Chuyên đề ôn thi vào chuyên toán ứng dụng bất đẳng thức trong giải hệ phương trình THCS

Tuyển tập chuyên đề toán hsg bậc THCS trên
báo toán học tuổi trẻ

Trung tâm luyện thi EDUFLY –Hotline: 0987708400 Page 1

Chuyên đề: ỨNG DỤNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC TRONG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Trong số trước chúng ta đề cập đến ứng dụng của bất đẳng thức trong giải phương trình.Kì
này, chúng ta sẽ tiếp tục với dụng của bất đẳng thức trong hệ phương trình.
Ưng dụng của bất đẳng thức trong giải hệ phương trình.
Ví dụ 5: Giải hệ phương trình
3
16
3 8
x y
x y



 


Lời giải:
Từ phương trình thứ nhất, ta nhận thấy x, y cùng dấu, kết hợp phương trình thứ hai suy ra x, y
cùng dương.Ap dụng bất đẳng thức Cô-si cho 4 số dương ta có
4
4
3
4
3 8
16 16

4 4
x y
x y xxxy

 
    
 
 

Đẳng thức xảy ra

x = y = 2. Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là (2;2)
Ví dụ 6: Giải hệ phương trình
2
4
4
32 3
32 6 24
x x y
x x y

    


   



Lời giải:
Cộng theo từng vế hai phương trình của hệ ta được

2
4 4
( 32 ) ( 32 ) 6 21
x x x x y y
       
(*)
Theo bất đẳng thưc Bu- nhi-a-cốp-ski ta có
4 4
32 (1 1)( 32 ) 8;
32 (1 1)( 32 ) 2 (1 1)( 32 ) 4
x x x x
x x x x x x
      
          

Suy ra
4 4
( 32 ) ( 32 ) 12
x x x x
     

Mặt khác
2 2
6 21 ( 3) 12 12
y y y
     

Suy ra (*)
4 4
32

16
32
3
3 0
x x
x
x x
y
y

 




   
 



 



Thử lại ta thấy (x;y) = (16;3) nghiệm đúng hệ phương trình, vậy hệ phương trình có nghiệm
duy nhất (x ; y) =( 16; 3)
Tuyển tập chuyên đề toán hsg bậc THCS trên
báo toán học tuổi trẻ

Trung tâm luyện thi EDUFLY –Hotline: 0987708400 Page 2

Ví dụ 7: Tìm các số thực dương x, y, z thỏa mãn hệ phương trình

3x y z
x y z xy yz zx
  



    



Lời giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cô- si ta có
2 2 2
3
2 3 3
x x x x x x x x x
     

Suy ra
2
2 3
x x x
 

Tương tự
2 2
2 3 ; 2 3

y y y z z z
   

Mặt khác, vì x + y + z =3 nên cộng theo từng vế ba bất đẳng thức trên ta có

2 2 2
2 2 2 2
2( ) 3( )
( ) 2( )
x y z x y z x y z
x y z x y z xy yz zx
       
        

Suy ra
x y z xy yz zx
    

Đẳng thức xảy ra
2 2 2
; ; ; 3 1
x x y y z z x y z x y z
          

Vậy bộ số thực dương (x; y; z)duy nhất thỏa mãn hệ phương trình là (1; 1; 1 )

Ví dụ 8: Giải hệ phương trình

2 2 2
2 2 2 2 2 2 3

3( ) 1
( )
x y z
x y y z z x xyz x y z

  


    


(Phần Lan – 1997)
Lời giải:
Ta có các bất đẳng thức quen thuộc:
2 2 2 2
3( ) ( )
x y z x y z
    
Suy ra
2
1 ( ) ;
x y z
   (1)

2 2 2 2 2 2 2
3( ) ( )
x y y z x z xy yz xz
    

Suy ra

2 2 2 2 2 2
x y y z x z
 
2 2 2
x yz y xz z xy
  

Suy ra 1(
2 2 2 2 2 2
x y y z x z
 
)
2
( )
x y z
  
2 2 2 3
( ) ( )
x yz y zx z xy xyz x y z
    

2 2 2 2 2 2 3
( )
x y y z z x xyz x y z
      (2)
Đẳng thức xảy ra ở (2)

đẳng thức xảy ra ở (1)
1
3

x y z
   
đều nghiệm đúng hệ phương
trình .Vậy hệ phương trình có hai nghiệm (x; y; z) là
1 1 1
( ; ; )
3 3 3
và
Tuyển tập chuyên đề toán hsg bậc THCS trên
báo toán học tuổi trẻ

Trung tâm luyện thi EDUFLY –Hotline: 0987708400 Page 3

1 1 1
( ; ; )
3 3 3
  

Bài tập luyện tập
Bài 1: Giải các phương trình sau:
1)
2
2 4 6 11
x x x x
     
;
2)
2
6 4 10 27
x x x x

     
;
3)
2 2
2 5 2 10 29
x x x x      ;
4)
2 2 2
17 8 2 4 12 3 4 13
x x x x x x
       
;
5)
4 2
4
2 3 3
x x x
   
;
Bài 2: Giải các hệ phương trình:
1)
2 2 2 2
3 3 3
( 3 4 ) 26( )
92
x y z x y z
x y z

    



  



2)
2006 2005
2 2
2005 2006 1 0
3
( );
2
x y
x xy y x y

  


   



3)
4 4 4
1x y z
x y z xyz
  


  



4)
2 2 1
2
x y
x y

 

  


Bài 3: Tìm các số thực dương x, y, z thỏa mãn hệ phương trình

12
2
xy yz zx
xyz x y z
  


   

(Đài Loan – 1998)
Bài 4: Tìm các số thực dương x, y, z, t thỏa mãn hệ phương trình

12
27
x y z t

xyzt xy xz xt yz yt zt
   


      

(Anh – 1996)