Một số định nghĩa về xác suất

ĐỀ TÀI:
Một số định nghĩa về xác suất
Trong cuộc sống hàng ngày ta thường gặp các câu:
- Khả năng xuất hiện mặt sấp hoặc mặt ngửa khi
tung một đồng tiền là như nhau.
- Khi gieo con xúc xắc, khả năng xuất hiện mặt lẻ
nhiều hơn khả năng xuất hiện mặt “lục”.
- Khả năng lấy được sản phẩm của phân xưởng thứ
nhất nhiều hơn, v.v
Trong mỗi câu nói trên chứa đựng một nội dung
của xác suất thống kê. Để hiểu thêm chúng ta sẽ
tìm hiểu về khái niệm xác suất để hiểu rõ hơn.
Đặt vấn đề:
Các vấn đề cần giải quyết cho đề tài:
•
Để tính khả năng xảy ra của một
biến cố, ta dùng khái niệm “xác
suất”.
•
Xác suất có nhiều định nghĩa: định
nghĩa cổ điển, định nghĩa thống kê,
định nghĩa theo hình học, xác suất
theo tiên đề, …
Giải quyết vấn đề:
•
Xác suất của một biến cố
•
Định nghĩa cổ điển về xác suât
•
Định nghĩa thống kê về xác suất
•

Định nghĩa xác suất theo hình học
•
Xác suất theo tiên đề
Xác suất của một biến cố
•
Trong cuộc sống hàng ngày,khi nói về biến cố ta
thường nói biến cố này có nhiều khả năng xảy ra,biến
cố kia ít có khả năng xảy ra,biến cố này có nhiều khả
năng xảy ra hơn biến cố kia.
•
Toán học đã định lượng hóa các khả năng này bằng
cách gán cho mỗi biến cố một số không âm,nhỏ hơn
hay bằng 1 gọi là xác suất của biến cố đó.Xác suất của
biến cố A được kí hiệu là P(A).Nó đo lường khả năng
khách quan sự xuất hiện của biến cố A.
•
Xác suất xuất hiện biến cố A là tỷ số giữa số
các trường hợp thuận lợi để biến cố A xảy ra
và số trường hợp cùng khả năng có thể xảy ra
khi thực hiện phép thử. Nếu ký hiệu P(A) là
xác suất của biến cố A, m là số trường hợp
thuận lợi cho biến cố A, n là số trường hợp
cùng khả năng có thể xảy ra thì ta có công
thức:
Định nghĩa cổ điển về xác suất :
ra xay theco nang kha cung hop truongso
raA xay de loi thuan hop truongso
)(
==
n

m
AP
Định nghĩa cổ điển về xác suất :
•
Cho A1, A2, …, An là nhóm các biến cố đầy đủ
và có cùng khả năng xảy ra. Khi đó xác suất để
xảy ra biến cố Ai là:
P(Ai) = 1/n
•
Nếu biến cố A nào đó là tổng của m biến cố
thuộc nhóm các biến cố đầy đủ trên thì xác suất
của biến cố A là:
P(A) = m/n
Định nghĩa cổ điển về xác suất :
•
Ưu điểm:
o
Đơn giản, không cần thực hiện phép thử
o
Cung cấp mô hình học thô trong nghiên cứu
khoa học
•
Nhược điểm: trong thực tế nhiều phép thử
o
Vô hạn các biến cố
o
Các biến cố không đồng khả năng
•
Ví dụ 1: từ 1 hộp có 13 bi đỏ và 7 bi trắng có
kích thước như nhau, rút ngẫu nhiên 1 bi.

Khi đó:
xác suất để rút được bi đỏ là:
xác suất để rút được bi trắng là:
Định nghĩa cổ điển về xác suất :
65,0
20
13
)(
==
DP
35,0
20
7
)(
==
TP
Định nghĩa cổ điển về xác suất :
•
Ví dụ 2: Một bộ bài có 52 quân, rút hú họa 3 quân. Tìm
xác suất để trong 3 quân rút ra có duy nhất một quân
Cơ.
•
Giải: Mỗi cách rút 3 quân từ 52 quân là một tổ hợp
chập 3 từ 52 phần tử, do đó số trường hợp cùng khả
năng xảy ra là:
Gọi A là biến cố xảy ra một quân Cơ và 2 quân còn lại
không là quân Cơ khi rút 3 quân.
Số trường hợp thuận lợi cho A xảy ra là:
•
Vậy:

3
52
Cn
=
2
39
1
13
.CCm
=
4359.0
52.17.25
39.19.13
)(
3
52
2
39
1
13
====
C
CC
n
m
AP
Định nghĩa cổ điển về xác suất :
•
Ví dụ 3: Một lô sản phẩm có 10 sàn phẩm,
trong đó có 8 chính phẩm và 2 phế phẩm. Lấy

ngẫu nhiên từ lô sản phẩm đó 3 sản phẩm. Tìm
xác suất để:
a) Cả 3 sản phẩm lấy ra đều là chính phẩm.
b) Trong 3 sản phẩm lấy ra có 2 chính phẩm.
Định nghĩa cổ điển về xác suất :
•
Giải: Gọi A là biến cố “lấy được 3 chính phẩm”
•
Số kết quả cùng khả năng xảy ra trong phép thử là:
SốkếtquảthuậnlợichobiếncốAxảyralà:
Do đó:
•
GọiBlàbiếncố”trongbasảnphẩmlấyracó2chính
phẩm”sốkếtquảthuậnlợichoBxảyralà:
Dođó:
120
3
10
==
Cn
56
3
8
==
Cm
15
7
120
56
)(

==
AP
56.
1
2
2
8
==
CCm
15
7
120
56
)(
==
BP
2. Định nghĩa thống kê về xác suất
a) Định nghĩa tần suất: Tần suất xuất hiện biến cố
trong n phép thử là tỷ số giữa số phép thử trong đó biến
cố xuất hiện và tổng số phép thử được thực hiện. Nêu ký
hiệu phép thử là n, số lần xuất hiện biến cố A là k, tần
suất xuất hiện biến cố A là:
Cùng với khái niệm xác suất, khái niệm tần suất là một
trong những khái niệm cơ bản của lý thuyết xác suất.
n
k
Af
=
)(
2. Định nghĩa thống kê về xác suất

•
Ví dụ 1: Khi khảo sát ngẫu nhiên 40 sinh
viên người ta phát hiện ra 5 sinh viên
giỏi. Nếu gọi A là biến cố “xuất hiện sinh
viên giỏi” thì tần suất xuất hiện sinh viên
giỏi trong số 40 SV được khảo sát là:
8
1
40
5
)(
==
Af
2. Định nghĩa thống kê về xác suất
b) Định nghĩa xác suất
•
Khi số phép thử tăng lên vô hạn, tần suất
xuất hiện biến cố tiến dần đến một số xác
định được gọi là xác suất của biến cố đó.
Hay nói cách khác, xác suất là giới hạn
của tần suất khi số phép thử tăng lên vô
hạn:
n
k
AP
n
∞→
=
lim)(
2. Định nghĩa thống kê về xác suất

•
Ưu điểm: Không đòi hỏi những điều kiện áp
dụng như đối với những định nghĩa cổ điển. Nó
hoàn toàn dựa trên các quan sát thực tế để làm
cơ sở kết luận về xác suất xảy ra của một biến
cố.
•
Nhược điểm: Trong thực tế không thể tiến
hành vô hạn phép thử, nhưng đối với số phép
thử đủ lớn ta có thể xem xác suất xấp xỉ bằng
tần suất:
10≤− yx
n
k
AP
≈
)(
Ví dụ:
•
Xác suất sinh con trai là 51%
•
Xác suất mặt sấp ngửa khi tung đồng xu là ½
•
Một xạ thủ bắn 1000 viên đạn vào bia. Có xấp
xỉ 50 viên trúng bia. Khi đó xác suất để xạ thủ
bắn trúng bia là 50/1000=5%.
2. Định nghĩa thống kê về xác suất
3. Định nghĩa xác suất theo hình học:
•
Giả sử một điểm được rơi ngẫu nhiên vào một miền D, A

là một mền con của D. Khi đó xác suất để điểm rơi ngẫu
nhiên vào miền A được xác định bởi công thức:
•
Trong đó sd(A), sd(D) là số đo của miền A, D (có thể là độ
dài, diện tích hay thể tích tùy thuộc vào miền xét trên
đường thẳng, mặt phẳng hay trong không gian 3 chiều
theo từng bài toán cụ thể).
)(
)(
)(
Dsd
Asd
AP
=
3. Định nghĩa xác suất theo hình học:
•
Ví dụ: “Bài toán gặp gỡ”
Hai người bạn hẹn gặp nhau tại một địa điểm đã
định trước trong khoảng thời gian từ 19 đến 20
giờ. Hai người đến chổ hẹn độc lập với nhau và
qui ước rằng người đến trước sẽ chỉ đợi người
đến sau 10 phút, nếu không gặp thì sẽ đi. Tính
xác suất để hai người có thể gặp nhau?
3. Định nghĩa xác suất theo hình học:
Giải:
•
Gọi A là biến cố hai người gặp nhau.
•
Gọi x là số phút tại thời điểm người thứ nhất đến điểm hẹn: 0 ≤ x ≤ 60.
•

Gọi y là số phút lúc người thứ hai đến điểm hẹn:
0 ≤ y ≤ 60
Nếu ta biểu diễn số phút x theo trục hoành và số phút y theo trục tung.
•
Như vậy số phút lúc đến của cả hai người được biểu diễn bằng một điểm
có tọa độ (x, y) nằm trong hình vuông có cạnh là 60 (ta lấy phút làm đơn
vị). Đó chính là miền D.
D = {(x,y): 0 ≤x ≤ 60; 0 ≤ y ≤ 60}
3. Định nghĩa xác suất theo hình học:
3. Định nghĩa xác suất theo hình học:
•
Để hai người gặp nhau thì số phút lúc đến x,y của
mỗi người phải thỏa mãn điều kiện:
hay
•
Như vậy các điểm (x, y) thích hợp cho việc gặp
nhau là các điểm nằm trong phần A có gạch chéo
nằm giữa hai đường thẳng
y = x – 10 và y = x + 10 (như hình vẽ).
•
Theo công thức xác suất hình học:
10
≤−
yx
1010
+≤≤−
xyx
3056.0
36
11

60
5060
)(
)(
)(
2
22
==
−
==
DS
AS
AP
Xácsuấttheotiênđề
•
Xác suất P của biến cố E nào đó, ký hiệu P(E) , được
xác định trong một "vũ trụ" hoặc không gian mẫu gồm
mọi biến cố sơ cấp (elementary event) sao cho P phải
thỏa mãn các tiên đề Kolmogorov.
•
Theo một cách khác, một xác suất có thể được hiểu là
một độ đo trên một σ-đại số của các tập con của
không gian mẫu, với các tập con đó là các biến cố, sao
cho độ đo của tập bao trùm bằng 1.
Tính chất này rất quan trọng, do từ nó mà có
được khái niệm tự nhiên về xác suất điều kiện.
Mọi tập với xác suất khác 0 (nghĩa là P(A)> 0 )
xác định một xác suất khác
trên không gian. Biểu diễn trên thường được
đọc là "xác suất của B nếu có A". Nếu xác suất

điều kiện của B nếu có A bằng xác suất của B, thì
A và B được coi là độc lập.
Xácsuấttheotiênđề
•
Trong trường hợp không gian mẫu là hữu
hạn hoặc vô hạn đếm được, một hàm xác
suất còn có thể được xác định bởi các giá
trị của nó trên tập biến cố sơ cấp {e1},
{e2},…
trong đó Ω={e1,e2,…}
Xácsuấttheotiênđề