Proceedings VCM 2012 78 về hai phương pháp giải bài toán động lực học ngược robot song song

574 Nguyễn Văn Khang, Nguyễn Thành Công
VCM2012
Về hai phương pháp giải bài toán động lực học ngược robot song song
On two methods for calculating inverse dynamics
of parallel manipulator
Nguyễn Văn Khang, Nguyễn Thành Công
Trường đại học Bách Khoa Hà Nội
Email: ,
Tóm tắt
Trong báo cáo này trình bày hai phương pháp giải bài toán động lực học ngược robot song song – phương
pháp sử dụng nhân tử Lagrange và phương pháp thu gọn tọa độ. Sau khi trình bày lý thuyết, đã tiến hành tính
toán mô phỏng số một thí dụ về giải bài toán động lực học ngược robot song song phẳng 3RPR.
Abstract
In this paper, two methods – using Lagrange multiplier and using coordinate reduction – are proposed for
calculating inverse dynamics of parallel manipulator. After addressing the principles of two methods, an
example – a 3 RPR planar parallel manipulator – is demonstrated for the efficiency of the proposed methods in
the analysis of inverse dynamic problem.


1. Mở đầu
Các robot song song là các hệ nhiều vật có cấu
trúc mạch vòng [1-3]. Như đã biết, phương trình vi
phân - đại số mô tả chuyển động của hệ nhiều vật
có cấu trúc mạch vòng có dạng [1]









,
T
s
   M s s b s s g s
τ Φ s λ
 
(1)



f s 0
(2)
Gọi
a
n
a
q

là véc tơ các tọa độ khớp chủ động,
z
n
z


là véc tơ tọa độ các khớp suy rộng dư (bao
gồm các tọa độ khớp bị động và có thể cả tọa độ
thao tác). Ký hiệu
, , ,
s

T
n
T T
a s a z
n n n
s q z s
 
   
 
 
 (3)
Trong các phương trình (1) và (2) ta có




, , ,
s s s
n n n r
r T r
s
M s f Φ s λ
 
   
   

   
, , ,
s s s
n n n

s
f
Φ g s b s,s τ
s

   


  

Bài toán động lực học ngược được phát biểu dưới
dạng: Cho biết quy luật chuyển động của khâu
thao tác


,
m
tx x x 

và phương trình liên kết


,
f x q 0

, ,
n r
q f 
 
. Xác định mô men (hay

lực) của khâu dẫn động
a
n
a
τ

cần thiết để tạo ra
chuyển động mong muốn của khâu thao tác.
Trong các tài liệu [3-9] đã trình bày việc áp dụng
các phương pháp nguyên lý công ảo, phương trình
Lagrange dạng nhân tử để giải bài toán động lực
học robot song song. Trong bài báo này áp dụng
phương pháp tách cấu trúc để thiết lập phương
trình vi phân đại số của các robot song song [10-
12]. Sau đó trình bày việc tính toán so sánh hai
phương pháp giải bài toán động lực học ngược
robot song song.

2. Giải bài toán động lực học ngược dựa trên
phương trình Lagrange dạng nhân tử
Theo phương pháp này, phương trình liên kết (2)
được sử dụng để giải bài toán động học ngược.
Khi giải xong bài toán này ta được [10-11]






, , , 0,1, ,

k k k
t t t k K
s s s

 
(4)
Phương trình (1) dùng để tính các nhân tử
Lagrange, các lực và mô men cần thiết của các
khâu dẫn. Trước hết ta viết lại phương trình (1)
dưới dạng






1
, ,
T
s
tM s s p s s
τ Φ s λ
  
 
(5)
Ta tách n
s
phương trình (5) thành hai nhóm, nhóm
thứ nhất gồm n
a

phương trình có chứa mô men
(hay là lực) của khâu phát động, nhóm thứ hai
gồm n
z
phương trình còn lại














1 1 1
1
, ,
T
a a z a a
t   M s q M s z p s s
τ Φ s λ
 
(6)















2 2 2
1
, ,
T
a a z z
tM s q M s z p s s
Φ s λ
  
 
(7)
Trong đó
 
 


 



 
 
 
 
1 1
2 2
a z
a z
M s M s
M s
M s M s
 
 

 
 
 
(8)
 
 


 
,
T
a
T
s a z s
T
z

 
 
  
 
 
 
Φ s
Φ Φ Φ Φ s
Φ s
(9)
Tuyển tập công trình Hội nghị Cơ điện tử toàn quốc lần thứ 6 575
Mã bài: 132

Xét trường hợp
,
z z
r n
Φ

là ma trận chính quy.
Khi đó từ phương trình (7) ta suy ra















2 2 2
1
, ,
T
z a a z
t
Φ s λ M s q M s z p s s
  
 

(10)
 
 
 
 
 
 
 
1
2 2 2
1
, ,
T
z a a z
t

λ Φ s M s q M s z p s s

 
 
  
 
 
 
 
 


(11)
Thế (11) vào phương trình (6) ta được phương
trình xác định
a
τ
















1 1 1
1
, ,
T
a a a z a
t
τ M s q M s z p s s Φ s λ
   
 

(12)
Sơ đồ tính mô men (hay lực) phát động của robot
song song






Các bước giải bài toán động lực học ngược theo
phương pháp thứ nhất
Bước 1: Giải bài toán động học ngược. Cho biết


t
x
và



f x,q = 0
. Tính






, ,
t t t
s s s
 

Bước 2 : Từ phương trình vi phân đại số mô tả
chuyển động của robot song song, tính các ma trận








, ,
s
M s ,b s,s
Φ s g s


Bước 3 : Tính các nhân tử Lagrange (hay các phản
lực liên kết) từ phương trình (11)
Bước 4 : Tính các mô men phát động từ phương
trình (12)

3. Giải bài toán động lực học ngược dựa trên
các phương trình vi phân thu gọn về các tọa độ
tối thiểu
Ý tưởng của phương pháp này là: Khử các tọa độ
suy rộng dư
z
và các nhân tử Lagrange
λ
, biến
đổi hệ phương trình vi phân đại số (1) và (2) về hệ
phương trình vi phân thường với các tọa độ là các
thành phần của véc tơ
a
q
, số lượng phương trình
bằng số bậc tự do của hệ. Xét các phương trình
liên kết (2)




, , , ,
a
z
n

nr
a a
f s f q z 0 f z q    
  
(13)
Giả sử số lượng các tọa độ dư bằng số các phương
trình liên kết bổ sung r=n
z
. Từ phương trình (13)
ta suy ra
 
s
f
f s
Φ s s 0
s
d d d

  

(14)
Gọi
s
d
là nghiệm của hệ phương trình đại số tuyến
tính (14), ta có







s a a z
Φ s s Φ s q Φ s z 0
d d d
  
(15)
Viết lại phương trình (1), ta có








,
T
s
Φ s λ M s s b s s g s τ
   
 
(16)
Chuyển vị hai vế của phương trình (16) ta được







,
T
T
s
λ Φ M s s b s s g s τ
 
   
 
 
 
(17)
Nhân hai vế của phương trình (17) với
s
d
ta được






,
T
T
s
λ Φ s M s s b s s g s τ s
d d
 
   
 

 
 
(18)
Chú ý đến công thức (15),


s
Φ s s 0
d

, từ (18) ta
suy ra






,
T
T
M s s b s s g s
τ s 0
d
 
   
 
 
 
(19)

Mặt khác từ phương trình (15) ta có




1
z a a
z
Φ s Φ s q
d d

 
(20)
Chú ý rằng véc tơ
a
q
d
có thể viết lại dạng
a
a n a
q E q
d d


(21)
Kết hợp hai phương trình (20) và (21) ta có
   
1
a
n

a
a
z a
E
q
s q
z
Φ s Φ s
d
d d
d

 
 
 
 
 
 
 

 
 
 
(22)
Nếu ta đưa vào ký hiệu
 
   
1
a
n

z a
E
R s
Φ s Φ s

 
 

 

 
 

(23)
Thì phương trình (22) có dạng


a
s R s q
d d


(24)
Từ (24) ta suy ra


a
s R s q

 

(25)
Thế biểu thức (24) vào phương trình (19) ta có








,
T
T
a
M s s b s s g s
τ R s q 0
d
 
   
 
 
 
(26)
Do
1 2
, , ,
n
a
a a a

q q q
d d d
là các biến phân độc lập, nên
từ phương trình (26) ta suy ra








,
T
R s M s s b s s g s
τ 0
 
   
 
 
 
(27)
Phương trình (27) có thể viết lại dưới dạng











,
T T
R s
τ R s M s s b s s g s
 
  
 
 
 
(28)
Từ phương trình (23) ta có
 
1
1
[ , ( ( ) ( )) ]
( ( ) ( ))
a
T T
na z a
z
T
a z a z


 
 
 

 
 
 
τ
R s τ E Φ s Φ s
τ
τ Φ s Φ s τ
(29)
Thế (29) vào phương trình (28) ta được

Động
học
ngược
Xác
định

(pt 11)
Xác định
momen
phát
động
(pt 12)
x(t)

s(t)

a
576 Nguyễn Văn Khang, Nguyễn Thành Công
VCM2012









1
,
+( ( ) ( ))
T
a
T
z a z
τ R s M s s b s s g s
Φ s Φ s τ

 
  
 
 
 
(30)
Các bước giải bài toán động lực học ngược theo
phương pháp thứ hai :
Bước 1 : Giải bài toán động học ngược. Cho biết


t
x

và


f x,q = 0
, tính






, ,
t t t
s s s
 

Bước 2 : Tính các ma trận






1
, ,
z a z
Φ s Φ s ,Φ s







, ( , ), ( )
R s ,M s b s s g s


Bước 3 : Tính các mô men (hay lực) của các khâu
dẫn động theo công thức (30)

4. Thí dụ áp dụng
Trong thí dụ áp dụng, ta xét chuyển động của
robot song phẳng 3RPR (H. 1). Robot song phẳng
3RPR có 3 bậc tự do (k=3). Chọn các tọa độ suy
rộng dư là
T
T T T
a p
s q q x
 

 
 
. Trong đó
a
q
là các
tọa độ suy rộng độc lập (hay các tọa độ suy rộng
của các khâu chủ động),
p

q
z
x
 
 

 
 
 
là các tọa độ suy
rộng phụ thuộc (với
p
q
là các tọa độ suy rộng của
các khâu bị động và
x
là tọa độ suy rộng của bàn
máy động). Ta sẽ giải bài toán động lực học ngược
robot song phẳng 3RPR trong hai trường hợp như
sau:
* Khâu chủ động là
1 1 2 2 3 3
, ,
P A P A P A

1 1
2 2
3 3
, ,
P

a p P
u x
u y
u
q q x
q
q
q j
   
 
   
 
   
 
  
   
 
   
 
 
   
 
   

* Khâu chủ động là
1 1 2 2 3 3
, ,
A B A B A B

1 1

2 2
3 3
, ,
P
a p P
u x
u y
u
q q x
q
q
q j
   
 
   
 
   
 
  
   
 
   
 
 
   
 
   

a) Thiết lập các phương trình vi phân –đại số
Phương trình xác định trọng tâm bàn máy động P

có dạng
1 1 1 1 1 1
PP PA A B B P
  
   

(31)
Chiếu (31) lên hai trục tọa độ x và y ta được
1 2 1
1 2 1
1 3
cos cos +
2 3 6
1 3
sin sin +
2 3 6
P
P
x u l h
y u l h
p
q j
p
q j
   
 
 
  
 
 

 
 
 
   
   
 
 
  
 
 
 
 
 
   
(32)

 
2
2 2 2
, ,
m l C

x

P
2


2


2

F
2

A
2

 

2
1 1 1
, ,
m l C

u
2

 
1
2 2 2
, ,
C m l

P
1

u
1


1


1

F
1

 

1
1 1 1
, ,
C m l

A
1

B
3

B
2

B
1

 
3
2 2 2
, ,
C m l


3

P
3

u

3


3

F
3

 
3
1 1 1
, ,
C m l


A
3

h




P


y
H. 1 Robot song phẳng 3RPR
y
P

x
P

Tuyển tập công trình Hội nghị Cơ điện tử toàn quốc lần thứ 6 577
Mã bài: 132

Phương trình của vòng động học thứ nhất
2 2 2 3 3 3 2
P A B B A PP

2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 2
0
P A A B B B B A A P P P
     
     
(33)
Sau khi biến đổi ta được
1 1 2 2 2 2 2 2
PP PP P A A B B P
   
    
(34)
Chiếu (34) lên hai trục tọa độ x và y ta được
2 2 2
2 2 2
1 3
cos cos
2 3 6
1 3

sin sin
2 3 6
P
P
x c u l h
y u l h
p
q j
p
q j
   
 
 
    
 
 
 
 
 
   
   
 
 
   
 
 
 
 
 
   

(35)
Phương trình của vòng động học thứ hai
1 1 1 3 3 3 1
P A B B A P P
. Hoàn toàn tương tự như vòng động
học thứ nhất ta được
3 2 3
3 2 3
1 3
cos sin
2 2 3
3 1 3
sin cos
2 2 3
P
P
c
x u l h
y c u l h
q j
q j
 


   






 
 


   





 
(36)
Để thiết lập phương trình vi phân chuyển động
của robot, ta sử dụng phương pháp tách cấu trúc.
Ta sẽ tách robot thành các cơ cấu con có cấu trúc
đơn giản hơn như các hình (2-5).

Để thiết lập phương trình vi phân chuyển động
của chân thứ nhất (H. 2), ta chọn tọa độ suy rộng
như sau




1
1 1
T
u
q q
(37)
Phương trình Lagrange loại 2 dạng ma trận của hệ
hai khâu






*
M q q +C q,q q +g q = f
  
(38)

Từ hình vẽ ta có thể xác định véc tơ vị trí khối tâm
2 khâu
   
1 2
1 1
1 1
1 1
1 1 1 1
1
cos
2
cos
1
sin , sin
2
0
0
C C
l
u
l ur r
q
q
q q
 
 
 
 
 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

(39)
Từ (39) ta tính được các ma trận Jacobi tịnh tiến
P
1
 
2
2 2 2
, ,
C m l

x

P
2



2


2

F
2

A
2

 
2
1 1 1
, ,
C m l

u
2

B
2
Y
2
X
2
y

H. 3 Chân thứ hai
y

x

P
1
 
3
2 2 2
, ,
C m l


3

P
3

u
3


3

B
3

 
3
1 1 1
, ,

C m l


A
3

X
3
Y
3
H. 4 Chân thứ ba


P
x
y
P
1
X
1
Y
1
X
3
X
2
Y
3
Y
2

x
P
y
P
h
H. 5 Bàn máy động
 
1
2 2 2
, ,
C m l


P
1

u
1


1


1

F
1

 
1

1 1 1
, ,
C m l


A
1

y


X
1

Y
1

B
1

x


H. 2 Chân thứ nhất
578 Nguyễn Văn Khang, Nguyễn Thành Công
VCM2012
 
 
 
 

 
 
1
1
2
2
1 1
1
1
1 1
1
1
1 1 1
1
1 1 1
1
1
sin 0
2
1
cos 0
2
0 0
sin cos
cos sin
0 0
C
T
C
T

l
l
u
u
r
J
q
r
J
q
q
q
q q
q q
 
 

 
 

 
 
 
 

 
 
 
 
 

 

 

 
 
 

 
 
(40)
Các véc tơ vận tốc góc của hai khâu
   
1 1
1 2
1 1
0 0
0 , 0
ω ω
q q
   
   
   
 
   
   
   
 
(41)
Từ (41) ta tính được các ma trận Jacobi quay

 
 
 
 
 
 
1 2
1 1
1 1
1 2
1 1
0 0 0 0
0 0 , 0 0
1 0 1 0
R R
ω ω
J J
q q
   
   
 
   
   
   
 
   
   
 
(42)
Gọi

1 2
,
I I
lần lượt là mô men quán tính của các
khâu
1 1 1 1
,
P A A B
đối với trục đi qua khối tâm của
chúng và vuông góc với mặt phẳng hình vẽ. Từ đó
suy ra các ma trận mô men quán quán tính khối có
dạng
   
1 2
1 1
1 2
0 0 0 0 0 0
0 0 0 , 0 0 0
0 0 0 0
C C
I I
I I
   
   
   
 
   
   
   
(43)

Thay các giá trị ở (40), (42) và (43) vào biểu thức
             
     
1 1 2 2 1 1 1
2 2 2
1 1 1 1 1 1 1
1 2
1 1 1
T T T
T
T T T T R C R
R C R
m m
M(q) J J J J J I J
J I J
  


Ta được ma trận khối lượng của hệ hai khâu
2 2
1 1 2 1 1 2
2
1
0
4
0
m l m u I I
m
M(q)
 

 
  
 

 
 
 
(44)
Theo [12] ta có công thức ma trận Coriolis
 
 
 
 
 
1
2
T
n n
M q M q
C q,q I q q I
q q
 
 




   






 
 
  

(45)
Từ đó suy ra
 
2 1 1
2 1 1
2 0
0
m u u
m u
C q,q
q
 
 

 

 



(46)
Thế năng của robot có dạng
1 1 2 1 1

1
sin
2
m l m u g
q
 


  





 

Từ đó suy ra
 
1 1 2 1 1
1
2 1
1
cos
2
sin
T
m l m u g
m g
g
q

q
q
 
 

 

 








 


  


 





 
 

 
(47)
Công ảo của các lực không có thế
1 1 1 1 1 1 1 1
A F u X x Y y
d t dq d d d
   
(48)
Từ hệ thức
1 1 2 1 1 1 2 1
1 1
cos , sin
2 2
x u l y u l
q q
   
 
 
   
 
 
 
 
 
   

ta suy ra
1 1 2 1 1 1 1
1 1 2 1 1 1 1
1

sin cos
2
1
cos sin
2
x u l u
y u l u
d q dq q d
d q dq q d
 


   





 
 


  





 
(49)

Thay (49) vào (48) ta được


1 1 2 1
1
1 1 2 1 1
1 1 1 1 1 1
1
sin
2
1
cos
2
cos sin
A X u l
Y u l
F X Y u
d t q
q dq
q q d

 



  







 


 



 




 
 

  
(50)
Từ (50) ta tính được ma trận f
*
1 1 2 1 1 1 2 1
*
1
1 1 1 1 1
1 1
sin cos
2 2
cos sin
X u l Y u l

F X Y
f
t q q
q q
 
   
 
 
 
   
 
 
 
 
   
   

 
 
 
 
 

(51)

Thế các biểu thức (44), (46), (47), (51) vào
phương trình (38) ta được phương trình vi phân
chuyển động của hai khâu gốc P
1

2 2
1 1 2 1 1 2 1 2 1 1 1
1 1 2 1 1 1
1 1 2 1 1 1 2 1
1
2
4
1
cos
2
1 1
sin cos
2 2
m l m u I I m u u
m l m u g
X u l Y u l
q q
q t
q q
 


   





 
 



  





 
   
 
 
   
 
 
 
 
 
   
 

(52)
2
2 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1
sin cos sin
m u m u m g F X Y
q q q q
    



Bây giờ ta chuyển sang thiết lập phương trình vi
phân chuyển động của bàn máy động (H. 5). Giả
sử bàn máy động là một tam giác đều, đồng chất.
Gọi m và I lần lượt là khối lượng và mô men quán
tính của bàn máy động đối với trục đi qua khối
tâm P và vuông góc với mặt phẳng hình vẽ.
Ta có véc tơ tọa độ suy rộng


T
P P
x yx
j
 .
Chuyển động của bàn máy động là chuyển động
song phẳng. Từ hình vẽ 5 ta thấy, bàn máy động
chịu tác dụng của các phản lực liên kết là
1 1 2 2 3 3
, , , , ,
X Y X Y X Y
. Do đó áp dụng phương trình vi
Tuyển tập công trình Hội nghị Cơ điện tử toàn quốc lần thứ 6 579
Mã bài: 132

phân chuyển động của vật rắn chuyển động song
phẳng ta có

1 2 3
1 2 3

1 1
2 2
3 3
3
sin cos
3 6 6
sin cos
6 6
ccos sin
P
P
mx X X X
my mg Y Y Y
I h X Y
X Y
X Y
p p
j j j
p p
j j
j j
  
   

   
 
 

   
 

 
 
 
  
   

   
 
 
   
 
 
 
 
 
   
 



(53)
Tóm lại đối với robot phẳng 3 RPR ta có hệ các
phương trình vi phân – đại số như sau :
Sáu phương trình liên kết
1 2 1
1 2 1
2 2 2
2 2 2
1 3
cos cos +

2 3 6
1 3
sin sin +
2 3 6
1 3
cos cos
2 3 6
1 3
sin sin
2 3 6
2
P
P
P
P
P
x u l h
y u l h
x c u l h
y u l h
c
x
p
q j
p
q j
p
q j
p
q j

   
 
 
  
 
 
 
 
 
   
   
 
 
  
 
 
 
 
 
   
   
 
 
    
 
 
 
 
 
   

   
 
 
   
 
 
 
 
 
   
 
3 2 3
3 2 3
1 3
cos sin
2 3
3 1 3
sin cos
2 2 3
P
u l h
y c u l h
q j
q j
 


 






 
 


   





 
(54)
Chín phương trình vi phân
2 2
1 1 2 1 1 2 1 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 1
2
2 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1
2 cos sin cos
4 2 2 2
sin cos sin
m l m u I I m u u m l m u g X u l Y u l
m u m u m g F X Y
q q q t q q
q q q q
       
   

   
          
   
   
   
   
   
       
    
 




2 2
1 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1
2 cos sin cos
4 2 2 2
m l m u I I m u u m l m u g X u l Y u l
q q q t q q
       
   
   
          
   
   
   
   
   

       
 


2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
sin cos sin
m u m u m g F X Y
q q q q
    



(55)
2 2
1 1 2 3 1 2 3 2 3 3 3 1 1 2 3 3 3 3 3 2 3 3 3 2 3
2
2 3 2 3 3 2 3 3 3 3 3 3
1 1 1 1
2 cos sin cos
4 2 2 2
sin cos sin
m l m u I I m u u ml m u g X u l Y u l
m u m u m g F X Y
q q q t q q
q q q q
       
   
   
          

   
   
   
   
   
       
    
 





1 2 3
1 2 3
1 1 2 2 3 3
3
sin cos sin cos ccos sin
3 6 6 6 6
P
P
mx X X X
my mg Y Y Y
I h X Y X Y X Y
p p p p
j j j j j j j
  
   

       

   
   

         
   
   
   
   
    
       





b) Mô phỏng số bài toán động lực học ngược
robot song phẳng 3RPR
i=1 i=2 i=3
x
Pi
[m] 0
0.3
3
0.15
3

y
Pi
[m] 0 0 0.45
h[m]

0.3
3

l
1
[m] 0.2
l
2
[m] 0.2
m
1
[kg] 3
m
2
[kg] 1.5
m[kg] 5
Bảng 1. Thông số kỹ thuật của robot 3RPR
Để mô phỏng số ta cho các thông số kỹ thuật của
robot song phẳng 3RPR trên bảng 1 [7].
Công thức tính mô men quán tính khối có dạng
như sau
1 2
2 2
2 2
1 1 2 2
2
2
0.01[ . ], 0.005[ . ]
12 12
0.1687[ . ]

8
C C
m l m l
I kg m I kg m
mh
I kg m
   
 

Giả sử bàn máy động chuyển động theo quy luật
[7]
 
 
0
0
0
1 sin
3
cos
3
1 cos
3
P P
P P
x x R t
y y R t
t
p
p
p

j j
 


  





 
 
 


 





 


Trong đó
 


 




 
0 0
0
0.15 3 , 0.15, 0.025
, 0,3
12
P P
x m y R m
t
p
j
  


 





580 Nguyễn Văn Khang, Nguyễn Thành Công
VCM2012
Bài toán đặt ra là xác định mô men (hay lực) và
công suất của khâu dẫn động cần thiết để tạo ra
chuyển động của bàn máy động.
Một phần các kết quả tính toán trên phần mềm
MATLAB cho trên các hình từ hình 6 đến hình 17.
Trong đó đưa ra hai phương án: Phương án 1

mômen dẫn động đặt vào các khâu quay nối giá,
phương án 2 lực dẫn động đặt tại các khâu chuyển
động tịnh tiến tương đối. Ta thấy các công suất của
từng động cơ trong hai trường hợp khác nhau
nhưng tổng công suất trong hai trường hợp là như
nhau.
Về hiệu quả của hai phương pháp tính, nếu chọn
số bước tính toán K=150, ta có thể so sánh thời
gian tính toán theo hai phương pháp như bảng
sau :

Phương pháp dựa
trên phương trình
Lagrange dạng
nhân tử
Truyền động
bằn mô men
0.235(s)
Truyền động
bằng lực
0.234(s)
Phương pháp dựa
trên các phương
trình vi phân thu
gọn về tọa độ tối
thiểu
Truyền động
bằng mô
men
0.218(s)

Truyền động
bằng lực
0.212(s)
Bảng 2. Thời gian tính toán của hai phương pháp

Phương pháp giải bài toán động lực học ngược
dựa trên phương trình Lagrange dạng nhân tử
Trường hợp dẫn động mô men

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
-30
-20
-10
0
10
20
30
t(s)
Torque(Nm)


torque1
torque2
torque3
H
. 6 Đồ thị mô men các động cơ


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
-4

-3
-2
-1
0
1
2
t(s)
Power(W)


power1
power2
power3

H. 7 Đồ thị công suất các động cơ

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
t(s)
Total Power(W)

H. 8 Đồ thị tổng công suất các động cơ

Trường hợp dẫn động lực

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
t(s)
Force(Nm)


force1
force2
force3

H. 9 Đồ thị lực dẫn động các động cơ

Tuyển tập công trình Hội nghị Cơ điện tử toàn quốc lần thứ 6 581
Mã bài: 132


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
-3
-2
-1

0
1
2
3
t(s)
Power(W)


power1
power2
power3

H. 10 Đồ thị công suất các động cơ

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
t(s)
Total Power(W)

H. 11 Đồ thị tổng công suất các động cơ

Phương pháp giải bài toán động lực học ngược
dựa trên phương pháp thu gọn về tọa độ tối thiểu

Trường hợp dẫn động mô men
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
-30
-20
-10
0
10
20
30
t(s)
Torque(Nm)


torque1
torque2
torque3

H. 12 Đồ thị mô men các động cơ

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
-4
-3
-2
-1
0
1
2
t(s)
Power(W)

power1
power2
power3

H. 13 Đồ thị công suất các động cơ


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
t(s)
Total Power(W)

H. 14 Đồ thị tổng công suất các động cơ


Trường hợp dẫn động lực
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
-60
-40
-20
0
20

40
60
80
t(s)
Force(Nm)


force1
force2
force3

H. 15 Đồ thị lực các động cơ

582 Nguyễn Văn Khang, Nguyễn Thành Công
VCM2012
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
-3
-2
-1
0
1
2
3
t(s)
Power(W)


power1
power2
power3

H. 16 Đồ thị công suất các động cơ
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
t(s)
Total Power(W)

H. 17 Đồ thị tổng công suất các động cơ
5. Kết luận
Tính toán động lực học ngược robot song
song là một bài toán quan trọng trong việc điều
khiển robot song song. Có nhiều phương pháp giải
bài toán động lực học ngược, trong bài báo này,
chúng tôi sử dụng 2 phương pháp đó là : phương
pháp dựa trên phương trình Lagrange dạng nhân tử
và phương pháp dựa trên phương trình vi phân thu
gọn về tọa độ khớp chủ động.
Dựa vào kết quả mô phỏng số ta thấy rằng, sử
dụng cả hai phương pháp đều đạt độ chính xác cao
hay sai số nhỏ (khoảng 10^-13 mm). Tuy nhiên sử
dụng phương pháp dựa trên phương trình vi phân
thu gọn về tọa độ khớp chủ động thì thời gian tính
toán nhỏ hơn sử dụng phương pháp dựa trên

phương trình Lagrange dạng nhân tử.
Sử dụng phương pháp giải bài toán động học
robot song song bằng phương pháp số [10-11] và
kết hợp với phương pháp giải bài toán động lực
học ngược trình bầy trong báo cáo này, nhóm
nghiên cứu của chúng tôi đã tiến hành tính toán
động học ngược, động lực học ngược và điều
khiển nhiều robot song song phẳng và robot song
song không gian. Các kết quả nghiên cứu sẽ được
trình bày trong các công trình công bố sắp tới.

Lời cảm ơn
Công trình này được sự tài trợ về kinh phí của Đề
tài nghiên cứu khoa học cấp trường về robot song
song của Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội.

Tài liệu tham khảo
[1] Nguyen Van Khang: Động lực học hệ nhiều vật.
NXB khoa học và Kỹ thuật, Hà Nội 2007.
[2] J.P. Merlet: Parallel robots. Springer-Verlag,
2006.
[3] L-W. Tsai: Robot analysis: The mechanics of
serial and parallel manipulator. John Wiley &
Sons, Inc, 1999.
[4] Th. Geike; J. McPhee: Inverse dynamic analysis
of parallel manipulators with full mobility.
Mechanism and Machine Theory 38 (2003) 549
– 562.
[5] W. A. Khan; V.N. Krori ; S.K. Saha; J. Angeles:
Recursive kinematics and inverse dynamics for a

planar 3 R parallel manipulator. Journal of
Dynamic Systems, Measuremwnt, and Control,
Vol. 127 (2005), pp. 529-536.
[6] S. Staicu; D. Zhang; R. Rugescu: Dynamic
modeling of a 3-DOF parallel manipulator
using recursive matrix relations. Robotica Vol.
24 (2006), pp.125-130.
[7] S. Staicu: Power requirement comparision in the
3-RPR planar parallel robot dynamics.
Mechanism and Machine Theory 44 (2009)
1045 – 1057.
[8] S. Staicu: Inverse dynamics of the 3-PRR planar
parallel robot. Robotics and Autonomous
Systems 57 (2009), pp. 556-563.
[9] Do Thanh Trung; Jens Kotlarski; Bodo Heimann
and Tobias Ortmainer: A new program to
automatically generate the kinematic and
dynamic equations of general robots in symbolic
form. Proceeding of the ISRM 2009, Bach Khoa
Publishing House 2009, pp 122-128.
[10] Nguyen Van Khang: Inverse dynamics of
constrained multibody systems using the
projection matrix. Vietnam Journal of
Mechanics, Vol. 35 (2013).
[11] Nguyen Thanh Cong: Tính toán động lực học
ngược robot song song sử dụng phương pháp
tách cấu trúc. Đồ án tốt nghiệp đại học, Trường
Đại học Bách khoa Hà Nội 2012.
[12] Nguyen Van Khang: Chu Anh My: Cơ sở robot
công nghiệp. NXB giáo dục, Hà Nội 2011.

Tuyển tập công trình Hội nghị Cơ điện tử toàn quốc lần thứ 6 583
Mã bài: 132



Nguyễn Văn Khang, TS.
1973 (CHLB Đức), TSKH.
1986 (CHLB Đức), PGS Cơ
học 1991 (ĐHBKHN), GS
Cơ học 1996 (ĐHBKHN).
Lĩnh vực nghiên cứu: Động
lực học và điều khiển hệ
nhiều vật/robot, Dao động
tuyến tính và phi tuyến, Điều
khiển các hệ cơ điện tử. Các
giáo trình giảng dạy: Động lực học hệ nhiều vật,
Động lực học phi tuyến và hỗn độn, Dao động kỹ
thuật, Cơ học kỹ thuật, Động lực học và Điều
khiển robot.

Nguyễn Thành Công, sinh
năm 1989, tốt nghiệp ngành
cơ điện tử Trường ĐHBKHN
2012. Từ 2013 học cao học và
nghiên cứu sinh tại Lab “Các
hệ thống cơ điện tử thông
minh”, Soongsil University,

Seoul, Korea. Lĩnh vực
nghiên cứu: Động lực học và
Điều khiển robot, Dao động
và Cơ điện tử.