Bài tập phép tính vi phân hàm nhiều biến

Hàm số nhiều biến 1
1. Tìm miền xác định của các hàm:
(a) z =
xy
x
2
+ y
2
(b) z = ln(1 + xy)
(c) z =

1 −
x
2
a
2
−
y
2
b
2
(d) z = arcsin
y −1
x
(e) z =

sin(π(x
2
+ y
2
))

(f) u =

R
2
− x
2
− y
2
− z
2
+
1

x
2
+ y
2
+ z
2
− r
2
(0 < r < R)
Đáp số:
(a) (x, y) = (0, 0)
(b) xy > −1
(c) Hình Elip
x
2
a
2

+
y
2
b
2
≤ 1 kể cả biên
(d) Tập các điểm (x, y) thỏa:
1 − x ≤ y ≤ 1 + x, (x > 0)
1 + x ≤ y ≤ 1 − x, (x < 0)
Tại x = 0 hàm không xác định.
(e) Tập các điểm thỏa: 2k ≤ x
2
+ y
2
≤ 2k + 1, k ≥ 1, k ∈ Z (Hình vành khăn)
(f) Phần không gian giữa hai mặt cầu x
2
+ y
2
+ z
2
= r
2
và x
2
+ y
2
+ z
2
= R

2
kể cả
mặt ngoài nhưng không kể mặt trong
2. Tính các giới hạn sau:
(a) lim
(x,y)→(0,a)
sin xy
x
(b) lim
(x,y)→(∞,∞)
x + y
x
2
− xy + y
2
(c) lim
(x,y)→(1,0)
ln(x + e
y
)

x
2
+ y
2
(d) lim
(x,y)→(∞,a)

1 +
1

x

x
2
x+y
(e) lim
(x,y)→(∞,∞)
x
2
+ y
2
x
4
+ y
4
(f) lim
(x,y)→(+∞,+∞)

xy
x
2
+ y
2

x
2
Đáp số:
(a) a (b) 0 (c) ln 2 (d) e (e) 0 (f) 0
3. Xét sự liên tục của các hàm số tại (0, 0):
(a) f(x, y) =




x
2
y
2
x
2
+ y
2
nếu (x, y) = (0, 0)
0 nếu (x, y) = (0, 0)
Vi tích phân A2
2 Hàm số nhiều biến
(b) f(x, y) =



x
2
y
2
x
4
+ y
4
nếu (x, y) = (0, 0)
0 nếu (x, y) = (0, 0)
Đáp số:

(a) liên tục
(b) không liên tục
4. Tính đạo hàm riêng của các hàm số sau:
(a) z = x
√
y +
y
3
√
x
(b) z = sin
x
y
. cos
y
x
(c) z = arctan
y
x
tại (−1, 1)
(d) u = x
y ln z
tại (e, 2, e)
Đáp số:
(a)
∂z
∂x
=
√
y −

y
3
3
√
x
4
∂z
∂y
=
x
2
√
y
+
1
3
√
x
(b)
∂z
∂x
=
1
y
cos
x
y
cos
y
x

+
y
x
2
sin
x
y
sin
y
x
∂z
∂y
= −
x
y
2
cos
x
y
cos
y
x
−
1
x
sin
x
y
sin
y

x
(c)
∂z
∂x
= −
y
x
2
+ y
2
,
∂z
∂y
=
x
x
2
x
2
+ y
2
Thay (−1, 1):
∂z
∂x
=
∂z
∂y
= −
1
2

(d)
∂u
∂x
= y ln zx
y ln z−1
∂u
∂y
= ln x ln zx
y ln z
∂u
∂z
=
y ln x
z
x
u ln z
Thay (e, 2, e):
∂u
∂x
=
∂u
∂z
= 2e,
∂u
∂y
= e
2
5. Dùng định nghĩa tìm các đạo hàm riêng của hàm:
f(x, y) =




2x
3
− y
3
x
2
+ 3y
2
(x, y) = 0
0 (x, y) = (0, 0)
Đáp số: f

x
(0, 0) = 2, f

y
(0, 0) = −1/3
6. Chứng minh các hàm số thỏa mãn phương trình đạo hàm riêng:
(a) z = xe
y
thỏa x
∂z
∂x
=
∂z
∂y
Vi tích phân A2
Hàm số nhiều biến 3

(b) z =
x + y
x − y
thỏa x
∂z
∂x
+ y
∂z
∂y
= 0
(c) u = x
2
+ yz thỏa x
∂u
∂x
+ y
∂u
∂y
+ z
∂u
∂z
= 2u
(d) z = f(x
2
+ y
2
) trong đó f là hàm khả vi theo một biến thỏa y
∂z
∂x
− x

∂z
∂y
= 0
7. Tìm phương trình tiếp diện và pháp tuyến của đồ thị:
(a) f(x, y) = x
2
− y
2
tại (−2, 1)
(b) f(x, y) = cos
x
y
tại (π, 4)
(c) f(x, y) =
x
x
2
+ y
2
tại (1, 2)
Đáp án:
(a) z = −4x − 2y −3
x + 2
−4
=
y −1
−2
=
z − 3
−1

(b) z =
1
√
2
(1 −
x − π
4
+
π
16
(y −4))
x − π
−
1
4
√
2
=
y −4
π
16
√
2
=
z −
1
√
2
−1
(c) z = 2/5 + 3x/25 − 4y/25

x − 1
3
=
y −2
4
=
z − 1/5
−25
8. Tính gần đúng các giá trị sau:
(a) ln
3

1, 03 +
4
√
0.98 − 1 ĐS: 0,005
(b) sin(π(0, 01).(1, 05) + ln 1, 05) ĐS: 0,0814
(c)

sin
2
1, 55 + 8e
0,015
ĐS: 3,019
(d)
3

(2, 01)
2
+ (1, 96)

2
ĐS: 1,99
9. Tính đạo hàm của các hàm hợp sau:
(a) z = xy
2
, x = t + ln(y + t
2
), y = e
t
, tính
dz
dt
(b) z = x
2
ln y, x =
u
v
, y = 3u − 2v, tính
∂z
∂u
,
∂z
∂v
(c) z = ln(u
2
+ v
2
), u = xy, v =
x
y

, tính
∂z
∂x
,
∂z
∂y
Đáp án:
(a)
dz
dt
= e
2t

1 +
e
t
+ 2t
e
t
+ t
2
+ 2(t + ln(e
t
+ t
2
))

Vi tích phân A2
4 Hàm số nhiều biến
(b)

∂z
∂u
= 2
u
v
2
ln(3u − 2v) +
3u
2
v
2
(3u − 2v)
∂z
∂v
= −
2u
2
v
3
ln(3u − 2v) −
3u
2
v
2
(3u − 2v)
(c)
∂z
∂x
= 2/x,
∂z

∂y
=
2(y
4
− 1)
y(y
4
+ 1)
10. Tính đạo hàm riêng cấp 2 của các hàm số:
(a) z = xe
y
− ye
x
(b) z = ln(x +

x
2
+ y
2
)
Đáp án:
(a)
∂
2
z
∂x
2
= −ye
x
,

∂
2
z
∂x∂y
= e
y
− e
x
,
∂
2
z
∂y
2
= xe
y
(b)
∂
2
z
∂x
2
=
−x
(x
3
+ y
3
)
3/2

∂
2
z
∂x∂y
=
−y
(x
3
+ y
3
)
3/2
∂
2
z
∂y
2
=
x
3
+ (x
2
− y
2
)

x
2
+ y
2

(x
2
+ y
2
)
3/2
.(x +

x
2
+ y
2
)
11. Tìm hàm f(x, y) thỏa phương trình
∂
2
f
∂x
2
= 12x
2
y,
∂f
∂y
= x
4
và thỏa điều kiện
f(0, 0) = 1, f(1, 1) = 2
ĐS: f(x, y) = x
4

y + 1
12. Chứng minh rằng hàm z = ln
1

x
2
+ y
2
thỏa mãn phương trình đạo hàm riêng
∂
2
z
∂x
2
+
∂
2
z
∂y
2
= 0
13. Chứng minh rằng hàm u(x, y, t) =
1
t
e
−
x
2
+y
2

4t
thỏa mãn phương trình đạo hàm riêng
∂u
∂t
=
∂
2
u
∂x
2
+
∂
2
u
∂y
2
14. Tìm gradient của hàm tại điểm được cho và đường thẳng tiếp xúc với đường mức của
hàm tại điểm đó
(a) f(x, y) = cos
x
y
tại (π, 4)
ĐS:
−

i +
π
4

j

4
√
2
, y = 4x + 4(1 − π)
(b) f(x, y) = ln(x
2
+ y
2
) tại (1, −2)
ĐS:
2
5

i −
4
5

j, y =
x
2
− 5/2
15. Tìm tốc độ biến thiên của hàm tại điểm và hướng được cho:
Vi tích phân A2
Hàm số nhiều biến 5
(a) f(x, y) = x
2
y tại (−1, −1) theo hướng của vector v =

i + 2


j ĐS: 4/
√
5
(b) f(x, y) = x
2
+ y
2
tại (1, −2) theo hướng của vector hợp với trục dương của Ox một
góc 60
o
ĐS: 1 − 2
√
3
16. Nhiệt độ T (x, y) tại các điểm trên mặt phẳng được cho bởi T (x, y) = x
2
− 2y
2
. Từ điểm
(2, −1) trên mặt phẳng, một con kiến sẽ di chuyển theo hướng nào để đi đến nơi mát
nhất. ĐS: −

i −

j
17. Tìm đạo hàm của các hàm ẩn xác định bởi phương trình sau:
(a) xe
y
− ye
x
− e

xy
= 0, tính y’
(b) arctan
x + y
a
−
y
a
= 0, tính y’
(c) z
2
+ xy
3
=
xz
y
tính
∂z
∂y
Đáp án:
(a) y

=
e
y
+ ye
x
− ye
xy
xe

xy
− e
x
− xe
y
(b) y

=
a
2
(x + y)
2
(c)
∂z
∂x
=
z − y
4
2yz − x
,
∂z
∂y
=
3xy
4
+ xz
xy −2y
2
z
18. Tìm phương trình tiếp tuyến của đường cong e

y
x
+ sin y + y
2
= 1 tại (2, 0) ĐS: y = 0
19. Tìm phương trình tiếp diện của mặt cầu x
2
+ y
2
+ z
2
= 14 tại (1, −2, 3) ĐS:
x − 2y + 3z = 14
20. Tìm cực trị của các hàm số sau:
(a) z = 4(x − y) − x
2
− y
2
(b) z = (x
2
+ y
2
)e
−(x
2
+y
2
)
(c) z = x
3

+ y
3
− 3xy
(d) z = x
4
+ y
4
(e) z = xy +
50
x
+
20
y
, (x > 0, y > 0)
(f) z = 1 −

x
2
+ y
2
Đáp án:
(a) z
max
= 8 tại (2, −2)
(b) z
min
= 0 tại (0,0), z
max
= 1/e tại các điểm thuộc đường tròn x
2

+ y
2
= 1
(c) z
min
= −1 tại (1, 1), z không đạt cực trị tại (0, 0)
Vi tích phân A2
6 Hàm số nhiều biến
(d) z
min
= 0 tại (0, 0)
(e) z
min
= 30 tại (5, 2)
(f) z
max
= 1 tại (0, 0)
21. Tìm cực trị có điều kiện:
(a) z = x
2
+ y
2
với x/2 + y/3 = 1
(b) z =
1
x
+
1
y
với

1
x
2
+
1
y
2
=
1
a
2
(c) u = x + y + z với
1
x
+
1
y
+
1
z
= 1
Đáp án:
(a) z
min
=
36
13
tại (18/13, 12/13)
(b) z
min

= −2/a tại (−a
√
2, −a
√
2)
z
max
=
√
2
a
tại (a
√
2, a
√
2)
(c) u
min
= 9 tại (3, 3, 3)
22. Tìm khoảng cách ngắn nhất từ gốc tọa độ đến đường cong x
2
y = 16
Đáp án: Tìm cực trị của hàm z = x
2
+ y
2
với điều kiện x
2
y −16 = 0. Vậy z
min

= 2
√
3
tại (±2
√
2, 2)
23. Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm u = xyz với x
2
+ y
2
+ z
2
= 12
Đáp án: z
max
= 8, z
min
= −8
24. Tìm giá trị nhỏ nhất là giá trị lớn nhất của các hàm
(a) z = x − x
2
+ y
2
trên hình chữ nhật 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1
(b) z = x
2
− y
2
trên hình tròn x
2

+ y
2
≤ 4
(c) z = x
2
y(4 − x − y) trên hình giới hạn bởi các đường x = 0, y = 0, x + y = 6
(d) z = sin x + sin y + sin(x + y) trong miền chữ nhật 0 ≤ x, y ≤
π
2
(e) z = x
2
ye
−(x+y)
trên miền tam giác x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 4
Đáp án:
(a) z
min
= −2, z
max
= 5/4
(b) z
max
= 4 tại (±2, 0)
z
min
= −4 tại (0, ±2)
(c) z
max
= 4 tại (2, 1)
z

min
= −64 tại (4, 2)
Vi tích phân A2
Hàm số nhiều biến 7
(d) z
min
= 0 tại (0, 0)
z
max
=
3
√
3
2
tại

π
3
,
π
3

(e) z
max
= z(2, 1) = 4/e
3
, z
min
= 0 trên y = 0(0 < x < 4), x = 0(0 < y < 4)
25. Nhiệt độ của các điểm trên đĩa x

2
+ y
2
≤ 1 cho bởi T (x, y) = (x + y)e
−(x
2
+y
2
)
. Tìm nhiệt
độ thấp nhất và cao nhất trên đĩa.
Đáp án: T
min
= −
1
√
e
, T
max
=
1
√
e
26. Một hình hộp chữ nhật hở ở phía trên có thể tích 32 cm
3
. Hỏi các cạnh phải có độ dài
bao nhiêu để hộp có diện tích xung quang nhỏ nhất.
Đáp án: Dài, rộng, cao: 4,4,2
Vi tích phân A2