tài liệu LÝ THUYẾT ỨNG SUẤT

CHƯƠNG 1: LÝ THUYẾT ỨNG
SUẤT
KHOA KỸ THUẬT XD-
TRƯỜNG ĐHBK-ĐHQG HCM
PGS. TS.
BUI CONG THANH
PGS TS Bui Cong Thanh
I. GiỚI THIỆU CHUNG
dA
dV
r
fdV
 Lực thể tích–Lực bề mặt
 Lực thể tích: lực trên đơn
vị thể tích - N/m
3
Ex: Lực trọng trường, lực
quán tính
 Lực bề mặt: tác dụng
trên một đơn vị bề mặt -
N/m
2
pdA
r
PGS TS Bui Cong Thanh
I. GIỚI THIỆU CHUNG (tt)
P
1
P
2
P

4
P
5
(A)
(B)
P
1
(A)
P
2
 Nội lực
PGS TS Bui Cong Thanh
I. GIỚI THIỆU CHUNG (tt)
ΔA 0
F dF
p
A dA
lim


 

uuur uur
r

i
p ou p
 Vectơ ứng suất tại 1 điểm
 Ký hiệu:


Các thành phần ứng suất:
 Ứng suất pháp : 
Ứng suất tiếp : 

P
1
(A)
P
2
r
p
PGS TS Bui Cong Thanh
I. GIỚI THIỆU CHUNG (tt)
 Xác định hệ trục tọa độ xyz sao
cho trục z  vectơ pháp tuyến
r
n

Các thành phần ứng suất trên
mặt phẳng có vectơ pháp tuyến
z:
 Ứng suất pháp: 
z
 Ứng suất tiếp: 
zx
, 
zy
P
1
(A)

P
2

z

zx

zy
x
y
z
PGS TS Bui Cong Thanh
I. GIỚI THIỆU CHUNG (tt)
 Các thành phần ứng suất trên các
mặt của hình khối lập phương
 Ứng suất pháp: 
x
, 
y
, 
z

 Ứng suất tiếp:

xy
, 
xz
, 
yz
, 

yx
, 
zx
, 
zy

Nguyên lý đối ứng của ứng
suất tiếp
        
xy yx yz zy zx xz
; ;




PGS TS Bui Cong Thanh
I. GIỚI THIỆU CHUNG (tt)
 Quan hệ giữa các thành phần ứng suất tại 2 điểm rất
gần nhau trong hệ tọa độ vuông góc
B A
x x x
x x
xy xy xy
B A
xy xy
B A
xz xz xz
xz xz
dx dy dz
x y z

dx dy dz
x y z
dx dy dz
x y z
  
     
  
  
     
  
  
     
  









x x xy xy xz xz
Do : (x,y,z); (x,y,z); (x,y,z)        
PGS TS Bui Cong Thanh
I. GIỚI THIỆU CHUNG (tt)
 Nếu 2 điểm A và B ở trên đường thẳng song song với
trục x, khi đó dy = dz = 0 và
B A
x

x x
xy
B A
xy xy
B A
xz
xz xz
dx
x
dx
x
dx
x

   


   


   












x

x
+ d
x

x
y
z
PGS TS Bui Cong Thanh
I. GIỚI THIỆU CHUNG (tt)

Tenxơ ứng suất
x xy xz
yx y yz
zx zy z
vecto u/s tren mat co phuong phap tuyen x
vecto u/s tren mat co phuong phap tuyen y
vecto u/s tren mat co phuong phap tuyen z
T

  
  
  
 

 
 

 
 

 
Chín thành phần ứng suất trên 3 mặt phẳng vuông
góc là các thành phần của một ma trận gọi là “tenxơ
ứng suất” tại một điểm
PGS TS Bui Cong Thanh
I. GIỚI THIỆU CHUNG (tt)

QUY ƯỚC DẤU
 Ứng suất pháp:  > 0 nếu là ứng suất kéo
 Ứng suất tiếp:  > 0 nếu
 Trên mặt dương,  có cùng chiều với chiều
dương của trục tương ứng
 Trên mặt âm,  trái chiều với chiều dương của
trục tương ứng
PGS TS Bui Cong Thanh
I. GIỚI THIỆU CHUNG (tt)

TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT TẠI 1 ĐiỂM
 Tính chất: Nếu các thành phần của tenxơ ứng suất
được biết thì TTƯS tại điểm đó hoàn toàn được xác
định
 Định nghĩa: “TTƯS tại 1 điểm là tập hợp tất cả các
thành phần ứng suất trên mọi mặt phẳng đi ngang qua
điểm đó”
PGS TS Bui Cong Thanh
II. Ứ/SUẤT TRÊN MẶT PHẲNG NGHIÊNG
z

x
y
dA
dA
x
dA
y
dA
z
t
n

n

n
n
x
y

x

y

z

xy

xz

yx


yz

zx

zy
t
x
t
y
t
z
z
 Cân bẳng của phân tố tứ diện
PGS TS Bui Cong Thanh
II. ỨNG SUẤT TRÊN MẶT PHẲNG
NGHIÊNG (tt)




         
         
         

r r r
r r r
r r r
r r r
r r r

r r r
x x yx zx x x yx y zx z
y xy y zy xy x y y zy z
z xz yz z xz x yz y z z
t cos(n,x)+ cos(n,y)+ cos(n,z) n n n
t cos(n,x)+ cos(n,y)+ cos(n,z) n n n
t cos(n,x)+ cos(n,y)+ cos(n,z) n n n

 Ưng suất toàn phần trên m/p nghiêng
2 2 2
n x y z
t t t t  
Sự cân bằng của phân tố tứ diện theo các phương x, y
và z lần lượt cho:
 Các t/p ứng suất trên mặt phẳng nghiêng có phương
pháp tuyến
n
r
PGS TS Bui Cong Thanh
II. ỨNG SUẤT TRÊN MẶT PHẲNG
NGHIÊNG (tt)

Ứng suất pháp:
     
r r
r
r
r
r
r

r

    
 
x y z
n x x y y z z
n cos n
t.
,x ;n cos n,y ;n
n t n t n t
cosavec
n
n, z

Ứng suất tiếp:
n n n
t  
2 2
  
n ij i j
nn
Theo quy ước chỉ số:
2 2 2
n x x y y z z xy x y yz y z zx z x
n n n 2 n n 2 n n 2 n n            
PGS TS Bui Cong Thanh
III. ĐIỀU KIỆN CÂN BẰNG TRÊN BIÊN, S


x x x yx y zx z x

y xy x y y zy z
z xz x yz y z
Y
Zz
t n n n
t n n n
t n
t
t
tn n
      
      
      
 Nếu phân tố tứ diện ở trên bề mặt, S

→ điều kiện
cân bằng trên bề mặt được viết:
x y z
t , t , t
 các thành phần lực bề mặt
PGS TS Bui Cong Thanh
IV. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CÂN
BẰNG TRONG(V)
xy
x xz
x
yx y yz
y
zy
zx z

z
f 0
x y z
f 0
x y z
f 0
x y z

 
   
  
  
   
  

 
   
  
 Phương trình vi phân cân bằng tĩnh học:
yx
yx
dy
y

 

z
y
x


x

yx
x
x
dx
x

 

zx
zx
dz
z

 

x y z
f , f , f 
Các t/p lực thể tích
PGS TS Bui Cong Thanh
V. ỨNG SUẤT CHÍNH – PHƯƠNG CHÍNH –
BẤT BIẾN CỦA TENXƠ ỨNG SUẤT
 Mặt chính: là mặt trên đó chỉ tồn tại ứng suất pháp
 Phương chính: phương của vectơ pháp tuyến của mặt
chính
 Ứng suất chính: ứng suất pháp của mặt chính

n
= t

n
=  ứng suất chính; khi 
n
= 0
PGS TS Bui Cong Thanh
V. ỨNG SUẤT CHÍNH – PHƯƠNG CHÍNH
– BẤT BIẾN CỦA TENXƠ ỨNG SUẤT
 
 
 

      


      


      




  

x xy xz
xy y yz
xz yz
x y z
2 2 2
x y z y

zz
x z
x y
n n n
n n n n n n 1
n n n
0
0 avec
0
 Xác định ứng suất chính:
x x x yx y zx z x
y xy x y y zy z
z xz x yz y
y
z zz
t n n n
t n n
n
nn
t n n nn
      
      
    

 

PGS TS Bui Cong Thanh
V. ỨNG SUẤT CHÍNH – PHƯƠNG CHÍNH
– BẤT BIẾN CỦA TENXƠ ỨNG SUẤT
3 2

x xy xz
1 2 3
xy y zy
xz yz z
I I I 0
det 0
(Equation caracteristique)


 
   
 
   
    

 

 
   





x y z
x y y z z x xy yz zx
ij
bat bien thu nhat
bat bien thu hai
bat bien

I :
I

I det( ) thu:
:
ba
  
        

1
2 2 2
2
3
  
     

I
1
, I
2
, I
3
– các bất biến của tenxơ ứng suất
PGS TS Bui Cong Thanh
V. ỨNG SUẤT CHÍNH – PHƯƠNG CHÍNH –
BẤT BIẾN CỦA TENXƠ ỨNG SUẤT
 “Tồn tại 3 mặt chính ứng suất vuông góc với nhau
từng đôi một”  3 ứng suất chính:
   
1 2 3

 Tương ứng với mỗi ứng suất chính 
(k)
, tồn tại phương
chính có côsin chỉ phương n
i
(k)

 
 
 
     

      


      


      

 





(k) (k) (k)
x y z
2 2 2
(k) (k) (k) (k) (k) (k)

x y z x y z
(k) (k) (k)
x
x xy xz
xy y y
(k)
(k) z
xz y zyz z (k)
0
0 av
n n n
n n n nec
0
n n 1
n n n
PGS TS Bui Cong Thanh
VI. ỨNG SUẤT TIẾP CỰC ĐẠI
 Biểu diễn theo trục chính
 Ứng suất trên mặt phẳng nghiêng:
 

  
      
            

 
 

2 2 2
1 1 2 2 3 3

2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 2 2 3 3 1 1 2 2
2 2 2
2
3 3
1 3
n n n (i)
t n n n n n n (ii)
avec : (n n n 1 iii)
n
i
– cosin chỉ phương của vectơ pháp tuyến đơn vị
đối với các trục chính
PGS TS Bui Cong Thanh
VI. ỨNG SUẤT TIẾP CỰC ĐẠI (tt)
 Từ (iii) 
     
2 2 2
1 2 2 3 3 1
f n ,n g n hay hay ,n h n ,n
  
     
 Điều kiện dừng đối với n
i
cho:
 Tập hợp các nghiệm thứ nhất, và các ứng suất tương
ứng:
1 2 3
1 2 3

1 2 3


tuong ung voi
tuong ung vo
n 1, n 0


0
0
, n 0;
n 0, n 1, n 0;
n 0, n 0, n
i
tuong u1; ng vo 0i



 
 
   
   
   
 Các phương chính, không có ứng suất tiếp
PGS TS Bui Cong Thanh
VI. ỨNG SUẤT TIẾP CỰC ĐẠI (tt)
 
 
 
23 2 3

31
1 2 3
1 2 3 1
1
3
1 2 3 2 1 2
1 1
n 0, n , n
2 2
1 1
n , n 0, n
1
2
2 2
1 1
n , n , n 0
1
2
2
2

2
1
       
   
 
     


      


  

 Tập hợp nghiệm thứ hai và các ứng suất tương ứng
PGS TS Bui Cong Thanh
VI. ỨNG SUẤT TIẾP CỰC ĐẠI (tt)
x
1
x
1
x
2
x
3
x
2
x
3
x
1
x
2
x
3
Ba cặp mặt phẳng có ứng suất tiếp cực đại

13

31


12

21 
23
PGS TS Bui Cong Thanh
VII. ỨNG SUẤT BÁT DIỆN
1 2 3
1
n n n
3
   
 Mặt bát diện: có vectơ pháp tuyến đơn vị nghiêng đều
với các trục chính ứng suất
 
2 2 2 2
bd 1 2 3
1
t
3
    
 Ứng suất bát diện toàn
phần
 
bd 1 2 3
1
3
      
 Ứng suất pháp bát diện:
 
   

2 2
bd bd bd
2 2
2
1 2 2 3 3 1
t
1
3
   
           
 Ứng suất tiếp bát diện:
x
1
x
2
x
3