x f x x f x x= − = → = − = ⇒ > ∀ ∈ − − ∪ < ∀ ∈ −
- Vậy :
( ) ( ) ( )
1 1 3
2 2 2 3 3 3
3 1 1
1 1 3
1 1 1
1 1 1
3 1 1
3 3 3
I x dx x dx x dx x x x x x x
−
− −
−
= − + − + − = − + − + − =
÷ ÷ ÷
− −
∫ ∫ ∫
20 4 16 40
3 3 3 3
I⇒ = + + =
( )
5
2
. 2 2e x x dx
−
+ − −
∫
.
- Lập bảng xét dấu :
[ ] [ ]
( ) 4 2;2 ; ( ) 2 2;5f x x f x x x= ∀ ∈ − = ∀ ∈
-Vậy :
5 2 5
2
2 2 2
2 5
( ) 4 2 4 16 32 4 44
2 2
f x dx dx xdx x x
− −
= + ¬ = + = + − =
−
∫ ∫ ∫
3
0
. 2 4
x
f dx−
∫
- Nhận xét :
[ ] [ ]
2 4 0 2. ( ) 0 2;3 ; ( ) 0 0;2
x
x f x x f x x− > ⇔ > ⇒ > ∀ ∈ < ∀ ∈
- Vậy :
( ) ( )
2 3
0 2
2 3
1 1 3 4 1
4 2 2 4 4 2 2 4 8 4 4
0 2
ln 2 ln 2 ln 2 ln 2 ln 2
x x x x
I dx dx x x
= − + − = − + − = − + − = +
÷ ÷ ÷ ÷
∫ ∫
4 4
2
1 1
. 6 9 3g x x dx x dx− + = −
∫ ∫
- Ta có :
[ ] [ ]
3 0 3;4 ; 3 0 1;3x x x x− > ∀ ∈ − < ∀ ∈
-Vậy :
( ) ( )
3 4
2 2
1 3
3 4
1 1 1 5
3 3 3 3 2
1 3
2 2 2 2
I x dx x sx x x x x
= − + − = − + − = + =
÷ ÷
∫ ∫
3 3
3 2
0 0
. 4 4 2h x x xdx x xdx− + = −
∫ ∫
-Vì :
[ ] [ ]
( ) 0 2;3 ; ( ), 0 0;2f x x f x x> ∀ ∈ < ∀ ∈
-
( ) ( )
2 3
0 2
2 2I x xdx x xdx⇒ = − + − =
∫ ∫
( ) ( )
( )
2 2 4
2
4 2
2 2 4 2
0 0; 2 2
2 ; ( )
2 4
3 3
t t tdt t t dt
x t x t
t x t x dx tdt f x dx
t t dt
x t
− = −
= → = = → =
= → = ⇔ = ⇒ =
−
= → =
- Vậy :
( ) ( )
2 3
2 4 4 2 2 5 5 2
0
2
3
2 2 18 3 16 2
2
4 2 2 4 2 2 2
5 5 5 5
0
2
I t t dt t t dt t t t t
= − + − = − + − = − +
÷ ÷
∫ ∫
1 0 1
1 1 0
. 4 4 4 (1)i x dx xdx xdx J K
− −
− = + + − = +
∫ ∫ ∫
- Tính :
0
1
4 ;J xdx
−
= +
∫
Đặt :
2
4 4 , 2 ; 1 3, 0 2t x t x dx tdt x t x t= + → = + ↔ = = − → = = → =
Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 02403833608
14
CHUYÊN ĐỀ : TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
- Vậy :
2 2
2 3
3 3
0
1
.2 2 2 2 3
3
3
J t tdt t dt t= = = = −
∫ ∫
.
- Tính :
1
0
4K xdx= −
∫
. Đặt :
2
4 4 2 . 1 3; 0 2.t x t x tdt dx x t x t= − → = − ⇔ = − = → = = → =
Vậy :
3 2
2 3
2
3
2
2 16
.2 2 3
3 3
3
K t tdt t dt t= − = = = −
∫ ∫
Do đó :
16 16
2 3 3 3 3
3 3
I J K= + = − + − = −
Bài 2. Tính các tích phân sau
2
0
. 1 os2xa c dx
π
−
∫
0
. 1 sin 2b xdx
π
−
∫
2
2
. sinxc dx
π
π
−
∫
. 1 sinxd dx
π
π
−
−
∫
2
0
. 1 os2xe c dx
π
+
∫
0
. 1 os2xf c dx
π
+
∫
3
2 2
6
. tan cot 2g x x dx
π
π
+ −
∫
3
3
2
. osx cosx-cosh c xdx
π
π
−
∫
2
0
. 1 sinxi dx
π
+
∫
GIẢI
Bài 2.
2 2 2
2
0 0 0
. 1 os2x 2sin 2 sinxa c dx xdx dx
π π π
− = =
∫ ∫ ∫
-Do :
[ ] [ ]
0; sinx>0. sinx =sinx ;x ;2 sinx<0 sinx =-sinxx
π π π
∈ → ⇒ ∈ → ⇒
Vậy :
( )
2
0
2
2 sinxdx+ sinxdx 2 osx osx 2 1 1 1 1 4 2
0
I c c
π π
π
π π
π
= − = − + = + + + =
÷
÷
÷
∫ ∫
( )
2
0 0 0 0
. 1 sin 2 osx-sinx osx-sinx 2 os x+
4
b xdx c dx c dx c dx
π π π π
π
− = = =
÷
∫ ∫ ∫ ∫
Do :
cos 0 . cos 0 0
4 4 2 4 4 4 2 4
x x x x x k x
π π π π π π π π
π π
+ > ⇔ + > → > > + < ⇔ + < + → < <
÷ ÷
4
0
4
2 os x+ os x+ 2 sin sin x+ 2 2
4
4 4 4 4
0
4
I c c dx x
π
π
π
π π
π π π π
π
⇔ = − + = − + + = −
÷ ÷ ÷ ÷
∫ ∫
2
2
. sinxc dx
π
π
−
∫
Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 02403833608
15
CHUYÊN ĐỀ : TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
- Do :
sinx<0 x - ;0 ;sinx>0 x 0;
2 2
π π
⇔ ∈ ⇔ ∈
- Vậy :
( )
0
2
0
2
0
sinxdx+ sinxdx=cosx osx 1 0 0 1 2
2
-
0
2
I c
π
π
π
π
−
= − − = − − − =
∫ ∫
. 1 sinxd dx
π
π
−
−
∫
Vì :
2
x x
1 sinx= cos -sin 1 sinx 2 os
2 2 2 4
x
c
π
− ⇒ − = +
÷ ÷
Mặt khác :
x
os 0 ; 2
2 4 2 4 2 2 4 2
x x
c k k x k
π π π π π
π π π
+ > ⇔ + > + ⇒ > + ⇔ > +
÷
Vậy :
2
2
x x
2 os 2 os 2 2 sin 2 2 sin 4 2
2
2 4 2 4 2 4 2 4
2
x x
I c dx c dx
π
π
π
π
π π
π π π π
π
π
−
= − + + + = − + + + = −
÷ ÷ ÷ ÷
−
∫ ∫
2
0
. 1 os2xe c dx
π
+
∫
Vì :
2
1 os2x=2cos 1 os2x 2 osx ;c x c c+ ⇒ + =
Do đó :
3
2
2 2
0
3
2 2
2
3
2
2 osxdx+ 2 osxdx+ 2 osxdx= 2 sinx sinx sinx 4 2
2
3
0
2
2
I c c c
π π
π
π π
π
π π
π
π
⇒ = − − + =
∫ ∫ ∫
2
0 0
2
. 1 os2x 2 osxdx- osxdx 2 sinx sinx 2 2
2
0
2
f c dx c c
π
π π
π
π π
π
÷
÷
+ = = − =
÷
÷
÷
÷
∫ ∫ ∫
3
2 2
6
. tan cot 2g x x dx
π
π
+ −
∫
- Vì :
2
2 2 2 2
2
4cos 2 os2x
tan cot 2 tan cot 2 2 ; ; 2 ;2
sin 2 sin2x 6 3 3 3
x c
x x x x x x
x
π π π π
+ − = ⇒ + − = ∈ ⇒ ∈
3
4
6 4
2cos2 2cos 2 3
4 3
ln sin 2 ln sin 2 ln ln 3 2ln 2
sin 2 sin 2 4
6
4
x x
I dx dx x x
x x
π
π
π π
π π
π
π
÷
⇒ = − = = − = = −
÷
÷
∫ ∫
3
3
2
. osx cosx-cosh c xdx
π
π
−
∫
Vì :
( )
3 2 2 3
cos os osx 1-cos osxsin cos os sinx osxx c x c x c x x c x c− = = ⇒ − =
Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 02403833608
16
CHUYÊN ĐỀ : TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
0
2
0
2
sinxcosx cosx sinxcosx cosxI dx dx J K
π
π
−
⇒ = − + = +
∫ ∫
* Tính J: Đặt :
2
osx osx 2tdt=-sinxdx
x=- 0; 0 1; 0
2 2
t c t c
t x t x t
π π
= → = ⇒
→ = = → = = → =
Do đó :
1 1
2 4 5
0 0
1
2 2
.2 2
0
5 5
J t t tdt t dt t= = = =
∫ ∫
* Tính K. Giống như trên ,ta có :
0 1
5 5 5
1 0
1
2 2
2 2 0
0
5 5
K t dt t dt t I J K= = − = − = − ⇒ = + =
∫ ∫
V. TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ HỮU TỶ
* Trước khi làm bài tập , tổng hợp cho HS các phương pháp phân tích đã hướng dẫn .
Bài 1. Tính các tích phân sau
3
3
1
.
dx
a
x x+
∫
1
2
0
.
5 6
dx
b
x x− +
∫
3
3
2
0
.
2 1
x dx
c
x x+ +
∫
( )
1
3
0
.
1 2
x
d dx
x+
∫
( )
3
2
9
2
.
1
x dx
e
x−
∫
( )
4
2
1
.
1
dx
f
x x+
∫
( )
4
2
.
1
dx
g
x x −
∫
( )
1
2
0
4 11
.
5 6
x dx
h
x x
+
+ +
∫
1
3
0
1
.
1
x x
i dx
x
+ +
+
∫
0
3 2
2
1
2 6 9 9
.
3 2
x x x
k dx
x x
−
− + +
− +
∫
3
2
3
2
3 3 3
.
3 2
x x
l dx
x x
+ +
− +
∫
( )
1
2
3
0
.
3 1
x
m dx
x +
∫
GIẢI
3
3
1
.
dx
a
x x+
∫
• Phân tích :
( )
( )
( )
2
3 2
2 2
1 1
( )
1
1 1
A B x Cx A
A Bx C
f x
x x x x
x x x x
+ + +
+
= = = + =
+ +
+ +
• Đồng nhất hệ số hai tử số ta có :
2
0 1
1
0 1 ( )
1
1 0
A B A
x
C B f x
x x
A C
+ = =
= ⇒ = − ⇔ = −
+
= =
•
( )
3 3
2
2
1 1
1 1 ln 3 ln 2
3
( ) ln ln 1
1 2 2
1
x
f x dx dx x x
x x
−
⇔ = − = − + =
÷ ÷
+
∫ ∫
Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 02403833608
17
CHUYÊN ĐỀ : TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
1
2
0
.
5 6
dx
b
x x− +
∫
• Phân tích :
( ) ( )
2
1 1 1 1
( )
5 6 2 3 3 2
f x
x x x x x x
= = = −
− + − − − −
• Vậy :
( )
1 1
0 0
1
1 1
( ) ln 3 ln 2 2ln 2 ln3
0
3 2
f x dx dx x x
x x
= − = − − − = −
÷
− −
∫ ∫
3
3
2
0
.
2 1
x dx
c
x x+ +
∫
.
• Phân tích :
( )
3
2
2 2 2
5 2 5 2 2 3
( ) 2 2
2 1 2 1 2 2 1
1
x x x
f x x x
x x x x x x
x
+ +
= = − + = − + −
÷
+ + + + + +
+
• Vậy :
( )
3 3
2
2
0 0
5 2 2 3
( ) 2
2 2 1
1
x
I f x dx x dx
x x
x
+
= = − + −
÷
÷
÷
+ +
+
∫ ∫
•
( )
2
2
3
1 5 3 3
2 ln 1 10ln 2
0
2 2 1 4
x x x
x
⇔= − + + + = − −
+
( )
1
3
0
.
1 2
x
d dx
x+
∫
.
• Phân tích :
( ) ( ) ( )
( )
( )
2
3 3 2 3
4 2 4
( )
1 2
1 2 1 2 1 2 1 2
Cx B C x A B C
x A B C
f x
x
x x x x
+ + + + +
= = + + =
+
+ + + +
• Đồng nhất hệ số hai tử số :
( ) ( )
3 2
1
2
4 0
1 1 1
2 4 1 ( )
2
2 1 2 2 1 2
0
0
A
C
B C B f x
x x
A B C
C
= −
=
+ = ⇔ = ⇒ = − +
+ +
+ + =
=
• Vậy :
( ) ( ) ( )
1 1
3 2 2
0 0
1
1 1 1 1 1
( )
0
2(1 2 9
2 1 2 2 1 2 4 1 2
I f x dx dx
x
x x x
= = − + = − =
÷ ÷
÷ ÷
+
+ + +
∫ ∫
( )
3
2
9
2
.
1
x dx
e
x−
∫
.
• Phân tích :
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
2
2
9 9 9 8 9 8
1 1
2 1
1 1 1
( )
1 1 1 1 1 1
x
x
x x
f x
x x x x x x
− −
− −
+
= = = − = −
− − − − − −
• Vậy :
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3 3
9 8 7 8 7 6
2 2
3
1 2 1 1 2 1
( )
2
1 1 1 8 1 7 1 6 1
I f x dx dx
x x x x x x
= = − + = + − =
÷ ÷
÷ ÷
− − − − − −
∫ ∫
( )
4
2
1
.
1
dx
f
x x+
∫
.
• Phân tích :
( )
( ) ( )
( )
2
2 2 2
1 Ax+B
( )
1 x 1 1
A C x A B x B
C
f x
x x x x x
+ + + +
= = + =
+ + +
Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 02403833608
18
CHUYÊN ĐỀ : TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
• Đồng nhất hệ số hai tử số :
2 2
0 1
1 1 1 1 1
0 1 ( )
1 1
1 1
A C A
x
A B B f x
x x x x x
B C
+ = = −
− +
+ = ⇒ = ⇔ = + = − + +
+ +
= =
• Vậy :
4 4
2
1 1
4
1 1 1 1 3
( ) ln ln 1 ln5 3ln 2
1
1 4
I f x dx dx x x
x x x x
= = − + + = − − + + = − +
÷ ÷
+
∫ ∫
( )
4 4
2 2
4
1 1 1 3
. ln ln ln 3 ln 2
2
1 1 2
dx x
g dx
x x x x x
−
= − = = = −
÷
− −
∫ ∫
( )
1
2
0
4 11
.
5 6
x dx
h
x x
+
+ +
∫
.
• Phân tích :
( )
( ) ( )
2 2 2
2 2 5 1
4 11 2 5 1
( ) 2
5 6 5 6 5 6 2 3
x
x x
f x
x x x x x x x x
+ +
+ +
= = = +
+ + + + + + + +
• Vậy :
1 1
2
2
0 0
1
2 5 1 1 2 1
( ) 2 2ln 5 6 ln ln 2
0
5 6 2 3 3 2
x x
I f x dx dx x x
x x x x x
+ +
= = + − = + + + =
÷
+ + + + +
∫ ∫
1
3
0
1
.
1
x x
i dx
x
+ +
+
∫
.
• Phân tích :
( ) ( ) ( )
3
2 2 2
1 1 1
( ) 1 1 1 2
1 1 1 1
x x x
f x x x x x x x
x x x x
+ +
= = − + + = − + + − = − + −
+ + + +
• Vậy :
1 1
2 3 2
0 0
1
1 1 1 11
( ) 2 2 ln 1 ln 2
0
1 3 2 6
I f x dx x x dx x x x x
x
= = − + − = − + − + = −
÷ ÷
+
∫ ∫
0
3 2
2
1
2 6 9 9
.
3 2
x x x
k dx
x x
−
− + +
− +
∫
.
• Phân tích : f(x)=
( ) ( )
3 2
2 2
2 6 9 9 5 9 5 9
2 2
3 2 3 2 1 2
x x x x x
x x
x x x x x x
− + + + +
= + = +
− + − + − −
• Phân tích :
( ) ( )
( )
( ) ( )
2
5 9
1 2 1 2 1 2
A B x B A
x A B
x x x x x x
+ − −
+
= + =
− − − − − −
• Đồng nhất hệ số hai tử số :
5 14
19 14
( ) 2
2 9 19
2 1
A B A
f x x
B A B
x x
+ = = −
⇔ ⇒ = + −
− − = =
− −
• Vậy :
( )
0 0
2
1 1
0
19 14
( ) 2 19ln 2 14ln 1 32ln 2 19ln 3 1
1
2 1
I f x dx x dx x x x
x x
− −
= = + − = + − − − = + −
÷
−
− −
∫ ∫
3
2
3
2
3 3 3
.
3 2
x x
l dx
x x
+ +
− +
∫
.
• Phân tích :
( ) ( ) ( )
( )
2 2
2 2
3
3 3 3 3 3 3
( )
3 2 1 2
1 2 1
x x x x A B C
f x
x x x x
x x x
+ + + +
= = = + + =
− + − +
− + −
•
( ) ( )
( ) ( )
2
2
2 2 2
1 2
B C x B C A x A B C
x x
+ + − + + − +
− +
. Đồng nhất hệ số hai tử số ta có :
Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 02403833608
19
CHUYÊN ĐỀ : TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
•
( )
( )
2
3 3
3 2 1
2 3 2 ( )
1 2
1
2 2 3 1
B C A
A B C B f x
x x
x
A B C C
+ = =
+ − = ⇔ = ⇒ = + +
− +
−
− + = =
• Vậy :
( )
( )
3 3
2
2 2
3
3 2 1 3 3
( ) 2ln 1 ln 2 ln5
2
1 2 1 2
1
I f x dx dx x x
x x x
x
= = + + = − + − + + = +
÷
÷
÷
− + −
−
∫ ∫
( )
1
2
3
0
.
3 1
x
m dx
x +
∫
.
• Phân tích :
( ) ( ) ( )
2
3 3 2
( )
3 1
3 1 3 1 3 1
x A B C
f x
x
x x x
= = + + =
+
+ + +
•
( )
( )
2
3
9 3 6
3 1
Cx B C x A B C
x
+ + + + +
+
. Đồng nhất hệ số hai tử số :
•
( ) ( )
( )
3 2
1
9
9 1
2 1 2 1
3 6 0 ( )
9 9 3 1
9 3 1 9 3 1
0
1
9
A
C
B C B f x
x
x x
A B C
C
=
=
+ = ⇔ = − ⇒ = − +
+
+ +
+ + =
=
• Vậy :
( ) ( )
( )
1 1
3 2
0 0
1 2 1
( )
9 3 1
9 3 1 9 3 1
I f x dx dx
x
x x
= = − +
÷
÷
+
+ +
∫ ∫
•
( )
( )
2
1
1 3 2 3 1 2 1
ln 3 1 ln 2
0
18 9 3 1 9 9 96
3 1
x
x
x
= − + + + = −
÷
÷
+
+
Bài 2. Tính các tích phân sau :
2
2
0
1
.
2 2
a dx
x x− +
∫
( )
2
3
2
0
3 2
.
1
x
b dx
x
+
+
∫
2
3 2
2
0
2 4 9
.
4
x x x
c dx
x
+ + +
+
∫
( ) ( )
1
2 2
0
1
.
2 3
d dx
x x+ +
∫
1
3
2
0
1
.
1
x x
e dx
x
+ +
+
∫
1
4
0
.
1
x
f dx
x +
∫
( )
2
4
1
1
.
1
g dx
x x+
∫
( )
2
2008
2008
1
1
.
1
x
h dx
x x
−
+
∫
( )
3
4
2
2
2
.
1
x
i dx
x −
∫
2
2
0
1
.
4
k dx
x+
∫
2
2
4
1
1
.
1
x
l dx
x
−
+
∫
1
4
2
0
2
.
1
x
m dx
x
−
+
∫
GIẢI
2
2
0
1
.
2 2
a dx
x x− +
∫
Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 02403833608
20
CHUYÊN ĐỀ : TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
• Phân tích :
( )
2
2
2
1
1 1
os
( ) 1 tan
2 2
1 1
0 , 2
4 4
dx dt
c t
f x x t
x x
x
x t x t
π π
=
= = ⇒ − = →
− +
− +
= → = − = → =
• Vậy :
( )
2
4 4
2 2
0
4 4
4
( )
2
os 1 tan
4
dt
I f x dx dt t
c t t
π π
π π
π
π
π
− −
= = = = =
+
−
∫ ∫ ∫
( )
2
3
2
0
3 2
.
1
x
b dx
x
+
+
∫
.
• Phân tích :
2
2 2
3 2 1
( ) 3
1 1
x
f x
x x
+
= = −
+ +
• Vậy :
3 3 3
2
0 0 0
3
( ) 3 3 3 3 (1)
1
0
dx
I f x dx dx x J J
x
= = − = − = −
+
∫ ∫ ∫
• Tính :
3
2
0
1
dx
J
x
=
+
∫
. Đặt :
2
1
os
tan
0 0, 3
3
dx dt
c t
x t
x t x t
π
=
= ⇒
= → = = → =
• Do đó :
( )
3
3 3
2
2 2
0 0 0
1
3 3
3
1 3 3
os 1 tan
0
dx
J dt dt t I
x
c t t
π π
π
π π
= = = = = ⇒ = −
+
+
∫ ∫ ∫
2
3 2
2
0
2 4 9
.
4
x x x
c dx
x
+ + +
+
∫
.
• Phân tích :
3 2
2 2
2 4 9 1
( ) 2
4 4
x x x
f x x
x x
+ + +
= = + +
+ +
• Vậy :
2 2
2
2
0 0
2
1 1
( ) 2 2 6 (1)
0
4 2
I f x dx x dx x x J J
x
= = + + = + + = +
÷ ÷
+
∫ ∫
• Tính :
2
2
0
1
4
J dx
x
=
+
∫
. Đặt :
2
2
os
2 tan
0 0, 2
4
dx dt
c t
x t
x t x t
π
=
= ⇒
= → = = → =
•
( )
4 4
2 2
0 0
1 1 1
4
4 4 16
os .4 1 tan
0
J dt dt t
c t t
π π
π
π
⇒ = = = =
+
∫ ∫
. Thay vào (1) :
6
16
I
π
= +
( ) ( )
1
2 2
0
1
.
2 3
d dx
x x+ +
∫
.
• Phân tích :
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2
3 2
1 1 1
( )
2 3 2 3 3 2 2 3
x x
f x J K
x x x x x x x x
+ − +
= = = − = −
+ + + + + + + +
Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 02403833608
21
CHUYÊN ĐỀ : TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
• Tính :
( ) ( )
2
1
3 2
J
x x
=
+ +
. Phân tích :
( ) ( ) ( )
2 2
1
3 2
3 2 2
A B C
x x
x x x
= + +
+ +
+ + +
•
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2
2 2 2
4 5 4 6 3
1
( )
3 2
3 2 2 3 2
A B x A B C x A B C
A B C
g x
x x
x x x x x
+ + + + + + +
= = + + =
+ +
+ + + + +
• Đồng nhất hệ số hai tử số :
( )
2
0 1
1 1 1
4 5 0 1 ( )
3 2
2
4 6 3 1 1
A B A
A B C B g x
x x
x
A B C C
+ = =
+ + = ⇔ = − ⇒ = − +
+ +
+
+ + = =
• Vậy :
( )
1 1
2
0 0
1
1 1 1 1 2
( ) ln 3 ln 2 3ln 2 2ln 3
0
3 2 2 3
2
J g x dx dx x x
x x x
x
= = − + = + − + − = − −
÷
÷
÷
+ + +
+
∫ ∫
Tính :
( ) ( )
1
2
0
1
2 3
K dx
x x
=
+ +
∫
• Phân tích :
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
2
2 2 2
6 5 9 6 2
1
( )
2 3
2 3 3 2 3
A B x A B C c A B C
A B C
h x
x x
x x x x x
+ + + + + + +
= = + + =
+ +
+ + + + +
• Đồng nhất hệ số hai tử số :
( )
( )
2
0 1
1 1 1
6 5 0 1 ( )
2 3
3
9 6 2 1 1
A B A
A B C B h x
x x
x
A B C C
+ = =
+ + = ⇔ = − ⇒ = − −
+ +
+
+ + = = −
•
( )
( )
1 1
2
0 0
1
1 1 1 1 1
( ) ln 2 ln 3 2ln 3 3ln 2
0
2 3 3 12
3
K h x dx dx x x
x x x
x
= = − − = + − + + = − −
÷
÷
÷
+ + +
+
∫ ∫
Do đó : I=
2
3ln 2 2ln 3
3
− −
-(
1
2ln3 3ln 2
12
− −
)=
7
12
−
1
3
2
0
1
.
1
x x
e dx
x
+ +
+
∫
.
• Phân tích :
3
2 2
1 1
( )
1 1
x x
f x x
x x
+ +
= = +
+ +
• Do đó :
1 1
2
2
0 0
1
1 1 1
( ) (1)
0
1 2 2
I f x dx x dx x J J
x
= = + = − = −
÷
+
∫ ∫
• Tính :
1
2
0
1
dx
J
x
=
+
∫
. Đặt :
2
1
os
tan
0 0, 1
4
dx dt
c t
x t
x t x t
π
=
= ⇒
= → = = → =
• Do đó :
( )
1
4 4
2
2 2
0 0 0
1 1
4
1 4 2 3
os 1 tan
0
dx
J dt dt t I
x
c t t
π π
π
π π
= = = = = ⇒ = −
+
+
∫ ∫ ∫
Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 02403833608
22
CHUYÊN ĐỀ : TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
1
4
0
.
1
x
f dx
x +
∫
.
• Đặt :
2
2
1
2cos
tan
0 0; 1
4
xdx dt
t
x t
x t x t
π
=
= ⇒
= → = = → =
• Vậy :
( )
1
4 4
4
2 2
0 0 0
1 1 1
4
1 2 2 8
2cos 1 tan
0
x
dx dt dt t
x
t t
π π
π
π
= = = =
+
+
∫ ∫ ∫
( )
2
4
1
1
.
1
g dx
x x+
∫
.
• Phân tích :
( ) ( )
( )
( )
4
3
4 4 4 4 4
1
1 1
( )
4
1 1 1
d x
x dx
f x dx dx
x x x x x x
+
= = =
+ + +
• Do đó : Đặt :
( )
3
4
4
1 ( )
4 1
1 2, 2 5
dt x dx
dt
t x f x dx
t t
x t x t
=
= + ⇒ ⇔ =
−
= → = = → =
•
( )
2 5 5
1 2 2
5
1 1 1 1 1 3ln 2 ln5
( ) ln
2
4 1 4 1 4 4
dt t
I f x dx dt
t t t t t
− −
⇒ = = = − = =
÷
÷
− −
∫ ∫ ∫
( )
2
2008
2008
1
1
.
1
x
h dx
x x
−
+
∫
.
• Phân tích :
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2008 2008 2007 2007
2008 2008 2008 2008 2008 2008
1 1
( )
1 1 1 1 1
x x x x
f x
x x x x x x x x x
−
= = − = −
+ + + + +
• Vậy :
( )
2 2 2
2007 2007 2007
2008
2008 2008
2008 2008
1 1 1
2
1 1
ln 1
1
1 2007 1 2007
1
x x x
I dx dx J dx J x
x x
x x
= − = − = = − + =
+ +
+
∫ ∫ ∫
Tính :
( )
2
2007
2008 2008
1
1
x
J dx
x x
=
+
∫
• Đặt :
( )
2007
2008
8
2008
1 1 1 1
( )
2008 1 2008 1
1 1, 2 2
dt x dx
dt
t x f x dx dt
t t t t
x t x t
=
= ⇒ ⇔ = = −
÷
+ +
= → = = → =
• Vậy :
( )
8
8
2
8
1
9ln 2 ln 1 2
2
1 1 1 1
ln
2008 1 2008 1 2008
1
t
J dt
t t t
− +
= − = =
÷
÷
+ +
∫
Cho nên :
( ) ( )
8 8
9ln 2 ln 1 2 ln 1 2 ln 2
2008 2007
I
− + + +
= −
( )
3
4
2
2
2
.
1
x
i dx
x −
∫
• Phân tích :
( ) ( ) ( )
4 4 2
2 2 2
2 2
2 2 2
2
2
1 1 1 1 2 1
( ) 1
1
1 1
1 1 1
1
x x x
f x J K
x x
x x x
x
x
− + +
= = = + = + + = +
− −
− − −
−
÷
Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 02403833608
23
CHUYÊN ĐỀ : TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
Tính
3
2
3
1 1 1
1 ln 1 ln 2 ln 3
2
1 1 1
x
J dx x
x x x
−
= + − = + = + +
÷
÷
− + +
∫
Tính :
( )
3
2
2
2
1
1
K dx
x
=
−
∫
• Phân tích :
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
2 2 2 2 2
2
1 1 1 1 1 1
( ) ( ) ( )
2 2
1 1 1 1 1 1
1
g x h x p x
x x x x x x
x
= = = − = −
− + + − − +
−
•
( )
( ) ( )
( ) ( )
2
2 2
2
( )
1 1
1 1 1
A B x C A x A C B
A B C
h x
x x
x x x
+ + − + + −
= + + =
+ −
− + −
• Đồng nhất hệ số hai tử số :
( ) ( )
( )
2
1
4
0
1 1 1 1
2 0 ( )
4 4 1 4 1
2 1
1
1
2
A
A B
C A B h x
x x
x
A C B
C
=
+ =
− = ⇒ = − ↔ = − +
+ −
−
+ − =
=
• Vậy :
( ) ( )
( )
( )
3 3
2
2 2
3
1 1 1 1 1 1 1
( ) ln 1 ln 1
2
4 1 4 1 4 4 2 1
2 1
h x dx dx x x
x x x
x
= − + = + − − − =
+ − −
−
∫ ∫
Cho nên :
3
2
ln 2 ln3 1
( )
4
h x dx
− +
=
∫
•
( )
( ) ( )
( ) ( )
2
2 2
2
( )
1 1
1 1 1
A B x C A x A C B
A B C
p x
x x
x x x
+ + + + − −
= + + =
+ −
+ + −
• Đồng nhất hệ số hai tử số :
( ) ( )
( )
2
1
4
0
1 1 1 1
2 0 ( )
4 4 1 4 1
2 1
1
1
2
A
A B
C A B h x
x x
x
A C B
C
=
+ =
+ = ⇒ = − ↔ = − −
+ −
+
− − =
= −
•
( ) ( )
( )
( )
3 3
2
2 2
3
1 1 1 1 1 1 1
( ) ln 1 ln 1
2
4 1 4 1 4 4 2 1
2 1
p x dx dx x x
x x x
x
= − − = + − − + =
+ − +
+
∫ ∫
Cho nên :
3
2
ln 2 ln3 1
( )
4 12
p x dx
−
= −
∫
Vậy :
1 ln 2 ln 3 1 ln 2 ln 3 1 1
2 4 4 12 3
I
− + −
= − − =
÷
÷
2
2
0
1
.
4
k dx
x+
∫
Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 02403833608
24
CHUYÊN ĐỀ : TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
• Đặt :
( )
2
2 2
1
2
2 1
os
2 tan ( )
2
os .4 1 tan
0 0, 2
4
dx dt
dt
c t
x t f x dx dt
c t t
x t x t
π
=
= → ⇒ = =
+
= → = = → =
• Vậy :
2
4
0 0
1 1
( )
4
2 2 8
0
I f x dx dt
π
π
π
= = = =
∫ ∫
2
2
4
1
1
.
1
x
l dx
x
−
+
∫
• Phân tích :
2
2
4
2
2
1
1
1
( )
1
1
dx
x
x
f x dx dx
x
x
x
−
÷
−
= =
+
+
÷
• Đặt :
2 2
2 2
2
1 1
1 ; 2
1 1 1 1
( )
2
2 2 2 2
5
1 2, 2
2
dt dx t x
dt
x x
t x f x dx dt
x t
t t
x t x t
= − = + +
÷
= + ⇒ ⇔ = = −
÷
−
− +
= → = = → =
• Vậy :
5
2
2
5
1 1 1 1 2 1 6 2
ln ln
2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 6 2
2
t
I dt
t t t
− +
= − = =
÷
÷
÷
÷
÷
− + + −
∫
1
4
2
0
2
.
1
x
m dx
x
−
+
∫
• Phân tích :
4 4
2
2 2 2
2 1 1 1
( ) 1
1 1 1
x x
f x x
x x x
− + −
= = = + −
+ + +
• Vậy :
( )
1 1
2 3
2
0 0
1
1 1 2
1
0
1 3 3
I dx x dx J x x J
x
= + − = + − = +
÷
+
∫ ∫
• Tính :
1
2
0
1
dx
J
x
=
+
∫
. Đặt :
2
1
os
tan
0 0, 1
4
dx dt
c t
x t
x t x t
π
=
= ⇒
= → = = → =
• Do đó :
( )
1
4 4
2
2 2
0 0 0
1 2
4
1 4 4 3
os 1 tan
0
dx
J dt dt t I
x
c t t
π π
π
π π
= = = = = ⇒ = +
+
+
∫ ∫ ∫
VI. TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
* Nhắc nhở học sinh :
• Thuộc công thức lượng giác : Công thức cộng góc ,nhân đôi ,nhân ba ,hạ bậc
Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 02403833608
25
