TÓM TẮT KIẾN THỨC MÔN GIẢI TÍCH LỚP 12
1. !"#: ax
2
+bx+c=0 với x
1,
x
2
là nghiệm thì
ax
2
+bx+c = a(x-x
1
)(x-x
2
); =b
2
-4ac
( ’=b’
2
-ac với b’=b/2)
thì
∆±−
=
∆±−
=
a
b
x
a
b
x
2
''
2
2,12,1
nếu a+b+c=0 thì x
1
=1; x
2
=c/a; nếu a-b+c=0
thì x
1
=1; x
2
= -c/a;
S=x
1
+x
2
= - b/a; P=x
1
.x
2
= c/a (đl Vieet)
2. $%&"#$ f(x)= ax
2
+bx+c
+ <0 thì f(x) cùng dấu a +
0)(
21
<⇔<<
αα
afxx
+
<∆
>
⇔>
0
0
0)(
a
xf
+
<∆
<
⇔<
0
0
0)(
a
xf
+
>−
>
>∆
⇔<<
0
2
0)(
0
21
α
αα
S
afxx
+
<−
>
>∆
⇔<<
0
2
0)(
0
21
α
αα
S
afxx
3. !"#"$ ax
3
+bx
2
+cx+d=0
nếu a+b+c+d=0 thì x
1
=1;
nếu a-b+c-d=0 thì x
1
= -1; dùng Hoocner
ax
3
+bx
2
+cx+d=(x-1)(ax
2
+ x + ) = 0
với =a+b; = +c
4. '(&)*'+,-
)($
);2cos1(
2
1
cos
);
2
cos(sin- );
2
sin(cos
2
xx
xxxx
+=
+=+=
ππ
)2cos1(
2
1
sin
2
xx −=
; 1+tg
2
x=
x
2
cos
1
x
x
2
2
sin
1
cotg1 −=+
cấp số cộng: a,b,c,… d = c – b = b – a
cấp số nhân: a,b,c,…
a
b
b
c
q ==
./012
345
1. (u v)’ = u’ v’
2. (u.v)’ = u’v + v’u
3.
2
'
v
u'vv'u
v
u −
=
4. (ku)’ = ku’ (k:const)
(&
(x
n
)’ = nx
n-1
(u
n
)’ = nu
n-1
u’
2
'
x
1
x
1
−=
2
'
u
'u
u
1
−=
( )
x2
1
x
'
=
( )
u2
'u
u
'
=
(sinx)’ = cosx (sinu)’ = u’cosu
(cosx)’ = - sinx (cosu)’ = - u’sinu
(tgx)’ =
xcos
1
2
(tgu)’ =
ucos
'u
2
(cotgx)’ =
xsin
1
2
−
(cotgu)’ =
usin
'u
2
−
(e
x
)’ = e
x
(e
u
)’ = u’e
u
(a
x
)’ = a
x
.lna (a
u
)’ = u’a
u
.lna
(lnx)’ =
x
1
(lnu)’ =
u
'u
(log
a
x)’ =
alnx
1
(log
a
u)’ =
alnu
'u
60781279
-%"#"$:;$<
=
>"<
><>?
• Miền xác định D=R
• Tính y’= 3ax
2
+2bx+c
• y' = 0 tìm 2 cực trị hoặc không (nếu có)
• tính y’’ tìm 1 điểm uốn
• bảng biến thiên
• điểm đặc biệt (2điểm)
• đồ thị (đt)
* ',@"AB-%"#=
- để hs tăng trên D
≤∆
>
⇔≥⇔
0
0
0'
'y
a
y
- để hs giảm trên D
≤∆
<
⇔≤⇔
0
0
0'
'y
a
y
- để hs có cực trị trên D y’=0 có 2 n
0
pb
- để hs không có cực trị y’=0 VN hoặc có
nghiệm kép
- hs nhận điểm uốn làm tâm đối xứng và
tiếp tuyến tại đây qua đthị
1
TÓM TẮT KIẾN THỨC MÔN GIẢI TÍCH LỚP 12
- chia y cho y’ dư mx+n thì đthẳng y=mx+n
là đthẳng qua 2 điểm cực trị, nếu x
i
là cực trị
thì giá trị cực trị là: y
i
=mx
i
+n
- đồ thị cắt ox tại 3 điểm phân biệt thì hai
giá trị cực trị trái dấu.
- đồ thị cắt ox tại 3 điểm pb cách đều nhau
ax
3
+bx
2
+cx+d=0 có 3 nghiệm lập thành
csc y’=0 có 2 nghiệm pb và điểm uốn
thuộc ox.
-% C:;$<
D
>"<
>
• Miền xác định D=R
• Tính y’
• y' = 0 tìm 3cực trị hoặc 1 cực trị
• bảng biến thiên
• điểm đặc biệt (2điểm)
• đồ thị
E',@"AB-%
- đt nhận oy làm trục đối xứng.
- để hs có 3 (hoặc 1) cực trị trên D y’=0
có 3 n
0
pb (hoặc 1 n
0
)
- để hs có điểm uốn y’’=0 có 2 n
0
pb
- đồ thị cắt ox tại 4 điểm pb >0; P>0;
S>0.
- đồ thị cắt ox tại 4 điểm pb lập thành csc
>0; P>0; S>0; x
2
= 9x
1
và sử dụng đlý
Vieet.
=-%,"F
dcx
bax
y
+
+
=
• Miền xác định D=R\
{ }
c
d
−
• Tính
( )
2
'
dcx
bcad
y
+
−
=
(>0, <0)
• TCĐ
c
d
x
−=
vì
0lim =
−→
y
c
d
x
• TCN
c
a
y =
vì
c
a
y
x
=
∞→
lim
• bảng biến thiên
• điểm đặc biệt (4điểm)
• đồ thị
- đthị nhận giao điểm 2 tiệm cận làm tâm
đối xứng
D-%G4H
edx
x
edx
cbxax
y
+
++=
+
++
=
γ
βα
2
chia bằng
Hoocner
• Miền xác định D=R\
{ }
d
e
−
• Tính y’=
( ) ( )
2
2
2
.
edx
pnxmx
edx
d
+
++
=
+
−
γ
α
• y' = 0 tìm 2cực trị hoặc không có.
• TCĐ
d
e
x −=
vì
0lim =
−→
y
d
e
x
• TCX
βα
+= xy
vì
0lim =
+
∞→
edx
x
γ
• bảng biến thiên
• điểm đặc biệt (4điểm)
• đồ thị
E2IJFK4LK4$ M
- đthị nhận giao điểm 2 tiệm cận làm tâm
đối xứng
- có 2 cực trị hoặc không y’= 0 có 2
nghiệm pb khác nghiệm của mẫu hoặc VN
- nếu x
i
là cực trị thì giá trị cực trị là
d
bax
y
i
i
+
=
2
và đó cũng là đt qua 2 điểm
cực trị.
- đthị cắt ox tại 2 điểm pb ax
2
+bx+c=0
có 2 nghiệm pb
E8108NOPN3QRN677
ST !F4:FUV
@ OB pttt tại M(x
0,
y
0
) y=f(x)
tính: y’=
y’(x
0
)=
pttt: y = f’(x
0
)(x-x
0
)+y
0
@ OB pttt có hệ số góc k cho trước
ta có: f’(x)=k giải pt này tìm x
0
thay vào
y=f(x) tìm được y
0
từ đó ta có pttt là:
y = k(x-x
0
)+y
0
• pttt // y=ax+b có hệ số góc k = a
• pttt y=ax+b có hệ số góc k = -1/a.
@OB=: pttt qua M(x
0,
y
0
) của y=f(x)
ptđt d qua M có hệ số góc k là:
y = k(x-x
0
)+y
0
để d là tt thì hệ sau có nghiệm:
=
+−=
(2)
(1)
kxf
yxxkxf
)('
)()(
00
thay (2) vào (1)
giải pt này tìm được x thay vào (2) ta được k
thế vào pttt d ở trên.
S$BW%X$Y Cho y=f(x) và
y= g(x)
+ ptrình hoành độ giao điểm là: f(x) = g(x)
giải pt này được mấy nghiệm là có mấy giao
điểm.
+ bài toán ứng dụng cho việc biện luận
nghiệm f(x,m)=0 biến đổi về dạng
f(x)=g(m)
đặt y=f(x) là đồ thị đã vẽ; y=g(m) là đt //ox.
Từ đó biện luận số nghiệm pt dựa vào đồ
thị.
2
TÓM TẮT KIẾN THỨC MÔN GIẢI TÍCH LỚP 12
+ để f(x) tiếp xúc g(x) ta có:
=
=
(x) ')('
)()(
gxf
xgxf
từ đó tìm điểm tiếp xúc x
=SA4 cho y=f(x)
đặt g(x)=y’
a/ g(x) = ax
2
+bx+c 0 trong ( ,+ )
a>0;
α
≤−
a
b
2
; g( ) 0.
b/ g(x) = ax
2
+bx+c 0 trong ( ,+ )
a<0;
α
≤−
a
b
2
; g( ) 0.
c/ g(x) = ax
2
+bx+c 0 trong ( , )
ag( ) 0; ag( ) 0
{áp dụng cho dạng có m
2
}
d/ trong g(x) có chứa m biến đổi về dạng
m > h(x) (hoặc m<h(x)) điều này m > giá trị
lớn nhất của h(x) (m<%h(x))
e/ đối với hàm có mxđ D=R\{x
0
} thì
• tăng trên ( ,+ ) y’ 0; x
0
• giảm trên ( ,+ ) y’ 0; x
0
DZ [
* y = f(x) có cực trị y’= 0 có nghiệm và
đổi dấu qua điểm đó.(y’=0;y” 0)
* y=f(x) có cực đại tại x
0
( )
( )
<
=
0''
0'
0
0
xy
xy
* y=f(x) có cực tiểu tại x
0
( )
( )
>
=
0''
0'
0
0
xy
xy
*Hàm số y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d
TT' Tập xác định D = R
• Tính y
/
Để hàm số có cực trị thì y
/
= 0 có hai n
0
pb
〉∆
≠
⇔
0
0a
*Hàm số
//
2
bxa
cbxax
y
+
++
=
TT' Tập xác định
=
/
/
\
a
b
RD
Tính
( )
2
//
/
)(
bxa
xg
y
+
=
Để hàm số có cực đại và cực tiểu thì y
/
= 0
có hai nghiệm pb thuộc D
≠−
〉∆
⇔
0)(
0
/
/
/
a
b
g
g
\ON+NN
$ ]U$+"V
• Tính y’
• Lập bảng biến thiên trên (a ; b )
• KL:
( )
;
max
CD
a b
y y=
,
( )
;
min
CT
a b
y y=
" ]^$_"`
• Tính y’
• Giải pt y’ = 0 tìm nghiệm
( )
0
;x a b∈
• Tính y (x
0
) , y(a) , y (b)
Chọn số lớn nhất M KL:
[ ]
;
max
a b
y M
=
Chọn số nhỏ nhất m , KL:
[ ]
;
min
a b
y m=
-%%a-)B$
1. Công thức lũy thừa:
Với a>0, b>0; m, nR ta có:
a
n
a
m
=a
n+m
;
a
n
a
m
=a
n−m
; (
1
a
n
=a
m
;
a
0
=1; a
1
=
1
a
); (a
n
)
m
=a
nm
; (ab)
n
=a
n
b
n
;
a
b
n
=
a
n
b
m
;
a
m
n
=
n
a
m
.
2. Công thức logarit:
log
a
b = ca
c
=b ( 0< a 1; b>0)
Với 0< a 1, 0< b 1; x, x
1
, x
2
>0;
R ta có: log
a
(x
1
x
2
)=log
a
x
1
+log
a
x
2
;
log
a
x
1
x
2
= log
a
x
1
log
a
x
2
;
a
log
a
x
=x
; log
a
x
= log
a
x;
log
a
α
x=
1
α
log
a
x
; (log
a
a
x
=x);
log
a
x=
log
b
x
log
b
a
; (log
a
b=
1
log
b
a
)
log
b
a.log
a
x=log
b
x; a
log
b
x
=x
log
b
a
.
3. Phương trình mũ- lôgarít
EDạng a
x
= b ( a> 0 ,
0a ≠
)
b
≤
0 : pt vô nghiệm
b>0 :
log
x
a
a b x b= ⇔ =
* Đưa về cùng cơ số:
A
f(x)
= B
g(x)
f(x) = g(x)
* Đặt ẩn phụ; logarit hóa…
* Dạng
log
a
x b=
( a> 0 ,
0a ≠
)
Điều kiện : x > 0
log
b
a
x b x a= ⇔ =
• log
a
f(x) = log
a
g(x) f(x) = g(x)
• Đặt ẩn phụ; mũ hóa…
3
TÓM TẮT KIẾN THỨC MÔN GIẢI TÍCH LỚP 12
4. Bất PT mũ – logarit:
* Dạng $
<
b" ( a> 0 ,
0a ≠
)
b
≤
0 : Bpt có tập nghiệm R
b>0 :
log
x
a
a b x b> ⇔ >
, khi a>1
log
x
a
a b x b> ⇔ <
, khi 0 < a < 1
* Đặt ẩn phụ; logarit hóa…
* Dạng
log
a
x b>
( a> 0 ,
0a ≠
, x>0 )
log
b
a
x b x a> ⇔ >
, khi a >1
log
b
a
x b x a> ⇔ <
, khi 0 < x < 1
• Đặt ẩn phụ; mũ hóa…
cNQdPN12c1TeN
ΙΙΙ .[f$ F(x) đgl nguyên hàm của hàm
số y=f(x) trên khoảng (a;b)
⇔
F
( ) ( )
xfx =
/
,
( )
bax ;∈∀
N4:]-%X$-%,
1.
∫
+= cxdx.1
2.
( )
1
1
.
1
−∝≠+
+∝
=
∫
+∝
∝
c
x
dxx
3.
∫
+= cxdx
x
ln.
1
4.
∫
+= cSinxdxCosx.
5.
∫
+−= cCosxdxSinx.
6.
∫
+= ctgxdx
xCos
.
1
2
7.
∫
+−= cCotgxdx
xSin
2
1
.
8.
∫
+= cedxe
xx
.
9.
∫
+= c
a
a
dxa
x
x
ln
.
N4:]-%'-%Y@
( )
( )
∫
+
+∝
+
=+
+∝
c
bax
a
dxbax
1
1
.
1
α
∫
++=
+
cbax
a
dx
bax
ln.
1
.
1
=
( ) ( )
∫
++=+ cbaxSin
a
dxbaxCos .
1
.
D
( ) ( )
∫
++−=+ cbaxCos
a
dxbaxSin .
1
.
\
( )
( )
∫
++=
+
cbaxtg
a
dx
baxCos
.
1
.
1
2
g
( )
( )
∫
++−=
+
cbaxCotg
a
dx
baxSin
.
1
.
1
2
h
∫
+=
++
ce
a
dxe
baxbax
.
1
.
i
∫
+=
+
+
c
a
a
m
dxa
nmx
nmx
ln
.
1
.
''jjkTích phân
của tích, thương phải đưa về tích phân của
một tổng hoặc hiệu bằng cách nhân phân phối
hoặc chia đa thức.
T'"F
( )
[ ]
( ) ( )
∫
ϕϕ=
b
a
xdxxfA
/
TT'
Đặt : t =
( )
xϕ
⇒
( ) ( )
xdxdt .
/
ϕ=
Đổi cận:
( )
( )
ϕ=⇒=
ϕ=⇒=
atax
btbx
Do đó:
( ) ( )
[ ]
( )
( )
( )
( )
∫
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
==
b
a
b
a
tFdttfA .
Các dạng đặc biệt cơ bản:
1.
∫
+
=
a
xa
dx
I
0
22
TT'
• Đặt:
tgtax .=
π
〈〈
π
−
22
t
( )
dtttgadt
tCos
a
dx .1.
2
2
+==⇒
• Đổi cận:
.Tính
dxxaJ
a
.
0
22
∫
−=
TT'
• Đặt
π
≤≤
π
−=
22
int. tSax
dtCostadx
=⇒
• Đổi cận
T'jjklm
OB: Có dạng:
A=
dx
Cosx
Sinx
e
xP
b
a
x
.).(
∫
Trong đó P(x)là hàm đa thức
Phương pháp:
4
TÓM TẮT KIẾN THỨC MÔN GIẢI TÍCH LỚP 12
Đặt u = P(x)
⇒
du = P(x).dx
dv =
∫
∫
∫
Cosx
Sinx
e
x
.dx
⇒
v =
Áp dụng công thức tích phân từng
phần
A =
[ ]
∫
−
b
a
b
a
duvvu
OB: B =
∫
+
b
a
dxbaxLnxP ).().(
T'
Đặt u = Ln(ax+b)
⇒
dx
bax
a
du .
+
=
dv = P(x).dx
⇒
v =
8?n B =
[ ]
∫
−
b
a
b
a
duvvu
o
∫
= dxxSinA
n
.
Hay
∫
= dxxCosB
n
.
1. Nếu n chẵn:
Áp dụng công thức
2
21
2
aCos
aSi n
−
=
_
2
21
2
aCos
aCos
+
=
2. Nếu n lẻ:
∫
−
= dxSinxxSinA
n
1
Đặt
Cosxt =
(Đổi
x
n 1
sin
−
thành Cosx )
o
∫
= dxxtgA
m
.
Hay
∫
= dxxCotgB
m
.
PP:Đặt
2
tg
làm thừa số
Thay
1
1
2
2
−=
xCos
tg
coAj!p
1. oAj!pq"r
UV:;sU<V-$Y<;$_<;"
TT' DTHP cần tìm là:
dxxfS
b
a
.)(
∫
=
(a < b)
•Hoành độ giao điểm của (c) và tục
ox là nghiệm của phương trình:
f(x) = 0
Nếu p.trình f(x) = 0 vô nghiệm Hoặc có
nghiệm không thuộc đoạn
[ ]
ba;
thì:
∫
=
b
a
dxxfS ).(
Nếu p.trình f(x) = 0 có nghiệm thuộc đoạn
[ ]
ba;
. Giả sử x =
α
, x =
β
thì
dxxfdxxfdxxfS
b
a
.)(.)(.)(
∫∫∫
β
β
α
α
++=
∫
α
=
a
dxxfS ).(
+
∫
β
α
dxxf ).(
+
∫
β
b
dxxf ).(
oAj!pq"rUV:
;sU<V- nB-
TT'
♦ HĐGĐ của (c) và trục hoành là nghiệm
của phương trình: f(x) = 0
=
=
⇔
bx
ax
∫∫
==
b
a
b
a
dxxfdxxfS ).(.)(
=oAj!pq"r
Y
U
1
V:;sU<V-U
2
V:;U<V-$
Y
<;$_<;"
P.Pháp
• DTHP cần tìm là:
dxxgxfS
b
a
.)()(
∫
−=
• HĐGĐ của hai đường (c
1
) và (c
2
)
là nghiệm của p.trình: f(x) – g(x)
= 0
Lập luận giống phần số 1
c Wj#W
1. Hình phẳng (H) giới hạn bởi: x= a; x =
b; trục ox và y = f(x) liên tục trên đoạn
[ ]
ba;
. Khi (H) quay quanh trục ox tạo ra
vật thể có thể tích:
[ ]
dxxfV
b
a
.)(.
2
∫
π=
2. Hình phẳng (H) giới hạn bởi: y = a; y =
b; trục oy và x = g(x) liên tục trên đoạn
[ ]
ba;
. Khi (H) quay quanh trục oy tạo ra vật
5
TÓM TẮT KIẾN THỨC MÔN GIẢI TÍCH LỚP 12
thể có thể tích:
[ ]
dyygV
b
a
.)(.
2
∫
π=
.
c79Tt
• Số i : i
2
= -1
• Số phức dạng : z = a + bi ; a,b R
• Modun của số phức :
2 2
z a b= +
• Số phức liên hợp của z = a + bi là
z a bi= −
'.'.;''; zzzzzzzzzz =+=+=
;
z z
z z
′ ′
=
÷
0z ≥
với mọi
z ∈£
,
0 0z z= ⇔ =
.
z z=
;
zz z z
′ ′
=
;
z
z
z z
′
′
=
;
z z z z
′ ′
+ ≤ +
z là số thực
zz =⇔
; z là số ảo
zz −=⇔
• a+ bi = c + di
a c
b d
=
⇔
=
• (a + bi) + (c + di) = (a +c) + (b + d)i
• (a + bi) - (c + di) = (a -c) + (b - d)i
• (a + bi)(c + di) = (ac-bd) + (ad + bc)i
•
( ) ( )
2 2
a bi c di
a bi
c di
c d
+ −
+
=
+
+
Ta có:
1 2 3 4
, 1, , 1i i i i i i= = − = − =
.
4 4 1 4 2 4 3
1, , 1,
n n n n
i i i i i i
+ + +
= = = − = −
.
( )
2
1 2i i+ =
;
( )
2
1 2i i− = −
.
Các căn bậc hai của số thực a < 0 là :
i a±
uv !"#$ :
ax
2
+ bx + c = 0 ( a khác 0 ;
, ,a b c R∈
)
Đặt
2
4b ac∆ = −
o Nếu
∆
= 0 thì phương trình
có một nghiệm kép(thực) : x
=
2
b
a
−
o Nếu
∆
> 0 thì phương trình
có hai nghiệm thực :
1,2
2
b
x
a
− ± ∆
=
o Nếu
∆
< 0 thì phương trình
có hai nghiệm phức :
1,2
2
b i
x
a
− ± ∆
=
.[)wcx
Nếu phương trình bậc hai
2
0az bz c+ + =
(
, , , 0a b c a∈ ≠£
) có
hai nghiệm
1 2
,z z
thì :
1 2
b
z z
a
+ = −
và
1 2
c
z z
a
=
.
.[)wLBX$[)wcx
Nếu hai số
1 2
,z z
có tổng
1 2
z z S+ =
và
1 2
z z P=
thì
1 2
,z z
là
nghiệm của phương trình :
2
0z Sz P− + =
.
6