Bồi dưỡng học sinh giỏi toán 4

TUẦN 30
Toán:
TÍNH TỎNG CỦA DÃY PHÂN SỐ CÓ QUY LUẬT
I. Mục tiêu:
- Học sinh nhận biết được dãy phân số có quy luật.
- Biết vận dụng cách tính nhanh để tìm tổng của dãy phân số đó.
II. Lên lớp:
Dạng 1: Dãy phân số giảm dần một số lần:
Bài 1: Tính nhanh các tổng sau:
a) A =
+
2
1
++++
32
1
16
1
8
1
4
1

512
1
256
1
++
1024
1
+

b) B =
+
3
1
++++
243
1
81
1
27
1
9
1

729
1
234
1
++
*Nhận xét: Hỏi để HS tự tìm quy luật
- Dãy A: Tử số đều là 1, còn mẫu số tăng dần 2 lần (mẫu số của phân số sau gấp 2
lần mẫu số của phân số đứng trước)
⇒
Phân số đứng sau kém phân số đứng trước 2
lần (hay phân số đứng sau bằng một nửa phân số đứng trước nó).
- Dãy B: Tử số đều là 1, còn mẫu số tăng dần 3 lần (mẫu số của phân số sau gấp 3
lần mẫu số của phân số đứng trước)
⇒
Phân số đứng sau kém phân số đứng trước 3
lần (hay phân số đứng sau bằng 1/3 phân số đứng trước nó).

*Cách giải:
a) Cách 1: Nhận thấy:
1024
1
512
1
1024
1
;
512
1
256
1
512
1
; ;
8
1
4
1
8
1
;
4
1
2
1
4
1
;

2
1
1
2
1
−=−=
−=−=−=

⇒
A=
+− )
2
1
1(
(
+−+− )
8
1
4
1
()
4
1
2
1

)
512
1
256

1
( −+
)
1024
1
512
1
( −+
= 1 + (
2
1
2
1
−
) +
+−+− )
8
1
8
1
()
4
1
4
1
(

)
512
1

512
1
( −+
1024
1
−
= 1 + 0 + 0 + + 0 -
1024
1
= 1 -
1024
1
=
1024
1023
Cách 2: Nhận thấy:
512
1
2
1024
1
; ;
4
1
2
8
1
;
2
1

2
4
1
;12
2
1
=×=×=×=×
⇒
A x 2= (
+
2
1
++++
32
1
16
1
8
1
4
1

512
1
256
1
++
1024
1
+

) x 2
= 1+
+
2
1
++++
32
1
16
1
8
1
4
1

512
1
256
1
++
Mà A = A x 2 - A = (1+
+
2
1
++++
32
1
16
1
8

1
4
1

512
1
256
1
++
)
- (
+
2
1
++++
32
1
16
1
8
1
4
1

512
1
256
1
++
1024

1
+
)
A = 1 -
1024
1
=
1024
1023
b) Từ bài a cho HS lựa chọn cách làm cho bài b.
1
* Nhận xét: Bài b không làm theo cách 1 được.
Nhận thấy:
234
1
3
729
1
; ;
9
1
3
27
1
;
3
1
3
9
1

;13
3
1
=×=×=×=×
B x 3 = (
+
3
1
++++
243
1
81
1
27
1
9
1

729
1
234
1
++
) x 3
= 1 +
+
3
1
++++
243

1
81
1
27
1
9
1

234
1
+
Mà B x 2 = B x 3 - B = 1 +
+
3
1
++++
243
1
81
1
27
1
9
1

234
1
+
- (
+

3
1
++++
243
1
81
1
27
1
9
1

729
1
234
1
++
)
B x 2 = 1 -
729
728
729
1
=
B =
729
364
2:
729
728

=
Dạng 2: Dãy phân số có tử số bằng nhau và mẫu số là tích của các cặp số cách
đều:
Bài 2: Tính nhanh các tổng sau:
a) C =
+
× 21
1
+
×
+
×
+
×
+
× 65
1
54
1
43
1
32
1

10099
1
×
+
b) D =
+

× 42
1
+
×
+
×
+
× 108
1
86
1
64
1

10098
1
×
+
*Nhận xét: Hỏi để HS tự tìm quy luật
- Dãy C: Tử số đều là 1, còn mẫu số là tích của các cặp số tự nhiên liên tiếp mà
thừa số thứ nhất tích sau là thừa số thứ hai của tích trước.
- Dãy D: Tử số đều là 1, còn mẫu số là tích của các cặp số tự nhiên cách đều 2 đơn
vị mà thừa số thứ nhất tích sau là thừa số thứ hai của tích trước.
*Cách giải:
a) Nhận thấy:
100
1
99
1
10099

1
;
99
1
98
1
9998
1
; ;
4
1
3
1
43
1
;
3
1
2
1
32
1
;
2
1
1
21
1
−=
×

−=
×
−=
×
−=
×
−=
×

⇒
C =
+− )
2
1
1(
(
+−+− )
4
1
3
1
()
3
1
2
1

)
99
1

98
1
( −+
)
100
1
99
1
( −+
= 1 + (
2
1
2
1
−
) +
+−+− )
4
1
4
1
()
3
1
3
1
(

)
99

1
99
1
( −+
100
1
−
= 1 + 0 + 0 + + 0 -
100
1
C = 1 -
100
1
=
100
99
c) Nhận thấy:
42
2
4
1
2
1
×
=−
;
64
2
6
1

4
1
×
=−
; ;
10098
2
100
1
98
1
×
=−
Mà D x 2 =
+
× 42
2
+
×
+
×
+
× 108
2
86
2
64
2

10098

2
×
+

⇒
D x 2 =
+− )
4
1
2
1
(
(
+−+− )
8
1
6
1
()
6
1
4
1

)
98
1
96
1
( −+

)
100
1
98
1
( −+
2
=
2
1
+ (
4
1
4
1
−
) +
+−+− )
8
1
8
1
()
6
1
6
1
(

)

98
1
98
1
( −+
100
1
−
=
2
1
+ 0 + 0 + + 0 -
100
1
D x 2 =
2
1
-
100
1
=
100
49

⇒
D =
100
49
: 2 =
200

49
* Các bài luyện tập:
Bài 3: Tính giá trị các biểu thức sau:
a) A = 1 +
+
5
1
+++
625
1
125
1
25
1

78125
1
+
b) B =
+
3
1
++++
768
1
192
1
48
1
12

1

36864
1
+
c) M =
+
3
1
++++
30
1
20
1
12
1
6
1

9900
1
+
d) N =
+
×52
1
+
×
+
×

+
× 1411
1
118
1
85
1

10198
1
×
+
e) P =
+
+ 21
1
+
+++
+
++ 4321
1
321
1

10 4321
1
+++++
+
3