Toán 9 bài toán quỹ tích là đường tròn

Bài toán quỹ tích hình học THCS

Trung tâm luyện thi EDUFLY-Hotline: 0987708400 Page 1

Bài giảng số 3: DẠNG BÀI QUỸ TÍCH THUỘC LOẠI TRÒN
Dạng 4: Quỹ tích là đường tròn, cung tròn
4.1 Quỹ tích những điểm cách đều điểm O cố định một khoảng R không đổi là
đường tròn (O; R)
Ví dụ 18: Cho hai đường thẳng x và y vuông góc với nhau tại O. Đoạn thẳng AB = h
(h cố định) chuyển động sao cho A thuộc x, B thuộc y. Tìm tập hợp trung điểm M
của đoạn thẳng AB

+ Về 2 phía của Ox ta luôn tìm được hai điểm thuộc quỹ tích

Quỹ tích nhận Ox là
trục đối xứng
+ Vế 2 phía của Oy ta cũng luôn tìm được hai điểm thuộc quỹ tích tích

Quỹ tích
nhận Oy là trục đối xứng
Suy ra quỹ tích là đường tròn có tâm là O
Bước 2: Chứng minh thuận
Ta có OM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông OAB nên
AB h
OM = =
22
cố định
Bài toán quỹ tích hình học THCS

Trung tâm luyện thi EDUFLY-Hotline: 0987708400 Page 2

Vậy M nằm trên đường tròn (O;
h
2
)
*Giới hạn: Vì A, B chạy trên cả đường thẳng x và y nên M di động trên cả đường
tròn (O;
h
2
)
Bước 3: Chứng minh đảo
Thiết lập mệnh đề đảo như sau: lấy điểm M’ thuộc (O;
h
2
). Vẽ (M’, MO) cắt x tại
A’, cắt y tại B’. Chứng minh M’ là trung điểm của A’B’ và OA’ + OB’ = h
Phần chứng minh giành cho bạn đọc
Ví dụ 19: Cho đường (O; R); A là điểm cố định nằm trong đường tròn, B là điểm
chuyển động trên đường tròn. Tìm tập hợp các trung điểm M của AB.
Hướng dẫn:
a) Phần thuận:

Gọi I là trung điểm của OA, suy ra I cố định.
Xét
ΔABO
ta có:
MA = MB
IA = IO





MI là đường trung bình của tam giác
ΔABO

OB R
MI = =
22


R
MI =
2
(không đổi) và I cố định nên M thuộc đường tròn
R
I;
2




Bài toán quỹ tích hình học THCS

Trung tâm luyện thi EDUFLY-Hotline: 0987708400 Page 3

Giới hạn B chuyển động trên cả đường tròn (O; R) nên M chuyển động trên cả đường
tròn
R
I;
2





b) Phần đảo
Lấy điểm
M'
bất kỳ thuộc đường tròn
R
I;
2



. Trên tia đối của tia
M'
A lấy
điểm
B'
sao cho:
M'A = M'B'
, ta cần
chứng minh
B'
thuộc (O; R)
Thật vậy,
ta có: OB’ = 2MI = R (t/c đường trung
bình) suy ra đpcm

Bài tập áp dụng
Bài 1: Cho đường (O) và một dây AB cố định. M là một điểm tuỳ ý trên cung nhỏ

AB. Gọi K là trung điểm của đoạn MB. Từ K hạ đường KP

MA. Tìm tập hợp P khi
M di chuyển trên cung nhỏ AB đã cho.
Bài 2: Cho đường tròn (O; R) và một điểm A cố định trên đường tròn. Điểm M di
động trên tiếp tuyến xy tại A của (O; R). Qua M vẽ tiếp tuyến thứ hai với (O; R). Gọi
tiếp điểm là B.
a) Tìm quỹ tích tâm các đường tròn ngoại tiếp tam giác AMB.
b) Tìm quỹ tích trực tâm H của tam giác AMB.
Bài 3: Đường tròn tâm O có dây cung AB cố định, gọi I là điểm chính giữa cung lớn
AB. Lấy điểm M bất kì thuộc cung lớn AB, dựng tia Ax vuông góc với đường thẳng
MI tại H và cắt tia BM tại C
a) Chứng minh các tam giác AIB và AMC là các tam giác cân
b) Khi điểm M di động, chứng minh điểm C chuyển động trên một cung tròn
cố định
Bài toán quỹ tích hình học THCS

Trung tâm luyện thi EDUFLY-Hotline: 0987708400 Page 4

(Đề tuyển sinh vào THPT Chu Văn An và Hà Nội – Amsterdam năm học 2005 –
2006)
Bài 4: Cho hai điểm A, B cố định trên (O ; R) và điểm C chuyển động trên đường
tròn đó. Tìm quỹ tích trọng tâm của tam giác ABC
(Đề thi HSG tỉnh Thanh Hóa năm học 2005 – 2006)
Bài 5: Cho ba điểm A, B, C theo thứ tự đó trên đường thẳng d. Vẽ các nửa đường
tròn đường kính AB, AC thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ là đường thẳng d. Một
điểm H chuyển động trên đoạn AB. Đường thẳng vuông góc với d ở H cắt cả hai nửa
đường tròn nói trên lần lượt ở D và E. Gọi M là giao điểm hai đường thẳng DB và
EC. Tìm quỹ tích điểm M.
Bài 6: Cho đường tròn (O; R) và tam giác cân ABC có AB = AC nội tiếp đường tròn

(O; R) Kẻ đường kính AI. Gọi M là một điểm bất kì trên cung nhỏ AC. Mx là tia đối
của tia MC. Trên tia đối của tia MB lấy điểm D sao cho MD = MC.
a) Chứng minh rằng MA là tia phân giác của của góc BMx.
b) Gọi K là giao thứ hai của đường thẳng DC với đường tròn (O). Tứ giác MIKD là
hình gì? vì sao?
c) Gọi G là trọng tâm của tam giác MDK. Chứng minh rằng khi M di động trên cung
nhỏ AC thì G luôn nằm trên một đường tròn cố định
Bài 7: Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp (O), M chuyên động trên đường tròn.
Gọi H là hình chiếu của C tren AM, gọi I là giao điểm của BM và CH. Chứng minh
rằng điểm I di chuyên trên đường tròn cố định khi điểm M di động trên (O).
Bài 8: Cho đường tròn (O; R) và một điểm A cố định trên đường tròn. Điểm M lưu
động trên tiếp tuyến xy tại A của (O; R). Qua M vẽ tiếp tuyến thứ hai với (O; R). Gọi
tiếp điểm là B.
a) Tìm quỹ tích tâm các đường tròn ngoại tiếp tam giác AMB.
b) Tìm quỹ tích trực tâm H của tam giác AMB
4.2 Quỹ tích những điểm nhìn đoạn thẳng AB 1 góc vuông là đường tròn đường
kính AB
Ví dụ 20: Cho đường tròn (O;R) và AB là đường kính. Gọi d là đường trung trực của
OB. Gọi M và N là hai điểm phân biệt thuộc đường thẳng d. Trên các tia OM, ON lấy
lần lượt các điểm M’ và N’ sao cho OM’.OM = ON’.ON
2
R
.
Bài toán quỹ tích hình học THCS

Trung tâm luyện thi EDUFLY-Hotline: 0987708400 Page 5

a) Chứng minh rằng bốn điểm M, N, M’, N’ thuộc một đường tròn.
b) Khi điểm M chuyển động trên d, chứng minh rằng điểm M’ thuộc một đường tròn
cố định

(Trích đề thi HSG cấp tỉnh Hải Dương năm học 2011 – 2012)
Lời giải
Chứng minh rằng bốn điểm M, N, M’, N’ thuộc một đường tròn.

''OM ON
ON OM

(vì OM’.OM = ON’.ON);
MON
chung nên
'OM N
đ. dạng với
'ON M

''ONM OMN


b) Khi điểm M chuyển động trên d, chứng minh rằng điểm M’ thuộc một đường tròn
cố định.
Bước 1: Dự đoán quỹ tích:
- Về 2 phía của đường thẳng AB ta luôn
tìm được 2 điểm M’ và M’’ thuộc quỹ tích
và đối xứng với nhau qua AB. Vậy quỹ
tích là 1 đường tròn có tâm nằm trên
đường thẳng AB
- Khi
MC
thì
M' C'
thỏa mãn

22
2
RR
OC.OC' = R OC' = = 2R = AB
OC R:2
  

C'
đối xứng với A qua O suy ra quỹ tích
M’ là đường tròn đường kính OC’

Bước 2: Chứng minh thuận

Gọi giao của d với OB là C
Lấy điểm C’ đối xứng với O qua B

điểm C’ cố định trên tia OC
N'
O
A
B
M
N
M'
Bài toán quỹ tích hình học THCS

Trung tâm luyện thi EDUFLY-Hotline: 0987708400 Page 6

Ta có:
2

1
. ' .2
2
OC OC BO BO R


. ' '.OCOC OM OM

'
'
OC OM
OM OC

;
MOC
chung

OCM
đồng dạng với
''OM C


0
' 90OM C OCM
.Vậy M’ thuộc đường tròn đường kính OC’ cố định
Dễ thấy M’ khác O vì R > O nên quỹ tích là đường tròn đường kính OC’ trừ điểm O
Ví dụ 21: Trên đoạn AB lấy điểm M tùy ý. Trên AM và BM dựng về 1 phía đối với
AB các hình vuông. Đường tròn ngoại tiếp các hình vuông cắt nhau tại I. Chứng
minh I di động trên 1 đường cố định khi M di chuyển trên AB?

Lời giải
Ta có:
AIM ACM 45
o


FIM 180 FNM 180 45 135
o o o o
    



o
AIM+FIM =180

A, I, F thẳng hàng
DMA ABF 45
o


Bài toán quỹ tích hình học THCS

Trung tâm luyện thi EDUFLY-Hotline: 0987708400 Page 7


DM // FB mà AC

DM nên AC

FB

Xét tam giác AFB có
- FM

AB (gt)
- AC

FB (cmt)

C là trực tâm của tam giác AFM

BC

AF và A, I, F thẳng hàng nên BC

AI
Mặt khác IC

AI

B, I, C thẳng hàng

BI

AI
Hay I nằm trên đường tròn đường kính AB
+ Giới hạn: Quỹ tích I là nửa đường tròn đường kính AB
Bài tập áp dụng
Bài 1: Tìm quỹ tích đỉnh C các tam giác ABC có AB cố định, đường cao BH bằng
cạnh AC.
Bài 2: Cho đường tròn (O) và một điểm M nằm ngoài đường tròn (O). Từ M kẻ cát

tuyến MAB. Tìm quỹ tích trung điểm N của AB khi cát tuyến quay quanh M
Bài 3: Cho nửa (O) đường kính AB. Điểm C di động trên cung AB. Hạ
CH AB
.
Trên CO lấy điểm M sao cho OM = CH. Tìm tập hợp điểm M
Bài 4: Cho nửa (O) đường kính AB. Điểm C di động trên cung AB. Dựng hình
vuông CBEF ra phía ngoài đường
ABC
. Tìm tập hợp điểm E khi C chạy trên cung
AB
Bài 5: Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi
12
O , O
là tâm 2 đường tròn đường kính
ABC và AC. Một đường thẳng d thay đổi đi qua A cắt (
1
O
) tại E, cắt (
2
O
) tại F.
Chứng minh rằng trung điểm M của EF thuộc đường tròn cố định
Bài 6*: Cho hình vuông ABCD cố định. Một điểm I di động trên cạnh AB (I khác A
và B). Tia DI cắt tia CB tại E. Đường thẳng CI cắt đường thẳng AE tại M. Đường
thẳng BM cắt đường thẳng DE tại F. Tìm quỹ tích điểm F
Bài toán quỹ tích hình học THCS

Trung tâm luyện thi EDUFLY-Hotline: 0987708400 Page 8

Bài 7: Cho đường tròn tâm O và đường kính AB. Kẻ tiếp tuyến (d) tại B của đường

tròn (O). Gọi N là điểm di động trên (d), kẻ tiếp tuyến NM (M thuộc (O)).
a) Tìm quỹ tích tâm P của đường tròn ngoại tiếp tam giác MNB.
b) Tìm quỹ tích tâm Q của đường tròn nội tiếp tam giác MNB.
Bài 8: Cho BC là 1 dây cung cố định của đường tròn O. A là 1 điểm di động trên
cung lớn BC, phân giác góc BAC cắt cung BC tại D. M là hình chiếu của B trên AD.
Tìm quỹ tích điểm M
Bài 9: Cho đường tròn (O) đường kính AB cố định. Điểm C di động trên (O). Trên
đoạn thẳng CA lấy điểm D sao cho AD = BC. Tìm quỹ tích điểm D
Dạng 5: Quỹ tích là cung chứa góc
Ví dụ 22: Cho đường tròn tâm O đường kính AB cố định, dựng dây cung AC tùy ý
và kéo dài. Trên tia AC đặt về 2 phía của điểm C các đoạn CM = CB (M nằm ngoài
đường tròn). Tìm quĩ tích các điểm M
Bài toán quỹ tích hình học THCS

Trung tâm luyện thi EDUFLY-Hotline: 0987708400 Page 9


Lời giải:
a) Phần thuận
Ta có
ACB 90
o

(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)


CBM
vuông mặt khác CB = CM (gt) suy ra
CBM
vuông cân tại C


CMB 45
o

hay
AMB 45
o



M nằm trên cung chứa góc 45 độ dựng trên đoạn AB
+Giới hạn
- Khi
CA
MD
(D nằm trên đường thẳng đi qua A vuông góc với AB và cách A
1 khoảng bằng AB)
Bài toán quỹ tích hình học THCS

Trung tâm luyện thi EDUFLY-Hotline: 0987708400 Page 10

- Khi
C B M B  

Vậy quỹ tích M là cung BD và cung BD’ là đối xứng với cung BD qua đường thẳng
AB
Ví dụ 23: Cho
xOy



cố định, điểm I cố định trong góc xOy. Một góc vuông có
đỉnh I quay quanh I, 2 cạnh của góc vuông này cắt Ox tại A và cắt Oy tại B. Tìm tập
hợp điểm H là hình chiếu của I trên AB

a) Phần thuận
Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của I trên Ox, Oy
Tứ giác IEOF nội tiếp suy ra
EIF 180
o



Tứ giác IHBF nội tiếp suy ra
11
I = H

Tứ giác IEAH nội tiếp suy ra
22
I = H



1 2 1 2
I I = H H 180 90 90
o o o

      



EHF 180 90 90
o o o

    


H nằm trên cung chứa góc
90
o


dựng trên đoạn EF
Bài toán quỹ tích hình học THCS

Trung tâm luyện thi EDUFLY-Hotline: 0987708400 Page 11

*Giới hạn
- Khi
AE
thì
BO

H trùng E
- Khi
BF
thì
AO

H trùng F
Vậy quỹ tích H là cung EF nằm trong góc xOy

b) Phần đảo
Bạn đọc tự chứng minh
Bài tập áp dụng
Bài 1: Cho
ABC
nội tiếp đường tròn (O) có
A 120
o

, dây cung BC cố định. Trên tia
đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AC. Tìm quỹ tích điểm C khi A di động trên
(O)
Bài 2: Cho đường tròn tâm O đường kính AB cố định , dựng dây cung AC tùy ý và
kéo dài. Trên tia AC đặt về 2 phía của điểm C các đoạn CM =CM’= CB (M nằm
ngoài đường tròn). Tìm quĩ tích các điểm M và M’
Bài 3: Cho hai đường tròn (O; R) và (O'; R') cắt nhau tại A và D có các đường kính
AOB và AO'C vuông góc với nhau tại A. Một đường thẳng d đi qua A và cắt các nửa
đường tròn không chứa điểm D của (O), (O') tương ứng tại các điểm M, N khác A.
a) Chứng minh tam giác ABM và tam giác CAN đồng dạng.
b) Tìm quỹ tích giao điểm P của OM và O'N khi d di động
Bài 4: Một điểm A đi động trên nửa đường tròn đường kính BC cố định. Đường
thẳng qua C song song với BA cắt đường phân giác ngoài của góc BAC của tam giác
ABC tại D. Tìm quỹ tích D.
Bài 5: Tứ giác lồi ABCD có AC cố định,
A 45 ; B= C = 90
oo


a) Chứng minh rằng BD cố độ dài không đổi.
b) Gọi E là giao của BC và AD, F là giao của DC và AB. Chứng minh EF có độ dài

không đổi.
Bài toán quỹ tích hình học THCS

Trung tâm luyện thi EDUFLY-Hotline: 0987708400 Page 12

c) Tìm quỹ tích tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF