Tuyển chọn các bài toán hệ phương trình hay và khóphần
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (351.04 KB, 12 trang )
Tuyển Chọn Các Bài Toán Hệ Phương Trình Hay Và Khó Phần 1
Câu 1: Giải hệ phương trình:
1
8 5
8 5 1 3 2
xy x y
x
x y x y x
Lời Giải Full HD Không Che
Điều kiện
0, 0,8 5 0, 1 0
x y x y x y
. Ta có:
2 8 5 2 1 3 0
8 1 8 1
0
8 5 2 1 3
1 1
8 1 0
8 5 2 1 3
8 1
8 1 0
1 2 3 8 5 0
1 3 8 5 2
8 1
5 5
0
1 2 3 8 5
PT x y x y x
x y x y
x y x y x
x y
x y x y x
y x
x y
x y x x y
x y x x y
y x
x y x y
x y x x y
8 1
1 1
5 0
1 2 3 8 5
8 1
5
y x
x y
x y x x y
y x
y x
TH1:
5
y x
thay vào phương trình 1 của hệ ta có:
2
2
1
5 8 5 5 5 1 3 5 3 1
5 3 1
1 4
1
3
x x x x x x x x x x
x
x x x
x y
x
TH2: Với
8 1y x
Thay vào phương trình 1 ta có:
1
8 1 2, 3
x x
x
Theo bất đẳng thức AM- GM ta có:
4
1 1
8 1 2 8 1 . 2 8 1 2
x x x x x
x x
Do đó phương trình 3 vô
nghiệm. Vậy hệ có nghiệm duy nhất
; 1;4
x y
Câu 2: Giải hệ phương trình:
2 2
2
3
1 1 1
2 11 21 3 4 4 0
x x y y
x y y
Lời Giải Full HD Không Che!
2 2
2
2 2
2
1
1 1 1 1 1 , 3
1
y y
PT x x x x y y
y y
Xét hàm số
2
2
2 2
1
1 , ' 1
1 1
t t t
f t t t f t
t t
Ta có :
2 2 2
1 1 0t t t t t t t
do đó
' 0
f t
hàm số của
ta đồng biến trên R. khi đó
3
PT x y
Thay vào phương trình 2 ta
được:
2
3
2 11 21 3 4 4 0
x x x
. Ta dùng máy tính casio thấy phương
trình trên có nghiệm duy nhất
3
x
do vậy ta tiến hành làm như sau:
Ta sẽ cố gắng đưa về dạng
2
3 0
x
. Cụ thể:
Giả sử
2 2
11 21
2 11 21 . 2 0
2 2
a b
x x a x b x x
Đồng nhất hệ số ta có:
11
6
1
2
21 3
9
2
a
a
b b
theo đó ta sẽ có:
2
2
2 11 21 3 2 3 0
x x x x
. Để có được ta tiến hành :
2
3
3
2
2 11 21 3 4 4 3 2.2. 1 2 2 1 3
2 3 0
x x x x x x
x
Đẳng thức xảy ra khi
3
x
. Do đó nghiệm của hệ là
; 3; 3
x y
.
Câu 3: Giải Hệ Phương Trình
2 2
2
2
1
2 1
4
1 3
2 1
2
x x x y
x y
y
Lời Giải Full HD Không Che!
Ta có: hệ tương đương
2 4
2 2
2
5
1
4
1 1
2 1
2
x x y
x y
y
Với hình thức này thì có lẽ đặt ẩn phụ là cách tốt nhất
Đặt
2 2
1, 0
t x x u y
vậy lượng
2
2 1
x
biểu diễn theo t như thế
nào? Để ý thấy
2 2 2
2
1 1 1
1 1 2 1
1
t x x x x t x
t t
x x
Khi đó hệ trở thành
2
2 2
5 5
2
4 4
1 1 1 1
2 2
t u t u tu
t u
t u t u
t u tu
Tới đây dễ rồi: Đặt
,
a t u b tu
Giải ra được
3
; ; 1
4
x y
Câu 4: Giải Hệ Phương Trình
3
4 4
7
4 3
x y
x y x y
Lời Giải Full HD Không Che
Đây là con hệ ngắn gọn nhưng rất khó phải có kỹ năng biến đổi tốt!
Đặt
,
a x y b x y
Ta có:
4 4 2 2 2 2 2 2
1
2
x y x y x y ab a b
và
7
1
4 3 7
2 2
x y x y
x y b a
Ki đó PT2
2 2 2 2 3 3
7 1 0 1
ab a b b a ab a b a b a a b b
Với
1b
ta có hệ mới
3
3
3
7 1
7
2
1
7 1
2
x
x y
x y
y
Câu 5: Giải hệ
2
8
16
x y x y
y x
x y
x y
Lời Giải Full HD Không Che!
Điều kiện
0, 0
x x y
. Từ phương trình 1 ta có:
x y x y x y x y x x
.
Xét hàm số
2
f t t t
trên
0 :
' 2 1 0
f t t
nên suy ra
f x y f x x y x y x x
Đặt
, 0t x t
Thay
vào phương trình 2 ta có:
2
2
2 2 4 3 2
2
3
8
16 2 2 8 24 0
2 2 12 0 2
t t t
t t t t t t t
t
t t t t
Với
2 4 2
t x y
Vậy hệ có nghiệm duy nhất
; 4;2
x y
Câu 6: Giải Hệ Phương Trình
2 2
2
3
4 4 7
1
2 3
xy y x
x y
x
x y
Lời Giải Full HD Không Che!
Biến đổi tí
2 2 2 2
2
3
3 2 2 7
1
3
x xy y x xy y
x y
x y x y
x y
2 2
2
3
3 7
1
3
x y x y
x y
x y x y
x y
Đặt
1
, , 2
a x y b x y a
x y
Khi đó hệ trở thành:
2
2 2 2
2
3 13 4 6 4 0
3 3 13
3 3
3
2
3
1
2
2 2
1
2
1 1 1
1
1
( )
2
2
a b a a
a a
a b b a
b a
a
x
x y
a x y
b
x y
b x y
y
x y
a Loai
Câu 7: Giải Hệ
2
2 1
2 2 2 4 2
x y xy y x x
xy y x x xy y x x x
Lời Giải Full HD Không Che!
Điều kiện
0
y x
Ta có:
Nhận thấy
0
x y
không là nghiệm của hệ nên ta xét TH
0
y x
:
2
2 2 2 2 4 2 0
2 2 2 4 4
2
0
2 2 2 4 2
3 2 4
1
2 0
2 2 2 4 2
2
3 2 4
1
0
2 2 2 4 2
PT xy y x x xy x y x x
xy y x x xy x
y x
y x x
xy y x x xy x
x xy
y x
y x x
xy y x x xy x
y x
x xy
y x x
xy y x x xy x
Ta sẽ chứng minh
3 2 4 0
x xy
để biểu thức to đùng trong ngoặc vô
nghiệm!.Từ PT1 Ta có:
2
1
1 2PT x y xy
y x x
2 2
1 1
3 2 2 2
x xy x y x x y x
y x x y x x
Theo bất đẳng thức AM – GM ta có:
4
4
2 2
1 1
2 4 . .2 . 4 2 4
3 2 4 0
x x y x x x y x
y x x y x x
x xy
Do đó phương
trình to đùng trong ngoặc vô nghiệm!
Với
2y x
thay vào PT1 ta có:
2 4
2 2 .2 2 1 1 1x x x x x x x x x
Vậy hệ có nghiệm duy nhất
; 1;2
x y
.
Câu 8: Giải hệ
2
2
4 3 4
1 1
1 1
4 4 4
x y y xy x
y
x
y x
Lời Giải Full HD Không Che!
Điều kiện
0, 1, 1, 0
x x y y
Ta có
Pt1
2
2 2
2 2
2
2
4 3 4 1 0 2 4 3 4 . 1 0
1 2 2 2 2 1 2 . 1 0
1 2 1 0, 3
x y y x y x xy y y x y
x y xy y x y x y x
x y y x
Vì
2
2
1 0
2 1 0
x y
y x
Nên PT3
1x y
Thay vào phương trình 2 của hệ ta có:
2
1 1 1 1
1
4 4
y y
y y
2 2
2
2
2 3
4 1 1 1 1 1 4 4
3( )
1 4 4 3 0
0( )
y y y y y y y y
y Nhan
y y y y y y
y Loai
Sở dĩ dám bình phương ra bậc 4 là vì ta dùng casio thấy có nghiệm đẹp!
Vậy hệ có nghiệm
; 4;3
x y
Câu 9: Giải hệ
2 2
2 2
7
2 1 2 1
2
7 6 14 0
xy
x y
x y xy x y
Lời Giải Full HD Không Che!
Ta xem PT2 là phương trình bậc 2 ẩn x ta có:
2 2 2
7 6 14 0, 3 10 7
x
x y x y y y y
Phương trình bậc 2 ẩn x có
nghiệm khi
2
7
0 3 10 7 0 1
3
x
y y y
Làm tương tự như trên ta có:
10
2
3
x
Phương trình 1 của hệ
1 1 7
2 2
2
x y
x y
Xét hàm số
1 10
2 ,2
3
f x x x
x
,
2
1
' 2 0
f x
x
Hàm số của ta đồng
biến nên
1 10 7 1 191
2 2 2
3 2 30
f x f x
x x
Tương tự ta cũng có:
1 7 1 89
1 2 1 2
3 21
f y f y
y y
Suy ra
1 1 7
2 2
2
x y
x y
Đẳng thức xảy ra khi
2, 1x y
thay ngược
vào PT2 Thấy không thỏa nên kết luận hệ vô nghiệm!
Câu 10: Giải Hệ Phương Trình
2
4
4
32 3
32 6 24
x x y
x x y
Lời Giải Full HD Không Che
Đối với loại này thì có lẽ đánh giá là đòn tốt nhất!
Điều kiện
0 32
x
. Cộng vế theo vế 2 phương trình của hệ ta có:
2
2
4 4
32 32 6 21 3 12
x x x x y y y
. Ta sẽ đánh giá VT
12
vì VP
12
.
Theo bất đẳng thức Cauchy – Schawrz ( Bunhia ) ta có:
2 2
2 2
4 4
4 4
32 1 1 32 8
32 1 1 32 2.8 4
32 32 12
x x x x
x x x x
x x x x
Đẳng thức xảy ra khi
16, 3
x y
Câu 11: Giải Hệ Phương Trình
4 3 2 2
2
4 2 2 2
6 12 6
5 1 11 5
x x x y y x
x x y x
Lời Giải Full HD Không Che!
Xét
0
x
, hệ phương trình trở thành
2
0 6
5
y
( Vô Lý )
Xét
0
x
, ta chia hai vế của từng phương trình cho
2
0
x
ta được:
2 2 2 2
2 2
2 2
2 2 2 2
2 2
1 6 1 1
6 12 6 12 0
, 1
1 5 1 1
5 11 5 11 0
x x y y x x y y
x x x x
x x y x x y
x x x x
Đặt
2 2
2
1 1
2
t x x t
x x
. Khi đó hệ 1 trở thành:
2 2
2 2
2 2 2
2 2 2
6 2 12 0
6 0
, 3
5 1 0
5 2 11 0
t ty y
t ty y
t t y
t t y
Xét
0t
hệ trở thành
0
1 0
y
( Vô lý )
Xét
0t
ta chia hai vế hệ
3
cho
2
0
t
ta được :
2 2
2 2
2
2 2
2 2
1
6
6 0 6
, 4
1 1
1
5 0 5
2 5
y
y y y y
y
t t
t t t t
y
y y
y
t t
t t
Đặt
1
a y
t
y
b
t
khi đó :
2
2
3
5
6
3
4
2
2
2 5
5 12 0
a
ab
a
b
b
a b
a a
1
1
2
3
1
2
2
1
t
y
y
t
y
t
t
y
.
Với
2
1 1
1 1 1 0 1 5
2
t x x x x
x
.
Với
2
1 1
2 2 0 1 17
2 4
t x x x
.
So sánh điều kiện hệ phương trình có các nghiệm :
1 5 1 17
;2 , ;1
2 4
.
Câu 12: Giải Hệ Phương Trình
2 2
2 2
2 4 2
3 6 3 6 6
x y x y xy
x x xy y y xy
.
Lời Giải Full HD Không Che
Ở phương trình hai đã thể hiện rõ sự đối xứng hai biến
,x y
cho nên có thể
dự đoán con hệ này giải bằng phương pháp đánh giá và giá trị đó
1x y
Áp dụng bất đẳng thức AM – GM cho phương trình thứ hai của hệ:
2 2 2 2
2 2 2
2 2 2 2 2 2
3 6 3 6 2 3 6 . 3 6
2 9 18 36 2 9 36 36 6
x x xy y y xy xy x xy y xy
xy x y xy x y x y xy xy xy xy xy
Suy ra được
1xy
.
1
Mặt khác cũng thei bất đẳng thức AM – GM ta có:
2 2
2 2
2 2
9 . 3 6 9 3 6
3 6 3 6
3 3
12 6 12 6
2
6 6
x x x y y y y x
x x xy y y xy
x xy y xy
x y xy
Suy ra được
2 2
3
x y xy
. Mà
1xy
nên
2 2
2
x y
. Mặt khác từ phương
trình 1 ta có:
4 4
4 2 4 2 4 1xy x y xy xy xy xy
.
2
.
Từ
1 , 2
suy ra
1xy
. Các bất đẳng thức xảy ra khi
1x y
.
Câu 13: Giải Hệ Phương Trình
2
6 3 3 8 3 9
8 24 417 3 1 3 17
x y xy y y x y
x x y y y y
Lời Giải Full HD Không Che!
Điều kiện:
2
3 0
8 24 417 0
1
xy y
x x y
y
. Đặt
3
1
a x
b y
Khi đó ta có:
2 2 2 2 2
3 2 3 2
2
2 2 2
0,( )
1 6 8 3
6 8 3
15
2 4 0 2 0 2
2 4
b Loai
PT a b ab b b a
a ab b a b
b
a b a ab b a b a b a b
Với
2 3 2 3 4a b x y x y
. Thay vào phương trình 2 ta có
4 4 6 3 1 3 17
y y y y y
.
*
Theo bất đẳng thức AM – GM ta có:
4 6
4 4 6 4 20
2
y y
y y
. Bây giờ ta sẽ chứng minh
* 20
VP
.
Mặt khác
3 1 3 17 3 17 20
y y y y
( Do
1y
). Đẳng thức xảy ra
khi
1 1y x
. Vậy
; 1;1
x y
là nghiệm của hệ.
Câu 14: Giải Hệ Phương Trình
2 2 2
6 3
2
3 3 2 2
2 2 4
1
2 2 1
2 2
x xy x y
y y
x
xy y x xy y
.
Lời Giải Full HD Không Che!
Điều Kiện:
0 2
xy
. Ta có:
2
2
6 3
2
2
3 3
1 1
, 1
2 4 2 2
1
2 1, 2
2 2
x xy
y y
x
xy y x y
.
Dễ Thấy :
2 2
6 3 6 3
2 2
3 3 3 3
1 1
2 2 2 2
1 1
2 1 2
2 2 2 2
x x
y y y y
x x
xy y xy y
.
Hệ phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi
2 2
2
6 3 3 3 6 3 2 3 3
2 2 0 0
2 2
x x
y y xy y y xy x y x x y
Vậy hệ đã cho tương đương với
3
2 2
1
1
4 2 1
x y
x y
x y
xy
x x x
.
Vậy nghiệm của hệ là
; 1; 1
x y
.
Câu 15: Giải Hệ Phương Trình
2 2
2
4
3 5 1 3 6 , 1
2 1 3 4, 2
x x y x x y
y y y x
.
Lời Giải Full HD Không Che!
Điều kiện: Bạn đọc tự bịa. Ta có:
2 2 3 2
2 2
2 3 2 2
1 3 6 3 5 3 5 0, 3
3 6 4 3 5 3 5 3 4 0
y
PT y x x y x x x
x x x x x x x
Do đó phương trình 3 có nghiệm
2
3 5
1
y x
y x
.
Với
3 5y x
thay vào phương trình 2 ta có:
2
4
2 1 1
y y
(Vô nghiệm)
Với
2
1
y x
thay vào phương trình 2 ta có :
4 24
2 3 3x x x
,
4
.
Dùng máy tính casio thấy ngay phương trình
4
có nghiệm duy nhất
1x
Với lại có căn bậc 4 nên ta nghĩ đến AM – GM .
Theo bất đẳng thức AM – GM ta có:
4
2 4 4
4 4
2
4 2 2
5
3 3 2 1.1.1. 2
4
4 12 7 0 1 2 7 0 1
x
x x x x
x x x x x x x
Với
1 0
x y
. Vậy nghiệm của hệ là
; 0;1
x y
.
Câu 16: Giải Hệ Phương Trình
2 2
2
2
2
4 1 4 3 3 0, 1
2 2 4 1
1
, 2
1
2 2 1
y x x y x
y
y x
x x x
Lời Giải Full HD Không Che!
Đã gọi là hệ phương trình thì giữa hai phương trình sẽ có ít nhất một điểm
tương đồng! Tất nhiên ta không khai thác được gì từ phương trình 1.
nhưng quan sát thấy ngay điểm chung ở cả hai phương trình là đại lượng
1x
. Cụ thể phương trình 1 xuất hiện hai lần! phương trình 2 xuất hiện
đến 3 lần!. Chắc chắn sẽ phải liên quan đến thằng
1x
. Chuyển sang
phương trình 2!. Hai biến
,x y
rời rạc cho nên khả năng cao là hàm!.
Ta tìm điều kiện cho các biến trước!
1x
. Còn y thì sao nhỉ??
2
2
2
2 2 4 1
1
2 0 0
1
1 1 1
y
PT y
y x
x x
.
Trong biểu thức đánh giá trên tôi sử dụng điều luôn đúng
0
a a
.
Cụ thể
2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 0
x x x x x
.
2
2
2
2
2
2 2 4 1
1
2
1
1 1 1
1 1 1
2 2 4 1 1, *
1 1
1
y
PT
y x
x x
y y y
x x
x
Xét hàm
2
1, 0;f t t t t t
.
2
2
2
' 1 1 0 0;
1
t
f t t t
t
Do đó hàm
f t
đồng biến trên
0;
.
1 1
* 2 2
1 1
f y f y
x x
. Thay vào
2
ta có:
2
2
2 2
1
2 1 2 0 1 2 0
1
1
1 0
1 1
2
1
2
2 0
y x x x x
x
x
x
x
x
x
x
.
Vậy hệ phương trình có nghiệm
1
; 2;
2
x y
Câu 17: Giải Hệ Phương Trình
2 6
4 4 2 2
4 4 2 2
8 6 0, 1
2, 2
x y x
x y x y x y
y x y x y x
.
Lời Giải Full HD Không Che!
Ở phương trình số 2 chúng ta dễ dàng nhận thấy điều đặc biệt là sự có
mặt của đại lượng
n
x y
y x
trong cả phương trình 2. Đặt
, 2
x y
t t
y x
.
Khi đó
4 2
2 5 6 0
PT t t t
. Xét hàm số
4 2
5 6f t t t t
,
2
t
.
Ta có:
3 2
' 4 10 1, '' 12 10 0, ; 2 2;f t t t f t t t
.
Suy ra hàm số
f t
đồng biến trên mỗi khoảng
;2
và
2;
.
Do đó với
2 ' ' 2 0
t f t f
và với
2 ' ' 2 0
t f t f
.
Dựa vào bảng biến thiên thấy ngay
0 2
f t t
là nghiệm duy nhất
của phương trình!.
Với
2
2 2
2 2 2 0
x y
t x y xy x y x y
y x
.
Thay vào phương trình 1 ta có:
6 2
8 6 0
x x x
.
*
. Với
0
x
thì
*
vô nghiệm.
. Với
0
x
ta xét hàm số
6 2
8 6
f x x x x
5
' 6 2 8, '' 30 2 0, 0;f x x x f x x x
.
Suy ra
'f x
đồng biến trong khoảng
0;
và
' 1 0
f
. Do đó trong
khoảng
0;
phương trình
' 0
f x
có nghiệm duy nhất
1x
. Dựa vào
bảng biến thiên thấy ngay
1x
là nghiệm duy nhất của
*
.
Vậy nghiệm của hệ phương trình là:
; 1; 1
x y
.
To be Continue
