Chuyên đề chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp phản chứng

Tuyển tập chuyên đề toán THCS trên báo toán học tuổi trẻ

Trung tâm luyện thi EDUFLY-Hotline: 0987708400 Page 1


Chuyên đề: PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC BẰNG PHẢN
CHỨNG

Bài toán chứng minh bất đẳng thức có rất nhiều dạng và đã gây không ít trở ngại cho các
bạn học sinh trong các kỳ thi.Một trong các phương pháp được sử dụng để chứng minh bất
đẳng thức chính là phương pháp phản chứng.Phương pháp này tỏ ra có ưu thế rõ rệt khi
trong giả thiết và kết luận của bài toán có nhiều bất đẳng thức.
Các ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Chứng minh rằng
2
( ) 4
a b ab
 

Lời giải:
Gỉa sử
2
( ) 4
a b ab
 
suy ra
2 2 2 2 2
2 4 2 0 ( ) 0
a ab b ab a ab b a b
         
,

Điều này là sai với mọi a,b. Vậy giả sử trên là sai , suy ra đpcm
Ví dụ 2: Cho ba số a,b,c
(0;1)

Chứng minh rằng có ít nhất một trong các bất đẳng thức
sau đây là sai:

1 1 1
(1 ) ; (1 ) ; (1 )
4 4 4
a b b c c a
     

Lời giải:
Gỉả sử cả ba bất đẳng thức trên đều đúng .Theo giả thiết a, b, c, 1-a, 1-b,
1-c đều là các số dương,suy ra
1
(1 ) (1 ) (1 )
64
a a b b c c
   
(1)
Mặt khác:
2
1 1 1
(1 ) ( )
4 2 4
a a a
    
; tương tự ta có

1 1
(1 ) ; (1 )
4 4
b b c c
   

Suy ra
1
(1 ) (1 ) (1 )
64
a b b c c a    (2)
Ta có (1) mâu thuẫn với (2) nên giả sử ban đầu là sai, suy ra đpcm.
Ví dụ 3: Chứng minh rằng nếu
1 2 1 2
. 2( )
a a b b
  thì ít nhất một trong hai phương trình sau
có nghiệm:
2
1 1
0 (1)
x a x b  

2
2 2
0 (2)
x a x b  

Lời giải:
Gỉa sử (1) và(2) đều vô nghiệm khi đó ta có

(1)

0

và
(2)
0
 
suy ra
Tuyển tập chuyên đề toán THCS trên báo toán học tuổi trẻ

Trung tâm luyện thi EDUFLY-Hotline: 0987708400 Page 2

2 2
(1) (2) 1 1 2 2
0 4 4 0
a b a b
        




2 2
1 2 1 2
4( ) 0
a a b b
   




2 2
1 2 1 2 1 2
4( ) 2
a a b b a a
   


2
1 2
( ) 0.
a a
  

Điều này là sai với mọi
1 2
,
a a
. Vậy giả sử trên là sai, suy ra đpcm
Ví dụ 4: ( Đề thi vô địch tiệp khắc 1959)
Cho các số thực a,b,c thỏa mãn điều kiện

0 (1)
0 (2)
0 (3)
a b c
ab bc ca
abc
  



  




. Chứng minh rằng a, b ,c cùng dương.
Lời giải:
Giả sử có một trong ba số a, b, c không dương.Không mất tính tổng quát,giả sử số không
dương đó là a(
( 0)
a


Từ (3) suy ra
0
a

và
0
bc


0
0
0
a
b
c




 




(4) hoặc
0
0
0
a
b
c








(5)
Nếu (4) xảy ra thì
0
a b
 
suy ra theo (1)
2 2
2 2
( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( )

( ) 0
c a b c a b a b ab c a b ab a b
ab bc ca a ab b
             
      

Mâu thuẫn với (2)
Nếu (5) xảy ra thì tương tự ta cũng chỉ ra được ab+bc+ca< 0 mâu thuẫn với (2)
Vậy giả sử ban đầu là sai và ta có đpcm.
Ví dụ 5: (Đề thi HSG Mát-xcơ -va 1986)
Với mọi số thực x, y, z chứng minh rằng có ít nhất một trong ba bất đẳng thức sau là sai:
; ;
x y z y z x z x y
     

Lời giải:
Gỉa sử cả ba bất đăbgr thức trên đều đúng, suy ra
2 2 2 2
( ) ( ) 0 ( )( ) 0
x y z x y z x y z x y z
           

Tương tự ta có: (y-z+x)(y+z-x) <0
Tuyển tập chuyên đề toán THCS trên báo toán học tuổi trẻ

Trung tâm luyện thi EDUFLY-Hotline: 0987708400 Page 3

(z-x+y)(z+x-y) <0
Nhân theo từng vế 3 bất đẳng thức trên suy ra
2 2 2

( ) ( ) ( ) 0
x y z y z x z x y
      
là bất đẳng
thức sai với mọi x, y, z

giả sử ban đầu là sai

đpcm.
Bài tập áp dụng:
Bài 1: Cho a+b=2cd. Chứng minh rằng ít nhất một trong hai bất đẳng thức sau là
Đúng:
2
c a

;
2
d b


Bài 2: Cho các số a, ,b, c, A, B, C thỏa mãn aC-2bB+cA=0 và
2
0
ac b
 
Chứng minh rằng
AC-
2
B
0



Bài 3: Cho các số dương a, b, c thỏa mãn abc=1, chứng minh rằng :
1 1 1
( 1 )( 1 )( 1 ) 1
a b c
b c a
      

(Vô địch toán quốc tế)
Bài 4: cho abc

0 chứng minh rằng ít nhất một trong 3 phương trình sau có nghiệm :
2
ax 2 0;
bx c
  

2
2 0
bx cx a
  
;
2
2 0
cx ax b
  

Bài 5: Chứng minh rằng trong ba bất đẳng thức sau đây , có ít nhất một bất đẳng thức đúng
:

2
2 2
( )
2
b c
a b

 
;
2
2 2
( )
2
c a
b c

 
;
2
2 2
( )
2
a b
c a

 