Cơ sở giải tích lồi

CƠ SỞ
GIẢI TÍCH LỒI
Huỳnh Thế Phùng
Đại học Khoa học, Đại học Huế
Mục lục
Lời nói đầu 5
Chương 1 Tập lồi trên không gian vec-tơ 7
1.1 Tập affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Tập lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3 Nón và Quan hệ thứ tự . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4 Định lí Carathéodory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.5 Định lí Hahn-Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.6 Điểm bọc, điểm dính tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.7 Hàm cỡ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.8 Định lí tách trong không gian vec-tơ . . . . . . . . . . . . 25
Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Chương 2 Không gian tôpô lồi địa phương 31
2.1 Không gian tôpô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2 Không gian vec-tơ tôpô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.3 Không gian tôpô lồi địa phương . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.4 Tôpô lồi địa phương mạnh nhất . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.5 Không gian tích - Phần bù tôpô . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.6 Sự liên tục của hàm cỡ - Nửa chuẩn . . . . . . . . . . . . . 50
Mục lục 3
2.7 Các tính chất tôpô của tập lồi . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.8 Nón lùi xa của tập lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Chương 3 Không gian liên hợp 61
3.1 Phiếm hàm tuyến tính liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.2 Định lí Tách . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.3 Tôpô yếu trên X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.4 Tôpô yếu* trên X
∗
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.5 Cặp đối ngẫu tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.6 Trường hợp không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . 76
3.7 Nón liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
Chương 4 Hàm lồi 87
4.1 Định nghĩa hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.2 Các phép toán trên hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.3 Hàm nửa liên tục dưới . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.4 Hàm lồi liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.5 Biểu diễn hàm lồi theo hàm affine . . . . . . . . . . . . . . 101
4.6 Hàm tựa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.7 Hàm liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
4.8 Hàm K−lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
4 Mục lục
Chương 5 Dưới vi phân 115
5.1 Định nghĩa dưới vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
5.2 Mối liên hệ với khái niệm đạo hàm . . . . . . . . . . . . . 117
5.3 Các phép toán qua dưới vi phân . . . . . . . . . . . . . . . 124
5.4 Các định lí giá trị trung bình . . . . . . . . . . . . . . . . 130
5.5 Tính đơn điệu của dưới vi phân và gradient . . . . . . . . 135
Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
Chương 6 Các điều kiện tối ưu 139
6.1 Sự tồn tại nghiệm của hệ bất đẳng thức lồi . . . . . . . . . 139
6.2 Bài toán tối ưu - Các định lí tồn tại cơ bản . . . . . . . . . 145
6.3 Nón tiếp xúc và nón pháp tuyến . . . . . . . . . . . . . . . 148
6.4 Hướng chấp nhận được và hướng giảm . . . . . . . . . . . 158

6.5 Điều kiện tối ưu cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
6.6 Các điều kiện tối ưu điểm yên ngựa . . . . . . . . . . . . . 163
6.7 Các điều kiện tối ưu dạng điểm dừng . . . . . . . . . . . . 168
6.8 Điều kiện tối ưu dạng điểm dừng suy rộng . . . . . . . . . 175
Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
Tài liệu tham khảo 179
Danh mục kí hiệu 179
Danh mục từ khoá 182
LỜI NÓI ĐẦU
Từ những công trình đầu tiên trên tập lồi của Minkowski, Helly
đến nay giải tích lồi đã trải qua gần tròn một thế kỷ hình thành và
phát triển, và hiện đã trở thành một lĩnh vực nghiên cứu quan trọng
của toán học hiện đại, ở đó xuất hiện ngày càng nhiều các kết quả
đẹp mà có thể được sử dụng như các công cụ sắc bén trong việc khảo
cứu các lĩnh vực khác của toán học như phép tính biến phân, phương
trình đạo hàm riêng, lí thuyết xác suất và đặc biệt là lí thuyết tối ưu.
Những nhà toán học có nhiều đóng góp quan trọng vào lĩnh vực này
có thể kể đến F. Berstein, A. Brønsted, F. Browder, C. Carathéodory,
Ky Fan, W. Fenchel, D. Gale, E.G. Goldstein, B. Gr¨umbaum, P.C. Ham-
mer, E. Helly, R. Holmes, B. Jensen, P.J. Kelly, V.L. Klee, Đ.T. Lục,
H. Minkowski, J.J. Moreau, T.S. Motzkin, J P. Penot, B. Pshenichnyi,
R.T. Rockafellar, S.N. Robinson, E.G. Strauss, H. Tietze, A.W. Tucker,
Hoàng Tụy, F.A. Valentine, D.E. Varberg . . . Một điều thú vị là, mặc dù
rất gần gũi với một lĩnh vực khá trừu tượng là giải tích hàm, hầu hết các
kết quả sâu sắc trong giải tích lồi đều có liên quan hoặc phụ thuộc vào
đặc điểm hình học của tập lồi, nên thường được giải thích, minh họa một
cách sáng sủa. Cũng nhờ vậy, qua giải tích lồi, nhiều kết quả quan trọng
trong giải tích hàm đã được làm sáng tỏ một cách không ngờ. Giáo trình
này nhằm cung cấp cho độc giả những kết quả cơ bản nhất của giải tích
lồi, mà đã trở thành kinh điển của giải tích hiện đại, thông qua sự sắp xếp

của tác giả dựa trên kinh nghiệm giảng dạy nhiều năm cho sinh viên và
học viên cao học ngành toán. Mặc dù phần lớn các kết quả vẫn còn đúng
cho các không gian trên trường số phức, toàn bộ giáo trình này chỉ khảo
sát trên không gian vec-tơ và không gian lồi địa phương thực. Nội dung
6 Lời nói đầu
giáo trình gồm 6 chương. Chương Một trình bày các khái niệm và tính
chất của tập lồi trên không gian vec-tơ (không có tôpô) cùng các định lí
quan trọng như Định lí Carathéodory, Định lí Hanh-Banach và Định lí
Tách cơ bản. Chương Hai khảo sát các tính chất tôpô của tập lồi trong
không gian lồi địa phương. Chương Ba giới thiệu không gian liên hợp và
các định lí tách tập lồi. Các tôpô yếu và cặp đối ngẫu cũng được khảo
sát tỉ mỉ trong chương này. Chương Bốn trình bày khái niệm hàm lồi, các
kết quả cơ bản về tính liên tục, hàm liên hợp, hàm tựa và các phép toán
trên hàm lồi. Khái niệm dưới vi phân của hàm lồi cùng các phép toán
trên dưới vi phân được trình bày trong Chương Năm. Các định lí giá trị
trung bình và tính đơn điệu của dưới vi phân cũng được thiết lập trong
chương này. Chương cuối cùng dành để khảo sát các điều kiện tối ưu sử
dụng công cụ giải tích lồi. Tài liệu này được viết dành cho sinh viên, học
viên cao học ngành toán và cả những nhà nghiên cứu có sử dụng công
cụ giải tích lồi. Người đọc cần có các kiến thức đại số tuyến tính, tôpô
đại cương và một ít kiến thức giải tích hàm trước khi đọc giáo trình này.
Tuy vậy, để tài liệu mang tính độc lập tương đối, ngoại trừ các kết quả
cơ bản của tôpô đại cương ở đầu Chương Hai, hầu hết các kết quả nêu
trong giáo trình đều được chứng minh chi tiết. Để tạo điều kiện cho người
đọc củng cố kiến thức và tự mình khám phá sâu hơn, rãi rác trong từng
chương và cuối mỗi chương chúng tôi có đưa thêm các bài tập, mà một số
trong chúng có thể được sử dụng lại như những bổ đề để chứng minh các
kết quả khác. Vì tính sư phạm, phần lớn các bài tập cho không gian vô
hạn chiều chỉ sử dụng các không gian l
p

. Người đọc có kiến thức tốt về lí
thuyết độ đo có thể dễ dàng phát biểu lại các bài tập này trên các không
gian L
p
(Ω) tương ứng và giải. Một số hình vẽ minh hoạ trong tài liệu cũng
nằm trong nỗ lực của chúng tôi nhằm làm cho người đọc trực nhận vấn
đề nhanh hơn. Mặc dù đã cố gắng hết sức, tài liệu vẫn khó tránh khỏi các
thiếu sót. Tác giả rất mong nhận được các ý kiến đóng góp từ quý đồng
nghiệp và các bạn.
Chương 1
Tập lồi
trên không gian vec-tơ
1.1 Tập affine
Cho X là một không gian vec-tơ trên trường số thực và x, y ∈ X, ta
kí hiệu L(x, y), [x, y], (x, y) và [x, y ) lần lượt là đường thẳng đi qua x, y,
đoạn thẳng, khoảng mở và nửa khoảng nối hai điểm x và y. Tức là
L(x, y) = {λx + (1 − λ)y | λ ∈ R},
[x, y] = {λx + (1 − λ)y | λ ∈ [0, 1]},
(x, y) = [x, y] \{x, y},
[x, y) = [x, y] \{y}.
Vậy, nếu x = y thì [x, y] = L(x, y) = {x}, còn [x, y) = (x, y] = (x, y) = ∅.
x
y
xx
x
y
x
y
L(x, y) [x, y] [x, y)
Hình 1.1. Đường thẳng, đoạn thẳng và nửa khoảng

8 1.1. Tập affine
Một tập con M của X được gọi là đa tạp affine, hay đơn giản là tập
affine, nếu với mọi cặp điểm x, y ∈ M ta có L(x, y) ⊆ M. Chẳng hạn
trong không gian ba chiều, tập hợp một điểm, đường thẳng, mặt phẳng
là các tập affine. Trong khi đó, hình cầu, hình đa giác nói chung không
phải là tập affine.
M
x
y
Hình 1.2. M là tập affine
Từ định nghĩa này ta có ngay tính chất sau:
Mệnh đề 1.1. Giao của một họ bất kì các tập affine là một tập affine.
Cho A ⊆ X là một tập con của X. Ta gọi bao affine của A, kí hiệu
aff A, là giao của tất cả các tập affine chứa A. Từ Mệnh đề 1.1, aff A là
tập affine và là tập affine bé nhất chứa A. Thật ra tập aff A có thể được
biểu diễn một cách tường minh hơn. Ta gọi vec-tơ có dạng
x =
m

i=1
λ
i
a
i
, với λ
i
∈ R, 1 ≤ i ≤ m, thoả mãn
m

i=1

λ
i
= 1,
là một tổ hợp affine của các vec-tơ {a
1
, . . . , a
m
}. Ta có kết quả cơ bản sau:
Mệnh đề 1.2.
a) Một tập affine thì chứa mọi tổ hợp affine của các vec-tơ của nó,
b) aff A = {x | x là tổ hợp affine của các vec-tơ thuộc A},
c) A là tập affine khi và chỉ khi A = aff A,
d) A là tập affine khi và chỉ khi với mọi a ∈ A, A − a là một không
gian con của X. Nói cách khác, A = a + V với V là một không gian con
của X. Hơn nữa, không gian V được xác định duy nhất bởi A.
Chương 1. Tập lồi trên không gian vec-tơ 9
Chứng minh. (c) được suy ra trực tiếp từ định nghĩa của bao affine.
a) Giả sử A là tập affine. Với mọi a
i
∈ A và λ
i
∈ R, 1 ≤ i ≤ m, sao
cho

λ
i
= 1, ta chứng minh
x =
m


i=1
λ
i
a
i
∈ A.
Trường hợp m = 1 hoặc m = 2 là tầm thường. Giả sử khẳng định là đúng
với m = k − 1 ≥ 2 ta chứng minh cho trường hợp m = k. Vì không thể
xảy ra trường hợp λ
i
= 1 với mọi i, ta có thể giả thiết λ
k
= 1. Đặt
λ =
k−1

i=1
λ
i
= 1 −λ
k
= 0.
Lúc đó, theo giả thiết qui nạp, b :=
k−1

i=1
λ
i
λ
a

i
∈ A. Vì vậy
x = λb + (1 − λ)a
k
∈ A.
b) Đặt B là tập ở vế phải. Dễ kiểm chứng được rằng B là tập affine
và B ⊇ A. Vì vậy B ⊇ aff A. Mặt khác, theo a) ta cũng có bao hàm thức
ngược lại.
d) Giả sử A là tập affine và a ∈ A. Ta chứng minh V = A − a là
một không gian con. Với mọi u, v ∈ A −a và λ, µ ∈ R, ta có u = a
1
− a,
v = a
2
− a với a
1
, a
2
∈ A, do đó
λu + µv = λa
1
+ µa
2
+ (1 −λ −µ)a − a ∈ A −a
(vì λa
1
+ µa
2
+ (1 −λ −µ)a là một tổ hợp affine các vec-tơ thuộc A). Vậy
A − a là một không gian con của X. Giả sử ngược lại, A = a + V với V

là không gian con. Với mỗi x, y ∈ A và λ ∈ R ta có
λx + (1 − λ)y = λ(x −a) + (1 − λ)(y − a) + a ∈ V + a = A.
Vậy A là tập affine. Để chứng minh tính duy nhất của V ta lấy bất kì a,
a
1
, a
2
∈ A. Lúc đó a − a
1
+ a
2
∈ A, vì đó là một tổ hợp affine các vec-tơ
10 1.1. Tập affine
thuộc A. Từ đây suy ra A−a
1
+a
2
⊆ A, hay A−a
1
⊆ A−a
2
. Do bao hàm
thức đúng với mọi a
1
, a
2
∈ A nên V = A −a không phụ thuộc vào a.
Không gian con (duy nhất) V trong mệnh đề trên được gọi là không
gian con song song với A. Ta gọi chiều và đối chiều của A chính là chiều
và đối chiều của V , tức là dim A := dim V và codim A := codim V. Nếu

codim A = 1 ta nói A là một siêu phẳng.
Một ánh xạ F từ X vào một không gian vec-tơ thực Y được gọi là
ánh xạ tuyến tính nếu
F (λx
1
+ µx
2
) = λF (x
1
) + µF (x
2
), ∀x
1
, x
2
∈ X, λ, µ ∈ R.
Có thể kiểm chứng được tập hợp L(X, Y ) các ánh xạ tuyến tính từ X vào
Y cũng là một không gian vec-tơ thực với các phép toán cộng ánh xạ và
tích của ánh xạ với số vô hướng. Khi Y = R, ta ký hiệu X
#
:= L(X, R),
là không gian các phiếm hàm tuyến tính trên X. Có thể chứng minh được
rằng, với mọi F ∈ L(X, Y ), tập
Ker F := {x ∈ X | F (x) = 0}
là một không gian con của X. Đặc biệt, nếu f ∈ X
#
\ {0} thì Ker f là
một không gian con có đối chiều bằng 1. Tổng quát hơn ta có kết quả sau:
Mệnh đề 1.3. Một tập con A của X là siêu phẳng khi và chỉ khi tồn tại
f ∈ X

#
\ {0} và α ∈ R sao cho
A = f
−1
(α) = {x ∈ X | f(x) = α}.
Chứng minh. Giả sử A là siêu phẳng, ta có A = a + V với V là không
gian con có đối chiều bằng 1. Lấy x
0
∈ X \ V ta có X = V + span{x
0
},
trong đó span{x
0
} là không gian sinh bởi x
0
. Với mọi x ∈ X, tồn tại duy
nhất v ∈ V và λ ∈ R sao cho x = v + λx
0
. Bằng cách đặt f(x) = λ ta
có f là một phiếm hàm tuyến tính trên X với Ker f = V . Bây giờ đặt
Chương 1. Tập lồi trên không gian vec-tơ 11
α = f(a) ta có A = f
−1
(α). Ngược lại, nếu A = f
−1
(α) với f ∈ X
#
\{0},
thì có thể kiểm chứng được ngay A là một tập affine song song với Ker f,
nên là một siêu phẳng trong X.

1.2 Tập lồi
Một tập hợp C ⊆ X được gọi là lồi nếu với mọi cặp điểm x, y ∈ C
ta có (x, y) ⊆ C. Nói cách khác, C lồi nếu với mọi x, y ∈ C và λ ∈ (0, 1)
ta có λx + (1 − λ)y ∈ C. Trong không gian R
n
, mặt phẳng, đoạn thẳng,
đường thẳng, tam giác, hình cầu cho ta các hình ảnh về tập lồi. Trong khi
mặt cầu, đường cong nói chung không phải là tập lồi.
x
y
x
y
Hình 1.3. Tập lồi và tập không lồi
Kết quả dưới đây là hiển nhiên:
Mệnh đề 1.4. Giao của một họ bất kì các tập lồi là lồi.
Nếu C là tập lồi, ta định nghĩa số chiều của C chính là số chiều của
aff C. Tức là dim C := dim aff C.
Tương tự bao affine, ta gọi bao lồi của một tập A ⊆ X, kí hiệu co A,
là giao của tất cả các tập lồi chứa A. Từ Mệnh đề 1.4, co A cũng là một
tập lồi và là tập lồi bé nhất chứa A.
Một tổ hợp affine
x =
m

i=1
λ
i
a
i
12 1.2. Tập lồi

A
co A
Hình 1.4. Bao lồi của một tập
với các hệ số λ
i
không âm, được gọi là một tổ hợp lồi của các vec-tơ
{a
1
, . . . , a
m
}. Với một kĩ thuật tương tự như đã thực hiện với tập affine,
ta nhận được kết quả sau:
Mệnh đề 1.5.
a) Một tập lồi thì chứa mọi tổ hợp lồi của các vec-tơ của nó,
b) co A = {x | x là tổ hợp lồi của các vec-tơ thuộc A},
c) C là tập lồi khi và chỉ khi C = co C.
Một tập A ⊆ X được gọi là cân đối nếu với mọi |λ| ≤ 1 ta có λA ⊆ A.
Lúc đó, A = −A, hơn nữa nếu A = ∅ thì 0 ∈ A. Một tập vừa lồi vừa cân
đối được gọi là tập tuyệt đối lồi.
Mệnh đề 1.6.
a) Cho A, B ⊆ X là các tập lồi, α ∈ R. Lúc đó A + B, αA cũng lồi;
b) Ảnh và ảnh ngược của một tập lồi (cân đối) qua một ánh xạ tuyến
tính là tập lồi (cân đối).
Chứng minh.
a) Lấy a
1
, a
2
∈ A, b
1

, b
2
∈ B và λ ∈ (0, 1) ta có
λ(a
1
+ b
1
) + (1 −λ)(a
2
+ b
2
) = [λa
1
+ (1 −λ)a
2
] + [λb
1
+ (1 −λ)b
2
] ∈ A + B,
Chương 1. Tập lồi trên không gian vec-tơ 13
λ(αa
1
) + (1 − λ)(αa
2
) = α(λa
1
+ (1 −λ)a
2
) ∈ αA.

Vậy A + B và αA là các tập lồi.
b) Giả sử F ∈ L(X, Y ) và A ⊆ X, B ⊆ Y là các tập lồi. Với mọi
x
1
, x
2
∈ A và λ ∈ (0, 1) ta có
λF (x
1
) + (1 − λ)F (x
2
) = F (λx
1
+ (1 −λ)x
2
) ∈ F (A).
Suy ra F (A) là tập lồi. Với mọi x
1
, x
2
∈ F
−1
(B) (tức F (x
1
), F (x
2
) ∈ B)
và λ ∈ (0, 1) ta có
F (λx
1

+(1−λ)x
2
) = λF (x
1
)+(1−λ)F (x
2
) ∈ B ⇒ λx
1
+(1−λ)x
2
∈ F
−1
(B).
Vậy F
−1
(B) cũng lồi. Cuối cùng nếu A ⊆ X, B ⊆ Y là các tập cân đối thì
do λF (A) = F(λA) và λF
−1
(B) = F
−1
(λB) nên F (A) và F
−1
(B) cũng
là các tập cân đối.
Cho E là một tập con của tập lồi C. E được gọi là tập bán cực biên
của C, hay C-bán cực biên, nếu C \E là tập lồi, và E là tập cực biên của
C, hay C-cực biên, nếu
∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ (0, 1) :

λx + (1 − λ)y ∈ E =⇒ x, y ∈ E


.
Rõ ràng, một tập C-cực biên cũng là C-bán cực biên và đối với tập đơn tử:
E = {¯x} thì hai khái niệm này là trùng nhau, lúc đó ta nói ¯x là điểm cực
biên của C. Tập tất cả các điểm cực biên của C được kí hiệu là ext(C).
Để minh hoạ ta xét C là một hình tròn (không suy biến) trên mặt phẳng
với biên là đường tròn L, lúc đó ext(C) = L, bản thân C và mọi tập con
của L đều là tập C-cực biên, trong khi mọi nửa hình tròn là tập C-bán
cực biên nhưng không phải là C-cực biên. Ta dễ dàng kiểm chứng được
kết quả sau:
Bổ đề 1.1. Cho C là tập lồi trong X.
a) Hợp của một họ các tập C-(bán) cực biên là tập C-(bán) cực biên;
14 1.3. Nón và Quan hệ thứ tự
b) Giao của một họ lồng nhau (tức mọi cặp tập đều so sánh được theo
quan hệ bao hàm) các tập C-(bán) cực biên cũng là tập C-(bán) cực biên;
c) Cho E ⊆ D ⊆ C, với D là tập C-cực biên. Nếu E là D-(bán) cực
biên thì E cũng C-(bán) cực biên;
d) Nếu E là C-cực biên thì ext(E) = ext(C) ∩E.
1.3 Nón và Quan hệ thứ tự
Một tập K ⊆ X được gọi là nón nếu với mọi điểm k ∈ K và λ > 0
ta có λk ∈ K. Nếu hơn nữa, K là tập lồi, thì nó sẽ được gọi là nón lồi.
Một tổ hợp tuyến tính
m

i=1
λ
i
a
i
sẽ được gọi là một tổ hợp dương nếu λ

i
≥ 0 với mọi i, là tổ hợp dương
chặt nếu tồn tại ít nhất một hệ số λ
i
> 0. Các khẳng định dưới đây có
thể được kiểm chứng dễ dàng.
O O
Hình 1.5. Nón và nón lồi
Mệnh đề 1.7.
a) Giao của một họ bất kì các nón (nón lồi) là nón (nón lồi),
b) Nếu K, L là các nón (nón lồi) thì K + L cũng là nón (nón lồi).
Chương 1. Tập lồi trên không gian vec-tơ 15
Ta lần lượt gọi bao nón và bao nón lồi của một tập A ⊆ X, kí hiệu
con A và con co A, là nón và nón lồi bé nhất chứa A.
A
conA
concoA
coA
O
O
O
Hình 1.6. Bao nón và bao nón lồi
Mệnh đề 1.8.
a) con A = {λa | λ > 0; a ∈ A},
b) con co A = {x | x là tổ hợp dương chặt của A}.
Chứng minh.
a) Dễ kiểm chứng rằng tập ở vế phải là nón bé nhất chứa A.
b) Đặt K là tập ở vế phải. Ta kiểm chứng được K là nón lồi chứa A,
vì thế K ⊇ con co A. Ngược lại, lấy k ∈ K \{0} ta có
k =

m

i=1
λ
i
a
i
với a
i
∈ A, λ
i
≥ 0 và λ =
m

i=1
λ
i
> 0.
Do a
i
∈ A ⊆ con co A nên
k = λ
m

i=1
λ
i
λ
a
i

∈ con co A.
Cuối cùng, nếu 0 ∈ K thì hiển nhiên 0 ∈ con co A. Vậy K ⊆ con co A.
Mệnh đề 1.9. Nếu K
1
, K
2
là các nón lồi chứa gốc thì
K
1
+ K
2
= co(K
1
∪ K
2
).
16 1.3. Nón và Quan hệ thứ tự
Chứng minh. Vì K
1
, K
2
đều chứa gốc nên K
1
+ K
2
⊇ K
1
∪ K
2
. Từ đó

K
1
+ K
2
⊇ co(K
1
∪ K
2
). Ngược lại lấy bất kì k
i
∈ K
i
, i = 1, 2, ta có
2k
i
∈ K
i
⊆ co(K
1
∪ K
2
), suy ra
k
1
+ k
2
=
1
2
(2k

1
+ 2k
2
) ∈ co(K
1
∪ K
2
).
Vậy K
1
+ K
2
⊆ co(K
1
∪ K
2
).
Chú ý rằng nếu K
1
hoặc K
2
không chứa gốc thì khẳng định trên không
còn đúng. Chẳng hạn, với K
1
= (0, +∞) ⊂ R và K
2
= [0, +∞) ⊂ R. Ta
có K
1
+ K

2
= (0, +∞) trong khi đó co(K
1
∪ K
2
) = [0, +∞).
Với K là một nón lồi khác rỗng trong X ta có thể định nghĩa một
quan hệ hai ngôi 
K
trên X như sau:
x 
K
y ⇐⇒ y − x ∈ K, ∀x, y ∈ X.
Dễ thấy đây là một quan hệ thứ tự (thoả mãn tính chất bắc cầu, và cả
tính chất phản xạ nếu K chứa gốc) trên X. Vì vậy ta gọi “ 
K
” là quan hệ
thứ tự sinh bởi nón K. Chú ý rằng quan hệ này còn thoả mãn tính chất:
Nếu x 
K
y thì x + z 
K
y +z và λx 
K
λy với mọi z ∈ X và λ ≥ 0. Một
quan hệ thứ tự thoả mãn các tính chất trên sẽ được gọi là quan hệ thứ tự
vec-tơ và X được gọi là một không gian vec-tơ được sắp thứ tự. Ngược lại,
nếu (X, ≤) là một không gian vec-tơ được sắp thứ tự thì ta có thể kiểm
chứng được rằng tập K = {x ∈ X | 0 ≤ x} là một nón lồi trong X và “≤”
chính là quan hệ thứ tự được sinh bởi K.

Một ví dụ quen thuộc về không gian được sắp thứ tự là R
n
. Lúc đó
nón K = R
n
+
sẽ xác định một quan hệ thứ tự “≤”: Với mọi x, y ∈ R
n
ta có
x ≤ y ⇐⇒ x 
K
y ⇐⇒ y − x ∈ R
n
+
⇐⇒ x
i
≤ y
i
, 1 ≤ i ≤ n.
Hơn nữa, tập H = {x ∈ R
n
| x
i
> 0, ∀i} cũng là nón lồi và sinh ra quan
hệ thứ tự “<”:
x < y ⇐⇒ x 
H
y ⇐⇒ y − x ∈ H ⇐⇒ x
i
< y

i
, 1 ≤ i ≤ n.
Chương 1. Tập lồi trên không gian vec-tơ 17
1.4 Định lí Carathéodory
Định lí 1.10. Cho A ⊆ X. Lúc đó, với mọi k ∈ (con co A) \ {0}, tồn tại
hệ độc lập tuyến tính {a
1
, a
2
, . . . , a
m
} ⊆ A và các số dương λ
1
, . . . , λ
m
sao
cho k = λ
1
a
1
+ λ
2
a
2
+ ··· + λ
m
a
m
.
Chứng minh. Do k ∈ con co A \ {0}, k được biểu diễn dưới dạng tổ hợp

dương của các vec-tơ thuộc A:
k =
m

i=1
λ
i
a
i
, λ
i
> 0, a
i
∈ A; ∀i.
Nếu hệ {a
1
, a
2
, . . . , a
m
} phụ thuộc tuyến tính, thì tồn tại bộ hệ số
(µ
1
, . . . , µ
m
), với ít nhất một µ
j
> 0, sao cho
m


i=1
µ
i
a
i
= 0.
Bây giờ nếu đặt
t
0
= min

λ
j
µ
j



µ
j
> 0

=
λ
s
µ
s
,
ta được
¯

λ
i
:= λ
i
− t
0
µ
i
≥ 0, với mọi 1 ≤ i ≤ m,
¯
λ
s
= 0 và
k =

i=s
¯
λ
i
a
i
là tổ hợp dương của {a
1
, . . . , a
s−1
, a
s+1
, . . . , a
m
}.

Lặp lại thủ tục trên một số hữu hạn lần ta biểu diễn được k dưới dạng tổ
hợp dương của một hệ độc lập tuyến tính.
Định lí 1.11 (Carathéodory). Giả sử dim X = n < ∞ và A ⊆ X. Lúc
đó, với mọi x ∈ co A, x là tổ hợp lồi của một họ có không quá n+1 vec-tơ
thuộc A. Tức là tồn tại hệ {a
0
, a
1
, . . . , a
m
} ⊆ A, với m ≤ n, và các số
λ
0
, . . . , λ
m
≥ 0 sao cho
m

i=0
λ
i
= 1 và x =
m

i=0
λ
i
a
i
.

18 1.5. Định lí Hahn-Banach
Chứng minh. Đặt Y = X × R và B = {(x, 1) | x ∈ A} ⊆ Y . Dễ
thấy co B = co A × {1}. Do đó, với mọi x ∈ co A ta có y = (x, 1) ∈
co B ⊆ con co B. Theo Định lí 1.10, tồn tại m vec-tơ độc lập tuyến tính
{(a
0
, 1), (a
1
, 1), . . . , (a
m
, 1)} ⊆ B và các số dương λ
i
sao cho
(x, 1) =
m

i=0
λ
i
(a
i
, 1),
tức là
x =
m

i=0
λ
i
a

i
;
m

i=0
λ
i
= 1.
Cuối cùng, chú ý rằng dim Y = n + 1, ta khẳng định m ≤ n.
1.5 Định lí Hahn-Banach
Ánh xạ ϕ : X → R được gọi là một phiếm hàm dưới tuyến tính nếu
nó thoả mãn hai tính chất sau:
a) ϕ(x + y) ≤ ϕ(x) + ϕ(y) với mọi x, y ∈ X (dưới cộng tính);
b) ϕ(λx) = λϕ(x) với mọi λ > 0 và x ∈ X (thuần nhất dương).
Định lí 1.12 (Hahn-Banach). Cho ϕ là một phiếm hàm dưới tuyến tính
trên X, M là một không gian con của X và f ∈ M
#
thoả mãn
f(m) ≤ ϕ(m); ∀m ∈ M.
Lúc đó, tồn tại F ∈ X
#
sao cho
a) F|
M
= f;
b) F(x) ≤ ϕ(x) với mọi x ∈ X.
Chứng minh. Ta xét tập hợp U mà mỗi phần tử của nó là một cặp (Y, g)
trong đó M ≤ Y ≤ X, g ∈ Y
#
, g|

M
= f và g(y) ≤ ϕ(y) với mọi y ∈ Y .
Chương 1. Tập lồi trên không gian vec-tơ 19
graph f
graph F
M
X
epi ϕ
R
O
Hình 1.7. Minh hoạ Định lí Hahn-Banach.
Trên U ta định nghĩa quan hệ hai ngôi ≺ xác định bởi
(Y, g) ≺(Z, h) ⇐⇒ Y ≤ Z; h|
Y
= g.
Có thể kiểm chứng (U, ≺) là một không gian thứ tự, trong đó mọi tập con
sắp thẳng đều tồn tại phần tử cận trên. Theo Bổ đề Zorn, trong U tồn
tại phần tử tối đại (Y, g). Ta sẽ chỉ ra Y = X và điều đó kết thúc chứng
minh. Giả sử ngược lại rằng tồn tại v ∈ X \Y . Với mọi cặp y, z ∈ Y ta có
g(y) − g(z) = g(y − z) ≤ ϕ(y − z) ≤ ϕ(y + v) + ϕ(−z − v),
suy ra
λ = sup{g(y) − ϕ(y + v) | y ∈ Y } ≤ µ = inf{g(z) + ϕ(−z − v) | z ∈ Y }.
Với mỗi y ∈ Y và t ∈ R ta đặt h(y + tv) = g(y) − tλ. Dễ kiểm chứng
được rằng h ∈ Z
#
, với Z = Y + span{v}, thỏa mãn h|
Y
= g. Mặt khác,
h(y + tv) ≤ ϕ(y + tv) với mọi y + tv ∈ Z. Thật vậy, nếu t > 0 thì do
λ ≥ g


y
t

− ϕ

y
t
+ v

ta có
h(y + tv) = g(y) − tλ ≤ g(y) − t

g

y
t

− ϕ

y
t
+ v

= ϕ(y + tv ),
còn nếu t < 0 thì do λ ≤ g

y
t


+ ϕ

−
y
t
− v

ta có
h(y + tv) = g(y) − tλ ≤ g(y) − t

g

y
t

+ ϕ

−
y
t
− v

= ϕ(y + tv ).
20 1.6. Điểm bọc, điểm dính tuyến tính
Tóm lại, (Y, g) = (Z, h) ∈ U và (Y, g) ≺(Z, h), mâu thuẫn với giả thiết
(Y, g) là phần tử tối đại. Vậy Y = X và F = g là phiếm hàm cần tìm.
Hệ quả 1.1. Cho X là không gian định chuẩn và M là không gian con
của X. Lúc đó, với mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục f trên M, tồn tại
phiếm hàm tuyến tính liên tục F trên X sao cho
F |

M
= f và F  = f.
Chứng minh. Sử dụng Định lí Hahn-Banach với ϕ(x) = fx.
Hệ quả 1.2. Cho X là không gian định chuẩn và x
0
∈ X \ { 0}. Lúc đó,
tồn tại phiếm hàm tuyến tính liên tục f trên X sao cho
f = 1 và f(x
0
) = x
0
.
Chứng minh. Dùng Hệ quả 1.1 với M = span{x
0
} và f(λx
0
) = λx
0
.
1.6 Điểm bọc, điểm dính tuyến tính
Một tập con A của X được gọi là hấp thụ nếu
∀v ∈ X, ∃ε > 0, (−εv, εv) ⊆ A.
Một điểm x
0
được gọi là điểm bọc của A nếu A − x
0
là hấp thụ. Tập tất
cả các điểm bọc của A, kí hiệu core A, được gọi là lõi của A. Như vậy,
x
0

∈ core A ⇐⇒ ∀v ∈ X, ∃ε > 0, ∀λ ∈ (−ε, ε) : x
0
+ λv ∈ A.
Một tập có lõi khác rỗng được gọi là tập đặc. Một điểm y ∈ X được gọi
là điểm dính tuyến tính của A nếu tồn tại a ∈ A sao cho [a, y) ⊆ A. Tập
hợp tất cả các điểm dính tuyến tính của A được kí hiệu là lin A. Vậy
lin A := {y ∈ X | ∃a ∈ A, [a, y) ⊆ A}.
Chương 1. Tập lồi trên không gian vec-tơ 21
x
0
A
A − x
0
Hình 1.8. x
0
là điểm bọc của A
Rõ ràng, khái niệm điểm bọc là một mở rộng của khái niệm điểm trong
của không gian định chuẩn, trong khi điểm dính tuyến tính lại là một khái
niệm chặt hơn điểm dính (xem Bài tập 2.7, 2.10).
Mệnh đề 1.13. Nếu C ⊆ X là tập lồi, thì core C và lin C cũng vậy.
Chứng minh. Giả sử c
1
, c
2
∈ core C và t ∈ (0, 1). Lúc đó, với mọi v ∈ X
tồn tại ε > 0 sao cho c
i
+ λv ∈ C với mọi λ ∈ (−ε, ε). Vì C lồi nên
tc
1

+ (1 −t)c
2
+ λv = t(c
1
+ λv) + (1 −t)(c
2
+ λv) ∈ C với mọi λ ∈ (−ε, ε).
Vậy tc
1
+ (1 −t)c
2
∈ core C, hay core C lồi.
Để chứng minh lin C lồi ta lấy y
1
, y
2
∈ lin C và t ∈ (0, 1). Theo định
nghĩa, tồn tại c
1
, c
2
∈ C sao cho [c
1
, y
1
) ⊆ C và [c
2
, y
2
) ⊆ C. Dễ kiểm

chứng được rằng [c
t
, ty
1
+ (1 −t) y
2
) ⊆ C với c
t
:= tc
1
+ (1 −t) c
2
∈ C. Vậy
ty
1
+ (1 −t)y
2
∈ lin C, hay lin C lồi.
Bài tập 1.1. Chứng minh rằng nếu M là tập affine trong không gian
X mà core M = ∅ thì M = X. Từ đó suy ra, nếu A là tập hợp sao cho
core A = ∅ thì aff A = X. Đối với chiều ngược lại, chứng minh rằng nếu A
là tập lồi trong không gian hữu hạn chiều mà aff A = X thì core(A) = ∅.
Định lí sau cho ta một đặc trưng của không gian vô hạn chiều:
Định lí 1.14. X là không gian vô hạn chiều khi và chỉ khi tồn tại tập lồi
C = X sao cho lin C = X.
22 1.7. Hàm cỡ
Chứng minh. Giả sử X hữu hạn chiều và C ⊆ X là tập lồi sao cho lin C =
X, ta chứng minh C = X. Từ các giả thiết ta có ngay core C = ∅ (xem các
bài tập 1.1 và 1.4). Không mất tính tổng quát có thể giả thiết 0 ∈ core C.
Với mỗi x ∈ X, tồn tại x

1
∈ C sao cho [x
1
, 2x) ⊆ C. Vì 0 ∈ core C tồn tại
n ∈ N
∗
sao cho −
1
n
x
1
∈ C. Lúc đó, bằng cách đặt z =
1
n+2
x
1
+
n+1
n+2
2x ta
có z ∈ [x
1
, 2x) ⊆ C và do đó x =
n+2
2n+2
z +
n
2n+2
(−
1

n
x
1
) ∈ C.
Ngược lại, giả sử X vô hạn chiều. Ta có thể chọn một cơ sở sắp thứ
tự tốt {e
i
| i ∈ I} cho X (điều này là có thể, theo Bổ đề Zermelo). Ta
gọi C là tập con các phần tử của X sao cho toạ độ cuối cùng của nó, viết
theo cơ sở này, là dương. Rõ ràng đó là một tập lồi thực sự của X. Ta
sẽ chứng minh lin C = X. Thật vậy, lấy phần tử tuỳ ý x ∈ X, ta có thể
chọn e
j
là vec-tơ cơ sở đứng sau mọi vec-tơ cơ sở tham gia vào biểu diễn
x. Rõ ràng e
j
∈ C và với mọi λ ∈ [0, 1) ta có (1 −λ)e
j
+ λx ∈ C, nghĩa là
[e
j
, x) ⊆ C, hay x ∈ lin C.
1.7 Hàm cỡ
Cho C là một tập lồi hấp thụ trong X. Ta định nghĩa hàm cỡ , hay
phiếm hàm Minkowski, của C là hàm được xác định bởi
p
C
(x) := inf{λ > 0 | x ∈ λC}, x ∈ X.
Vì C hấp thụ nên 0 ≤ p
C

(x) < ∞ với mọi x ∈ X.
Định lí 1.15. p
C
là phiếm hàm dưới tuyến tính và
{x ∈ X | p
C
(x) < 1} = core C; {x ∈ X | p
C
(x) ≤ 1} = lin C.
Từ đó,
C
†
:= {x ∈ X | p
C
(x) < 1} ⊆ C ⊆ {x ∈ X | p
C
(x) ≤ 1} =: C
†
.
Chương 1. Tập lồi trên không gian vec-tơ 23
O
X
R
O
1
C
p
C
Hình 1.9. Đồ thị hàm p
C

Chứng minh.
• p
C
dưới tuyến tính: Với mọi t > 0, x, y ∈ X ta có
p
C
(tx) = inf{λ > 0 | tx ∈ λC} = inf{λ > 0 | x ∈
λ
t
C}
= t inf{µ > 0 | x ∈ µC} = tp
C
(x).
Mặt khác, nếu α = p
C
(x), β = p
C
(y) thì với mọi ε > 0 ta có
x ∈ (α + ε)C, y ∈ (β + ε)C.
Do đó x + y ∈ (α + β + 2ε)C, suy ra p
C
(x + y ) ≤ α + β + 2ε. Điều này
đúng với mọi ε > 0 nên p
C
(x + y) ≤ p
C
(x) + p
C
(y).
• C

†
= core C: Nếu x
0
∈ C
†
thì tồn tại λ ∈ (0, 1) sao cho x
0
∈ λC.
Với mọi v ∈ X tồn tại ε > 0 sao cho (−εv, εv) ⊆ C. Lúc đó
(x
0
− (1 −λ)εv, x
0
+ (1 −λ)εv) ⊆ λC + (1 − λ)C ⊆ C.
Tức là x
0
∈ core C. Ngược lại, nếu x
0
∈ core C thì tồn tại ε > 0 sao cho
x
0
+ εx
0
∈ C. Do đó p
C
(x
0
) ≤
1
1+ε

< 1, nên x
0
∈ C
†
. Vậy C
†
= core C.
• C
†
= lin C: Nếu x
0
∈ C
†
thì, do hàm p
C
thuần nhất dương, ta có
[0, x
0
) ⊆ C. Vì vậy x
0
∈ lin C. Ngược lại, nếu x
0
∈ lin C thì tồn tại c ∈ C
24 1.7. Hàm cỡ
sao cho [c, x
0
) ⊆ C. Với số nguyên dương n đủ lớn ta có c ∈ −nC nên
n
2
− 1

n(1 + n)
x
0
=
n
1 + n

1
n
2
c +
n
2
− 1
n
2
x
0

+
1
1 + n
(−
1
n
c) ∈ C.
Suy ra
p
C
(x

0
) ≤
n(n + 1)
n
2
− 1
.
Cho n → ∞ ta nhận được p
C
(x
0
) ≤ 1, hay x
0
∈ C
†
. Vậy lin C = C
†
.
Bổ đề 1.2. Cho p và q là hai phiếm hàm thuần nhất dương, không âm.
a) Nếu (∀x ∈ X : p(x) < 1 =⇒ q(x) ≤ 1) thì q(x) ≤ p(x) với mọi x,
b) Nếu (∀x ∈ X : p(x) > 1 =⇒ q(x) ≥ 1) thì p(x) ≤ q(x) với mọi x.
Chứng minh. Vì b) là một cách phát biểu khác của a) nên ta chỉ cần chứng
minh a). Với mọi x ∈ X và số nguyên dương n ta có
p

x
p(x) +
1
n


=
p(x)
p(x) +
1
n
< 1 ⇒ q

x
p(x) +
1
n

≤ 1 ⇒ q(x) ≤ p(x) +
1
n
.
Cho n → ∞ ta nhận được q(x) ≤ p(x).
Mệnh đề 1.16.
a) Cho C và D là hai tập lồi, hấp thụ trong X và α > 0. Lúc đó,
p
(αC)
=
1
α
p
C
; p
(C∩D)
= max{p
C

, p
D
}.
b) Nếu p là một phiếm hàm dưới tuyến tính không âm trên X thì tồn
tại tập C lồi, hấp thụ sao cho p = p
C
, cụ thể:
C = {x ∈ X | p(x) < 1}.
Chứng minh. Khẳng định a) được suy ra từ định nghĩa. Để chứng minh
b) ta kiểm chứng ngay được rằng C là lồi, hấp thụ. Sử dụng Bổ đề 1.2,
kết hợp với các mệnh đề sau
p(x) < 1 =⇒ p
C
(x) ≤ 1; p
C
(x) < 1 =⇒ x ∈ C =⇒ p(x) < 1,
ta suy ra p = p
C
.
Chương 1. Tập lồi trên không gian vec-tơ 25
1.8 Định lí tách trong không gian vec-tơ
Cho A và B là hai tập con của X. Một phiếm hàm tuyến tính khác
không f được gọi là tách A và B nếu
f(a) ≤ f(b) (hoặc f(a) ≥ f (b)), ∀a ∈ A, b ∈ B.
Điều này xảy ra khi và chỉ khi tồn tại một số α ∈ R sao cho
f(a) ≤ α ≤ f(b), ∀a ∈ A, b ∈ B.
Lúc đó, ta cũng nói siêu phẳng H(f; α) := f
−1
(α) = {x ∈ X | f(x) = α}
tách A và B. Trường hợp B là tập một điểm: B = {x

0
}, ta nói đơn giản
siêu phẳng H(f; α) tách A và x
0
. Nói chung, siêu phẳng tách hai tập, nếu
có, là không duy nhất.
H(f; α)
Hình 1.10. Siêu phẳng tách hai tập hợp
Có một cách diễn đạt khác: Ta nói siêu phẳng H(f; α) để tập A ⊆ X
về một phía nếu A là tập con của một trong hai nửa không gian sau:
H
+
(f; α) := {x ∈ X | f(x) ≥ α}; H
−
(f; α) := {x ∈ X | f(x) ≤ α}.
Như vậy, siêu phẳng H(f; α ) tách hai tập A và B khi và chỉ khi nó để hai
tập này về hai phía khác nhau. Tức là A ⊆ H
−
(f; α) và B ⊆ H
+
(f; α).
Chú ý rằng nếu f(a) = f(b) = α với mọi a ∈ A và b ∈ B thì, theo
định nghĩa, H(f; α) cũng được gọi là tách A và B. Ta sẽ nói H(f; α) tách