Toán 9 một số bài toán quỹ tích hình học THCS

Bài giảng số 4: QUỸ TÍCH KHÔNG THUỘC DẠNG CƠ BẢN
Ví dụ 24: Cho góc xOy cố định. Tìm tập hợp điểm M sao cho tổng khoảng cách từ M
đến Ox và Oy bằng h cho trước

a) Phần thuận
Giả sử
MF Ox; ME Oy; ME + MF = h⊥⊥
.
Trên tia Ox lấy điểm A sao cho khoảng từ A đến Oy là AH = h (A cố định)
Gọi B là giao điể m của AM và Oy. Hạ MI
⊥
AH
Xét
ΔAFM
và
ΔMIA
ta có
- MF = IA = h – ME
- AM chung
-
∑
∑
AIM = AFM 90
o
=

⇒

ΔAFM
=
ΔMIA

(cạnh huyền – cạnh góc vuông)
⇒

∑
∑
FAM = AMI
mặt khác MI // HB (cùng vuông góc với AH)
⇒
∑
∑
OAB = OBA ⇒Δ
OAB cân tại O
⇒
OA = OB
⇒
B cố định
Mà M nằm trên đoạn thẳng AB do vậy quỹ tích M là đoạn thẳng AB (AB là đáy của
tam giác cân OAB sao cho khoảng cách từ A, B đến Ox, Oy bằng h)
b) Phần đảo: Dành cho bạn đọc
Ví dụ 25: Cho (O; R), 2 điểm B, C cố định trên (O) và một điểm A di động trên (O).
Chứng minh trực tâm H của tam giác ABC di chuyển trên đường cố định

Gợi ý:
Lấy điểm E đối xứng với H qua BC.
Ta có:
∑
∑
HCB ECB=
(t/c đối xứng)
∑

∑
ECB EAB⇒=

⇒
E thuộc đường tròn (O).
Khi điểm A di chuyển trên (O) thì điểm E cũng di chuyển trên (O) và điểm H luôn là
điểm đối xứng của E qua BC. Do vậy quỹ tích H là đường tròn đối xứng với đường
tròn (O) qua BC
Bài tập áp dụng
Bài 1: Một đường thẳng (d) có định cắt đường tròn (O,R) cố định tại hai điểm A và B
phân biệt. Từ điểm M di động trên (d) vẽ hai tiếp tuyến MP và MQ với đường tròn
(O,R) thứ tự tạ i P và Q. Tìm quỹ Tích tâm đường tròn nội tiếp tam giác MPQ
Bài 2: Cho góc vuông xOy cố định và một điểm A cố định trên Ox, điểm C chuyển
động trên Oy. Dựng tam giác đều ACB nằm bên trong góc xOy. Tìm quỹ tích các đỉnh
B của tam giác ABC
Bài 3: Cho tam giác cân ABC (AB=AC) cố định và điểm M chuyển động trên cạnh
AB. Trên tia đối của tia CA lấy điểm N sao cho CN=BM. Vẽ hình bình hành BMNP.
Tìm quỹ tích đỉnh P của hình bình hành này.
Bài 4: Cho góc vuông xOy. Điểm A cố định trên tia Ox, điểm B di chuyển trên tia Oy,
vẽ
ABCΔ
đều (C và O khác phía đối với A và B). Chứ ng minh trung điểm M của BC
nằm trên đường thẳng cố định
Bài 5: Cho tam giác cân ABC nội tiếp đường tròn (O; R) có AB = AC = R
2

a) Tính độ dài BC theo R
b) M là một điểm di động trên cung nhỏ AC, đường thẳng AM cắt đường thẳng BC tại
D. Chứng minh rằng AM.AD luôn luôn là hằng số
c) Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MCD di động trên một đường cố

định khi M di động trên cung nhỏ AC.
Bài 6: Tìm tập hợp điểm O là tâm của hình chữ nhật nội tiếp tam giác ABC sao cho
hình chữ nhật này có 1 cạnh song song với BC
Đáp số : Quỹ tích O là đoạn thẳng HK trong đó H là trung điểm của đường cao AD, K
là trung điểm của cạnh BC
Bài 7*: Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (O; R). Gọi D là điểm chính giữa
của cung BC không chứa A. Vẽ đường tròn qua D và tiếp xúc với AB tại B. Vẽ đường
tròn qua D và tiếp xúc với AC tại C. Gọi E là giao điểm thứ hai của hai đường tròn
này.
a) Chứng minh 3 điểm B, C, E thẳng hàng.
b) Một đường tròn tâm K di động luôn đi qua A và D, cắt AB, AC theo thứ tự tại M và
N. Chứng minh rằng BM = CN.
c) Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn thẳng MN
ĐS : Tính được DI = 2KD sin
2
(A/2) =>(DI/DK) =2 sin
2
(A/2) = hs
K thuộc trung trực của AD => I thuộc đường thẳng vuông góc với AD và cắt AD tại P
sao cho (DP/DA )=sin
2
(A/2)