CHUYÊN ĐỀ SỰ BIỀN THIÊN CỦA HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG

BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ


THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
1
Sự biến thiên của hàm số và ứng dụng
Mục lục

Loại 1. Sự biến thiên của hàm số không chứa tham số 3
A. Tóm tắt lý thuyết 3
B. Một số ví dụ 4
C. Bài tập 11
D. Hướng dẫn và đáp số 13
Loại 2. Sự biến thiên của hàm số chứa tham số 17
A. Tóm tắt lý thuyết 17
B. Một số ví dụ 18
C. Bài tập 21
D. Hướng dẫn và đáp số 22
Loại 3. Ứng dụng xét phương trình 25
A. Tóm tắt lý thuyết 25
B. Một số ví dụ 26
C. Bài tập 35
D. Hướng dẫn và đáp số 36

BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ


THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
2


BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ


THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
3
Loại 1. Sự biến thiên của hàm số không chứa tham số
A. Tóm tắt lý thuyết

Định nghĩa: Cho


: ;f a b 

.

+)
f
được gọi là đồng biến trên khoảng



;
a b
nếu:
1
x

,


2
;
x a b
 ,
1 2
x x



.
+)
f
được gọi là nghịch biến trên


;
a b
nếu:
1
x


,


2
;
x a b
 ,
1 2
x x








1 2
f x f x
 .
Nếu chỉ sử dụng định nghĩa thì ta sẽ gặp khó khăn trong nhiều bài toán xét tính đơn điệu
của hàm số. Đạo hàm là công cụ hữu hiệu để xét tính đơn điệu của hàm số.

Định lý: Giả sử hàm số
f
có đạo hàm trên khoảng



;

a b
. Khi đó
+)


' 0
f x




;
x a b
 


f
đồng biến trên


;
a b
.
+)


' 0
f x




;
x a b
 


f
nghịch biến trên


;
a b
.
+)


' 0
f x




;
x a b
 


f
không đổi trên



;
a b
.

Ứng dụng xét tính đơn điệu của hàm số: Để xét tính đơn điệu của hàm số


y f x
 , ta
làm như sau:
+) Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.
+) Bước 2: -) Tính


'
f x
.
-) Tìm nghiệm của phương trình


' 0
f x

.
-) Xét dấu của


'

f x
(nếu cần).
+) Bước 3: Lập bảng biến thiên của hàm số.
+) Bước 4: Kết luận về sự biến thiên của hàm số.
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ


THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
4
B. Một số ví dụ
Ví dụ 1. Xét chiều biến thiên của hàm số


3 2
3 9 2
f x x x x
   
.
Giải
+) TXĐ


.
+)




2 2
' 3 6 9 3 2 3

f x x x x x
     
,


'
f x
có hai nghiệm là
1
x
 
và
3
x

.
+) Bảng biến thiên:
+∞
-∞
f x( )
f ' x( ) +
+
_
0
0
-25
7
+∞3-1
-∞
x



lim
x
f x

 
,


lim
x
f x

 
.
+) Kết luận:
f
đồng biến trên


;1

và


3;

, nghịch biến trên



1;3
 .
Chú ý.
1. Giới hạn tại vô cực của hàm đa thức: Xét đa thức bậc
n



1
1 1 0

n n
n n
f x a x a x a x a


    
(
*
n

,
0
n
a

).
Ta có

 
0
lim
0
neáu
neáu
n
x
n
a
f x
a

 



 

,
 
0
0
lim
0
0
neáu , chaün
neáu , leû
neáu , chaün
neáu , leû

n
n
x
n
n
a n
a n
f x
a n
a n

 


 



 


 

.
2. Một số quy tắc xét dấu:
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ


THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
5

a. Dấu của nhị thức bậc nhất: Xét


g x ax b
 
(
0
a

). Bảng sau cho ta quy tắc xét dấu của


g x
(quy tắc “phải cùng trái khác”):
_
_
b
a
_
+
ag x( )
0
+∞
∞
x

b. Dấu của tam thức bậc hai: Xét


2

g x ax bx c
  
(
0
a

,
2
4
b ac
   ). Ta có ba trường
hợp sau đây:
TH1:
0
 
:


0
ag x


x

.
TH2:
0
 
:



0
ag x


x

. Dấu “

” xảy ra


2
b
a
x
 
.
TH3:
0
 
:


g x
có hai nghiệm phân biệt
1 2
x x

. Ta có



0
ag x




1 2
x x x
 
,


0
ag x




1
2
x x
x x





.

Bảng sau cho ta quy tắc xét dấu của


g x
trong trường hợp 3 (quy tắc “trong trái ngoài cùng”):
+
0
x
2
x
1
_
_
+
ag x( )
0
+∞
∞
x

c. Dấu của đa thức: Tất cả các bài toán xét dấu đa thức đều có thể được quy về xét dấu của đa
thức có dạng:
 
     
k k k
1 2 n
1 2 n
P x a x x x x x x     ,
trong đó:
-

a 0

là hệ số của lũy thừa bậc cao nhất của


P x
.
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ


THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
6
-
1 2 n
x x x
 
 
là các nghiệm của


P x
,
-
1
k
, …,
n
k
là các số nguyên dương,
i

k
được gọi là bội của nghiệm
i
x
.
Ta có quy tắc sau đây về dấu của đa thức


P x
:
- Khi
x
lớn hơn nghiệm lớn nhất (
n
x
) thì


P x
cùng dấu với
a
.
-


P x
không đổi dấu khi
x
đi qua nghiệm bội lẻ và đổi dấu khi
x

đi qua nghiệm bội
chẵn.
d. Hệ quả (của quy tắc xét dấu đa thức): Nếu một đa thức bậc
n
có
n
nghiệm phân biệt thì đa
thức đó đổi dấu liên tiếp khi
x
đi qua các nghiệm.
Ví dụ 2. Xét chiều biến thiên của hàm số


3 2
3 3 1
f x x x x
    
.
Giải
+)


TXÑ
.
+)
   
2
2
' 3 6 3 3 1 0
f x x x x

       

x

. Dấu “

” xảy ra


1
x

.
+) Bảng biến thiên:
0
1
+∞
-∞
f x( )
f ' x( )
_
_
0
+∞
-∞
x



lim

x
f x

 
,


lim
x
f x

 
.
+) Kết luận:
f
nghịch biến trên

.
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ


THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
7
Nhận xét: Trong ví dụ trên, ta thấy


' 0
f x


x
 

và


' 0
f x




1
x

, tuy nhiên
f
vẫn
nghịch biến trên

. Tổng quát hơn, ta có:
+)


' 0
f x





;
x a b
  , dấu bằng chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc


;
a b



f
đồng biến trên


;
a b
.
+)


' 0
f x




;
x a b
  , dấu bằng chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc



;
a b



f
đồng biến trên


;
a b
.
Ví dụ 3. Xét chiều biến thiên của hàm số
 
4 3 2
f x 3x 4x 12x 24x 5
    
.
Giải
+)


TXÑ
.
+)
 


 



3 2 3 2 2
f ' x 12x 12x 24x 24 12 x x 2x 2 12 x 1 x 2
          
.
+) Bảng biến thiên:
_
-7+16 2
-7-16 2
16
0
2
+∞
f x( )
f ' x( )
+
+
_
0
0
+∞
02
∞
x



lim
x

f x

 
.
+) Kết luận:
f
nghịch biến trên


; 2
 
và


1; 2
, đồng biến trên


2;1

và


2;

.
Ví dụ 4. Xét chiều biến thiên của hàm số
 
2 3
1 2

x
f x
x



.
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ


THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
8
Giải
+)


TXÑ
1
2
\ 
.
+)
 
 


7
2
1 2x
1

2
f x \' x 0

      .
+) Bảng biến thiên:
∞
_
+∞
_
_
1
1
_
_
1
2
_
f x( )
f ' x( )
+∞
∞
x

 
3
1
2
2 3
lim lim lim 1
1 2 2

x
x x x
x
x
f x
x
  


   
 
,
 


1
2
lim
x
f x


 
,
 


1
2
lim

x
f x


 
.
* Kết luận:
f
nghịch biến trên


1
2
;

và


1
2
;

(nghịch biến trên từng khoảng xác định).
Chú ý:
* Cách tính giới hạn tại vô cực của hàm phân thức hữu tỷ: chia cả tử và mẫu cho lũy thừa
bậc cao nhất ở mẫu. Chẳng hạn:
2 3
2 3
3 7
4

2
3
3 5
3 4 7 0
lim lim 0
3 5 1 1
x
x x
x x
x x
x x
x x
 
 
 
  
      
(lũy thừa bậc cao nhất ở mẫu là
3
x
).
* Cách xác định các giới hạn một phía:


 
0
lim
x x
f x
g x



với điều kiện


0
0
f x

,


0
0
g x

.
+)
0
a x
 



0
;
x x a
  :



g x
cùng dấu với


0
f x





 
0
lim
x x
f x
g x


 
.
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ


THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
9
+)
0
a x
 



0
;
x x a
  :


g x
trái dấu với


0
f x





 
0
lim
x x
f x
g x


 
.

+)
0
a x
 



0
;
x a x
  :


g x
cùng dấu với


0
f x





 
0
lim
x x
f x
g x



 
.
+)
0
a x
 



0
;
x a x
  :


g x
trái dấu với


0
f x





 
0

lim
x x
f x
g x


 
.
Ví dụ 5. Xét sự biến thiên của hàm số
2
1
1
x x
y
x
 


.
Giải
+) TXĐ


\ 1


.
+)
 
2

2
2
'
1
x x
y
x



.
+) Bảng biến thiên:
3
-1
+∞
+∞
∞
_
∞
_
+
+
__
2
1
0
0
0
_
y

y
'
+∞
∞
x

 
2
1
1
1
lim lim lim
1
1
1
x x x
x
x x
x
f x
x
x
  
 
 
   


,
 

1
1
lim lim
1
1
x x
x
x
f x
x
 
 
  

,


1
2
lim
x
f x

 

 
 
 
,



1
2
lim
x
f x

 

 
 
 
.
+) Kết luận:
f
đồng biến trên


;0
 và


2;

, nghịch biến trên


0;1
và



1;2
.
Ví dụ 6. Xét chiều biến thiên của hàm số
2
1
y x
 
.
Giải
+) TXĐ


1;1
  .
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ


THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
10
+)
2
'
1
x
y
x




(


1;1
x  ).
+) Bảng biến thiên
+
_
_
0
1
00
1
0
1
_
y
y'
+∞
∞
x

+) Kết luận: hàm số đồng biến trên


1;0
 , nghịch biến trên


0;1

.
Ví dụ 7. Xét sự biến thiên của hàm số 1 1
y x x
   
.
Giải
+) TXĐ


1;1
  .
+)
 
 
2 2
1 1 1 1
'
2 1 2 1
2 1 1 1 1
x x x
y x
x x
x x x x
   
    
 
    




1;1
x   .
+) Bảng biến thiên
2
+
_
_
0
2
2
1
0
1
_
y
y'
+∞
∞
x

+) Kết luận: hàm số đồng biến trên


1;0
 , nghịch biến trên


0;1
.
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ

THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
11
Nhận xét: Trong các ví dụ trên, việc xét dấu đạo hàm được thực hiện bằng các quy tắc xét dấu
cơ bản (nhị thức bậc nhất, tam thức bậc hai, đa thức). Trong ví dụ sau, ta sẽ xét dấu của đạo hàm
bằng cách giải một bất phương trình.
Ví dụ 8. Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số
2
2 1
y x x
  

Giải
+)
TXÑ
x




2
1 0
x
 






1;1
x  . Vậy


1;1
TXÑ   .
+)
2
2 2
2 1
' 2
1 1
x x x
y
x x
 
  
 
,


1;1
x  .


1;1
x   , ta có
' 0
y




2
2 1 0
x x
  




2
2 1
x x
 






2
5
x

.
' 0
y




2
5
x

.
+) Bảng biến thiên
5
2
-2
-1
+
_
0
1
2
5
_
f x( )
f ' x( )
+∞
∞
x

+) Kết luận: hàm đã cho đồng biến trên


2
5

1;

, nghịch biến trên


2
5
;1
.
C. Bài tập
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ


THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
12
Bài 1. Xét chiều biến thiên các hàm số sau đây
1)
3 2
y 2x 2x x 2
    
.
2)
3 2
2
3
y x 2x 16x 31
    
.
3)
3 2

y x 3x 3x 5
   
.
4)
4 3
1
2
y x x x 5
   
.
5)
4 3 2
y 3x 22x 51x 36x 1
     
.
6)
5 3
4
5
8
y x x
   
.
7)
2 x
1 x
y




.
8)
3x 3
2x 3
y



.
9)
2
2 4
2
x x
x
y
  

 .
10)
1 1
x x 2
y

 
.
11)
3x
2
x 1

y

 .
12)
x 1
3 x
y

 .
13)
y x 2 3 x
   
.
14)
2
y x 2x 3
  
.
15)
2
y x
 
.
16)
2
2
y x x
  .
17)
4 4

y x 2 5 x
   
.
18) [ĐHA08]
4 4
2 2 2 6 2 6
y x x x x
     
.
19)
3
3 44
y x 3 3 x 3 4 x 3 1 x 3 1 x 4 1 x
           
.
20) 2 1 2
y x x x
    
.
Bài 2. Chứng minh
1)
2
y x 9
 
đồng biến trên


3;

.

BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ


THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
13
2)
4
y x
x
 
nghịch biến trên các khoảng


2;0
 ,


0;2
.
3)
3 x
y
2x 1



nghịch biến trên mỗi khoảng xác định.
4)
2
2x 3x

y
2x 1



đồng biến trên mỗi khoảng xác định.
5)
2
y x x 8
   
nghịch biến trên

.
6)
2
y x cos x
  đồng biến trên

.
D. Hướng dẫn và đáp số
1) Hàm số nghịch biến trên

.
2) Hàm số nghịch biến trên các khoảng


; 4
 
và



2;

, đồng biến trên


4;2
 .
3) Hàm số đồng biến trên

.
4) Hàm số nghịch biến trên các khoảng


; 1
 
và


1
2
;2
, đồng biến trên các khoảng


1
2
1;
 và



2;

.
5) Hàm số đồng biến trên các khoảng


1
2
;
 và


3;

, nghịch biến trên các khoảng


1
2
;2
và


3;

.
6) Hàm số đồng biến trên các khoảng



3
2
; 
và


3
2
;

, nghịch biến trên


3 3
2 2
;

.
Lưu ý: Trong bài tập này, đạo hàm không đổi dấu khi
x
đi qua
0
.
7) Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định (nghịch biến trên các khoảng


; 1
 
và



1;
 
).
8) Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định (đồng biến trên các khoảng


3
2
;
 
và


3
2
;

).
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ


THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
14
9) Hàm số nghịch biến trên các khoảng


;0
 và



4;

, đồng biến trên các khoảng


0;2
và


2;4
.
10)
+)


\ 0;2
TXÑ 

. +)
 
 
2
4 1
2
'
x
x x
y



 .
+) Bảng biến thiên:
+∞ +∞
∞
_
∞
_
0
00
+
_
+
_
0
2
1
0
_
f x( )
f ' x( )
+∞
∞
x


lim 0
x
y



,
0
lim
x
y


 
,
0
lim
x
y


 
,
2
lim
x
y


 
,
2
lim
x
y



 

+) Hàm số nghịch biến trên các khoảng


;0
 và


0;1
, đồng biến trên các khoảng


1;2
và


2;

.
11)
+)
TXÑ


. +)



 
2
2
2
3 1
1
'
x
x
y


 .
+) Bảng biến thiên:
_
_
3
2
3
2
0
0
_
f x( )
f ' x( ) +
_
0
0
+∞1-1
∞

x



lim 0
x
y


.
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ


THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
15
+) Hàm số nghịch biến trên các khoảng


; 1
 
và


1;

, đồng biến trên


1;1
 .

12)
+)


0;TXÑ
 
. +)
1
6
'
x
x x
y

 .
+) Bảng biến thiên:
3
2
+∞
+∞
+
_
0
1
0
_
f x( )
f ' x( )
+∞
∞

x


0
lim
x
y


 
,


1 1
3
lim lim
x
x x
y x
 
   
.
+) Hàm số nghịch biến trên


0;1
, đồng biến trên


1;


.
13) Hàm số nghịch biến trên


1
2
2;
 , đồng biến trên


1
2
;3
.
13) Hàm số nghịch biến trên


; 1
 
, đồng biến trên


1;
 
.
15) Gợi ý:
 
2
2 2

y x x   


2
2
'
x
x
y


 . Hàm số nghịch biến trên


;2
 , đồng biến trên


2;

.
16) Hàm số nghịch biến trên các khoảng


;0
 và


1;2
, đồng biến trên các khoảng



0;1
và


2;

.
17)
+)


2;5
TXÑ  .
+)
   
3 3
4 4
1 1 1
4
2 5
'
x x
y
 
 
 
 
 

(


2;5
x ).
' 0
y




2 5
x x
  



7
2
x

.
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ


THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
16


7

2
2;
x


 
 
 
 
3
4
3
4
3
1 2
4
3
2
3
1 2
4
3
5
x
x















' 0
y

, tương tự:


7
2
;5
x


' 0
y

.
+) Bảng biến thiên:
24
4
3
44

3
5
+
_
0
7
2
2
_
f x( )
f ' x( )
+∞
∞
x

+) Hàm số nghịch đồng trên


7
2
2;
, nghịch biến trên


7
2
;5
.
Các câu 18) 19) 20) có cách giải tương tự câu 17)
18) Hàm số đồng biến trên



0;2
, nghịch biến trên


2;6
.
19) Hàm số đồng biến trên


3; 1
 
, nghịch biến trên


1;1
 .
20) Hàm số nghịch biến trên


0;1
, đồng biến trên


1;2
.

BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ


THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
17
Loại 2. Sự biến thiên của hàm số chứa tham số
A. Tóm tắt lý thuyết
Trong loại toán này, ta quan tâm đến hai bài toán sau đây
1. Bài toán 1. Số khoảng đơn điệu của hàm số
* Hàm bậc ba:
3 2
y ax bx cx d
   
(
0
a

). Ta có:
2
' 3 2
y ax bx c
  
,
'
y

là tam thức bậc hai
có
2
' 3
b ac
   . Ký hiệu
1 2
x x

là các nghiệm của
'
y
trong trường hợp
'
y
có hai nghiệm phân
biệt. Ta có bảng sau:

a




S
ự biến thi
ên

c
ủa
y






 Hai khoảng đồng biến là


1
;
x
 và


2
;x

.
 Một khoảng nghịch biến là


1 2
;
x x
.


0


 Đồng biến trên









 Hai khoảng nghịch biến là


1
;
x
 và


2
;x

.
 Một khoảng đồng biến là



1 2
;
x x
.


0


 Nghịch biến trên



* Hàm bậc bốn trùng phương:
4 2
y ax bx c
  
(
0
a

).
Ta có:


3 2
2
' 4 2 4
b
a

y ax bx ax x    .

a

b


S
ự biến thi
ên

c
ủa
y



0



y
nghịch biến trên


;0
 , đồng biến trên


;0

 .




 Hai khoảng nghịch biến là


2
;
b
a
   và


2
0;
b
a
 .
 Hai khoảng đồng biến là


2
;0
b
a
  và



2
;
b
a
 
.




 Hai khoảng đồng biến là


2
;
b
a
   và


2
0;
b
a
 .
 Hai khoảng nghịch biến là


2
;0

b
a
  và


2
;
b
a
 
.


0



y
đồng biến trên


;0
 , nghịch biến trên


;0
 .
* Hàm “
baäc nhaát
baäc nhaát

”:
ax b
y
cx d



(
a
,
c
,
0
ad bc
 
).
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ


THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
18
Ta có
   
2 2
'
a b
c d
ad bc
y
cx d cx d


 
 
không đổi dấu trên tập xác định. Do đó:
+)
0
ad bc
 



y
đồng biến trên từng khoảng xác định
+)
0
ad bc
 



y
nghịch biến trên từng khoảng xác định
2. Bài toán 2. Điều kiện để hàm số đồng biến, nghịch biến trên một khoảng.
* Phương pháp 1:
f
đồng biến (nghịch biến) trên


;
a b



f
có ít nhất một khoảng đồng
biến (nghịch biến) và


;
a b
là tập con của một khoảng đồng biến (nghịch biến) nào đó.
* Phương pháp 2: Giả sử
f
có đạo hàm không đồng nhất bằng
0
trên


;
a b
. Khi đó
+)
f
đồng biến trên


;
a b





' 0
f x




;
x a b
  .
+)
f
nghịch biến trên


;
a b





' 0
f x





;
x a b
  .
B. Một số ví dụ
Ví dụ 1. Xét sự biến thiên của hàm số
3
4
y x mx
  .
Giải
+)
TXÑ


.
+)
2
' 12
y x m
 
.
* TH1:
0
m




' 0
y



x
 



hàm số đồng biến trên

.
* TH2:
0
m




'
y
có hai nghiệm phân biệt
1
12
m
x
  
,
2
12
m
x

 
.
+) Bảng biến thiên
x
2
x
1
+∞
-∞
y
y' +
+
_
0
0
y x
2
 
y x
1
( )
+∞
-∞
x



lim
x
y


 
,
lim
x
y

 
.
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ


THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
19
+) Vậy, trong trường hợp này, hàm số đồng biến trên ;
12
m
 
  
 
 
 
và ;
12
m
 
 
 
 
 

, nghịch
biến trên ;
12 12
m m
 
  
 
 
 
.
Ví dụ 2. Tìm
m
để hàm số
 
3 2
1
2 2 1 3 2
3
y x x m x m
      
nghịch biến trên

.
Giải
Ta có
2
' 4 2 1
y x x m
    
.

'
y

là tam thức bậc hai có hệ số của
2
x
là
1 0
 
,
' 2 5
m
  
. Do
đó hàm số nghịch biến trên

khi và chỉ khi
' 0
 



5
2
m
 
.
Chú ý: Điều kiện để tam thức bậc hai có dấu không đổi.
Xét tam thức bậc hai



2
t x ax bx c
  
(
0
a

,
2
4
b ac
   ). Ta có
+)


0
t x


x
 




0
0
a




 

.
+)


0
t x


x
 




0
0
a



 

.

Ví dụ 3. Tìm
m

để hàm số




3 2
2 3 2 1 6 1 7
y x m x m m x
     
đồng biến trên


1;2
.
Giải
Ta có




2
' 6 6 2 1 6 1
y x m x m m
    
.
' 0
y




1
x m
x m



 

.
Bảng biến thiên:
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ


THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
20
m+1
m
+∞
-∞
y
y' +
+
_
0
0
y m+1( )
y m( )
+∞
-∞

x



lim
x
y

 
,
lim
x
y

 
.
Từ bảng biến thiên ta thấy: hàm số đồng biến trên


;
m
 và


1;m
 
. Do đó hàm số đồng
biến trên



1;2
khi và chỉ khi




   
1;2 ;
1;2 1;
m
m
 

  





2
0
m
m





.
Ví dụ 4. Xét sự biến thiên của hàm số

4 2
4
y x mx
  
.
Giải
+)
TXÑ


.
+)


3 2
' 4 2 2 2
y x mx x x m
    .
TH1:
0
m



,
'
y
có nghiệm duy nhất
0
x


,
'
y
đổi dấu đúng một lần khi
x
đi qua
0
.
+) Bảng biến thiên:
4
+∞
+
_
f x( )
f ' x( )
0
+∞
0
∞
x




lim
x
y

 

.

+) Kết luận: hàm số đồng nghịch biến trên


;0
 đồng biến trên


0;

.
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ


THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
21
TH2:
0
m



,
'
y
có ba nghiệm phân biệt là
0
và
2

m
 
,
'
y
đổi dấu liên tiếp khi
x
đi qua
các nghiệm.
+) Bảng biến thiên:
m
2
4
4 -
4 -
m
2
4
4
+∞
+∞
-m/2
- -m/2
_
0
f x( )
f ' x( )
+
+
_

0
0
+∞
0
∞
x





lim
x
y

 
.
+) Kết luận: hàm số đồng nghịch biến trên


2
;
m

  và


2
4;
m


,
đồng biến trên


2
;0
m
 và


2
;
m

.
Ví dụ 5. Tìm
m
để hàm số
1
4
mx
x m
y


 đồng biến trên từng khoảng xác định.
Giải
+)



4
\TXÑ
m
 

.
+)
 
2
2
4
4
'
m
x m
y


 .
+) Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định khi và chỉ khi


' 0
y


TXÑ
x
 



2
4 0
m
 



2
2
m
m



 

.
C. Bài tập
Tìm
m
để
1)




3 2 2

1 4 9
y x m x m x
     
đồng biến trên

.
2)
3 2
3 3 3 4
y x x mx m
    
đồng biến trên

.
3)




3 2
1 1
3 3
1 3 2
y mx m x m x
     
đồng biến trến


2;


. (
2
3
m

).
4)
   
3 2
1
3
y x m 1 x m 3 x 4
      
đồng biến trên


0;3
.
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ


THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
22
5)


4 2
1 4
y mx m x
   

đồng biến trên


1;3
.
6)
2 3
x
x m
y


 đồng biến trên từng khoảng xác định.
7)
2 3
2
mx
x m
y


 nghịch biến trên từng khoảng xác định.
D. Hướng dẫn và đáp số
1) Hàm số đồng biến trên




' 0
y



x
 




3
m
 
hoặc
2
m

.
2) Tương tự câu 1) ta có:
1
m
 
hoặc
1
m

.
3)
TH1:
0
m




2
1
3
6
y x x
  



y
nghịch biến trên


;3
 , đồng biến trên


3;




0
m

không thỏa mãn yêu cầu bài toán.
TH2:

0
m




y
là hàm bậc ba có




2
' 2 1 3 2
y mx m x m
    
(
2
' 2 4 1
m m
    
).
+)
0
' 0
m



 





2 6
2
m

 :
' 0
y


x
 




y
đồng biến trên

(thỏa mãn).
+)
0
' 0
m




 

:
' 0
y


x
 




y
nghịch biến trên

(loại).
+)
0
' 0
m



 




2 6

2
0 m

 


*
:
y
đồng biến trên


1
;
x
 ,


2
;x

với
1 '
1,2
m
m
x
 



.
Do đó:
y
đồng biến trên


2;








2
2; ;x
  



2
2
x




2
1 2 4 1

2
m m m
m
    




2
2 4 1 1
m m m
    



2
3 2 0
m m
 



2
3
0
m
m






, kết hợp với


*
ta có
2 6
2
3 2
m

  .
+)
0
' 0
m



 

:
y
đồng biến trên


1 2
;
x x

với
1 2
x x

là các nghiệm của
'
y
(loại).
Kết hợp những giá trị
m
tìm được ta có
2
3
m

.
4)
+)
TXÑ


.
+)


2
' 2 1 3
y x m x m
     
(



2
2
15
1
2 4
' m m 4 m 0 m
        
).
'
y
có hai nghiệm
phân biệt
1
'
1x m 

 ,
2
'
1x m 

 .
+) Bảng biến thiên
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ


THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
23

_
y x
2
 
y x
1
 
_
x
2
x
1
+∞
-∞
y
y'
+
_
0
0
+∞
∞
x



lim
x
y


 
, lim
x
y

 
.
+)
y
có một khoảng đồng biến là


1 2
;
x x
nên:
y

đồng biến trên


0;3







1 2

0;3 ;
x x



1
2
x 0
x 3








2
2
m 1 m m 4 0
m 1 m m 4 3

    



    




2
2
m m 4 m 1
m m 4 4 m

   



   




2 2
2 2
m 1 0
m 1 0
m m 4 m 2m 1
4 m 0
4 m 0
m m 4 m 8m 16

 



 








    




 




 







    







12
7
m 1
m 1
m 3
m 4
m 4
m












 


























12
7
m

.
5)


4 2
1 4
y mx m x
   

đồng biến trên


1;3
.
TH1:
0
m




2
4
y x
 



y
đồng biến trên


0;

(thỏa mãn).
TH2:
0
m




y
là hàm bậc bốn có




3 2
1
2
' 4 2 1 4
m
m
y mx m x mx x

     .
+)
 
4 0
2 1 0
m
m




 






0 1
m
 
:
y
đồng biến trên


0;

(thỏa mãn).
+)
 
4 0
2 1 0
m
m




 





m

(không xảy ra).
+)
 
4 0
2 1 0
m
m




 





1
m

:
y
có các khoảng đồng biến là


1
2

;0
m
m

 ,


1
2
;
m
m


.
Trong trường hợp này:
y
đồng biến trên


1;3



1
2
1
m
m






1
2
1
m
m





1
m
 
.
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ


THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
24


1
m

thỏa mãn yêu cầu bài toán.
+)

 
4 0
2 1 0
m
m




 





0
m

:
y
có các khoảng đồng biến là


1
2
;
m
m

  ,



1
2
0;
m
m

.
Trong trường hợp này:
y
đồng biến trên


1;3



1
2
3
m
m





1
2

9
m
m





1
17
m
 
(thỏa mãn
0
m

).
Kết hợp những giá trị
m
tìm được ta có
1
17
m
 
hoặc
0 1
m
 
.
6)

3
2
m
 
. 7)
3 3
m   .








BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ


THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
25
Loại 3. Ứng dụng xét phương trình
A. Tóm tắt lý thuyết
1.

Nguyên t
ắc

Để xét phương trình





; 0 *
g x m  , ta biến đổi
tương đương phương trình về dạng


f x m

(bước
này được gọi là cô lập tham số).
Do đó, việc xét phương trình


*
được đưa về xét sự
tương giao của đường thẳng :
d y m

với đồ thị hàm
số




y f x C
 .
m
d
O

y
x
C( )

Chú ý:

d
là đường thẳng đi qua điểm


0;
M m
(
M Oy

) và vuông góc với
Oy
.
 Thay vì sử dụng đồ thị hàm số, ta có thể dùng bảng biến thiên (bảng biến thiên
cho ta hình ảnh về đồ thị hàm số).
2. Một số kết luận hay sử dụng
 Phương trình


*
có nghiệm


d
có điểm chung với



C
.
 Số nghiệm của phương trình


*
bằng số điểm chung của đường thẳng
d
với


C
.
 Nghiệm của


*
là hoành độ điểm chung của
d
và


C
.