RÈN kĩ NĂNG GIẢI hệ PT và HÌNH PHẲNG OXY (phần 1)
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.51 MB, 66 trang )
Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT và HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn
Tham gia các khóa Luyện thi môn Toán tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình
( )
(
)
( ) ( )
2
1
4 1 6 2 1 7 1
x x y y x y y
x y x y y
+ − + = +
+ + = + − + +
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình
( )
( )
3 2
3 2 2
1 2 2 1 9 33 29
4 4 4 4 1 2
x x y x y y y y
x x y x y
+ + + − + − = − +
+ + + = + +
Ví dụ 3: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hình vuông ABCD. Gọi M là trung điểm cạnh BC,
3 1
;
2 2
−
N
là
đ
i
ể
m trên c
ạ
nh AC sao cho
1
4
=
AN AC
. Xác
đị
nh t
ọ
a
độ
các
đỉ
nh c
ủ
a hình vuông ABCD
bi
ế
t r
ằ
ng
đườ
ng th
ẳ
ng DM có ph
ươ
ng trình
1 0.
− =
x
Ví dụ 4:
Trong m
ặ
t ph
ẳ
ng v
ớ
i h
ệ
to
ạ
độ
Oxy cho tam giác ABC vuông t
ạ
i A có M là
đ
i
ể
m thu
ộ
c c
ạ
nh AC
sao cho
2
AM AB
=
,
đườ
ng tròn tâm
(
)
0;3
I
đườ
ng kính CM c
ắ
t
đườ
ng th
ẳ
ng BM t
ạ
i D (D khác M), bi
ế
t
đườ
ng th
ẳ
ng CD:
3 13 0
x y
+ − =
và đường thẳng BC đi qua điểm
(
)
7;14
K
. Tìm toạ độ các đỉnh A,B,C và
điểm C có hoành độ dương.
Ví dụ 5. [Tham khảo]: Giải hệ phương trình
2 2 2 2
2
2
2 2 2 3
+ − + = + −
+ + = −
x x xy y xy xy y
x y x x y
Lời giải:
Đ
K:
2 2
0; 0; 0; 0
x xy xy y x y
− ≥ − ≥ ≥ ≥
T
ừ
ph
ươ
ng trình (1) ta có
2 2 2 2
2
x x xy y xy xy y
+ − + = + −
( ) ( )
2 2
2 2
0
1
1 0 0
x y x y x y
x xy xy y
>
⇔ − + =
⇒
− =
⇒
=
− + −
Thay
x y
=
vào ph
ươ
ng trình (2) ta có
2
2 2 2 3
x y x x y
+ + = −
( ) ( )
2
2
2 2 2 3 3 2 0
⇔ + + = − ⇔ + − + + =
x x x x x x x x x
2 2
1 5
1 5 1 5
1
2
2 2
2
1; 2
4 4
− ±
− + − +
+ =
=
= =
⇔ ⇒ ⇒ ⇒
+ =
= − =
= =
x x
x
x y
x x
x x
x y
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là
( )
( )
2 2
1 5 1 5
; ; , 4;4
2 2
− + − +
=
x y
Ví dụ 6. [Tham khảo]: Giải hệ phương trình
2
2
2 2 4 2
2
16 4
− + + − + = +
− + = +
x y y x y y
x y y x
y
Lời giải:
Từ phương trình (1) ta có
2
2 2 4 2
x y y x y y
− + + − + = +
RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT và HÌNH PHẲNG OXY (phần 1)
Thầy Đặng Việt Hùng
Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT và HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn
Tham gia các khóa Luyện thi môn Toán tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015
( )
2
0
1 1
2 0 2
2 4 2
2
>
⇔ − + = ⇔ =
− + +
− + +
x y x y
x y
x y y y
Thay
2
x y
=
vào phương trình (2) ta có
2
2
4 2x x x
y
+ = +
2
4
4 2x x x
x
⇔ + = +
4 4
2 8 0
x x
x x
⇔ + − + − =
Đặt
4
( 0)
t x t
x
= + >
2
2
2 0
0 ( )
=
⇒ − = ⇔
=
t
t t
t loai
Với
2
4
2 2 4 4 0 2 1
t x x x x y
x
= ⇒ + = ⇔ − + = ⇔ = ⇒ =
Vậy nghiệm của hệ phương trình là:
( ; ) (2;1)
x y
=
Ví dụ 7. [Tham khảo]: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD, trên tia đối của tia BA
và trên cạnh BC lần lượt lấy các điểm E và F sao cho
BE BF
=
, gọi
12 29
;
5 5
N
là giao
đ
i
ể
m c
ủ
a 2
đườ
ng th
ẳ
ng CE và AF, bi
ế
t ph
ươ
ng trình
đườ
ng th
ẳ
ng
: 5 0
EF y
− =
và
(
)
3;4
B
. Tìm t
ọ
a
độ
các
đỉ
nh
c
ủ
a hình vuông ABCD.
Lời giải:
D
ễ
th
ấ
y
/ /
EF BD
(vì cùng t
ạ
o v
ớ
i AB góc
0
45
).
Khi
đ
ó:
EF AC
AF CE
CB AB
⊥
⇒
⊥
⊥
( do F là tr
ự
c tâm )
Ph
ươ
ng trình
: 4 0
BD y
− =
, g
ọ
i
(
)
;4
I t
ta có:
IB IN
=
.
Khi
đ
ó:
( ) ( )
2 2
2
12 29
3 4 0 0;4
5 5
t t t I
− = − + − ⇔ = ⇒
T
ừ
đ
ó suy ra
(
)
3;4
D
−
khi
đ
ó ph
ươ
ng trình AC là :
0
x
=
G
ọ
i
(
)
0;
A u
ta có:
( )
(
)
( )
2
1 0;1
. 0 9 4 0
7 0;7
u A
AB AD u
u A
= ⇒
= ⇔ − + − = ⇔
= ⇒
Vì A và B cùng phía v
ớ
i EF nên ta lo
ạ
i
(
)
0;7
A
Khi
đ
ó:
(
)
(
)
0;1 ; 0;7
A C
. V
ậ
y
(
)
(
)
(
)
(
)
0;1 ; 3;4 ; 0;7 ; 3;4
A B C D
−
là các
đ
i
ể
m c
ầ
n tìm.
Ví dụ 8. [Tham khảo]:
Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình
( )
( )
2
2 2 2
2
3 2 1
2 1
4 4 2 4 6 4 1
−
+ + + = +
− −
+ + − = + +
y
x y y x y
y y
xy x y x x
Lời giải
Đ
K :
1
1; ; 2 1 0
4
y x y y
≥ ≥ − − − ≠
Xét ph
ươ
ng trình (1) ta có
( )
2
2 2 2
2
3 2 1
2 1
y
x y y x y
y y
−
+ + + = +
− −
( )
2 2 2
2 2 2
2
0
2 2 1 2 1 0
2
2 0 2 0 2
1 1
x y y y x y
x y y x y y x
x y
>
⇔ + − + + − − =
⇔ + − + = ⇒ + − = ⇔ = +
+ + −
Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT và HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn
Tham gia các khóa Luyện thi môn Toán tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015
Thay
2
2
y x
⇔ = +
vào phương trình 2 ta có
( )
4 4 2 4 6 4 1
xy x y x x
+ + − = + +
(
)
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
3 2
3 2
3 2
4 6 6 4 6 4 1
1 1 5 1 4 1 4 1 5 4 1
x x x x x
x x x x x x
⇔ + + + = + +
⇔ + + + + + = + + + + +
Xét hàm số
(
)
3 2
5
f t t t t
= + +
với
0
t
>
Ta có
2
3 2 5 0
t t
+ + >
với
0
t
∀ >
Suy ra hàm số đồng biến
(
)
f t
với
0
t
∀ >
Mà
( )
( )
2
2 6
1 4 1 1 4 1 2 0
0 2
x y
f x f x x x x x
x y
= ⇒ =
+ = + ⇒ + = + ⇒ − = ⇔
= ⇒ =
Đối chiếu điều kiện ban đầu thấy thỏa mãn, vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là
(2;6)
và
(0;2)
Ví dụ 9. [Tham khảo]: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình vuông ABCD. Gọi M là trung điểm
của AB, N thuộc BD sao cho BN = 3ND, đường thẳng MC có phương trình
3 13 0
+ − =
x y và
(2;2)
N . Xác
định toạ độ đỉnh C của hình vuông ABCD, biết điểm C có hoành độ lớn hơn 3.
Lời giải:
Gọi I là tâm của hình vuông và
G BI CM
= ∩
suy ra G là trọng tâm tam
giác ABC. Đặt
2
AB a
=
ta có:
2 2 5
3 3
a
CG CM= = ;
2 2
BD a
=
.
Khi
đ
ó
2 2
2 2 5 2 10
; ;
3 2 6 2
a a a a
GI IN GN CN CI IN= = ⇒ = = + =
Do vâ
ỵ
2 2 2
0
1
cos 45
2 .
2
GC CN GN
GCN MCN
GC CN
+ −
= = ⇒ =
Ta có
( )
5
.sin ; 5
10
NC GCN d N CM NC= = ⇒ =
G
ọ
i
(
)
(
)
;13 3 3
C t t t
− >
ta có
2
5
NC
=
( ) ( )
(
)
( )
2 2
4 4;1
2 11 3 5
3
t C
t t
t loai
= ⇒
⇔ − + − = ⇔
=
.
V
ậ
y
(
)
4;1
C
là
đ
i
ể
m c
ầ
n tìm.
Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT và HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn
Tham gia các khóa Luyện thi môn Toán tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình
( ) ( )
2
2 1 2 3 4 1
2 6 3 2
− + + − + + = −
+ − + + = + +
y x y x y x y y
x y x x y x
.
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình
( )
2 2
1 2 2 2 1 3 1 3 2 2
3 3 2 4 3
+ = + + − + + − + +
+ + = + +
x y x y x y x x y
x x x y
.
Ví dụ 3: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có phương trình đường phân giác trong
và trung tuyến qua đỉnh B là
1 2
: 2 0; : 4 5 9 0
d x y d x y
+ − = + − =
. Điểm
1
2;
2
M
thu
ộ
c c
ạ
nh AB và bán
kính
đườ
ng tròn ngo
ạ
i ti
ế
p tam giác ABC là
15
.
6
R = Tìm t
ọ
a
độ
các
đỉ
nh A, B, C.
Ví dụ 4:
Trong m
ặ
t ph
ẳ
ng v
ớ
i h
ệ
to
ạ
độ
Oxy cho hình thoi ABCD có ph
ươ
ng trình
đườ
ng chéo
: 2 4 0
BD x y
+ − =
, gọi I là điểm thuộc đường chéo BD, đường tròn
(
)
C
tâm I đi qua A và C cắt các
đường thẳng AB và AD lần lượt tại
(
)
3; 3
E
−
và
23 9
;
5 5
F
.Tìm toạ độ các đỉnh của hình thoi và viết
phương trình đường tròn
(
)
C
biết C có tung độ dương.
Ví dụ 5. [Tham khảo]: Giải hệ phương trình
2
4
3 1 1 3
4
3
1
− + = + −
−
− = + −
x y x y x
y
y x
x x
Lời giải:
ĐK:
1 4; 0
y x
− ≤ ≤ >
Từ phương trình (1) ta có
2
4
3 1 1 3
x y x y x
− + = + −
( )
2
4
0
3
1 0 1 0 1
1
x y x x y y x
x y
>
⇔ − + + = ⇒ − + = ⇒ = −
+ +
Thay
2
1
y x
= −
vào phương trình (2) ta có:
4
3
1
y
y x
x x
−
− = + −
2
5 3
1 1
x
x x
x x
−
⇔ − − = + −
( )
2
2
0
2
2 2 0 2 3
1 5
x
x x x x y
x
>
+
⇔ − + + + = ⇒ = ⇒ =
+ −
Vậy nghiệm của hệ phương trình là
(
)
; (2;3)
=x y
Ví dụ 6. [Tham khảo]: Giải hệ phương trình
3 2 2 2
2
2 4 2 4 2 2
2
9 3 1
2
+ − + + = + +
−
+ = +
x x y xy y x y
x
x y
Lời giải:
ĐK:
2 4 0; 2
x y x
− + ≥ ≥
Từ phương trình (1) ta có
3 2 2 2
2 4 2 4 2 2
x x y xy y x y
+ − + + = + +
( )
2 2
0
1
2 2 0 2
2 4 2
x y x y x y
x y
>
⇔ − + + = ⇒ =
− + +
RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT và HÌNH PHẲNG OXY (phần 2)
Thầy Đặng Việt Hùng
Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT và HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn
Tham gia các khóa Luyện thi môn Toán tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015
Thay
2
x y
=
vào phương trình (2) ta có
2
2
9 3 1
2
x
x y
−
+ = +
(
)
( )
2 2
2
2
4 3 1 9 1 0 4 12 8 9 1 1 0
1 2
3 2 0
2 4
9
3 2 4 0
9
1 1
4 0, (3)
1 1
⇔ − − + − = ⇔ − + + − + − =
= ⇒ =
− + = ⇔
= ⇒ =
⇔ − + + = ⇔
− − −
+ =
− − −
y y y y y y y
y x
y y
y x
y y
y y
y y
Xét phương trình (3) ta có
9
4 0
1 1y y
+ =
− − −
Đặt
2
2
9
1 4 0 4 4 9 0
t y t t
t t
= − ⇒ + = ⇔ − + =
−
do
0
∆ <
nên ph
ươ
ng trình (3) vô nghi
ệ
m
V
ậ
y ph
ươ
ng trình
đ
ã cho có 2 nghi
ệ
m là
(
)
{
}
; (2;1);(4;2)
=x y
Ví dụ 7. [Tham khảo]:
Trong m
ặ
t ph
ẳ
ng to
ạ
độ
Oxy
cho tam giác
ABC
cân t
ạ
i
A
n
ộ
i ti
ế
p
đườ
ng tròn
( ) ( )
2
2
: 1 25
C x y
− + =
tâm I, trung tuy
ế
n AE và
đườ
ng cao CD c
ắ
t
đườ
ng tròn (C) l
ầ
n l
ượ
t t
ạ
i
đ
i
ể
m th
ứ
2 là
(
)
2; 4
M
− −
và
(
)
4; 4
N
−
. Tìm to
ạ
độ
các
đỉ
nh c
ủ
a tam giác ABC và vi
ế
t ph
ươ
ng trình
đườ
ng tròn
(
)
C
bi
ế
t B có tung
độ
âm.
Lời giải:
Do tam giác ABC cân nên tâm I c
ủ
a
đườ
ng tròn
(
)
C
thu
ộ
c trung
tuy
ế
n AE. Do I là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a AM nên
(
)
4;4
A
Ph
ươ
ng trình
đườ
ng th
ẳ
ng AM:
4 3 4 0
x y
− − =
.
G
ọ
i
H AM CD
= ∩
là tr
ự
c tâm tam giác
ABC
.
Ta có :
BAE BCD
=
( cùng ph
ụ
v
ớ
i góc
ABC
) do
đ
ó
BN BM
=
Khi
đ
ó :
BN BM
=
, l
ạ
i có
IN IM
=
nên
IB
là trung tr
ự
c c
ủ
a
MN
Ph
ươ
ng trình
IB
là:
(
)
(
)
2
1 1; 25 1; 5
x B t t B
= ⇒ ⇒ = ⇒ −
.
Đ
i
ể
m
C
đố
i x
ứ
ng v
ớ
i
B
qua
AM
nên
19 7
;
5 5
C
− −
Đáp số:
( ) ( )
19 7
4;4 ; 1; 5 ; ;
5 5
A B C
− − −
là các
đ
i
ể
m c
ầ
n tìm.
Ví dụ 8. [Tham khảo]:
Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình
2
4
2 5 4 2 2 3
3 6 5 2 1 2 2 2 2 1 0
+ + = + + +
− − − − + − − − =
x x y y x
y x x x x
Lời giải
Đ
K:
2 3 0; 2
y x x
+ + ≥ ≥
Xét ph
ươ
ng trình (1) ta có
2
2 5 4 2 2 3
x x y y x
+ + = + + +
( )
( ) ( )
2
2 2
0
2 1 2 2 3 0
1
1 2 0 1
2 2 3
x y x y x
x y y x
x y x
>
⇔ + − + + − + + =
⇔ + − + =
⇒
= +
+ + + +
Thay
( )
2
1
y x
= +
vào ph
ươ
ng trình (2) ta có
4
3 6 5 2 1 2 2 2 2 1 0
y x x x x
− − − − + − − − =
( )
( ) ( )
( )
2
4
2
2
1 3 6 5 2 1 2 2 2 2 1 0
2 5 2 2 2 2 1 5 2 1 2 1
x x x x x
x x x x x x
⇔ + − − − + + − − − =
⇔ − + − + − = − + − + −
Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT và HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn
Tham gia các khóa Luyện thi môn Toán tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015
Xét hàm số
2
( ) 5 2
f t t t t
= + + với
0
t
>
Ta có
1
'( ) 2 5 0
f t t
t
= + + >
0
t
∀ >
, suy ra hàm s
ố
( )
f t
đồng biến
0
t
∀ >
Mà
( )
( )
2
1( )
2 2 1 2 2 1 6 5 0
5 36
=
− = + ⇒ − = − ⇔ − + = ⇔
= ⇒ =
x loai
f x f x x x x x
x y
Đối chiếu điều kiện ban đầu thấy thỏa mãn , vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là
(
)
; (5;36)
=x y
Ví dụ 9. [Tham khảo]: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông tại C có phân giác trong
AD với
7 7
;
2 2
D
−
thuộc BC. Gọi E, F là 2 điểm lần lượt thuộc các cạnh AB và AC sao cho AE = AF.
Đường thẳng EF cắt BC tại K. Biết
3 5
;
2 2
E
−
, F có hoành độ nhỏ hơn 3 và phương trình đường thẳng
: 2 3 0
AK x y
− − =
. Vi
ế
t ph
ươ
ng trình các c
ạ
nh c
ủ
a tam giác ABC.
Lời giải:
G
ọ
i I là giao
đ
i
ể
m c
ủ
a AD và EF . Do tam giác AEF cân t
ạ
i A có phân giác AI nên AI là phân giác
đồ
ng
th
ờ
i là
đườ
ng cao và trung tuy
ế
n.
Ta có:
EK AD
DF AK
AC KD
⊥
⇒ ⊥
⊥
.
Do
đ
ó
đươ
ng th
ẳ
ng DF qua
7 7
;
2 2
D
−
và vuông góc v
ớ
i AK. Ta có
7
: 2 0
2
DF x y
+ − =
.
Vì F thu
ộ
c DF nên ta g
ọ
i
7
; 2
2
F t t
−
M
ặ
t khác I là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a EF nên
2 3 1 2
;
4 2
t t
I
+ −
Ta có:
3 2 11 2
; 3 , ; 4
4 4
− −
= − + = − +
t t
IE t ID t
Khi
đ
ó,
(
)
(
)
(
)
(
)
. 0 3 2 11 2 16 3 4 0
IE ID t t t t
= ⇔ − − + − − =
( )
( )
2
9 9 11
;
2 2 2
20 140 225 0
5 5 3
; 2; 2
2 2 2
t F loai
t t
t F I
−
=
⇒
⇔ − + = ⇔
−
=
⇒ ⇒
−
PT
đườ
ng th
ẳ
ng
( )
0 1
: 0 1; 1
2 3 0 1
x y x
AD x y A AD AK A
x y y
+ = =
+ =
⇒
= ∩
⇒
⇔
⇒
−
− − = = −
T
ừ
đ
ó ta có
: 3 2 0, :3 2 0, :3 14 0
AF x y AE x y BC x y
+ + = + − = − − =
Ví dụ 10. [Tham khảo]:
Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình
( )
2
2 2
3 4 4
1
4
3 12 3 2 1
−
− + + =
+
+ + = + + −
y
x y x
x
y x y x
x
Lời giải:
Đ
K:
0; 0
y x
> >
Xét PT(1):
2 2
3 4 4
1
y
x y x
x
−
− + + =
+
( ) ( )
(
)
(
)
2 2
3 3 2 1 4 4 2 0 1 2 4 4 2 0
x x x y x y x x y x x y
⇔ + + − + + + − = ⇔ + + − + + + − =
Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT và HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn
Tham gia các khóa Luyện thi môn Toán tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015
( )
(
)
( ) ( )
2
2 2
0
4 4 4 4
1
1 2 0 2 0
2 4 4 2 4 4
>
+ + − + +
+
⇔ + + − = ⇔ − + =
+ + + + + + + +
x x y x
x
x x y x y
x y x x y x
2 2
0
⇒ − = ⇔ =
x y y x
. Thế
2
y x
=
vào PT(2) ta được:
( )
( )
2
2 2 2
4 4
3 3 12 2 1 3 3 12 4 4 1
x x x x x x x x x
x x
+ + = + + − ⇔ + + = + + + −
Do
0
x
=
không là nghi
ệ
m c
ủ
a PT(2) nên chia c
ả
hai v
ế
c
ủ
a PT cho x ta
đượ
c:
12 4 4 4 4 4
3 3 4 1 3 3 4 1
x x x x x x
x x x x x x
+ + = + + + − ⇔ + + = + + + −
Đặ
t
( )
2 2
4 4 4
1, 0 1 1
= + − > ⇒ = + − ⇒ + = +
t x t t x x t
x x x
⇒
PT(2)
( ) ( )
( )
( )
( )
2 2 3 2 2
2
2 0 2
3 1 3 1 4 3 5 6 0 2 3
3 0
− = ⇔ =
⇔ + + = + + ⇔ − + − = ⇔ − − + ⇔
− + =
t t
t t t t t t t t t
t t vn
V
ớ
i
2
1 1
4 4
2 1 2 1 4 5 4 0
4 16
x y
t x x x x
x y
x x
= ⇒ =
= ⇒ + − = ⇔ + − = ⇔ − + =
= ⇒ =
Vậy hệ phương trình đã cho có 2 cặp nghiệm là
(
)
(
)
(
)
{
}
; 1;1 , 4;16
=x y
Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT và HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn
Tham gia các khóa Luyện thi môn Toán tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình
2 2
2 2
2 5 2 4 9 6 2
2 2 4 14 20
+ − = + + + +
+ + + = − + −
x x y y x y x
x x y y x x
Ví dụ 2:
Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình
( )
2 2 2 2
2
6 8 6 2
1 3 6 1
+ + − + = + +
+ + + + + = + +
x y x xy y x y xy
x y x x y xy x
Ví dụ 3:
Trong m
ặ
t ph
ẳ
ng v
ớ
i h
ệ
to
ạ
độ
Oxy
cho hình vuông
ABCD
trên các c
ạ
nh
AD, AB
l
ấ
y l
ầ
n l
ượ
t
các
đ
i
ể
m
,
E F
sao cho
3
AB
AE AF= = , K là hình chi
ế
u c
ủ
a F trên CD,
đườ
ng th
ẳ
ng AK c
ắ
t
đườ
ng th
ẳ
ng
BE t
ạ
i
6 2
;
5 5
H
, bi
ế
t
đ
i
ể
m
(
)
1;2
F
. Tìm to
ạ
độ
đỉ
nh C c
ủ
a hình vuông ABCD.
Ví dụ 4:
Trong m
ặ
t ph
ẳ
ng to
ạ
độ
Oxy cho tam giác ABC vuông cân t
ạ
i A, g
ọ
i M là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a BC, G
là tr
ọ
ng tâm tam giác ABM,
đ
i
ể
m
5 1
;
3 3
D
−
là
đ
i
ể
m thu
ộ
c
đ
o
ạ
n MC sao cho
GA GD
=
. Tìm to
ạ
các
đỉ
nh c
ủ
a tam giác ABC bi
ế
t A có hoành
độ
không d
ươ
ng và
đườ
ng th
ẳ
ng AG có ph
ươ
ng trình
2 0
y
+ =
.
Ví dụ 5. [Tham khảo]:
Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình
2
4
3 2 3
2
3 2 3 3 4
−
+ + − = + +
+
+ + = + −
y y
xy x y y
y
y x xy x
Lời giải:
T
ừ
ph
ươ
ng trình (1) ta có
2
4
3 2 3
2
y y
xy x y y
y
−
+ + − = + +
+
( )
0
1
0
3 3
x y y x y
x y
>
⇔ − + = ⇒ =
+ + +
hay
2
y x
=
Thay
2
y x
=
vào phương trình (2) ta có
3 6 3 2 5 4
y x xy y x
+ + = + + +
( )
( ) ( )
( )
2 2
4 2 1 3 1 4
x x x x x x
⇔ + + + − = + + +
Đặ
t
2
4; 0
A x x A
= + + >
và
1; 0
B x B
= + >
2 3
A B AB
⇒ + =
(
)
(
)
2 2
4 4 9 4 0
⇔ + + = ⇔ − − =
A AB B AB A B A B
2
0
2
4 1( )
0 0
4 4 4 4
3 ( )
= ⇔ + + = +
⇔
= ⇒ =
= ⇔ + + = + ⇔
= −
A B x x x vn
x y
A B x x x
x loai
Vậy nghiệm của hệ phương trình là
(
)
; (0;0)
=x y
Ví dụ 6. [Tham khảo]: Giải hệ phương trình
3 2
5 1 2
11 7
x xy x x x y
x y y
− + + + = +
− + =
Lời giải:
RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT và HÌNH PHẲNG OXY (phần 3)
Thầy Đặng Việt Hùng
Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT và HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn
Tham gia các khóa Luyện thi môn Toán tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015
ĐK:
2
5 0
0
0 11
x y
x
y
− + ≥
≥
≤ ≤
Từ PT đầu ta có
3 2 3 2
5 1 2 5 2 1
x xy x x x y x xy x x y x
− + + + = + ⇔ − + − = − +
(
)
2
3 2 2
3 2 3 2
1
1 1
5 1 5 1
x x y
x xy x y x y x
x xy x x y x x xy x x y x
− +
− + − − − −
⇔ = ⇔ =
− + + + + − + + + +
( )
2
2
3 2
1 0
1
1
5 1
y x
x
y x
L
x xy x x y x
− − =
−
⇔ ⇒ = +
=
− + + + +
Thay vào PT d
ướ
i ta có
(
)
2 2 2 2
11 1 7 1 10 6 0
x x x x x x
− + + = + ⇔ − + − =
Đặ
t:
( ) ( )( )
2 2 2 2
3 3 10
6 4 4 6 4
4 10 11
t x y
t x x t t x t t t t t
t x y
= ⇒ = ± ⇒ =
= − ⇒ − = ⇒ − = ⇔ + − = ⇔
= ⇒ = ± ⇒ =
K
ế
t h
ợ
p
Đ
K ta có:
( ) ( )
(
)
{
}
; 3;10 , 10;11
=x y
Ví dụ 7. [Tham khảo]:
Trong m
ặ
t ph
ẳ
ng v
ớ
i h
ệ
t
ọ
a
độ
cho tam giác
ABC
vuông t
ạ
i
B
có phân giác trong
AD
v
ớ
i
15 1
;
2 2
D
thu
ộ
c BC .G
ọ
i E, F là 2
đ
i
ể
m l
ầ
n l
ượ
t thu
ộ
c các c
ạ
nh AB và AC sao cho
AE AF
=
.
Đườ
ng th
ẳ
ng EF c
ắ
t BC t
ạ
i K. Bi
ế
t
đ
i
ể
m
11 3
;
2 2
F
, E có tung
độ
d
ươ
ng và ph
ươ
ng trình
đườ
ng th
ẳ
ng
: 2 1 0
AK x y
− + =
. Tìm to
ạ
độ
các
đỉ
nh c
ủ
a tam giác ABC.
Lời giải:
G
ọ
i I là giao
đ
i
ể
m c
ủ
a AD và EF . Do tam giác AEF cân t
ạ
i A có
phân giác AI nên: AI là phân giác
đồ
ng th
ờ
i là
đườ
ng cao và trung
tuy
ế
n.
Ta có:
KE AD
DE AK
AB KD
⊥
⇒ ⊥
⊥
. Do
đ
ó
đươ
ng th
ẳ
ng DE qua
15 1
;
2 2
D
và vuông góc v
ớ
i AK. Khi
đ
ó ta có ph
ươ
ng trình
31
: 2 0
2
DE x y
+ − =
.Vì E thu
ộ
c DE nên ta g
ọ
i
31
; 2
2
E t t
−
D
ễ
th
ấ
y
( )
2
2
15
15 2 5
2
DE DF t t
= ⇔ − + − =
( )
( )
( )
2
17 17 3
;
2 2 2
2 15 4
13 13 5
; 6;2 : 8 0
2 2 2
t E loai
t
t E I AD x y
= ⇒ −
⇔ − = ⇔
= ⇒ ⇒ ⇒ + − =
Khi đó
(
)
5;3 :3 18 0; : 3 14 0; :3 22 0
A AD AK A AC x y AB x y BC x y
= ∩ ⇒ ⇒ + − = + − = − − =
Do vậy
( ) ( )
20
5;3 ; 8;2 ; ; 2
3
A B C
−
là to
ạ
độ
các
đ
i
ể
m c
ầ
n tìm.
Ví dụ 8. [Tham khảo]:
Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình
(
)
(
)
( )
3 3
4
3 1 2,
2 1 5 7 6 2 10.
x y x y xy
x y x y x
+ + + + =
+ + − + − = +
Lời giải.
Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT và HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn
Tham gia các khóa Luyện thi môn Toán tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015
Điều kiện
1; 7
x y
≥ − ≤
.
Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với
( ) ( )
3
3 3
3 2 2
x y xy x y x y x y x y
+ + + + + = ⇔ + + + =
.
Đặ
t
(
)
(
)
3 2
2 0 1 2 0 1 1
x y t t t t t t t y x
+ = ⇒ + − = ⇔ − + + = ⇔ = ⇒ = −
.
Ph
ươ
ng trình th
ứ
hai tr
ở
thành
(
)
4
2 1 5 6 6 1 10
+ + + + + = +
x x x x x
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
4 2
3 2
3
3
2 1 4 5 6 15 6 6 9
2 1 2 5 6 3 3 3 3 3
2 3 5 3
3 1 2
1 2 6 3
3
2 5
1 2 1
1 2 6 3
⇔ + − + + − = − − −
⇔ + − + + − = − + + +
− −
⇔ + = − + +
+ + + +
=
⇔
+ = + +
+ + + +
x x x x x
x x x x x x
x x
x x
x x
x
x
x x
Để ý rằng
2 5 2 5
2, 1
2
1 2 6 3 5 3
x
x x
+ ≤ + < ∀ ≥ −
+ + + + +
và
( )
3
1 2 2, 1
x x
+ + ≥ ∀ ≥ −
.
Do đó
( )
3
2 5
1 2, 1
1 2 6 3
x x
x x
+ < + + ∀ ≥ − ⇒
+ + + +
(1) vô nghiệm.
Đối chiếu điều kiện ta thu được nghiệm duy nhất
3
x
=
, h
ệ
có nghi
ệ
m
3; 2
x y
= = −
.
Ví dụ 9. [Tham khảo]:
Trong m
ặ
t ph
ẳ
ng v
ớ
i h
ệ
t
ọ
a
độ
Oxy cho hình vuông ABCD có D(5; 1). G
ọ
i M là
trung
đ
i
ể
m BC và N thu
ộ
c AC sao cho AC = 4AN. Bi
ế
t r
ằ
ng MN: 3x − y − 4 = 0 và y
M
> 0. Tìm t
ọ
a
độ
đỉ
nh C
Lời giải:
G
ọ
i I là tâm hình vuông ABCD ta có:
1
tan tan
2
NDI MDC
= =
Do v
ậ
y
0
45
NDM IDC ICM= = = do
đ
ó t
ứ
giác NDCM là t
ứ
giác n
ộ
i
ti
ế
p suy ra
0
90
DNM DNM
=
⇒
∆ vuông cân t
ạ
i N.
Ph
ươ
ng trình
đườ
ng th
ẳ
ng
: 3 8 0
DN x y
+ − =
(
)
2;2
N DN MN N⇒ = ∩ ⇒
, g
ọ
i
(
)
;3 4
M t t
−
ta có:
(
)
2 2
3;5
MN ND M= ⇒
D
ễ
th
ấ
y
2
KD KM
= −
( v
ớ
i K là tr
ọ
ng tâm tam giác BCD)
Khi
đ
ó
(
)
( )
5 2 3
11 11
;
3 3
1 2 5
K K
K K
x x
K
y y
− = − −
⇒
− = − −
L
ạ
i có:
( )
5 5 5 5 5 11 11
; ; 5;5
4 4 3 3 4 3 3
= ⇒ = − ⇔ − − = − − − ⇒
C C
KN
KN KC x y C
KC
Ví dụ 10. [Tham khảo]:
Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình
(
)
(
)
2 2
2 2
1 3 2 1
2 16 42 1 2 3
+ + + + + − =
− + = + −
x x x y y y
x y x
Lời giải:
Đ
K:
3
2
x
≥
Xét ph
ươ
ng trình (1) ta có
(
)
(
)
2 2
1 3 2 1
x x x y y y
+ + + + + − =
Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT và HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn
Tham gia các khóa Luyện thi môn Toán tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015
( ) ( )
2 2
2 2
1 1 1 1 1
x x x y y y
⇔ + + + + + = + +
Xét hàm số
2 2
( ) 1
f t t t t
= + +
với
(
)
0 1 ( )
t f x f y
> ⇒ + =
Ta có:
2
2
2
'( ) 2 1 0
1
t
f t t t
t
= + + + >
+
Suy ra hàm số
( )
f t
đồng biến với
0
t
∀ >
M
ặ
t khác:
(
)
1 ( ) 1
f x f y x y
+ = ⇒ + =
.
Thay
1
x y
+ =
vào phương trình (2) ta có
( )
2 2 2
2 2 2
2
2
2 16 42 1 2 3 2 16 28 1 2 3
1
7 15 2 3 0 8 12 3 2 3 0 8 12 1 0
3 2 3
6 7
8 12 0
2 3
1
1 0
3 2 3
6 7
3 2 2 2
3
3
2
− + = + − ⇔ − + = + −
⇔ − + − − = ⇔ − + + − − − = ⇔ − + + =
− + −
= ⇒ =
− + =
⇔ ⇔ = ⇒ =
+ =
− + −
− +
⇔ = − ⇒ = −
≤ ≤
x y x x x x
x x x x x x x x x
x x
x y
x x
x y
x x
x x
x y
x
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là
( )
( ) ( )
(
)
{
}
; 6; 7 ; 2; 3 ; 3 2; 2 2
= − −x y
Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT và HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn
Tham gia các khóa Luyện thi môn Toán tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình
2
2
2 2 2 3 3
1
1
2 3 2
+ + + + − =
− +
− + =
− +
x y x y x y y
x y
y x
y x
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình
(
)
( )
3 2 3 2
2 2
9 2 1 3
+ + = + + + −
− + − + + =
x x x y y y xy x y
x x y x y
Ví dụ 3:
Trong m
ặ
t ph
ẳ
ng v
ớ
i h
ệ
t
ọ
a
độ
Oxy
, cho hình vuông
ABCD
có
đườ
ng th
ẳ
ng
AB đ
i qua
đ
i
ể
m
(
)
5; 1
− −
E
. G
ọ
i
(
)
, 2; 2
−
M N
l
ầ
n l
ượ
t là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a
BC
và
DC
;
H
là giao
đ
i
ể
m c
ủ
a
AM
và
BN
. Xác
đị
nh t
ọ
a
độ
các
đỉ
nh c
ủ
a hình vuông
ABCD
, bi
ế
t kho
ả
ng cách t
ừ
H
đế
n
đườ
ng th
ẳ
ng
AB
b
ằ
ng
8 2
5
và
hoành
độ
đ
i
ể
m
A
không âm.
Ví dụ 4:
Trong m
ặ
t ph
ẳ
ng v
ớ
i h
ệ
t
ọ
a
độ
Oxy
cho tam giác
ABC
vuông t
ạ
i
A
có
đ
i
ể
m
(
)
1;7
C
và n
ộ
i ti
ế
p
đườ
ng tròn
(
)
C
tâm
I
.
Đườ
ng th
ẳ
ng vuông góc v
ớ
i
AI
t
ạ
i
A
c
ắ
t
đườ
ng tròn ngo
ạ
i ti
ế
p tam giác
AIC
t
ạ
i
đ
i
ể
m th
ứ
2 là
(
)
2;6
K
−
, bi
ế
t
đ
i
ể
m
I
có hoành
độ
d
ươ
ng và
đườ
ng th
ẳ
ng
AI
đ
i qua
(
)
0;2
E
. Tìm to
ạ
độ
các
đỉ
nh
A, B.
Ví dụ 5. [Tham khảo]:
Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình
( ) ( )( )
( ) ( )
2
2
1 2
1 3 4 1 1 (1)
1 2 1 3 3 (2)
−
+ + = + + −
+ − + − = + + +
x
y x x y
y x y y x x
Lời giải
ĐK:
( ) ( )
( ) ( )
2
2
2
3 0
1 2 0
1 2 0
x
x y y x
x y y x
+ ≥
⇔ − + − ≥
− + − ≥
(*)
Khi đó
2 2
(1) 3 3 4 1
y x x xy x y
⇔ + + + = + − + −
(
)
2 2
2 2 2
2
3
3 3 3 0 . 3 3 0
3
x x
y x x x x y y x y x
x x
+ −
⇔ + − + + + − − = ⇔ − + − + + =
+ +
(
)
(
)
2
2 2
2 2
3 3
3
3 3 0 3 0
3 3
y x x
y
x y x y x x
x x x x
− − +
⇔ − + − + + = ⇔ − − − + =
+ + + +
(
)
2
2
2
2
2
2
3 0
3
3
3 1 0
3
1
3
3 3
3
y x x
y x x
y x x
x x
x x
x x
− − + =
= + +
⇔ − − + − = ⇔ ⇔
=
+ +
+ + =
+ +
• TH1.
( )
2 2
2
2
3 0
3 3
3 3 3 3 1
3 9 6 1
3 3
x
x x
x x x x x
x x
x x
− ≥
≤ ≤
+ + = ⇔ + = − ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ =
= − =
+ = −
Th
ế
1
x
=
vào (2) ta đượ
c
( )
2 1 1 2
y y y
+ − = + +
RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT và HÌNH PHẲNG OXY (phần 4)
Thầy Đặng Việt Hùng
Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT và HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn
Tham gia các khóa Luyện thi môn Toán tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015
( )
2
2
2
4
4 0
4
8
2 4 .
8
2 16 8
3
2 4
3
y
y
y
y y y y
y y
y
y y y
≤
− ≥
≤
⇔ − = − ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ =
− = −
=
− = −
Kết hợp với (*)
( )
8
; 1;
3
x y
⇒ =
là m
ộ
t nghi
ệ
m c
ủ
a h
ệ
.
•
TH2.
2
3.
y x x
= + +
Ta có
2 1 2 2
(2) 3 1 3 2 2 1 0
x
y x x xy y x
−
⇔ − + − − + − + − + =
( )
2
2 1
3 1 3 2 1 0.
x
y x y x x
−
⇔ − + − − + − − + =
Mà
(
)
2
2 2 2 1 2
3 3 3 1 3 3 2 1 0
x
y x x x x x x x x x
−
= + +
⇒
+ + − + − − + + + − − + =
( )
2
1 2 1
1 3 2 1 3 0 1 1 3 3
x x
x x x x x
− −
⇔ − − + − + + = ⇔ − + − + =
Đặ
t
(
)
1 .
x t t− = ∈
ℝ
Ph
ươ
ng trình m
ớ
i
2
3 3
t
t t
+ + =
(3)
V
ớ
i
t
∀ ∈
ℝ
có
2 2 2
3 3 0, .
t t t t t t t
+ > = ≥ − ⇒ + + > ∀ ∈
ℝ
Do
đ
ó
(
)
(
)
(
)
2 2
(3) ln 3 ln 3 ln 3 ln3 0
t
t t t t t
⇔ + + = ⇔ + + − =
(4)
Xét hàm s
ố
( )
(
)
2
ln 3 ln3 0
f t t t t
= + + − =
v
ớ
i t
∈
ℝ
có
( )
2
2 2 2 2 2
1 1 3 1
' . 1 . 0,
3 3 3 3 3
t t t
f t t
t t t t t t t
+ +
= + = = > ∀ ∈
+ + + + + + +
ℝ
(
)
f t
⇒
đồ
ng bi
ế
n trên
.
ℝ
Do
đ
ó trên
ℝ
ph
ươ
ng trình
(
)
0
f t
=
n
ế
u có nghi
ệ
m thì s
ẽ
có nghi
ệ
m duy
nh
ấ
t.
Mà
(
)
1 0 1
f t
=
⇒
=
là nghi
ệ
m duy nh
ấ
t c
ủ
a (4).
V
ớ
i
2
1 1 1 2 2 2 3 2 7.
t x x y=
⇒
− = ⇔ =
⇒
= + + = +
K
ế
t h
ợ
p v
ớ
i (*)
( )
(
)
; 2;2 7
x y
⇒
= +
là m
ộ
t nghi
ệ
m c
ủ
a h
ệ
.
Đ
/s: H
ệ
có nghi
ệ
m
( )
( )
8
; 2;2 7 , 1; .
3
x y
= +
Ví dụ 6. [Tham khảo]:
Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình
( )
( )
2 2
2
2 2 4 (1)
1 2 1 4 3 (2)
+ + + − − = + +
− + + = − + −
x x y xy x y y
y x x y x
Lời giải:
Đ
K:
(
)
2 2
0
2
4 1
x y xy x y
x
y
+ − − ≥
≥ −
− ≤ ≤
(*)
Khi
đ
ó
( )
2 2
(1) 2 4 2 0
x y x y xy x y
⇔ + − + + + − − − =
(3)
Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT và HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn
Tham gia các khóa Luyện thi môn Toán tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015
Với ĐK (*) thì
( )
2 2
2 0.
x y xy x y
+ − − + >
Từ (2)
( )
2
3
4 3 1 1 2 0 2 4 0.
4
x x y y x x x y
⇒ − = − + − + + ≥ ⇒ ≥ ⇒ + + + >
Do
đ
ó
(
)
(
)
(
)
( )
2 2
2 2
2 4 4
(3) 0
2 4
2
x y x y xy x y
x y
x y xy x y
+ − + + − − −
⇔ + =
+ + +
+ − − +
(4)
Ta có
( ) ( ) ( )
2
2 2
4 4 2
x y xy x y x y xy xy x y
+ − − − = − − + − −
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2 2 2 2 2
x y x y xy x y x y x y xy
= − − − + − − − = − − − − +
Do
đ
ó
(
)
(
)
( )
2 2
2 2
2
(4) 0
2 4
2
x y x y xy
x y
x y
x y xy x y
− − − − +
− −
⇔ + =
+ + +
+ − − +
( )
( )
2 2
1 2
2 0
2 4
2
x y xy
x y
x y
x y xy x y
− − +
⇔ − − + =
+ + +
+ − − +
(5)
L
ạ
i có
(
)
(
)
(
)
(
)
2 1 1 1 1 1 1
x y xy x y y x y
− − + = − + − + = + − +
Do
( )( ) ( )( )
3
; 1 1 1 0 1 1 1 0 2 0
4
x y x y x y x y xy
≥ ≤ ⇒ + − ≥ ⇒ + − + > ⇒ − − + >
( )
2 2
1 2
0.
2 4
2
x y xy
x y
x y xy x y
− − +
⇒ + >
+ + +
+ − − +
Khi
đ
ó
(5) 2 0 2.
x y y x
⇔ − − = ⇔ = −
Thế
2
y x
= −
vào (2) ta được
(
)
2
3 2 3 4 3
x x x x x
− + + = − + −
3 2
3 4 3 2 3 0
x x x x x
⇔ − + − − + − − =
(6)
Xét hàm số
(
)
3 2
3 4 3 2 3
f x x x x x x
= − + − − + − −
với
3
;3
4
x
∈
có
( ) ( )
2
2
1 1 2 3
' 3 6 4 3 1 1
2 2 2 3 2 2. 3
x x
f x x x x
x x x x
+ − −
= − + − + = − + +
+ − + −
Do
( ) ( )
3 3
2 3 2 1 0, ;3 2 3 0, ;3
4 4
x x x x x x x
+ − − = − > ∀ ∈ ⇒ + > − > ∀ ∈
3 3
2 3 , ;3 2 3 0, ;3
4 4
x x x x x x
⇒ + > − ∀ ∈ ⇒ + − − > ∀ ∈
( ) ( )
2
2 3 3 3
3 1 1 0, ;3 ' 0, ;3 .
4 4
2 2. 3
x x
x x f x x
x x
+ − −
⇒
− + + > ∀ ∈
⇒
> ∀ ∈
+ −
(
)
f x
⇒
đồ
ng bi
ế
n trên
đ
o
ạ
n
3
;3 .
4
Do
đ
ó trên
đ
o
ạ
n
3
;3
4
ph
ươ
ng trình
(
)
0
f x
=
n
ế
u có nghi
ệ
m thì s
ẽ
có nghi
ệ
m duy nh
ấ
t.
Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT và HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn
Tham gia các khóa Luyện thi môn Toán tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015
Mà
( )
3
2 ;3
4
2
2 0
x
f
∈
⇒ =
=
là nghiệm duy nhất của (6).
Với
2 0.
x y
= ⇒ =
Đã thỏa mãn (*).
Đ/s: Hệ có nghiệm là
(
)
(
)
; 2;0 .
x y =
Ví dụ 7. [Tham khảo]: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có phương trình đường
phân giác trong của góc A là (AD) : x + y + 2 = 0; phương trình đường cao qua B là (BH): 2x – y + 1 = 0.
Cạnh AB đi qua điểm M(1; 1) và diện tích tam giác ABC là
27
.
2
Tìm tọ
a
độ
các
đỉ
nh c
ủ
a tam giác
ABC
.
Lời giải:
G
ọ
i
N
là
đ
i
ể
m
đố
i x
ứ
ng c
ủ
a
M
qua
đườ
ng phân giác
AD
, khi
đ
ó
N
thu
ộ
c
AC
. Ta có
(
)
1; 1
⊥ ⇒ = −
MN
MN AD n
Ph
ươ
ng trình (
MN
): 1(
x
– 1) – 1(
y
– 1) = 0 hay
x
–
y
= 0.
G
ọ
i
( ) ( )
0
2 0
− =
= ∩ ⇒
+ + =
x y
I MN AD
x y
( )
1
1; 1
1
= −
⇔ ⇒ − −
= −
x
I
y
Do
I
là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a
MN
nên
N
(–3; –3).
Đườ
ng th
ẳ
ng
AC đ
i qua
N
(–3; –3) và vuông góc v
ớ
i (
BH
): 2
x
–
y
+ 1 = 0 nên
AC
có ph
ươ
ng trình
(
AC
): 1(
x
+ 3) + 2(
y
+ 3) = 0
⇔
x
+ 2
y
+ 9 = 0.
(
)
(
)
= ∩ ⇒
A AC AD
t
ọ
a
độ
đ
i
ể
m
A
th
ỏ
a mãn h
ệ
( )
2 9 0 5
5; 7
2 0 7
+ + = =
⇔ ⇒ −
+ + = = −
x y x
A
x y y
Đườ
ng th
ẳ
ng
AB
đ
i qua
A
và
M
nên có véc t
ơ
ch
ỉ
ph
ươ
ng
(
)
(
)
4;8 4 1; 2
= = − = − −
u AM
( )
1
:
1 2
= +
⇒
= −
x t
AB
y t
Mà
(
)
(
)
= ∩ ⇒
B AB BH
t
ọ
a
độ
đ
i
ể
m
B
th
ỏ
a mãn h
ệ
1
2
1
1 1
1 2 ;2
2 2
2 1 0
2
= −
= +
= − ⇒ = ⇒
− + =
=
t
x t
y t x B
x y
y
Ta có
( )
;( )
1
4 9
27
2
.
5 2 5
+ +
= = =
B AC
BH d
Mà
2
1 27
. 2 5
27
2
2 5
∆
∆
= ⇒ = = =
ABC
ABC
S
S BH AC AC
BH
Gọi
( ) ( )
2 2
: 2 9 0 9 2 ; (14 2 ) ( 7 )
∈ + + = ⇒ − − ⇒ = + + − −
C AC x y C c c AC c c
Từ đó ta có
(
)
( )
2 2 2
5 1; 5
(14 2 ) ( 7 ) 2 5 5 70 225 0
9 9; 9
= − ⇒ −
+ + − − = ⇔ + + = ⇔
= − ⇒ −
c C
c c c c
c C
Do AD là phân giác trong của góc A nên B và C phải nằm về hai phía của đường thẳng AD.
Với
( ) ( )
1
1; 5 2 2 1 5 2 0
2
− ⇒ + + − + < ⇒
C
B, C n
ằ
m khác phía v
ớ
i (AD).
Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT và HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn
Tham gia các khóa Luyện thi môn Toán tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015
Với
( ) ( )
1
9; 9 2 2 9 9 2 0
2
− ⇒ + + − + > ⇒
C
B
,
C
n
ằ
m cùng phía v
ớ
i (
AD
).
V
ậ
y t
ọ
a
độ
3
đỉ
nh c
ủ
a tam giác
ABC
là
( ) ( )
1
5; 7 , ;2 , 1; 5 .
2
− −
A B C
Ví dụ 8. [Tham khảo]:
Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình
( ) ( )
( )
( )
3
2
2 2 3 2
1 1 7 3 2 1
3 2 1 1
− − + + − + = − −
+ − + + = − + + −
x x y x y x x y
x x x y x x x y
Lời giải:
Đ
K:
2
1 0
2 1 0
x y
x x y
− + ≥
− + + ≥
(*). Khi
đ
ó
( ) ( )
(
)
( )
(
)
3
1 1 1 1 7 2 0
x x y x y x
⇔ − − + − + − + − =
( ) ( )
( )
2
3
3
1 1 7 8
1 . . 0
1 1
7 2 7 4
x y x
x x y
x y
x x
− + − + −
⇔ − + − =
− + +
+ + + +
(
)
(
)
(
)
(
)
( )
2
3
3
1 1
0
1 1
7 2 7 4
x x y x x y
x y
x x
− − − −
⇔ + =
+ − +
+ + + +
( )( )
( )
2
3
3
1 1
1 0
1 1
7 2 7 4
x x y
x y
x x
⇔ − − + =
+ − +
+ + + +
(3)
Do
( )
(
)
2
2
3 3
3
7 2 7 4 1 7 3 0
x x x
+ + + + = + + + >
( ) ( )( )
1
3 1 0
x
x x y
x y
=
⇔ − − = ⇔
=
+) TH1.
1
x
=
thế
vào (2) ta
đượ
c
2
3
0
0
4
16
4
y
y
y y
y
y y
=
=
= ⇔ ⇔
=
=
K
ế
t h
ợ
p v
ớ
i (*) ta có
(
)
(
)
; 1;0
x y =
là m
ộ
t nghi
ệ
m c
ủ
a h
ệ
.
+) TH2.
x y
=
th
ế
vào (2) ta
đượ
c
(
)
( )
2
2 2 3 2
3 1 2 1
x x x x x x
+ − + = − + −
(
)
(
)
2 2
2 2
2 2
3 3 3 7 8
7 8
1 1 3
3
x x x x
x
x x x x x
x x
+ + + − −
+
⇔ − + = ⇔ − + = + −
+
( )
(
)
( )
2
2
2
2 2
2
1 3
7 8 7 8
1 3 0 0
3 3
1 3
x x x
x x
x x x
x x
x x x
− + − +
+ +
⇔ − + − + + = ⇒ + =
+ +
− + + +
( )
2 2
2 2
7 8 7 8 1 1
0 7 8 0
3 3
3 1 3 1
x x
x
x x
x x x x x x
+ +
⇔ − = ⇔ + − =
+ +
+ + − + + + − +
2 2
7 8 0
3 3 1
x
x x x x
+ =
⇔
+ = + + − +
•
Ta có
8 8
7 8 0 .
7 7
x x y
+ = ⇔ = − ⇒ = −
Th
ử
l
ạ
i th
ỏ
a mãn h
ệ
đ
ã cho.
•
L
ạ
i có
( )
2 2 2 2 2
1 5
3 3 1 1 1 1 0 1
2
x x x x x x x x x x
±
+ = + + − + ⇔ − + − − + − = ⇔ − + =
Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT và HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn
Tham gia các khóa Luyện thi môn Toán tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015
2 2 2
1 5 6 2 5 3 5 1 5
1 1 0
2 4 2 2
x x x x x x
+ + + +
⇔ − + = ⇔ − + = = ⇔ − − =
1 3 2 5 1 3 2 5
.
2 2
x y
± + ± +
⇔ = ⇒ = Thử lại thỏa mãn hệ đã cho.
Đ/s:
( ) ( )
8 8 1 3 2 5 1 3 2 5
; 1;0 , ; , ; .
7 7 2 2
x y
± + ± +
= − −
Ví dụ 9. [Tham khảo]:
Trong m
ặ
t ph
ẳ
ng v
ớ
i h
ệ
t
ọ
a
độ
Oxy, cho hình thoi ABCD ngo
ạ
i ti
ế
p
đườ
ng tròn
(
)
2 2
:( 1) ( 1) 20
C x y
− + + =
. Bi
ế
t r
ằ
ng AC = 2BD,
đ
i
ể
m B có hoành
độ
d
ươ
ng và thu
ộ
c
đườ
ng th
ẳ
ng
: 2 5 0
d x y
− − =
. Viết phương trình cạnh AB của hình thoi.
Lời giải:
Đường tròn (C) có tâm
(1; 1),
−
I bán kính
2 5
=R . Đặt
,( 0)
= >
BI x x
Do
2 2 2
= ⇒ = =
AC BD AI BI x
, Kẻ
2 5
⊥ ⇒ = =IH AB IH R
d
H
B
D
A
I
C
+) Trong tam giác AIB ta có:
2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1
5 ( 0)
4 20
+ = ⇔ + = ⇔ = >
x Do x
IA IB IH x x
Suy ra IB = 5. G
ọ
i
( ;2 5), ( 0)
− >
B t t t
2 2
4 ( )
5 ( 1) (2 4) 25
2
( )
5
=
= ⇔ − + − = ⇔
−
=
t tm
Do IB t t
t ktm
+) Với
4 (4;3)
= ⇒
t B . Phương trình cạnh AB có dạng
2 2
( 4) ( 3) 0 ( 0)
a x b y a b
− + − = + ≠
Ta có
2 2
3 4
( ; ) 2 5
− −
= = ⇔ =
+
a b
d I AB IH R
a b
2 2
2
11 24 4 0
2
11
=
⇔ − + = ⇔
=
a b
a ab b
a b
+) Với
2 ,
=
a b
chọn
2, 1
= =
a b
, phương trình AB là:
2 11 0
+ − =
x y
+) Với
2
,
11
=
a b
chọn
2, 11
= =
a b , phương trình AB là:
2 11 41 0
+ − =
x y
Vậy phương trình cạnh AB là
2 11 0
+ − =
x y hoặc
2 11 41 0
+ − =
x y
Ví dụ 10. [Tham khảo]: Giải hệ phương trình
( )
( )
( )
2
2 2 2
2
9 3 2 3 1
2 1
21 9 3 7 5
−
+ + − − = + − −
+ −
+ = + + −
y
x x x y y
y y
xy x y x
Lời giải:
Từ phương trình (1) ta có
( )
( )
( )
2
2 2 2
2
9 3 2 3 1
2 1
y
x x x y y
y y
−
+ + − − = + − −
+ −
Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT và HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn
Tham gia các khóa Luyện thi môn Toán tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015
( )
( )
2 2 2
9 3 2 3 1 2 1
x x x y y y y
⇔ + + − − = + − − + −
(
)
(
)
(
)
( ) ( ) ( )
3 2
3 2
2 2 2
3 3 6 3 1 1 6 1
x x x y y y
⇔ + − + + + = − − − + −
Xét hàm s
ố
3 2
( ) 6
f t t t t
= − +
v
ớ
i
0
t
>
(
)
(
)
2
3 1
f x f y
⇒
+ = −
Ta có
2
'( ) 3 2 6 0
f t t t
= − + >
v
ớ
i
0
t
∀ >
suy ra hàm s
ố
đồ
ng bi
ế
n v
ớ
i
0
t
∀ >
Mà
(
)
(
)
2 2 2
3 1 3 1 4
f x f y x y y x
+ = −
⇒
+ = −
⇒
= +
Thay
2
4
y x
= +
vào ph
ươ
ng trình (2) ta có
21 9 3 7 5
xy x y x
+ = + + −
( )
3 2 2
0
2
1
3 5 9 7 5 0 5 4 2 0
2 7 5
1 5
5 4 0
4 20
>
⇔ − − + − − = ⇔ − + + + =
+ + −
= ⇒ =
⇔ − + = ⇔
= ⇒ =
x x x x x x x
x x
x y
x x
x y
V
ậ
y h
ệ
ph
ươ
ng trình
đ
ã cho có nghi
ệ
m là
(
)
(
)
(
)
{
}
; 1;5 , 4;20
=x y
Ví dụ 11. [Tham khảo]:
Trong m
ặ
t ph
ẳ
ng v
ớ
i h
ệ
t
ọ
a
độ
Oxy cho tam giác ABC có
(
)
4;6
B , g
ọ
i H là
đ
i
ể
m thu
ộ
c c
ạ
nh BC sao cho 2
HB HC
=
và
AH
vuông góc v
ớ
i BC, E là
đ
i
ể
m thu
ộ
c c
ạ
nh AB sao cho
4
AB AE
=
,
đườ
ng th
ẳ
ng CE c
ắ
t
đườ
ng cao AH t
ạ
i
(
)
0;3
D . Bi
ế
t trung
đ
i
ể
m c
ủ
a AC thu
ộ
c
đườ
ng th
ẳ
ng
2 1 0
x y
+ − =
tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC.
Lời giải:
Gọi M là trung điểm của AB, D là trung điểm AH.
Gọi
(
)
;1 2
N t t
−
là trung điểm của AC ta có:
(
)
( )
( )
2 0 0
2 2 ;4 7
2 1 2 3 3
M
M
t x
DN MD M t t
t y
− = −
= ⇔
⇒
− +
− − = −
Khi đó
(
)
4 4;8 8
A t t
− − +
Giải
( ) ( )( )
1
. 0 4 4 8 5 2 2
1
2
t
AD DN t t t t
t
= −
= ⇔ + + − − − − ⇔
−
=
+) Với
(
)
(
)
(
)
1 0;0 , 1;3 ; 2;6
t A N C= − ⇒ − −
+) Với
( ) ( )
1 1
;2 ; 2;4 ; 1;0
2 2
t N A C
= − ⇒ − −
.
Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT và HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn
Tham gia các khóa Luyện thi môn Toán tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình
3 2 3
2 2 2
2 3
1 1 2
+ =
+ − + − + + = − +
x xy y
y x x y x y
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình
3 2 3 2
1 2 1 1 1
3 2 2 3 2 1 2 2 2
+ + + + + = − − + +
+ + + + − − = + −
x y x y x y y
x x y y y x xy
Ví dụ 3:
Trong m
ặ
t ph
ẳ
ng v
ớ
i h
ệ
to
ạ
độ
Oxy
cho hình vuông
ABCD
g
ọ
i
M
là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a
AB
g
ọ
i
(
)
6;3
H
là hình chi
ế
u vuông góc c
ủ
a
D
lên
CM
và
(
)
6;1
K
là hình chi
ế
u vuông góc c
ủ
a
A
trên
HD
. Tìm
to
ạ
độ
các
đỉ
nh c
ủ
a hình vuông
ABCD
bi
ế
t
C
có hoành
độ
l
ớ
n h
ơ
n 5.
Ví dụ 4:
Trong m
ặ
t ph
ẳ
ng v
ớ
i h
ệ
to
ạ
độ
Oxy
cho hình ch
ữ
nh
ậ
t
ABCD
có
4
3
AD AB
= , g
ọ
i
(
)
C
là
đườ
ng
tròn
đ
i qua 2
đ
i
ể
m B,C và ti
ế
p xúc v
ớ
i c
ạ
nh AD t
ạ
i E
đồ
ng th
ờ
i c
ắ
t c
ạ
nh CD t
ạ
i F, bi
ế
t ph
ươ
ng trình
đườ
ng th
ẳ
ng EF là:
5 5 0
x y
− − =
, điểm
(
)
2; 3
A
− −
và điểm E có hoành độ nguyên. Tìm toạ độ các đỉnh
B,C,D và viết phương trình đường tròn
(
)
C
.
Ví dụ 5. [Tham khảo]: Giải hệ phương trình
2 2
4 10 8 2 8 2 0
3 11 2 2 1 6 8 8
− + + + + =
+ − = − + + −
x y x y
y x y y x
Lời giải:
ĐK :
2
8 2 0;6 8 8 0; 1
x y y x y
+ + ≥ + − ≥ ≥
Xét phương trình (1) ta có
2 2
4 10 8 2 8 2 0
x y x y
− + + + + =
( )
(
)
( )
2 2
2 2 2
2
0
4 2 2 8 2 3 0
2
2 4 0 2 0 2
8 2 3
x y x y y
x y x y y x
x y y
>
⇔ − + + + + − =
⇔ − + + = ⇒ − + = ⇔ = +
+ + +
Thay
2
2
y x
= +
vào ph
ươ
ng trình (2) ta có
3 11 2 2 1 6 8 8
y x y y x
+ − = − + + −
( ) ( )
( )
2 2 2
2 2 2
2
2 2
0
3 11 4 2 1 6 8 4 0
3 4 2 2 1 1 3 2 6 8 4 0
2 1
3 4 1 0
2 1 1 3 2 6 8 4
x x x x x
x x x x x x x
x x
x x x x x
>
⇔ + + − + − + + =
⇔ + + + − + + + − + + =
⇔ + + + =
+ + + + − + +
2
0 2
3 4 0
4 34
3 9
= ⇒ =
⇒ + = ⇔
= − ⇒ =
x y
x x
x y
Đối chiếu điều kiện ban đầu ta có nghiệm của hệ phương trình là
( ) ( )
4 34
; 0;2 , ;
3 9
= −
x y
Ví dụ 6*. [Tham khảo]: Giải hệ phương trình
3 3
3 32 2 2
6 8
3 3 2 3 2 6 12 32
+ + =
+ + + + + = − +
x y xy
x x x x x y
Lời giải.
Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với
RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT và HÌNH PHẲNG OXY (phần 5)
Thầy Đặng Việt Hùng
Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT và HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn
Tham gia các khóa Luyện thi môn Toán tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
3 2
2
2 2
8 3 6 0 2 2 4 3 2 0
2
2 3 2 4 0
2 2 4 0 1
x y xy x y xy x y x y x y xy x y
x y
x y x y xy x y
x xy y x y
+ − − + + = ⇔ + − + + + + − + − =
+ =
⇔ + − + − + + + = ⇔
− + + + + =
Ta có
(
)
(
)
(
)
( )
( ) ( )
2 2 2 2
2 2 2
2 2
1 2 2 4 0 4 4 2 4 8 16 0
4 4 2 4 4 3 12 12 0
2 2 0 2
2 2 3 2 0
2 0 2
⇔ − − + + + = ⇔ − − + + + =
⇔ − − + − + + + + =
− + = = −
⇔ − + + + = ⇔ ⇔
+ = = −
x x y y y x x y y y
x x y y y y y
x y y
x y y
y x
Cặp nghiệm này không thỏa mãn hệ, loại.
Với
2
x y
+ =
ta thu được
3 3
2 2 2
3 3 2 3 2 6 12 8
x x x x x x
+ + + + + = + +
.
Ta có
2
2
2
2
3 3
3 3 0,
2 4
3 7
2 3 2 2 0,
4 8
x x x x
x x x x
+ + = + + > ∀ ∈
+ + = + + > ∀ ∈
ℝ
ℝ
Áp d
ụ
ng b
ấ
t
đẳ
ng th
ứ
c Cô-si ta có
( )
( )
2 2
3
2 2
3
2 2
3 2 2
3
3 3 1 1 3 5
3 3 1.1. 3 3
3 3
2 3 2 1 1 2 3 4
2 3 2 1.1. 2 3 2
3 3
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
+ + + + + +
+ + = + + ≤ =
+ + + + + +
+ + = + + ≤ =
T
ừ
đ
ây d
ẫ
n
đế
n
2 2 2
3 32 2 2
3 5 2 3 4 3 6 9
3 3 2 3 2 2 3
3 3 3
x x x x x x
x x x x x x
+ + + + + +
+ + + + + ≤ + = = + +
.
Ta l
ạ
i có
( )
2
2 2 2
6 12 8 2 3 5 1 2 3
+ + = + + + + ≥ + +
x x x x x x x
.
Do
đ
ó ph
ươ
ng trình có nghi
ệ
m khi các d
ấ
u
đẳ
ng th
ứ
c
đồ
ng th
ờ
i x
ả
y ra, t
ứ
c là
2 2
3 3 2 3 2 1
1
1 0
x x x x
x
x
+ + = + + =
⇔ = −
+ =
.
V
ậ
y h
ệ
có nghi
ệ
m duy nh
ấ
t
(
)
(
)
; 1;3
= −x y
.
Ví dụ 7. [Tham khảo]:
Trong m
ặ
t ph
ẳ
ng to
ạ
độ
Oxy cho tam giác ABC vuông cân
đỉ
nh A, trung tuy
ế
n
BM.
Đườ
ng th
ẳ
ng qua A vuông góc v
ớ
i BM c
ắ
t BC t
ạ
i
(
)
5; 2
E
−
. Bi
ế
t tr
ọ
ng tâm tam giác ABC là
(
)
3; 1
G
−
và
đ
i
ể
m A có tung
độ
âm. Vi
ế
t ph
ươ
ng trình các c
ạ
nh c
ủ
a tam giác ABC.
Lời giải:
Do tam giác ABC vuông cân t
ạ
i A nên
AN BC
⊥
.
L
ạ
i có
AE BM G AN BM
⊥ ⇒ = ∩
là tr
ự
c tâm tam giác
ABE
khi
đ
ó
EG AB
⊥
/ /
GE AC GNE
⇒ ⇒ ∆
vuông cân t
ạ
i N
5
2
2
GE
GN⇒ = = .
Ph
ươ
ng trình trung tr
ự
c c
ủ
a GE là
19
2 0
2
x y
− − =
.
G
ọ
i
(
)
3 2 3
19
;2 2
19
2
1 2 2 1
2
A
A
x t
N t t AG GN
y t
− = −
− ⇒ = ⇒
− − = − +
(
)
2 9; 4 16
A t t⇒ − + − +
ta có:
( ) ( )
( )
( )
2 2
9
0; 2
2
2 10 2 6 4 17 10
7
2;2
2
t A
GA GN t t
t A
=
⇒
−
= = ⇔ − + − = ⇔
=
⇒
Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT và HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn
Tham gia các khóa Luyện thi môn Toán tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015
Phương trình AB là
2 2 0; : 2 4 0
x y AC x y
− − = + + =
.
Mặt khác
9 1
; :3 13 0
2 2
N BC x y
− ⇒ + − =
V
ậ
y
: 2 2 0; : 2 4 0; :3 13 0
AB x y AC x y BC x y
− − = + + = + − =
là các
đườ
ng th
ẳ
ng c
ầ
n tìm.
Ví dụ 8. [Tham khảo]:
Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình
(
)
( )
2
2
2 24
4 1 0,
;
2 1
5 5 1 6.
y
x x y
x y
y
x y x y
+
− − + − =
∈
−
+ − + − + =
ℝ
.
Lời giải.
Đ
i
ề
u ki
ệ
n
2
5 5 0;1 0; 1;2 1
x y x y x y
+ − ≥ − + ≥ ≥ ≠
.
Ta có
6 6 6 6
5 5 1 1
6
5 5 1
x x
x y x y x
x y x y
− −
+ − − − + = = = −
+ − + − +
.
K
ế
t h
ợ
p v
ớ
i ph
ươ
ng trình th
ứ
hai c
ủ
a h
ệ
( )
2
2
2
5 5 1 1
7 0
2 1 7
4 4 4 14 49
5 5 1 6
7
7
4 20 5
4 10 45
4 5 20
x y x y x
x
x y x
x y x x
x y x y
x
x
y y
y x x
y x
+ − − − + = −
− ≥
⇒ − + = − ⇔
− + = − +
+ − + − + =
≤
≤
⇔ ⇔ ⇒ ≥ ⇔ ≥
= − +
= − +
Ph
ươ
ng trình th
ứ
nh
ấ
t c
ủ
a h
ệ
t
ươ
ng
đươ
ng v
ớ
i
(
)
( )
(
)
(
)
( )
2 2
2
2 2
2 24 5 2 2 9
1 4 1 2 1 0 1 2 0 1
2 1 2 1
+ − + +
− − − + + + − = ⇔ − − + =
− −
y y y y
x x y x
y y
Vì
( )
(
)
(
)
2
2
2 2
2
5 2 2 9
2 2 9 1 8 0, 0, 5
2 1
y y y
y y y y y y
y
− + +
+ + = + + + > ∀ ∈
⇒
> ∀ ≥
−
ℝ
.
V
ậ
y (1) có nghi
ệ
m khi và ch
ỉ
khi
( )
2
1 2
5 0 5
5 0
x
y x y
x
− =
− = ⇔ = =
− =
.
Ví dụ 9. [Tham khảo]: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình vuông ABCD. Gọi M là trung điểm
của AB,
∈
N BD
sao cho
3
=
BN ND
,
H
là hình chiếu vuông góc của
N
lên
MC
. Xác định toạ độ đỉnh
C
của hình vuông
ABCD
, biết
N
(2; 2),
H
(4; 3) và điểm
C
có hoành độ dương.
Lời giải:
Gọi
I
là tâm của hình vuông và
= ∩
G BI CM
suy ra
G
là trọng tâm tam
giác
ABC.
Đặt
2
AB a
=
ta có:
2 2 5
3 3
a
CG CM= = ;
2 2
BD a
=
.
Khi
đ
ó
2 2
2 2 5 2 10
; ;
3 2 6 2
a a a a
GI IN GN CN CI IN= =
⇒
= = + =
Do v
ậ
y
2 2 2
0
1
cos 45
2 .
2
GC CN GN
GCN MCN
GC CN
+ −
= = ⇒ =
.
Khi
đ
ó tam giác NHC vuông cân t
ạ
i C ta có
CH NH
=
, ph
ươ
ng trình HC:
2 11 0
x y
+ − =
G
ọ
i
(
)
;11 2
C t t
−
, ta có
( )
(
)
( )
2
2 2
5 5;1
5 4 5
3 3;5
t C
HC HN t
t C
=
⇒
= ⇔ − = ⇔
=
⇒
Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT và HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn
Tham gia các khóa Luyện thi môn Toán tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015
Vậy,
(
)
(
)
5;1 ; 3;5
C C
là các điểm cần tìm.
Ví dụ 10. [Tham khảo]: Giải hệ phương trình
(
)
( )
(
)
2 2
4 2 1 2 2 15
10 11 5 6 0
+ − − + = − +
− + + − =
x x y y y
y x x x
Lời giải:
ĐK :
6
; 1
5
x y
≥ ≥
Xét ph
ươ
ng trình (1) ta có
(
)
( )
(
)
2 2
4 2 1 2 2 15
x x y y y
+ − − + = − +
( )
(
)
( ) ( ) ( )
3 2
3 2
3 2
2 4 8 3 1 2
2 4 1 2 1 4 1
x x x y y
x x x y y y
⇔ − + − = + − −
⇔ − + = − − − + −
Xét hàm s
ố
3 2
( ) 2 4
f t t t t
= − +
v
ớ
i
(
)
0 ( ) 1
t f x f y
>
⇒
= −
Ta có
2
'( ) 3 4 4 0
f t t t
= − + >
v
ớ
i
0
t
∀ >
Mà
(
)
2
( ) 1 1 1
f x f y x y y x
= −
⇒
= − ⇔ = +
Th
ế
2
1
y x
= +
vào ph
ươ
ng trình (2) ta
đượ
c ph
ươ
ng trình
2
10 12 5 6 0
x x x x
− + + − =
Đặ
t
5 6
u x
= −
( 0)
t
>
2 2
2 0
2 0 ( )
=
⇒ − − = ⇔
+ =
x u
u xu x
x u vn
Với
2
2 5
5 6 5 6 0
3 10
x y
x t x x x x
x y
= ⇒ =
= ⇔ = − ⇒ − + = ⇔
= ⇒ =
Đối chiếu với điều kiện ban đầu thì nghiệm của hệ phương trình đã cho là
(2;5)
và
(3;10)
Ví dụ 11. [Tham khảo]: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD , điểm E thuộc cạnh BC,
phân giác góc
BAE
cắt cạnh BC tại
(
)
2;3
F
, đường thẳng qua F và vuông góc với AE cắt cạnh CD tại K,
biết phương trình đường thẳng AK là
3 23 0
x y
− − =
và điểm B thuộc tia Oy. Tìm tọa độ các đỉnh của
hình vuông ABCD biết A có tung độ âm.
Lời giải:
Gọi
M KF AE
= ∩
ta có:
AMF ABF
∆ = ∆
do vậy
AM AB AD
= =
.
Khi đó
AMK ADK
∆ = ∆
từ đó suy ra
0
45
KAF = .
Mặt khác :
( )
.sin ; 4 5
AF KAF d F AK AF= ⇒ =
Gọi
(
)
;3 23
A t t −
ta có:
( ) ( )
(
)
( )
2 2
10
2 3 26 80
6 6; 5
t loai
AF t t
t A
=
= − + − = ⇔
= ⇒ −
Gọi
(
)
(
)
0; 0
B u u
>
ta có:
( )( )
1
. 0 6.2 5 3 0
3
u
AB BF u u
u
=
= ⇔ − + + − = ⇔
= −
Khi đó:
(
)
0;1
B
ta có:
6 2
AB
=
và
2 2
BF
=
và do F thuộc cạnh BC nên ta có:
(
)
3 6;7
BC BF C= ⇒
Từ đó suy ra
(
)
12;1
D
và kết luận.
Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HPT, BPT và HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn
Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2015!
Ví dụ 1: Giải bất phương trình
( )
3 3 2
8 2 9 1x x x x x− ≤ − − + + ∈
ℝ
.
Ví dụ 2: Giải bất phương trình
2 2
10 50 3 2 5 2 3 5.
− − ≥ − + − −
x x x x x
Ví dụ 3: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD , gọi E là trung điểm cạnh BC ,
phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABE là
( )
2 2
3 1 5
2 2 2
x y C
− + − =
, biết đường thẳng DE
có phương trình:
3 9 0
x y
− − =
. Tìm toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD biết D có tung độ âm.
Ví dụ 4: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC có
(
)
5;3
A
, trên tia đối của tia BC lấy
điểm
(
)
9;5
D
sao cho
AB BD
=
, biết tâm đường tròn bàng tiếp góc
A
và tâm đường tròn nội tiếp tam giác
ABC
lần lượt thuộc các đường thẳng
4 2 0
x y
+ − =
và
4 28 0
x y
+ − =
. Tìm toạ độ các đỉnh
;
B C
.
Ví dụ 5. [Tham khảo]: Giải bất phương trình
2 3 2
3 12 5 1 2
− + ≤ − + −
x x x x x
.
Lời giải.
Điều kiện
( )
2
3 12 5 0
1 2
2 0
x x
x x
x x
− + ≥
≥ ⇔ ≥
− ≥
.
Bất phương trình đã cho tương đương với
( )
(
)
( )
2 3 2 2
3 12 5 2 1 2 1 1 2
− + ≤ + − − + − + + −
x x x x x x x x x x
( )( )
(
)
( ) ( )
[ ]
3 2 2
3 2 2 2 3 2
2 2
3 2 3 2
2 10 6 2 1 2 . 1 0
3 3 2 2 3 2. 0
3 2 3 2
1 3. 2 0
⇔ − + − + − − + + ≥
⇔ + + − − + + − + + + ≥
− + − +
⇔ − + ≥ ∗
+ + + +
x x x x x x x x
x x x x x x x x x x
x x x x
x x x x x x
Đặ
t
( )
2
3 2
3 2
0
x x
t t
x x x
− +
= ≥
+ +
thì
[ ] [ ]
2 2 3 2 3
1
1 3 2 0 1 1 3 2 4 2 0 1
3
t t t t x x x x x x x∗ ⇔ − + ≥ ⇔ − ≤ ≤ ⇒ ≤ ⇔ − + ≤ + + ⇔ + + ≥ .
Nh
ậ
n th
ấ
y [1] nghi
ệ
m
đ
úng v
ớ
i
2
x
≥
. K
ế
t lu
ậ
n nghi
ệ
m
[
)
2;S
= +∞
.
Ví dụ 6. [Tham khảo]:
Gi
ả
i b
ấ
t ph
ươ
ng trình
3 2 3
4 10 20 27 2
+ + + − − ≤
x x x x x
.
Lời giải.
Đ
i
ề
u ki
ệ
n
3 2
3
4 10 20 0
27 3
0
x x x
x x
x
+ + + ≥
≥ ⇔ ≥
≥
.
B
ấ
t ph
ươ
ng trình
đ
ã cho t
ươ
ng
đươ
ng v
ớ
i
RÈN KĨ NĂNG GIẢI HPT, BPT và HÌNH PHẲNG OXY (phần 6)
Thầy Đặng Việt Hùng
Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HPT, BPT và HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn
Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2015!
( )
(
)
( )
( )
[ ]
3 2 3 2
2 2
2 2
2 2 2 2
2 2
4 10 20 4 27 4 3 3 9
4 6 47 4 3 . 3 9
3 3
3 3 3 9 4 3 . 3 9 3 4 1
3 9 3 9
x x x x x x x x x
x x x x x x
x x x x
x x x x x x x x
x x x x
+ + + ≤ + − + − + +
⇔ + + ≤ − + +
− −
⇔ − + + + ≤ − + + ⇔ + ≤
+ + + +
Đặt
( )
2
2
3
0
3 9
x x
t t
x x
−
= ≥
+ +
thì
[ ]
( )( )
2
2
2
3
1 3 4 1 3 0 1 3 1 3
3 9
x x
t t t t t
x x
−
⇔ + ≤ ⇔ − − ≤ ⇔ ≤ ≤ ⇔ ≤ ≤
+ +
( )
[ ]
2 2
2 2
2
3 9 3
6 9 0
2
3 9 3 9
8 30 81 0
x x x x
x
x x x x
x x
+ + ≤ −
+ ≤
⇔ ⇔
− ≤ + +
+ + ≥
(Hệ vô nghiệm do
3
x
≥
).
K
ế
t lu
ậ
n b
ấ
t ph
ươ
ng trình
đ
ã cho vô nghi
ệ
m.
Ví dụ 7. [Tham khảo]:
Trong m
ặ
t ph
ẳ
ng to
ạ
độ
Oxy cho tam giác ABC vuông t
ạ
i
(
)
2;0
A −
, g
ọ
i E là hình
chi
ế
u c
ủ
a A trên BC và F là
đ
i
ể
m
đố
i x
ứ
ng c
ủ
a E qua A, bi
ế
t tr
ự
c tâm tam giác BCF là
(
)
2;3
H −
và trung
đ
i
ể
m c
ủ
a BC thu
ộ
c
đườ
ng th
ẳ
ng
: 4 4 0
d x y
− + =
. Tìm toạ độ các đỉnh B,C của tam giác ABC.
Lời giải:
Gọi K là trung điểm của BE dễ thấy AK là đường trung bình của tam giác
EFB khi đó ta có:
/ /AK BF AH
H
AE CK
⊥
⇒
⊥
là trực tâm tam giác AKC do
vậy
/ /
KH AC HK AB
⊥
⇒
là HK là đường trung bình của
ABE
∆
.
Do vậy
(
)
2;6 : 6
E BC y
− ⇒ =
suy ra trung điểm của
AB
là
1
;6
2
M
.
G
ọ
i
(
)
(
)
;6 1 ;6
B t C t
⇒ −
;
2
;6
2
t
K
−
L
ạ
i có:
( ) ( )
7
2
. 0 3 3 .6 0
6
2
t
t
CH AK t
t
=
+
= ⇔ − + − = ⇔
= −
V
ớ
i
(
)
(
)
7 7;6 ; 6;6
t B C= ⇒ −
V
ớ
i
(
)
(
)
6 6;6 ; 7;6
t B C= − ⇒ −
Đáp số:
(
)
(
)
7;6 ; 6;6
B C −
ho
ặ
c ng
ượ
c l
ạ
i là các
đ
i
ể
m c
ầ
n tìm.
Ví dụ 8. [Tham khảo]:
Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình
4
4 4
2
2
3 4 3 2 ,
1
1 .
1
x y x y
y
x y
x
− − + − =
+
+ = +
+
Lời giải.
Đ
i
ề
u ki
ệ
n
3
; 0;3 0
4
x y x y
≥ ≥ − − ≥
.
Ph
ươ
ng trình th
ứ
hai t
ươ
ng
đươ
ng
( ) ( )
( ) ( )
2 2 2 2 2
2 2
2 2
2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 0
1 0 1 0
1 1 1 1
x y x y x y x x y
x y x y
x y x x y x
x y x y
− + + = + ⇔ − + + + − + =
− +
⇔ − + + = ⇔ − + + =
+ + + + + +
Vì
đ
i
ề
u ki
ễ
n xác
đị
nh d
ẫ
n
đế
n
2
2 2
1 0
1 1
x y
x x y
x y
+
+ + > ⇒ =
+ + +
.
Phương trình thứ nhất trở thành
4 4 4
3 2 4 3 2
x x x
− + − = .
Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HPT, BPT và HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn
Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2015!
Điều kiện
3 3
4 2
x
≤ ≤
. Ph
ươ
ng trình
đ
ã cho tr
ở
thành
4 4
3 3
2 4 2
x x
− + − =
.
Đặ
t
( )
4 4
3 3
2 ; 4 , 0; 0
a b a b
x x
− = − = ≥ ≥
,
để
ý
[
]
2; 0; 0 ; 0;2 4
a b a b a b ab
+ = ≥ ≥ ⇒ ∈ ⇒ ≤
.
Ta thu
đượ
c h
ệ
ph
ươ
ng trình
( )
( )
( ) ( )( )
2 2
2
2 2
2
4 4
2 2 2 2
2
2 2 2 2
2 4
2
4 2 2 2
2
2 2
2 2 1 8 7 0 1 7 0
a ab b
a b
ab a b
a b
a b a b
ab a b a b ab ab ab
+ + =
+ =
⇔ ⇒ − − =
+ =
+ − =
⇔ − − = ⇔ − + = ⇔ − − =
Lo
ạ
i tr
ườ
ng h
ợ
p
7
ab
=
. V
ớ
i
(
)
(
)
2 2
1 3 2 4 3 9 18 9 0 1
ab x x x x x x
= ⇒ − − = ⇔ − + = ⇔ =
.
V
ậ
y h
ệ
ph
ươ
ng trình
đ
ã cho có nghi
ệ
m duy nh
ấ
t
1
x y
= =
.
Ví dụ 9. [Tham khảo]: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình vuông ABCD. Gọi M là trung điểm
của AB, N thuộc BD sao cho BN = 3ND, đường thẳng CN có phương trình
3 8 0
+ − =
x y và
(3;5)
M . Xác
định toạ độ đỉnh C của hình vuông ABCD, biết điểm C có hoành độ dương.
Lời giải:
Gọi I là tâm của hình vuông và
G BI CM
= ∩
suy ra G là trọng tâm tam giác
ABC. Đặt
2
AB a
=
ta có:
2 2 5
3 3
a
CG CM= = ;
2 2
BD a
=
.
Khi đó:
2 2
2 2 5 2 10
; ;
3 2 6 2
a a a a
GI IN GN CN CI IN= =
⇒
= = + =
Do vâỵ
2 2 2
0
1
cos 45
2 .
2
GC CN GN
GCN MCN
GC CN
+ −
= = ⇒ =
Ta có:
( )
.sin ; 10 20
MC GCN d M CN NC= = ⇒ =
G
ọ
i
( )
8
8 3 ;
3
C t t t
− <
ta có
2
20
MC
=
( ) ( )
(
)
(
)
( )
2 2
3 16;3
5 3 5 20
1 5;1
t C loai
t t
t C
= ⇒ −
⇔ − + − = ⇔
= ⇒
.
V
ậ
y
(
)
5;1
C là
đ
i
ể
m c
ầ
n tìm.
Ví dụ 10. [Tham khảo]:
Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình
(
)
( )
2 2 2 2
2
2
2
5 1 5 1
3 8
3 2 1
3
+ + = + +
− −
= − −
−
y x x x y
x x x
y x x
x x
Lời giải:
Đ
K :
1; 3; 0
x x y
≥ ≠ >
Xét ph
ươ
ng trình (1) ta có
(
)
2 2 2 2
5 1 5 1
y x x x y
+ + = + +
2 2
2 2
1 1 1
5 5
x x x
y y y
⇔ + + = + +
Xét hàm s
ố
2 2
( ) 1
f t t t t
= + +
v
ớ
i
0
t
>
1
( )f x f
y
⇒ =
